力学中的数学方法-张量-2

连续介质力学中变形梯度张量客观性表述的分歧两点张量论文导读:：客观性是连续介质力学。

因此将其称为两点张量。

并明确指出变形梯度是客观性张量。

考虑到功共轭也存在相似的问题。

论文关键词：客观性，一点张量，两点张量，变形梯度，功共轭1简介客观性是连续介质力学，特别是连续固体介质力学中重要的一个概念，它强调了本构关系与刚体转动无关。

所谓客观性，也称为标架不变性、标架无差异，是指材料的本构关系不因观察者不同而发生形式上的变化，这就要求构建本构关系的应力应变张量在时空变换时遵守一定的准则以保证本构方程的标架不变性，即要求应力应变张量具有客观性。

变形梯度是一个联系初始构型与当前构型的两点张量，在连续介质力学中具有核心地位、是定义各类应变张量的基础，同时两点张量，基于变形梯度张量也可实现各类应力张量之间的转换。

由于在构建本构关系时直接应用的是应变（应力）及与其共轭的应力（应变），必须鉴别各类应力应变量的客观性，因此现有文献与教材对各类应力应变讨论较多，且对基于一点的应力应变张量的客观性的具有统一的观点[1-4]。

但对于变形梯度等两点张量的客观性的表述存在分歧，如匡震邦[3]与Belytschko等[4]对Euler-Lagrange两点张量的客观性给出了定义，并明确指出变形梯度是客观性张量，而黄克智[2]与Bock等[5]则认为变形梯度张量不是客观张量。

这种表述上的分歧在于张量客观性的定义不同，那么到底该如何理解张量的客观性？为此本文从变形梯度张量的定义及张量分类开始，然后介绍客观性的几种定义，并基于连续介质力学中张量的逆及功共轭角度分析了几种定义的差别论文参考文献格2变形梯度张量及张量的类型这里仅以欧式空间为例，考虑变形体在固定参考构形内质点的位置向量以表示，时刻当前构形的同一物质点的位置向量以表示，则变形体的运动可通过如下映射描述[6]（1）对于同一物质点，不随时间变化，称为物质坐标或Lagrange坐标，而是同一物质点在的空间位置，称为空间坐标或者Euler坐标。

