均值不等式习题大全

均值不等式习题一、选择题（共14小题；共70分）1. 若a>1，则a+1a−1的最小值是( )A. 2B. aC. 2√aa−1D. 32. 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( )A. √32B. √22C. 12D. −143. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每天的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件4. 下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A. x+12x B. x2−1+1x2−1C. 2x+2−xD. x(1−x)5. 设0<a<b，则下列不等式正确的是( )A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b6. 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是( )A. 3B. 4C. 92D. 1127. 已知a，b，c均为正数，且(a+c)(b+c)=2，则a+2b+3c的最小值为( )A. √2B. 2√2C. 4D. 88. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A. 5km处B. 4km处C. 3km处D. 2km处9. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，两次称得结果分别为a，b．设物体的真实质量为G，则( )A. a+b2=G B. a+b2≤G C. a+b2>G D. √ab<G10. 已知a>−1，b>−2，(a+1)(b+2)=16，则a+b的最小值是( )A. 4B. 5C. 6D. 711. 在下列函数中，最小值是2的是( )A. y=x5+5x(x∈R,x≠0) B. y=lgx+1lgx(1<x<10)C. y =3x +(13)x(x ∈R )D. y =sinx +1sinx(0<x <π2)12. 建造一个容积为 8 m 3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180 元和 80 元，那么水池的最低总造价为 ( )A. 1000 元B. 2000 元C. 2720 元D. 4720 元13. 若函数 f (x )=ax 2x−1(x >1) 有最大值 −4，则 a 的值是 ( )A. 1B. −1C. 4D. −4 14. 若 a >0，b >0，且 a +b =4，则下列不等式恒成立的是 ( )A.1ab≤14B. 1a+1b≤1C. √ab ≥2D. a 2+b 2≥8二、填空题（共4小题；共20分） 15. 若实数 x 满足 x >−4，则函数 f (x )=x +9x+4 的最小值为 ．16. 下列条件：① ab >0，② ab <0，③ a >0，b >0，④ a <0，b <0，其中能使 ba +ab ≥2 成立的条件的个数是 ．17. 如图，建立平面直角坐标系 xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx −120(1+k 2)x 2(k >0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．那么炮的最大射程为 km ．18. 若正实数 a ，b 满足 (2a +b )2=1+6ab ，则ab2a+b+1的最大值为 ．三、解答题（共2小题；共26分）19. 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室．在温室内，左、右两边及后边与内墙各保留 1 m 宽的通道，前边与内墙保留 3 m 宽的空地（如图所示），其余的地方（图中中间的小矩形）用来种植蔬菜，设矩形温室的一条边长为 x m ，蔬菜的种植面积为 S m 2，当 x 为何值时，S 取得最大值?最大值是多少?20. 已知a,b,c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：（1）(1a −1)(1b−1)(1c−1)≥8；（2）√a+√b+√c≤√3．第一部分 1. D2. C 【解析】由余弦定理知 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−12(a 2+b 2)2ab=a 2+b 24ab≥2ab 4ab =12．3. B4. C【解析】对于 A ，要分 x >0 和 x <0 两种情况，再分别用基本不等式求最值．对于B ，要分x 2−1>0 和 x 2−1<0 两种情况，再用基本不等式求最值．对于D ，只有当 0<x <1 时，才能用基本不等式求最值．对于 C ，因为 2x >0，2−x >0，且 2x ⋅2−x =1，所以可以用基本不等式直接求得最值． 5. B6. B【解析】考察均值不等式，x +2y =8−x ⋅(2y )≥8−(x+2y 2)2，整理得 (x +2y )2+4(x +2y )−32≥0，即 (x +2y −4)(x +2y +8)≥0，又 x +2y >0，所以 x +2y ≥4，当且仅当 x =2y 时，取得等号． 7. C 【解析】a +2b +3c =a +c +2(b +c )≥2√2(a +c )(b +c )=4． 8. A【解析】设仓库到车站的距离为 x ，有已知得 y1=20x，y 2=0.8x ，则费用之和 y =y 1+y 2=0.8x +20x≥2√0.8x ⋅20x=8，当且仅当 0.8x =20x，即 x =5 时等号成立．9. C【解析】设天平左、右臂长分别是 l 1，l 2，则 l 1⋅G =l 2⋅a ，l 2⋅G =l 1⋅b ，两式相乘得 G 2=ab ，所以 G =√ab ．由于 l 1≠l 2，故 a ≠b ，所以 a+b 2>√ab =G10. B【解析】因为 a >−1，b >−2， 所以 a +1>0，b +2>0， 又 (a +1)⋅(b +2)≤(a+1+b+22)2，即 16≤(a+b+32)2，则 a +b ≥5，当且仅当 a +1=b +2，即 a =3，b =2 时等号成立． 11. C12. B 【解析】设水池底面一边长为 x m ，则另一边为 4x m ，总造价 y =4×180+(4x +16x)×80=320(x +4x )+720≥1280+720=2000，当且仅当 x =4x ，即 x =2 时取等号． 13. B14. D 【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a +1b =a+b ab=4ab ≥1，选项B 不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，选项D 成立． 第二部分 15. 2【解析】因为 x >−4，所以 x +4>0，所以 f (x )=x +9x+4=x +4+9x+4−4≥2√(x +4)(9x+4)−4=2， 当且仅当 x +4=9x+4 即 x =−1 时取等号，故答案为：2． 16. 3【解析】要使 b a +a b ≥2 成立，需 b a >0，即 a 与 b 同号，故①③④均能使 b a +ab ≥2 成立． 17. 10【解析】令 y =0，得 kx −120(1+k 2)x 2=0，由实际意义和题设条件知 x >0，k >0，故 x =20k 1+k 2=20k+1k≤202=10，当且仅当 k =1 时取等号，所以炮的最大射程为 10 km ． 18. 16【解析】由题意可得：ab =(2a+b )2−16，故 ab2a+b+1=16⋅(2a+b )2−12a+b+1=16(2a +b −1)，而 ab =(2a+b )2−16≤12(2a+b 2)2，即 (2a +b )2≤4，所以 2a +b 的最大值为 2， 所以 ab 2a+b+1的最大值为 16．第三部分 19. 由题意，宽为 800x，S =(x −4)(800x−2)，S =800−2x −3200x +8， S =808−2(x +1600x)，S ≤808−2×2√x ⋅1600x=648，当且仅当 x =40 时，等于成立 所以最大为 648 m 2，x =40． 20. （1） 因为 a,b,c ∈(0,+∞)，所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， (1a −1)(1b −1)(1c −1)=(b+c )(a+c )(a+b )abc≥2√bc⋅2√ac⋅2√ababc=8．（2） 因为 a,b,c ∈(0,+∞)，所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， 2(a +b +c )≥2√ab +2√bc +2√ac ，两边同加 a +b +c 得 3(a +b +c )≥a +b +c +2√ab +2√ac +2√bc =(√a +√b +√c)2又 a +b +c =1，所以 (√a +√b +√c)2≤3， 所以 √a +√b +√c ≤√3．。

