摄动方法——及其在某些力学问题中的应用

第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法§6.1 概述工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。

这些情况都有一个共同的特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。

结构参数的小变化所引起的结构振动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。

经典的方法是每修改一次方案就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。

这对于大型结构的振动分析，是非常麻烦的。

我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。

矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。

§6.2 孤立特征值的摄动法对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解：（6－1）分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第个特征值，为第阶固有频率，为第阶特征向量（固有模态）。

结构参数的变化或修改设计一般通过刚度矩阵和质量矩阵的改变反映出来。

即（6－2）（6－3）称为小参数。

先看是单根的情形。

上标代表第个根，下标代表参数未变化的原结构。

从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参数展开为：（6－4）代入方程（6－1），略去以上的项，比较同次幂的系数，得到： }]{[}]{[)(00)(0)(00i i i u M u K λ=][],[00M K i 2)(0)(0)(i i ωλ=)(0i ωi }{)(0i u i ][][][10M M M ε+=][][][10K K K ε+=ε）（i 0λ)(i i 0)(ε+++=+++=)(22)(1)(0)()(22)(1)(0)(}{}{}{}{i i i i i i i i u u u u λεελλλεε)(2εO ε（6－5）（6－6）（6－7）、、、分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶摄动。

常微分方程摄动问题《常微分方程摄动问题》本文主要介绍了常微分方程摄动问题，包括常微分方程摄动问题的基本概念和特点、稳定性判定和研究方法等。

一、常微分方程摄动问题的基本概念常微分方程摄动问题是一种特殊的摄动问题，主要是指一类具有常微分方程形式的摄动系统的稳定性分析与研究。

摄动问题是指涉及时变事件或者外界扰动对系统稳态运行过程的影响以及系统稳定性研究的问题。

二、常微分方程摄动问题的特点（1）特殊性：常微分方程摄动问题是一类具有常微分方程形式的摄动系统的稳定性分析与研究。

（2）复杂性：常微分方程摄动问题的计算过程比较复杂，尤其是当摄动冲击或野外扰动的影响较大时，这种复杂性会更为明显。

（3）灵活性：由于常微分方程摄动问题涉及到摄动变量的变化，因此摄动系统的参数也可以随时变化，从而使常微分方程摄动问题具有很高的灵活性。

三、稳定性判定（1）稳定性判定条件：常微分方程摄动问题的稳定性判定条件主要有（a）能量稳定条件；（b）位置稳定条件；（c）速度稳定条件；（d）参数稳定条件；（e）轨迹稳定条件；（f）控制系统稳定条件；（g）非线性系统稳定条件。

（2）稳定性判定过程：①为方便讨论，先将常微分方程摄动问题抽象为某种类型的摄动系统，并给出系统各参数的确定。

②确定摄动冲击或野外扰动引起的轨迹变化，并用数学模型给出摄动过程的基本参数。

③确定各参数稳定性，包括能量、位置、速度、参数、轨迹和控制系统的稳定性判定。

④通过稳定性判定结果，确定摄动系统的稳定性。

四、研究方法（1）数值法：使用数值法研究常微分方程摄动问题，主要是指用数值求解摄动系统的微分方程，以获得系统各参数随时间变化的状态，并从中分析出系统的稳定性。

（2）图像法：常微分方程摄动问题的研究中，还可以使用图像法，即专家调整系统参数，采用视觉图表形式来查看摄动系统的变化，并从中推断出系统的稳定性判断。

（3）结合法：通常情况下，常微分方程摄动问题的稳定性分析不仅需要用数学和图像法，而且还需要结合数学和图像法，以获得最终的稳定性判断结果。

||
(dh) p
×h p
||
1 hp
因此节线转动的角速率，即升交点赤经 Ω 的变化率等于这个分量除以 hpdt ，有
dΩ dt
=
1 hp2
||
⎛ ⎜⎝
dh dt
⎞ ⎟⎠ p
×hp
||
（6.15）
公式（6.13），（6.11）说明，只有法向摄动力才能改变动量矩 h 的方向，变化
方向沿 ur 的负方向，因此动量矩投影的变化率等于
们等于引力位函数U (r,α ,ϕ ) 沿这三个方向的导数，以 dsr , dsα , dsϕ 表示沿这三个
方向的微分，有如图 6.1 所示的几何关系，有
dsr = dr, dsα = r cosϕdα , dsϕ = rdϕ
因此，这三个引力分量与卫星坐标的关系是
Fr
=
∂U ∂r
,
Fα
=
1 r cosϕ
da dt
=
2esin f n 1− e2
Fr
+
2a
1− e2 nr
Ft
（6.10）
摄动力使卫星相对于地心的动量矩不再守恒，动量矩的变化率等于摄动力相对于地
心的力矩：
dh dt
=
r
×
F′
=
rFt u n
−
rFnu t
（6.11）
径向摄动力产生的力矩为零，上式中不包含 Fr ，而动量矩 h 的方向与 un 平行，它
&r&
=
−
Gm r3
r
+
gardR
当摄动力不存在势时，将直接用摄动加速表示摄动力的作用。
（6.1）
在叙述各种摄动函数的形式及其对卫星运动的影响之前，先推导卫星的摄动方

而位相 1 2 t
1 2 ,
t
是小量， 2是高阶小量
故 ~ 1 快变过程！
t
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总之，x依赖于不同的时间变量t, t， 2t, , 以及 本身，故可取
不同的时间变量 T0 ,T1,T2 ,.... 即：
Tn nt
（n＝1，2，3….）
这就是多尺度方法，实际上是同时考虑了快过程和慢过程。
决于（t ） T1 ，而位相取决于 T2 ( 2t) ，两者是变化快慢不同的两个
过程。
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考虑（13 f .20）: x aet cos( 1 2 t ),
振幅A aet , 故振幅的变化为
A aet A,即 1 A 缓变过程！
t
A t
故通常用 1 A 表示振幅的变化程度。 A t
——（13.3）
16
当然，类似的还有 l， m
y
z
称：k, 为常数的波动为均匀波动，而k， 不是常数的波动为非均匀
波动，或者可变波动。
若波列的振幅随时间和空间的变化比位相随时间和空间的变化慢得多的话， 即：
1 A , 1 A ,
A t

结论：振幅是缓变过程，而位相是快变过程。多尺度方法可将二者统一起来。
e t 。换言之，（13f.21）中不仅 为小量，而是（ t ） T1 作为一个
变量来考虑：
e t
e T1
1 T1
1 2
T1
2
...
——（13f.23）
同样，（13f.22）中也应该把（ 2t ）看成一个变量 T2 ，当 2t 为小
量时，才可能用有限项逼近cos( 1T2 )，则（13f.20）中，振幅是取
u u u v u fv ' 0 ，可改写为：