数学中的张量分析方法在数学中，张量分析是一种用于描述多维空间中变量关系的数学工具。

它在许多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。

本文将介绍张量的基本概念和常见的应用方法。

一、张量的定义和性质1. 张量的定义张量是一个多维数组，可以表示为多个分量的组合。

在欧几里德空间中，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵。

高阶张量可以看做是多个矩阵的组合。

2. 张量的性质张量具有坐标系无关性，即其分量在不同坐标系下具有相同的转换法则。

这使得张量在描述物理量时具有普适性和通用性。

二、张量的运算法则1. 张量的加法和减法张量的加法和减法都是对应分量相加或相减。

要求参与运算的张量具有相同的维度。

2. 张量的数乘张量的数乘是将每个分量都乘以一个标量。

数乘并不改变张量的维度。

3. 张量的张量积张量的张量积是两个张量的分量进行乘积并按照一定规则相加得到的新张量。

它在向量叉乘、矩阵乘法等问题中有广泛应用。

4. 张量的缩并运算张量的缩并是对张量的某些分量进行求和，并将结果保留在一个新的张量中。

它常用于求解线性方程组、协方差矩阵等问题。

三、张量的应用举例1. 物理学中的应用张量在物理学中有广泛的应用，如流体力学中的应力张量、电动力学中的麦克斯韦张量等。

它们描述了物质在空间中的运动和相互作用。

2. 工程学中的应用张量在工程学中用于描述物体的形变、应力分布等。

它在结构力学、弹性力学、热传导等领域中有着重要的作用。

3. 计算机科学中的应用张量在图像处理、模式识别、机器学习等领域中被广泛应用。

例如，卷积神经网络中的卷积操作就可以用张量运算进行描述。

4. 经济学中的应用张量在经济学中用于描述多个经济变量之间的关系。

它可以用来分析供求关系、生产函数等经济现象。

结语：张量分析作为一种重要的数学工具，为我们研究和解决各种问题提供了强有力的帮助。

通过对张量的定义、性质和运算法则的了解，我们可以更好地理解和应用张量，进而推动科学的发展和进步。

关于张量分析的数学原理和实际应用案例引言张量分析是一门重要的数学分支，在科学和工程领域有着广泛的应用。

作为一种多维量、多方向、多变量的数据结构，张量在物理、力学、电磁学、地球物理学等领域的描述、建模与计算中起着不可或缺的作用。

本文将介绍张量分析的数学原理以及实际应用案例，旨在帮助读者更好地了解这门学科。

第一部分数学原理1.张量的定义按照一般的定义，张量是一个可用于表示多维量和多向量之间关系的数学对象。

它可以看做是一种多维矩阵，其中每个元素都有多个指标。

与标量和向量不同，张量的指标可以有多个，我们常常用字母来表示。

2.张量的运算在张量分析中，张量的运算包括加、减、乘等。

与标量和向量不同，张量的乘法并不等同于代数乘法，而是采用了一种特殊的“卷积运算”。

例如，两个二阶张量相乘的结果是一个四阶张量。

这种方法既能描述多维多向量之间的关系，又可以实现基本的数学运算。

3.张量的变换由于张量具有多个指标，所以张量的变换涉及到各个指标的变化。

例如，一个二阶张量在坐标系变换后，其各个分量会发生相应的变化。

我们可以通过矩阵变换来描述张量的变换规律。

这一点在物理领域的应用尤其常见。

第二部分实际应用案例1. 电磁场模拟电磁场模拟是利用计算机模拟电磁场分布的方法，是工程和科学研究中的一项重要任务。

在这个过程中，张量分析被广泛应用。

例如，可以用张量表示电场强度、磁场强度等物理量，通过各种运算描述它们之间的关系。

同时，也可以用张量来描述电磁波的传播规律，实现电磁场的精确计算。

这种方法被广泛应用于电子器件设计、通讯技术等领域。

2. 生物医学图像处理生物医学图像处理是生物医学领域研究的一个重要方向，包括了图像采集、处理、分析等各个环节。

其中，张量分析被广泛应用于图像处理中。

例如，可以用张量表示医学图像中的像素强度、颜色等信息，通过各种运算分析其空间分布与统计规律，实现对生物组织的诊断、治疗等应用。

这种方法在医学影像学、神经科学等领域有着广泛的应用。

序言张量分析对于现在的力学专业学生以及力学相关问题的解决，是应该掌握的重要数学工具。

事实上，如果没有张量的知识，就无法学习连续介质力学基本理论和阅读相关专业的文献资料。

无庸讳言，张量概念非常抽象，相对来说比较难于学习和把握。

但是，只要克服张量学习过程中的畏难情绪，抓住张量概念的关键点，梳理张量分析的基本数学规则，结合一定的力学实例的张量描述，从而建立张量分析的概念和基本分析方法，就能够为运用张量分析解决实际问题奠定坚实基础。

张量概念最早是由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托夫(Christoffel)等人在十九世纪发展微分几何过程中引入的，是从线性空间推广到非线性空间的纯粹数学的演绎，由于自然科学发展水平的限制，这种具有根本性变革的数学工具长期被自然科学领域所忽略。

直到1915年，爱因斯坦获得格罗斯曼的协助，借助张量分析这一数学工具创立了伟大的广义相对论，才凸显了张量分析在描述具有协变性质物理规律的关键作用。

这个事实再次有力地向我们传达了数学和自然科学之间彼此的依存关系，即数学的规则被赋予了自然规律的意义后才成为有生命力的学问，而借助数学工具建立起的自然规律才能呈现自然科学的奥秘。

