概率论与数理统计 第二章 考研真题
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例1（2010考研真题）设随机变量X 的分布函数()0, <01, 0<12
1-e , 1
x x F x x x -⎧⎪⎪
=≤⎨⎪⎪≥⎩．则
{}1
112
P X e -==
-． 解 根据分布函数的性质，有
{}{}{}()()11
11111110122
P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--
=-。
例 2（2000考研真题）设随机变量1
,[0,1]32
(),[3,6]9
0,x X f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩
的概率密度为其他，
若k 使得2
{}3
P X k ≥=
．则k 的取值范围是[1,3] ． 解 若,0<k 则根据密度函数的定义，有
,3
213231)()()(}{6
3
10
≠=+=
+==≥⎰⎰⎰
∞
+dx x f dx x f dx x f k X P k
若由时当,10,0≤≤≥k k
1
631212
{}()(1)1,13933
k k P X k f x dx dx dx k k +∞
≥==+=-+==⎰⎰⎰得，
13,k <≤当时由假设6322
{}(),193
k P X k f x dx dx k +∞≥====⎰⎰得，
即：13,k ≤≤当时结论成立．
由时当,63≤<k 3
2
)6(929
2
)(}{6<-=
==≥⎰
⎰
∞
+k dx dx x f k X P k k
；即,63时当≤<k 结论不成立．同理6>k 时，结论也不成立．
综上所述，k 的取值范围是[1，3]．
例3（2008考研真题）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布．则(){
}2
1
12
P X E X
e -==．
解 由()1,X P 知()()1,E X D X ==()
()()22
[]2,E X D X E X =+=
所以(){
}{}2
1
1
22
P X E X
P X e -====．
例 4 （1990考研真题）某地抽样调查表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，
平均成绩为72分；96分以上占考生总数的2．3％．试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率．
其中)(x Φ是标准正态分布函数．
解 设X 表示考生的外语成绩，由已知X ～),,72(2σN 现求2
σ．因为
023.0)24
(
1}72
9672
{
1}96{1}96{=Φ-=-≤
--=<-=≥σ
σ
σ
X P X P X P ，
有224
24
(
)0.977,2,12,(72,12)X N σσ
σ
Φ===查表得
故服从正态分布，
于是，所求概率为
607272847272
{6084}{
}{11}1212X X P X P P σσ
----≤≤=≤≤=-≤≤(1)(1)2(1)120.84110.682=Φ-Φ-=Φ-≈⨯-=．
例5 （1995考研真题）设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：X e Y 21--=在区间(0,1)上服从均匀分布．
证明 已知22,0
()0,
x X e x f x -⎧>=⎨⎩其他，又}1{}{)(2y e P y Y P y F X Y ≤-=≤=-，
当0,()0Y y F y ≤=时有； 当1,()1Y y F y ≥=时有； 当10<<y 时，有
)}1ln(2
1
{}2)1{ln(}1{)(2y X P X y P y e P y F X Y --≤=-≤-=≤-=-
dx e dx x f x y X y 2)1ln(210
)1ln(212)(-----∞-⎰
⎰==， 故 1ln(1)22
00,
0()2,011,1y x Y y F y e dx y y ---≤⎧⎪⎪
=<<⎨⎪≥⎪⎩
⎰， 1,01
()()0,Y Y y f y F y <<⎧'==⎨
⎩其他
，即Y 在区间(0,1)上服从均匀分布．。
