2020届高考数学总复习课时跟踪练(六十七)绝对值不等式文(含解析)新人教A版
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课时跟踪练(六十七)
A 组 基础巩固
1．(2019·郑州调研)设函数f (x )＝|x ＋a |＋2a .
(1)若不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≥k 2
－k －4恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为|x ＋a |＋2a ≤1，所以|x ＋a |≤1－2a ，
所以2a －1≤x ＋a ≤1－2a ，所以a －1≤x ≤1－3a .
因为不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2，1－3a ＝4，解得a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝|x －1|－2.
不等式f (x )≥k 2
－k －4恒成立，
只需f (x )min ≥k 2－k －4，
所以－2≥k 2－k －4，即k 2－k －2≤0，
解得－1≤k ≤2，
所以实数k 的取值范围是[－1，2]．
2．(2019·太原质检)已知函数f (x )＝|x －1|－a (a ∈R)．
(1)若f (x )的最小值不小于3，求a 的最大值；
(2)若g (x )＝f (x )＋2|x ＋a |＋a 的最小值为3，求a 的值．
解：(1)因为f (x )min ＝f (1)＝－a ，所以－a ≥3，
解得a ≤－3，即a max ＝－3.
(2)g (x )＝f (x )＋2|x ＋a |＋a ＝|x －1|＋2|x ＋a |.
当a ＝－1时，g (x )＝3|x －1|≥0，0≠3，所以a ＝－1不符合题意；
当a <－1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）＋2（x ＋a ），x ≥－a ，（x －1）－2（x ＋a ），1≤x <－a ，－（x －1）－2（x ＋a ），x <1，
即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＋2a ，x ≥－a ，－x －1－2a ，1≤x <－a ，－3x ＋1－2a ，x <1，
所以g (x )min ＝g (－a )＝－a －1＝3，
解得a ＝－4.
当a >－1时，同理可知g (x )min ＝g (－a )＝a ＋1＝3，解得a ＝2.
综上，a ＝2或a ＝－4.
3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.
(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12
，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.
y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
4．(2019·衡水中学质检)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|.
(1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；
(2)若不等式f (x )>1x
＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围． 解：(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，
当x <－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2，
解得x ≤－12
，故x <－3； 当－3≤x ≤1时，原不等式可化为2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，
解得x ≤34，故－3≤x ≤34
； 当x >1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解．
综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，34. (2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|>1x
＋a 在[2，3]上恒成立， 则3x ＋1－1x
>a 在[2，3]上恒成立． 又因为g (x )＝3x ＋1－1x
在[2，3]上为增函数， 所以有3×2＋1－12>a ，解得a <132
. 故实数a 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，132. B 组 素养提升
5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；
(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n
的最小值． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x ＜－2，－12
x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x ＞0.
当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；
当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增；
所以当x ＝0时，f (x )取最小值a ＝1.
(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn
≥2， 由于m ＞0，n ＞0，
则1m ＋1n ≥21
mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22
时取等号． 所以1m ＋1n 的最小值为2 2. 6．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3.
(1)求不等式f (x )≤2的解集；
(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点，求k 的取值范围．
解：(1)由f (x )≤2，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－2x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，0≤2， 或⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥4，2x －8≤2，
解得0≤x ≤5，
故不等式f (x )≤2的解集为[0，5]．
(2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤1，0，1<x <4，2x －8，x ≥4，
作出函数f (x )的图象，如图所示．
直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)，
当此直线经过点B (4，0)时，k ＝12
； 当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2.
故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 7．(2019·唐山模拟)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m .
(1)求m 的值；
(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2
b ＋1＋b 2
a ＋1的最小值．
解：(1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1，
所以f (x )的最大值为1，所以m ＝1.
(2)由(1)可知，a ＋b ＝1，
所以a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2b ＋1＋b 2
a ＋1[(a ＋1)＋(
b ＋1)] ＝13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2（a ＋1）b ＋1＋b 2（b ＋1）a ＋1＋a 2＋b 2 ≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13
， 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，
所以a 2b ＋1＋b 2
a ＋1的最小值为13. 8．(2019·青岛模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －1|.
(1)解不等式f (x )>3－4x ；
(2)若f (x )＋|1－x |≥6m 2
－5m 对一切实数x 都成立，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≥1，
x ，12<x <1，－3x ＋2，x ≤12
，
所以由不等式f (x )>3－4x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －2>3－4x ，或⎩⎪
⎨⎪⎧12
<x <1，x >3－4x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－3x ＋2>3－4x ， 解得x >35， 所以原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x >35. (2)f (x )＋|1－x |＝|x －1|＋|2x －1|＋|1－x |
＝2|x －1|＋|2x －1|＝|2x －2|＋|2x －1|≥|2x －2－(2x －1)|＝1， 当且仅当(2x －2)(2x －1)≤0时取等号，
故f (x )＋|1－x |的最小值为1，
又f (x )＋|1－x |≥6m 2
－5m 对一切实数x 都成立，
所以1≥6m 2－5m ，解得－16≤m ≤1， 所以m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－16，1.。
