2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题

第一讲 不等式一、知识扩展 1. 均值不等式.11121212122221nn n n n a a a na a a n a a a n a a a 2. 柯西不等式设),2,1(,,n i R b a i i ，则222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a当且仅当i b a b a b a nn 2211时，等号成立. 推论（1）当121 n b b b 时，22122221n n a a a a a a n可以推出.2122221na a a n a a a n n R a a a n ,,,21 （2）当nn a b a b a b 1,,1,12211时，22222122221111n a a a a a a nn（3）若R b a i i , ),,2,1(n i ，则221212211n n n n a a a b b b b a b a b a3. 排序不等式：两组实数n n b b b a a a 2121,，则有n n jn n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122111121，递序和≤乱序和≤顺序和.4. 琴生不等式：若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则 .)()()(2121n x f x f x f n x x x f n n5. 含有立方的几个不等式：Rc b a ,,（1）;2233ab b a b a （2）abc c b a 3333，);)((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a（3）;33333333cb ac b a abc c b a abc（4）2)(31c b a ac bc ab （c b a 时取等号）6. 常用不等式放缩法 （1）nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112 2 n（2）11121111 n n n n n n n n n1 n .二、例题解析<一>、不等式解析例1（2011年复旦大学千分考）设n 是一个正整数，则函数x nx x n在1轴正半轴上的最小值是（ ）A ．nn 1B ．12n n C ．nn 1D ．1n n例2：（2009清华）已知0,0,0 z y x ，c b a ,,是z y x ,,的一个排列，求证：3 zcy b x a例4：（山东2008预赛）若0,0,0 z y x ，且1 xyz . 求证：21111111 zy x .例5：（34届俄罗斯竞赛）设c b a ,,是△ABC 三边长，且0 m 求征：mc cm b b m a a例6：（学生练，35届俄罗斯）设1,0121ni in ix x x x 且求证：112 ni ix例7：（2010浙江大学）小于1的正数. n x x x x ,,,,321 )2( n且121 n x x x . 求证：41113322311 nn x x x x x x .例8：（2013复旦）设n a a a a ,,,,321 是各不相同的正自然数2 a .求证：21111321an a a a a a a a .10.(2014北约) 已知:123,,,n x x x x RL 且12 1.n x x x L 求证：121nn x x xL.11（2014华约）7. 已知：,.n N x n求证：21.nx x n n e x n<二>、不等式与方程例9：（2012北约）求1210272611 x x x x 的实根个数.例10：（2008同济）即方程组39246849222z y x z y x。

1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：333111abc+++abc ≥．2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c =m ,求证:a + 2b +3c ≥96、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。

证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。

8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >+>（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2223332． 【柯西不等式】例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求121121121+++++c b a 的最小值．变式：若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2：已知z y x ,,是正数．()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z zy y x x ，求证：1222222≥+++++zz y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：53222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zxyzxy211++的最大值．【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数，求证：ba c a cbc b a +++++≥++111212121．。

第12集利用均值不等式求最值——2018年高考数学江苏卷第13题利用均值不等式求最值是高考的高频考点，主要以选择题或填空题出现，全国卷以解答题作为选考出现，难度一般中档。

利用均值不等式求最值应同时满足三个条件：（1）一正，即各项或各因式为正；（2）二定，即和或者积为定值；（3）三相等，即各项或各因式能取到使等号成立的条件。

若题目直接满足均值不等式的条件，则直接使用均值不等式求得最值；若不能直接满足均值不等式的条件，则改变结构，通过代换创造使用均值不等式的条件；若一次使用均值不等式不能达到目的，则多次使用，但要注意取等一致。

下面以2018年高考数学江苏卷第13题为例。

一·套路二·脑洞本题借助三角形考查不等式求最值，涉及解三角形、均值不等式、柯西不等式等知识点，考查分析与应用能力、逻辑推理与计算能力，属于中档题。

法1，消元法，这是解决二元问题最直观的想法，将二元转化为一元，然后利用分离常数法构造使用均值不等式的条件，由均值不等式求出最小值。

法2，1的代换，借1代换是数学中一个非常有用的技巧，在三角函数中也经常使用，通过1的代换后构造使用均值不等式，进而求得最小值。

法3，万能设t法，这其实是一种主元的思想，通过t的代换，得到一个关于主元的一元二次方程，然后利用判别式求得t的范围。

法4，柯西不等式，柯西不等式简直就是解决最值问题的一把屠龙刀，干脆利索。

值得说明的是，均值不等式求最值的难点在于构造，常常使用“拆、拼、凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正、定、等”的条件。

三·迁移均值不等式求最值的类似题目不胜枚举，尤其是上述这种，几乎都是大同小异，所以下面随便举一例即可。

2018高考真题分类汇编：不等式1.【2018高考真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A2.【2018高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.A.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b B.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b C.若2a-2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a-2a=a b-3b ，则a ＜b 【答案】A3.【2018高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。

