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椭圆的简单几何性质典型例题[1]

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1 / 20 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，

椭圆的标准方程为：11422yx； （2）当02，A为短轴端点时，2b，4a， 椭圆的标准方程为：116422yx； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222cac ∴223ac，

∴3331e． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为1222yax， 2 / 20

由101222yaxyx，得021222xaxa， ∴222112aaxxxM，2111axyMM， 4112axyk

MM

OM，∴4

2a，

∴1422yx为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆192522yx上不同三点11yxA，，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列． （1）求证821xx； （2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 证明：（1）由椭圆方程知5a，3b，4c．

由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12，

∴ 11545xexaAF． 同理 2545xCF． ∵ BFCFAF2，且59BF，

∴ 51854554521xx， 即 821xx． （2）因为线段AC的中点为2421yy，，所以它的垂直平分线方程为 3 / 20

42212121xyyxxyyy．

又∵点T在x轴上，设其坐标为00，x，代入上式，得 21

2221024xxyyx



又∵点11yxA，，22yxB，都在椭圆上， ∴ 212125259xy 222

225259xy

∴ 21212221259xxxxyy． 将此式代入①，并利用821xx的结论得

253640x

∴ 4540590xkBT．

典型例题五 例5 已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M存在，设11yxM，，由已知条件得

2a，3b，∴1c，21e．

∵左准线l的方程是4x， ∴14xMN． 又由焦半径公式知： 4 / 20

1112

12xexaMF，

1122

12xexaMF．

∵212MFMFMN， ∴11212122124xxx． 整理得048325121xx． 解之得41x或5121x． ① 另一方面221x． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设sin3cos2，M存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

典型例题六 例6 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky．代入椭圆方程，并整理得 0232122212222kkxkkxk．

由韦达定理得22212122kkkxx． ∵P是弦中点，∴121xx．故得21k． 所以所求直线方程为0342yx． 5 / 20

分析二：设弦两端坐标为11yx，、22yx，，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy．

解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，，则由题意得





④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，，，

①－②得0222212221yyxx． ⑤ 将③、④代入⑤得212121xxyy，即直线的斜率为21． 所求直线方程为0342yx． 说明： （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七 例7 求适合条件的椭圆的标准方程． （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222byax求出1482a，

372b，在得方程13714822yx后，不能依此写出另一方程13714822xy． 6 / 20

解：（1）设椭圆的标准方程为12222byax或12222bxay． 由已知ba2． ① 又过点62，，因此有

1622222ba或1262222

ba． ②

由①、②，得1482a，372b或522a，132b．故所求的方程为 13714822yx或1135222xy．

（2）设方程为12222byax．由已知，3c，3cb，所以182a．故所求方程为191822yx． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222byax或12222bxay．

典型例题八 例8 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标． 分析：本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得

最小值．一般地，求MFeAM1均可用此法． 解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl：．

过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故

MFMQ2．显然MFAM2的最小值为AQ，即M 7 / 20

为所求点，因此3My，且M在椭圆上．故32Mx．所以332，M． 说明：本题关键在于未知式MFAM2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．

典型例题九 例9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：椭圆的参数方程为.sincos3yx，设椭圆上的点的坐标为sincos3，，则点到直线的距离为

263sin226sincos3d．

当13sin时，22最小值d． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

典型例题十 例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e，已知点230，P到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标． 分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

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椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）123111,,r r r 成等差数列 （D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是 （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

40分钟课时作业 椭圆的简单几何性质(一)答案

40分钟课时作业 椭圆的简单几何性质(一)答案

40分钟课时作业 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A.7,2，357B.14,4，357C.7,2，57D.14,4，57 答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式为x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.所以椭圆长轴长，短轴长，离心率依次为14,4，357.2.已知焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 2＝1，其离心率为32，则实数m 的值是( )A.4B.14C.4或14D.12答案 B 解析 ∵焦点在y 轴上，∴a 2＝1，b 2＝m ，∴e ＝ca＝1－b 2a2＝1－m ＝32，∴m ＝14. 3.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A 解析 依题意得c ＝25， a ＋b ＝10 ，又a 2＝b 2＋c 2，从而解得a ＝6，b ＝4. 所以所求椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.4.椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD.－21－mm －1答案 C解椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm .5.设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上，若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 23＋y 24＝1D.x 212＋y 216＝1答案 B 解析 由题意知c a ＝12，①2a ＋2c ＝12，②由①②可知，a ＝4，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝23，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.6.从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32答案 C解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，则k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，∵OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－ba ，即y 0＝bc a .把P (－c ，bc a )代入椭圆方程，得(－c )2a 2＋(bc a )2b 2＝1，∴(c a )2＝12，∴e ＝c a ＝22.7.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B | 的值是( ) A.98a B.99a C.100a D.101a 答案 D解析 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1P 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B | ＝2a ，|F 1P 50|＝a,50×2a ＋|F 1P 50|＝101a . 二、填空题8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围是________.答案 (2,4] 解析 ∵e ＝1－b 2a2＝1－1a2，∴0<1－1a 2≤32，得1<a ≤2，∴2<2a ≤4. 9.若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为___答案 x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1解析 由题意可知a ＝2b ，c ＝1，所以1＋b 2＝4b 2，故b 2＝13，a 2＝43，则此椭圆的标准方程为x 243＋y 213＝1或x 213＋y 243＝1.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________.答案5－12解析 ∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∴∠BAO ＝∠FBO ，∴tan ∠BAO ＝tan ∠FBO ， 即b a ＝c b ，得b 2＝ac ，∴a 2－c 2＝ac ，即e 2＋e －1＝0，∵0<e <1，∴e ＝5－12. 11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为__答案6解析 由题意，得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204).因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 204＋x 0＋3.此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.三、解答题12.已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质.解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率e ＝35.13.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B (如图).(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.解 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ， e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0).其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y ).由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2).将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。

