专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围. 4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+.6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值； （2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x -++<的解集为M ． (1)求集合M ；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-．12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k ，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+.14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->.15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．19．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：不等式选讲 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 20．（湖南省衡阳市2019届高三第三次联考三模（理）已知不等式2231x x -->的解集为 A ． （1）求A ；（2）若,m n A ∈，且4m n +=．证明：22811n m m n +≥--21．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二)数学试题含附加题）已知正数a ，b ，c 满足a ＋b＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．22．（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学理）已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 23．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考理）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）若对任意的[2,3]x ∈-，恒有()6f x 成立，求实数a 的取值范围；（2）设()|2|g x x b =+，且0a >，0b >时函数()()yf xg x 的最小值为3，求2242a b b a+的最小值. 24．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 25．（贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试理）已知函数()54f x x x =+--. （1）解关于x 的不等式()1f x x ≥+；（2）若函数()f x 的最大值为M ，设a ，b 为正实数，且()()11a b M ++=，求ab 的最大值. 26．（辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学理）已知函数4,()f x x a x a R =-+∈． (Ⅰ)若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设实数m 为(Ⅰ)中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值． 27．（山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟一模考试数学理）已知函数()121f x x x =--+的最大值为t .（1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：(2)(2)2g m g n ++≥.专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）13(,][,)22x ∈-∞-⋃+∞；（2）【解析】（1）因为1a =，0b =，所以()1f x x x =-+， 当0x <时，1122x x x --≥⇒≤-，∴12x ≤-.当01x ≤<时，12x x x φ-+≥⇒∈； 当1x ≥时，3122x x x -+≥⇒≥，∴32x ≥.综上所述：][13,,22x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=， 又根据柯西不等式知2a b +≤=a b =时取等号），故2+ab 的最大值为2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---【答案】（Ⅰ）()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）∵11a =且1102n n n S S a -⋅+=，即()()111022n n n n S S S S n --⋅+-=≥ 112n n n n S S S S --⋅=-两边同除以1n n S S -⋅得1112n n S S -=- ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列． ∴()112121n n n S =+-=-，∴121n S n =-， 当1n =时，11a =当2n ≥时，()()()1112212112123n n n a S S n n n n --=-=-=----- ∴()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩．（Ⅱ）112112n n S n++=- 设数列{}n c 的前n项积为n T =，则)12n n n T c n T -==≥ 经检验1n =时也成立要证不等式231111111n S SS +⋅>---只需证不等式212n n +>两边平方即为2244114n n n n n+++>即证2244144n n n n ++>+，显然成立． 3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) 3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b =+++≤+++=(Ⅱ)对正实数,a b 有2a b ab +，所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +--≥恒成立， 所以|1||3|1x x +--≥恒成立．当1x ≤-时，不等式化为1(3)1x x ----≥，整理得41-≥，所以不等式无解； 当13x时，不等式化为1(3)1x x +--≥，解得332x ≤≤；当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +--≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞．4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 【答案】(Ⅰ)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12λ=；(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得()()221311a a a -=+，即2111111124a a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得112a =，故数列的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ()()1223188822162828n T b d b n T b d d d λλλλλ⎧⎧==+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨=+=+⎪⎩⎩⎪=⎩. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：()()188412n n n n T n b n n λ++=⋅==+，则111141n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 121111111111114223141n n C T T T n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1111442nn S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14nn C S 1111114142nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n n ⇔+， 当n =1时，21n n =+；当n >1时，()01211111nn nn n n C C C n n =+=+++=+++>+.故题中的结论成立.5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+. 【答案】(1) 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)见证明 【解析】 （1）解：()21215f x x x =-++≤，15122x x ∴-++≤， 由绝对值得几何意义可得32x =-和1x =上述不等式中的等号成立，∴不等式()5f x ≤的解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由绝对值得几何意义易得()1212f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小值为3， 235m m ∴≤+-，12m ∴-≤≤，2M ∴=，332a b ∴+=，()()33222a b a b a ab b =+=+-+，220a ab b -+≥，0a b ∴+>，222ab a b ≤+，()24ab a b ∴≤+，()24a b ab +∴≤，332a b =+ ()()22a b a ab b =+-+ ()()23a b a b ab ⎡⎤=++-⎣⎦ ()314a b ≥+， 2a b ∴+≤，02a b ∴<+≤6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）依题意，()0,x ∈+∞，()()()()111221'x x xxe e x ef x x xx λλλ----=-=.当11λ≤时，10xe λ->.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 当11λ>时，令()'0f x =，解得1x =或1ln x λ=.若1e λ=，则()'0f x ≥，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 若11e λ<<，则1ln 1λ<，所以当()10,ln x λ∈时，()'0f x >，当()1ln ,1x λ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()10,ln λ和()1,+∞上单调递增，在()1ln ,1λ上单调递减； 若1e λ>，则1ln 1λ>，所以当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()11,ln x λ∈时，()'0f x <，当()1ln ,x λ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()0,1和()1ln ,λ+∞上单调递增，在()11,ln λ上单调递减.（Ⅱ）依题意，得()1x e f x x-=，所以1m n e e m -=.要证20m n -<，即证12n m >，即证2m n e e >，即证21mm e e m->,即证210m m e me -->，所以只需证0m >时，210mm e me -->成立即可. 令()21xx h x e xe=--，则()22=12xx x h x e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令()212xx g x e =--，则()211'0(0)22xg x e x =->>.所以()g x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00g x g >=，即2102xxe -->，所以()22'102x xx h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()h x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00h x h >=， 所以210mm e me -->，即20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 【答案】（1）[]1,1-；（2）见解析【解析】（1）解：当12x -时，不等式()4f x 变为21124x x --+-≤， 解得1-x ，此时1x -12-.当1122x -<时，不等式()4f x 变为21124x x ++-≤，此不等式恒成立，此时1122x-<.||||x y 当12x >时，不等式()4f x 变为21214x x ++-≤，解得1x ，此时112x <，综上，不等式的解集M 是[]1,1-；（2）证明：由题意，得[1,1],[1,1]x y ∈-∈-，则0||1,0||1x y ， 设||||x y ，||||||||||||1||11||1||1||1||1||1||x y x y x y y y x y y y y ++++==++++++故111x y yx+≤++8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.【答案】（1）44a -≤≤ ；（2）1621【解析】（1）因为函数()4f x x a x =-+244x a x a a ≥--=≥恒成立，解得44a -≤≤ ；（2）由第一问可知4m =，即4244()24x y z x y y z ++=⇒+-+= 由柯西不等式可得：2222222[4()2][4(2)1][()]x y y z x y y z +-+≤+-+⋅+++化简：2221621[()]x y y z ≤⨯+++即22216()21x y y z +++≥当且紧当：421x y y z+==-时取等号， 故最小值为1621．9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）72；（2）详见解析. 【解析】解：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由于函数y=146,2x x -<-,是减函数，y=1562,24x x --≤<,是减函数，y=564,4x x -≥，是增函数， 故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；（2）设g（x）＝f（x1 2 +）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：49256m n+≥．【答案】（1）2a=；（2）见解析【解析】（1）解：由()01f=-，得11a-=-，即2a=±.由()13f-=，得123a a+--=，所以2a=.（2）证明：由（1）知()2122f x x x=--+，所以()()1123232g x f x f x x x⎛⎫=++-=--+⎪⎝⎭36,2334,2236,2xx xx⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x的最大值为6，即6t=.