已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。

每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。

公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。

通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.4.【2018高考真题山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【答案】A5.【2018高考真题辽宁理8】设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大，最大值为55，故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。

该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。

专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd >>||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11a b+=． (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． 15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤（Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -…的解集包含]2,1[，求a 的取值范围． 19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲答案部分1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ． (2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ． 由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ．3．【解析】(1)1 3,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x<-时，①式化为2340x x--≤，无解；当11x-≤≤时，①式化为220x x--≤，从而11x-≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m xx x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，． 10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+…，得13x -剟.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a …时，①等价于13a a -+…，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤． 所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-， 即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-． 因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号． 故33ab+≥a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12+＜a ≤3．综上，a，52+）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<． （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为(-1，43]． 17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……1x ⇔…或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-…在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--…在[1,2]上恒成立22x ax ⇔---剟在[1,2]上恒成立 30a⇔-剟．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩， 即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤， 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-， 由题设可得2a -=1-，故2a =．。

专题4数列与不等式（2018全国1卷）4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.（2018北京卷）4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.（2018全国1卷）13. 若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.（2018全国2卷）14. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法.详解：作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.（2018天津卷）2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.（2018天津卷）4. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2018北京卷）12. 若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．【答案】3【解析】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.详解：作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.（2018天津卷）13. 已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． （2018江苏卷）13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.（2018浙江卷）12.若x ，y 满足约束条件，则z =x +3y 的最小值是________________________，最大值是_____________________ 12.答案：2- 8解答：不等式组所表示的平面区域如图所示，当42x y ì=ïïíï=-ïî时，3z x y =+取最小值，最小值为2-；当22x y ì=ïïíï=ïî时，3z x y =+取最大值，最大值为8.（2018全国1卷）14. 记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 详解：根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. （2018北京卷）9. 设是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 详解：点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. （2018浙江卷）10已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 410.答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<. ∴13a a >，24a a <.（2018江苏卷）14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.（2018全国2卷）17. 记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）a n=2n–9，（2）S n=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（2018全国3卷）17. 等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或（2）【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。

1、(2008江苏)设a ，b ，c为正实数，求证：333111a b c+++abc ≥ 2、（2010辽宁理数）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．4、（2013新课标Ⅱ）设均为正数,且,证明:(Ⅰ); (Ⅱ).5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c=m ,求证:a + 2b +3c ≥9 6、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x .(1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。

证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。

8.(2017天津) 若，，则的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >>>+是a b c d -<-的充要条件．10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．(Ⅰ)求a b c 的值； (Ⅱ)求2221149a b c 的最小值． 11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II +的最大值．【均值不等式】c b a ,,36)111(2222≥+++++cb ac b a c b a ,,例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x zz x y z y x z y x +++++≥++2223332． 【柯西不等式】例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求121121121+++++c b a 的最小值．变式：若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2：已知z y x ,,是正数．()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++zz y y x x ，求证：1222222≥+++++z z y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：53222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zx yz xy 211++的最大值． 【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数，求证：ba c a cbc b a +++++≥++111212121．。