均值不等式习题1.若x 2+y 2=4，则xy 的最大值是 ( ) A. B.1 C.2 D.42．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．123．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x >2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－54、设,x y R ∈,且4x y +=,则33x y +的最小值为( ) A. 10 B. 63 C. 83 D. 185、若01,01a b <<<<,且a b ≠,则22,2,2,a b ab ab a b ++中最大的是( )A. 22a b +B. 2abC. 2abD. a b +6．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－47.已知当x=3时，代数式4x+(x>0，a>0)取得最小值，则a=________.8.(4分)已知x>0，y>0，且满足+=1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________.9.(4分)已知x>0，y>0，且xy=100，则x+y的最小值为________. 10已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．11.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是12.已知x>0，y>0且+=1，则x+y的最小值为________. 13．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．14．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．15．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．16．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N＋)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？答案1【解析】选C.xy ≤=2，当且仅当x=y 时取“=”.2 C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]3 答案 C 解析 由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．4答案：D ：∵30,30x y >>,∴233233232318x y x y x y ++≥⋅=⨯=⨯=,当且仅当2x y ==时取等号.5答案：D 解析：方法一 ∵01,01a b <<<<,且a b ≠,∴22222,2,,a b ab a b ab a a b b +>+>>>,∴22a b a b +>+,故选D.方法二取11,23a b ==,则221336a b +=,6152,2,336ab ab a b ==+=,显然56最大,故选D.6 B [∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.] 7 4x+≥2=4(x>0，a>0)，当且仅当4x=，即x=时等号成立，所以=3，即a=36.8因为x>0，y>0且1=+≥2，所以xy ≤3.当且仅当==，即x=，y=2时取等号.：3 29【解析】x+y ≥2=20，当且仅当x=y=10时取“=”.答案：2010 12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．]11【解析】设矩形的一边为x m ，则另一边为×(20-2x)=(10-x)m ，所以y=x(10-x)≤=25，当且仅当x=10-x ，即x=5时，y max =25 m 2.答案：25 m 212【解析】因为x>0，y>0，所以x+y=(x+y)=3++≥3+2(当且仅当y=x 时取等号)，所以当x=+1，y=2+时，x+y 的最小值为3+2.答案：3+213 1 760 [设水池的造价为y 元，长方体底面的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．] 14 [解] (1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 15[解] (1)法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.法二：因为x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，所以xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，所以xy ≥8xy ，所以xy ≥8，xy ≥64.当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立，所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.。