因为6(0,0)m n m n+=>>，所以()491491491366n mm nm n m n m n⎛⎫⎛⎫+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为4949212n m n mm n m n+≥⋅=（当且仅当125m=，185n=时取等号），所以()49125131266m n+≥⨯+=.11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x-++<的解集为M．(1)求集合M；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-． 【答案】（1）{|11}x x -<<（2）见解析 【解析】（1）原不等式等价于122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩或1221224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或21224x x x ≤-⎧⎨---<⎩ 解得：112x ≤<或112x -<< 所以原不等式的解集为{}11x x -<<（2）由（1）知，当,a b M ∈时，11a -<<，11b -<< 所以21a <，21b <从而()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--<可得1a b ab -<-12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±； （Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）34b b ==Ⅱ）见解析（Ⅲ）1p k == 【解析】（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b == 22213D ⇒=-=于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=所以34b b ==（Ⅱ）设数列{}n a 是等比数列，所以11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠）则22221n n a a q-= 若{}n a 为“平方等差数列”，则有()()22222222242211111n n n n n a a a qa q a qqD -----=-=-=因为D 为与n 无关的常数，所以21q = 即1q =±（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>则4D =，()()22114414n c c n D n n =+-=+-= n c ⇒=所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1...2n T =+假设存在正整数,p k 使不等式112n +>⎪⎭对一切*n N ∈都成立，即)21n+++>当1n =时，)121> 94p k ⇒+<又,p k 为正整数 1p k ⇒==) (21)++>对一切*n N ∈都成立()*2n N =>=∈所以：))...21 (2)1⎡⎤++>+++=⎣⎦所以存在1p k ==使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）()1,1- （Ⅱ）见证明 【解析】（Ⅰ）由31210x x ---+> 1213x x ⇒-++<1233x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-<⎩或11223x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+<⎩或133x x >⎧⎨<⎩ 112x ⇒-<≤-或112x -<<或x φ∈ 11x ⇒-<<所以函数()f x 的定义域D 为()1,1-． （Ⅱ）法一：()()()()222222221111a bab a b a b a b +-+=+--=--因为,a b D ∈，所以21a <，21b <． 故()()2210a bab +-+<，即()()221a b ab +<+所以1a b ab +<+．法二：当(),1,1a b D ∈=-时， ∴21a <，21b < ∴()()22110a b--<，即 22221ab a b +<+，∴()()2211a b ab a b ab +<+⇒+<+．14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->. 【答案】（1）(),6∞-；（2）见解析 【解析】（1）令15y x x =++-= 24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集， 则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6∞-． （2）证明：由,a b 为不相等的正数， 要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >， 只需证1a b b aab-->，整理得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立．15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）要证a b c ++≥,,0a b c >，因此只需证明()23a b c ++≥.即证：()22223a b c ab bc ca +++++≥，而1ab bc ca ++=， 故需证明：()22223a b c ab bc ca +++++≥ ()ab bc ca ++.即证：222a b c ab bc ca ++≥++.而这可以由ab bc ca ++≤ 222222222a b b c c a +++++= 222a b c ++（当且仅当a b c ==时等号成立）证得.∴原不等式成立.（2=.由于（1）中已证a b c ++≥≥.即证1，即证ab bc ca ≤++.而2ab ac+=≤，2ab bc +≤，2bc ca+≤.∴≤ ab bc ca ++（a b c ===时等号成立）.∴原不等式成立. 16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 【答案】（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明 【解析】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--= 所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++ =+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．【答案】（1）][(),22,-∞-⋃+∞；（2）见解析 【解析】 解：()()1223f x x x =++-，()311513313x x f x x x x x -+<-⎧⎪∴=+-≤≤⎨⎪->⎩，①当1x <-时，不等式()7f x ≥即为317x -+≥，解得，2x ≤-，②当13x -≤≤时，不等式()7f x ≥即为57x +≥，解得23x ≤≤， ③当3x >时，不等式()7f x ≥即为317x -≥，解得3x >综上所述，不等式()7f x ≥的解集为][(),22,-∞-⋃+∞()2证明：由()1可知，4a =，24m n ∴+=，即214m n+=，()121121412442444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即122m n+≥． 18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）左边()2223a b c =++由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==），即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证。