E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质12.B7E1[2018·全国卷Ⅲ] 设a=log 0.20.3,b=log 2 0.3,则 ( )A .a+b<ab<0B .ab<a+b<0C .a+b<0<abD .ab<0<a+b12.B [解析] ∵a=log 0.20.3,b=log 20.3,∴1a=log 0.30.2,1b=log 0.32,∴1a+1b=log 0.30.4,∴0<1a+1b<1,即0<a+b ab<1,又∵a>0,b<0,∴ab<0,即ab<a+b<0,故选B .E2 绝对值不等式的解法 E3 一元二次不等式的解法2.A1,E3[2018·全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x 2-x-2>0},则∁R A= ( ) A .{x|-1<x<2} B .{x|-1≤x ≤2}C .{x|x<-1}∪{x|x>2}D .{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}2.B [解析] 因为A={x|x 2-x-2>0}={x|x>2或x<-1},所以∁R A={x|-1≤x ≤2}.E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题13.E5[2018·全国卷Ⅰ] 若x ,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y 的最大值为 .13.6 [解析] 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,当目标函数线z=3x+2y 经过可行域中的点A (2,0)时,目标函数z 取得最大值,所以z max =3×2+2×0=6.14.E5[2018·全国卷Ⅱ] 若x ,y 满足约束条件{x +2y -5≥0,x -2y +3≥0,x -5≤0,则z=x+y 的最大值为 .14.9 [解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y=-x+z 经过点A (5,4)时,直线的纵截距z 最大,所以z max =5+4=9.12.E5[2018·北京卷] 若x ,y 满足x+1≤y ≤2x ,则2y-x 的最小值是 . 12.3 [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示.由{y =x +1,y =2x,得交点坐标为(1,2),当目标函数线z=2y-x 过点(1,2)时,z 取得最小值,z min =2×2-1=3.2.E5[2018·天津卷] 设变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0,则目标函数z=3x+5y 的最大值为( )A .6B .19C .21D .452.C [解析] 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示.由{x +y =5,-x +y =1,解得{x =2,y =3,即A (2,3).由图知,当直线3x+5y-z=0过点A 时,z 取得最大值,故z max =3×2+5×3=21.故选C .12.E5[2018·浙江卷] 若x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .12.-2 8[解析] 作出如图中阴影部分所示的可行域,易知A (2,2),B (4,-2),C (1,1),目标函数表示斜率为-13的一组平行直线.由图可知,当直线x+3y-z=0经过点A 时,z 取得最大值,最大值为2+3×2=8;当直线x+3y-z=0经过点B 时,z 取得最小值,最小值为4+3×(-2)=-2.E6 2a b+≤13.E6[2018·天津卷] 已知a ,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b 的最小值为 .13.14 [解析] 由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a +18b ≥2√2a -3b =223=14,当且仅当a=-3,b=1时取等号.13.C8,E6[2018·江苏卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD=1,则4a+c 的最小值为 .13.9 [解析] 方法一:由∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,得∠ABD=∠CBD=60°.由S △ABC =S △BAD +S △BCD ,得12ac sin 120°=12a ·BD ·sin 60°+12c ·BD ·sin 60°,又BD=1,所以ac=a+c ,则1a +1c=1.而a>0,c>0,所以4a+c=(4a+c )1a +1c=4+4a c +c a +1≥5+2√4a c ·c a =9当且仅当4a c =ca ,即c=2a时,取等号.因此4a+c 的最小值为9.方法二:以B 为坐标原点,BD 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则D (1,0),A c 2,√3c 2,C a 2,-√3a2,故AD⃗⃗⃗⃗⃗ =1-c2,-√3c2,DC⃗⃗⃗⃗⃗ =a2-1,-√3a 2,又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1-c 2-√3a2=a 2-1-√3c2,整理得ac=a+c ,以下同方法一.E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用 E9 单元综合8.E9[2018·北京卷] 设集合A={(x ,y )|x-y ≥1,ax+y>4,x-ay ≤2},则 ( ) A .对任意实数a ,(2,1)∈A B .对任意实数a ,(2,1)∉A C .当且仅当a<0时,(2,1)∉A D .当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A8.D [解析] 当a=0时,A 为空集,排除A;当a=2时,(2,1)∈A ,排除B;当a=32时,作出可行域如图中阴影部分所示,由{x -y =1,32x +y =4,得P (2,1),又∵ax+y>4,取不到边界值,∴(2,1)∉A.故选D .3.[2018·四川广元一诊] “x>3且y>3”是“x+y>6”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.A [解析] 若“x>3且y>3”成立,则“x+y>6”一定成立.反之,若“x+y>6”成立,则“x>3且y>3”不一定成立.故“x>3且y>3”是“x+y>6”的充分不必要条件.9.[2018·成都二诊] 若x 为实数,则“√22≤x ≤2√2”是“2√2≤x 2+2x≤3”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.B [解析] 由2√2≤x 2+2x ≤3,解得1≤x ≤2,所以“√22≤x ≤2√2”是“2√2≤x 2+2x ≤3” 的必要不充分条件.2.[2018·山东济宁期末] 已知实数x ,y 满足条件{x -y ≥0,x +y ≥0,x ≤1,则z=y-(12)x的最大值为( )A .-32 B .-1 C .1 D .122.D [解析] 画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.由z=y-(12)x,得y=(12)x+z.平移曲线y=(12)x+z ,由图形可得,当曲线经过可行域内的点A 时,z 有最大值.由条件可得A (1,1),所以z max =1-12=12.5.[2018·龙岩质检] 设x ,y 满足约束条件{3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z=ax+y (a>0)的最大值为18,则a 的值为 ( ) A .3 B .5 C .7 D .95.A [解析] 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略),目标函数可化为y=-ax+z ,当直线y=-ax+z 经过点(4,6)时,z 有最大值,即z=4a+6=18⇒a=3.11.[2018·豫南九校一联] 已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x 2+y 2-4x+2y+1=0的圆心,则4a+2+1b+1的最小值为 .11.94[解析] 圆心坐标为(2,-1),代入直线方程得2a+2b=2,即a+b=1.不妨设m=a+2,n=b+1,则4a+2+1b+1=m+n m +m+n 4n =1+n m +m 4n +14≥2√n m ·m 4n +54=94,当且仅当m=2n 时等号成立.。