均值不等式之杨若古兰创作均值不等式别名基本不等式、均值定理、主要不等式.是求范围成绩最有益的工具之一，在方式上均值不等式比较简单，但是其变更多样、使用灵活.特别要留意它的使用条件（正、定、等）.1. (1)若R b a ∈,，则ab b a222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3. 均值不等式链：若b a 、都是负数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立.（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 技巧2：分离配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域.技巧4：全体代换 例 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 典型例题 1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为. 7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若负数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 2859. 若0,0,2a b a b >>+=，则以下不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.以下命题中准确的是A 、1y xx =+的最小值是2B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2- 12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。

均值没有等式之阳早格格创做均值没有等式又名基原没有等式、均值定理、要害没有等式.是供范畴问题最有利的工具之一，正在形式上均值没有等式比较简朴，然而是其变更百般、使用机动.更加要注意它的使用条件（正、定、等）.1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时与“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时与“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时与“=”）3. 均值没有等式链：若b a 、皆是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号创造.（注：以上四个式子分别为：调战仄衡数、几许仄衡数、代数仄衡数、加权（仄圆）仄衡数）一、 基原本领本领1：凑项例 已知54x <，供函数14245y x x =-+-的最大值. 本领2：分散配凑例 供2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 本领3：利用函数单调性例 供函数2y =的值域.本领4：完全代换 例 已知0,0x y >>，且191x y+=，供x y +的最小值. 典型例题1. 若正真数X ，Y 谦脚2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等好数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若没有等式x 2+ax+4≥0对于十足x ∈（0，1］恒创造，则a 的与值范畴为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若曲线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）仄分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈，且谦脚134x y +=，则xy 的最大值为. 7. 设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 谦脚x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 2859. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列没有等式对于十足谦脚条件的,a b 恒创造的是(写出所有精确命题的编号)．①1ab ≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b +≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中精确的是A 、1y xx=+的最小值是2B 、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。

均值不等式 【2 】均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）.1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数）一、 根本技能技能1：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性例求函数2y =的值域.技能4：整体代换例 已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 典范例题1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈,且知足134x y +=,则xy 的最大值为.7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤; ②≤; ③ 222a b +≥; ④333a b +≥; ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞,则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中准确的是 A.1y xx =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.423(0)y x x x =-->的最大值是2-D.423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=,则24x y +的最小值是______。

均值不等式之五兆芳芳创作 均值不等式又名根本不等式、均值定理、重要不等式.是求规模问题最有利的东西之一，在形式上均值不等式比较复杂，但是其变更多样、使用灵活.尤其要注意它的使用条件（正、定、等）. 1. (1)若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab （当且仅当ba时取“=”） 2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2

（当且仅当ba时取“=”） (3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“=”） 3. 均值不等式链：若ba、都是正数，则

2211222babaabba

，当且仅当ba时等号成立.

（注：以上四个式子辨别为：调战争均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数） 一、 根本技能 技能1：凑项 例 已知54x，求函数14245yxx的最大值. 技能2：别离配凑 例 求2710(1)1xxyxx的值域. 技能3：利用函数单调性 例 求函数2254xyx的值域. 技能4：整体代换 例 已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值. 典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值规模为( ) A.,0B.,4C.,5D.

4,4

4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，

则a2+b1的最小值是( )

A.1 B.5 C.42D.3+22

5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是.