【练习】椭圆的简单几何性质练习题

【练习】椭圆的简单几何性质练习题

椭圆的简单几何性质练习题一、选择题(共5个小题，每小题只有一个正确答案)1. 若0m n >>，则方程221mx ny +=表示曲线是（ ）A 焦点在X 轴上的椭圆B 圆C 焦点在y 轴上的椭圆D 无法确定2. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的顶点 B. 相同的焦点 C. 相同的范围 D. 相同的长轴3. 点()1,a A 在椭圆12422=+y x 的内部，则a 的取值范围是（ ）A. 2-＜a ＜2B. a ＜2-或a ＞2C. 2-＜a ＜2D.1-＜a ＜14. 椭圆131222=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ） A. 43± B. 22±C. 23±D. 43± 5.设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ ）A ．4B ．6C ．22D ．24 6.若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0), F 2 (2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）A.22B. 13C. 12D.327. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为 （ ）A.112814422=+y x 或114412822=+y x B. 14622=+y x C. 1323622=+y x 或1363222=+y x D. 16422=+y x 或14622=+y x8.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．2(0,)2 D ．2[,1)29.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．22 C ．13D ．1210.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月 球， 在月球附近一点P 处进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 变点第二次变轨进入仍以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是 （ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．33 C ．12 D ．1312.设椭圆22221x y m n +=的一个焦点为()2,0，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( )A.2211216x y += B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y +=13.如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D, 且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( )A. 213-B. 215- C. 215- D. 2314．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2），过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y x C ．014494=-+y x D ． 014449=-+y x 15.已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A.23B.62C.72D.2416.设椭圆1a x 2222=+by (a ＞b ＞0)的离心率为21=e ，右焦点为F(c ，0)，方程20ax bx c +-= 的两个实根分别为1x 和2x ，则点P 12x x （，）（ ）A.必在圆222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上三种情形都有可能 二、填空题(共3个小题)17.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 .18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存 在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆离心率的取值范围为19.椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .20.巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．21. 椭圆1422=+y x 上一点P ，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍，则点P 的横坐标是22.已知地球运行的轨道是长半轴长81050.1⨯=a km,离心率0192.0=e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大和最小距离分别为 ， .23.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O为圆心，a 为半径的圆，过椭圆准线与x 轴的交点作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．24.已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若1222=+B F A F ，则AB =______________.25．直线12y x =-被椭圆2244x y +=截得的弦长为 . 26. 直线2-=kx y 与椭圆80422=+y x 相交于不同的两点P 、Q ，若PQ的中点横坐标为2，则直线的斜率等于 . 三、解答题(共3个小题)27. 已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标；（2）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围.28. P 是椭圆2214x y +=上的点，求P 到直线l ：2380x y +-=的距离的取值范围.29. 设椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为2，点A （a ，0），B （0，b -），原点O 到直线AB 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点C 为（a -，0），点P 在椭圆M 上（与A 、C 均不重合），点E 在直线PC 上，若直线PA 的方程为4y kx =-，且0CP BE ⋅=，试求直线BE 的方程．14如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接ACPA 的斜率为k.（1）当直线PA 平分线段MN （2）当k=2时，求点P 到直线AB （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB.。

椭圆及其简单几何性质

椭圆及其简单几何性质

椭圆及其标准方程1。

平面内 ，叫做椭圆。

叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。

2。

根据椭圆的定义可知：集合{}A MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a ,为常数。

当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段；当 时，集合P 为空集。

3。

焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。

焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。

其中c b a ,,满足关系为 。

练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a b ==y 轴上；⑶10,a b c +==例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程.1162522=+y x 116914422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0,,22<=+C B A C By Ax例2 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。

当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。

轨迹是什么图形？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程..知识小结：1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程2、椭圆的标准方程有两种，注意区分3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法4、求椭圆标准方程的方法写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=.椭圆的简单几何性质1.范围方程中x 、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。