.均值不等式2 21. （1）若 a,b • R ，则 a 2 b 2 _2ab （2）若a,b ・ R ,则 ab ・：：a-（当且仅当 a 二 b 时取“二”）22. （1）若a,b ・R *，则 U _ . ab ⑵ 若a,b ・R *，则a • b _ 2 ab （当且仅当a = b 时取“=”）2（3）若a,b • R *，则ab 空 口 （当且仅当a =b 时取“=”） 飞2丿113. 若x 0，则x 2 （当且仅当x = 1时取“=”）；若x ::: 0，则x 2 （当且仅当x = -1时取“=”）xx若x^O ，则x +1艺2即x +1^2或X +丄兰-2 （当且仅当a = b 时取“=”）xxx3.若ab .0,则a b_2 （当且仅当a =b 时取“=”） b a4.若 a,b • R ，则（-a b）2£ （当且仅当 a = b 时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”（3） 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值例1 :求下列函数的值域1 1（门 y =3x 2+ 衣 （2）y = x + x(2 )当 x >0 时，y = x +1>2寸x • x = 2;当 x v 0 时， y = x +1= —（— x - x ） w — 2 •••值域为（一a ，— 2] U [2，+s ）解题技巧： 技巧一：凑项54例1 :已知x，求函数 y =4x —2 • -------- 的最大值。

4 4x -5解:因4x-5：：：0，所以首先要“调整”符号，又（4X -2）〉^ 不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,4x —5x ：：5,. 5—4x 0，. y=4x —2-5—4x -3 岂一2 3=14 ' 4x-55-4x1当且仅当5-4x 丄，即x=1时，上式等号成立，故当 x=1时,5 -4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

均值不等式基础练习题填空题（每题5分，共100分）1.,0,2,_____.2.,0,4,_____.13.4,_____.444.0,_____.5.,0,3,_____.6.,0,3,_____.a b a b a b a b a b a b a a a a a aa b a b ab a b a b a b ab a b >+=⋅>⋅=+>+-<+>++=⋅>++=+已知且则的最大值是已知且则的最小值是已知则的最小值是已知则的最大值为已知且则的最大值是已知且则的最小值是 22117.0,_____.2sin cos x x xπ<<+已知则的最小值为33118.0,0,,_____.119.0,0,,______.a b a b a b a b a b a b a b>>+=++>>=++设且则的最小值是设则的最小值是 2110.0,_____.()a b a b a b >>+-已知则的最小值是4222211.,0,21,_____.12.log (34)log 43_____.13.,,0:632_____.x y x y x ya b a b a b c a ab bc ca a b c >+=++=+>+++=+++已知且则的最小值为若则的最小值为已知且满足则的最小值为1114.,,1,1,3,_____.x y x y R a b a b a b x y∈>>==+=+设若且则的最大值为12105615.{},0,30,_____.n n a a a a a a a >+++=⋅ 在等差数列中且则的最大值是1116.0,0,lg 2lg8lg 4,_____.3x y x y x y>>+=+已知且则的最小值是 2221217.,,0,340,,_____.xy x y z x xy y z z x y z >-+-=+-已知且则当取最大值时的最大值为122918.,1,_____.12a b a b a b +=+--若正数满足则的最小值为 41119.4[,2],______.4x x a a x +≥若关于的不等式在区间上恒成立则的范围是1220.||||13(0),_____.x x a a x R aa ++-≥>∀∈若不等式对恒成立则的取值范围是。

学习必备 欢迎下载 均值不等式 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。

1. (1)若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab （当且仅当

ba

时取“=”） 2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若

*

,Rba

，则abba2 （当且仅当ba

时取“=”）

(3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“=”）

3. 均值不等式链：若ba、都是正数，则2211

222babaabba

，当且仅当ba

时等号成立。 （注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）

一、 基本技巧 技巧1：凑项 例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1xxyxx的值域。 学习必备 欢迎下载 技巧3：利用函数单调性 例 求函数2254xyx的值域。

技巧4：整体代换 例 已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。

典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围为( ) A.,0 B.,4 C.,5 D.4,4 4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则a2+b1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .

均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式及其应用练习题（1）1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则()A.a=2，b=4B.a=2，b=−4C.a=−2，b=4D.a=−2，b=−42. 在下列函数中，最小值是2的是()A.y=x2+2xB.y=√x2+2√x2+2C.y=7x+7−xD.y=x2+8x(x>0)3. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√34. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)5. 若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A. B.e x>e x−y C.x n<y n，n∈N∗ D.log x y>log y x6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y =a 2−2a+2a−1(a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2C.y =x 2+1x2D.y =x2+2x7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________．8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1x+1y +3xy=1，则x +y 的最小值为________．9. 定义max {a,b}={a(a ≥b)b(a <b)，已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，设z =max {x +y, 2x −y}，则z 的取值范围是________．10. 若实数a >b ，则下列不等式正确的是________.(填序号) (1)a +c >b +c ；(2)ac <bc ；(3)1a<1b ；(4)a 2>b 2.11. 已知函数f(x)＝−2x 2+7x −3． （1）求不等式f(x)>0的解集；（2）当x ∈(0, +∞)时，求函数y =f(x)x的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系式为y =−x 2+18x −25(x ∈N ∗)．则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求最大值．13. 设函数y ＝ax 2+bx +3(a ≠0)．（1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1, 3)，求a ，b 的值；（2）若a +b ＝1，a >0，b >0，求1a +4b 的最小值．参考答案与试题解析均值不等式及其应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】由对称轴是x=1可得b2a=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，从而解得结果．【解答】解：∵对称轴是x=1，∴b2a=−1.∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．2.【答案】C【考点】基本不等式【解析】由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．【解答】解：A，x的正负不确定.当x>0时，y的最小值为2，故错误；B，当取等号时x2+2=1，即x2=−1，不存在实数x满足，故错误；C，y=7x+7−x≥2√7x⋅7−x=2，当且仅当7x=7−x，即x=0时取等号，故正确．D，y=x2+8x (x>0)≥2√x2⋅8x=4√2x，积不是定值，故错误.故选C.3.【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.二、多选题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）4.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得：CD2=AC⋅BC，因为OD≥CD，所以a+b2≥√ab(a>0, b>0)．由于CD2=DE⋅OD，所以DE=CD 2OD =aba+b2，所以由CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b(a>0, b>0)．故选AC.5.【答案】A,B,C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A，y=a 2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B，y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C，y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D，当x<0时，无最小值，故D错误．故选AC.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）7.【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】由基本不等式可得4＝2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，即可求解．【解答】解：由基本不等式可得，4=2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，当且仅当x=2y且2x+4y=4，即y=12，x=1时取等号，∴2x+2y≤4，∴x+2y≤2.则x+2y最大值是2．故答案为：2.8.【答案】6【考点】基本不等式及其应用【解析】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+3，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+(3)又因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2≥x+y+3，，即(x+y)2−4(x+y)−12≥0，即(x+y−6)(x+y+2)≥0，所以x+y≤−2或x+y≥(6)又因为x，y均为正实数，所以x+y≥6（当且仅当x＝y＝3时，等号成立），即x+y 的最小值为（6）9.【答案】[3√55, √5]不等式比较两数大小【解析】直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+ y，点(x, y)在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x−y，点(x, y)在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：(x+y)−(2x−y)=−x+2y，设方程−x+2y=0对应的直线为AB，∴Z={x+y,(−x+2y≥0)2x−y,(−x+2y<0)，直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点(x, y)在半圆ACB上及其内部，如图求得−3√55≤z1≤√2；令z2=2x−y，点(x, y)在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得−3√55≤z2≤√5．如图综上可知，z的取值范围为[−3√55, √5]；故答案为：[−3√55, √5]10.【答案】(1)不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：已知a>b，则a+c>b+c，(1)正确；当c≥0时，(2)显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，(3)显然无意义；取a=1，b=−2可知a2<b2，(4)不正确．故答案为：(1).四、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）11.【答案】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√62时，y取得最大值为7−2√6．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x =√62时，y 取得最大值为7−2√6．12. 【答案】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】确定年平均利润函数，利用基本不等式求函数的最值，即可得到结论． 【解答】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 13.【答案】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根， 故{−ba =23a=−3 ，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4ab且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9． 【考点】基本不等式及其应用 【解析】（1）由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，结合方程根与系数关系可求；（2）由已知可得1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b，然后利用基本不等式即可求解．【解答】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，故{−ba =23a =−3，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4a b且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9．。

均值不等式练习题
1.在下列函数中，当0x >时，最小值为4的是（ ）
A.4y x
x
=+ B.1lg lg y x x =+ C.y = D.223y x x =-+ 2.若0>x ，则x
x 2+的最小值为 3.建造一个容积为18 m 3，深为2 m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分
别为200元和150元，那么水池的最低造价为________元．
4.长为24 cm 的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为________．
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_____;费用最小值为_____
6.已知0,0>>b a ，且14=+b a ，求ab 的最大值；
7.用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？
8.当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1x+1的最小值.
9.用篱笆围成一个面积为64的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆长是多少？。