此后，张量分析迅速渗透到理论物理、现代微分几何、连续介质力学等学科领域中。

就力学专业的学生而言，学习和掌握张量分析，可以更加深刻地领会连续介质力学的概念和一般力学规律，充分锻炼我们的理性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力和水平。

用代数方法和解析方法描述空间问题时，必须引进坐标系或建立坐标基矢量。

坐标系的引入为建立各种物理或几何规律带来了可能和极大的方便，同时也往往使问题复杂化。

可以设想，客观规律应该独立于坐标系，但客观规律的表达形式却严重依赖于所用的具体坐标系，使得客观规律本身的内在性质与建立在坐标系上的数学表达形式完全融为一体。

这样，一方面可能会因其数学的形式外壳而不易揭示问题的内在本质，另一方面，甚至对很多客观规律根本无法进行数学表述。

偏应变张量第二不变量偏应变张量第二不变量是研究物体变形特性时非常常用的一个概念。

它包含了许多领域的知识，如弹性力学、热力学等。

在本文中，我们将分步骤阐述偏应变张量第二不变量的含义和应用。

第一步：偏应变张量的概念偏应变张量是描述物体在局部变形下的应变情况的一种数学工具。

它是一种二阶张量，可以表示为：εij = (1/2)(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi)其中，vi和vj表示物体在i、j方向上的位移，xi和xj分别表示坐标系中的i、j方向。

由于i和j可以取1、2、3三个值，所以偏应变张量有九个分量，在表示时通常使用矩阵的形式。

第二步：偏应变张量第二不变量的定义偏应变张量的第二不变量是指偏应变张量的平方和与一半平方的差，即：I2 = (1/2)(εijεij - εiiεjj)这个式子看上去比较复杂，但是它实际上是一个十分重要的量。

它可以用来描述物体的变形状态，具体的含义将在下一步阐述。

第三步：偏应变张量第二不变量的应用在弹性力学中，偏应变张量第二不变量被广泛用于描述材料的刚度和弹性特性。

有一个名为胡克定律的公式：σij = Cijklεkl它描述了弹性体的应力和应变之间的关系，其中Cijkl是弹性常数。

如果弹性体是各向同性的（即在各个方向上的性质都相同），我们可以将Cijkl简化为Cijkl。

这时，偏应变张量第二不变量可以表示为：I2 = Cijklεijεkl这个式子的右侧是一个数值，我们可以用它来描述材料的厚度和刚度，以确定材料的弹性特性。

在热力学中，偏应变张量第二不变量被用来描述物体的热膨胀特性。

当物体受到温度变化时，它的体积和形状都会发生变化，这时我们可以通过偏应变张量的第二不变量来描述物体的膨胀程度。

总结偏应变张量第二不变量是一个重要的物理量，它可以用来描述物体的变形状态、弹性特性和热膨胀特性。

本文中，我们从定义、公式推导、应用等方面对偏应变张量第二不变量进行了阐述。

希望读者能够通过本文的介绍，更好地理解这个概念并应用到实际问题中。

力学中的数学方法-张量-22. Kroneckerδ符号一、Kronecker 符号定义为：⎧1, i =j δi j =⎧⎧0, i ≠jδi j 可确其中i ，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，定一单位矩阵：⎧δ11δ12δ13⎧⎧100⎧⎧⎧⎧δ⎧δδ=010212223⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧δδδ0013233⎧⎧⎧⎧31二、δij 的性质三、例题例题1：若e 1, e 2, e 3是相互垂直的单位矢量，则e i ⋅e j =δi je i ⋅e i =e 1⋅e 1+e 2⋅e 2+e 3⋅e 3=3δi i =δ11+δ22+δ33=3e i ⋅e i =δi i注意：δi j 与δii 不同是一个数值，即δi i δi jδi i =3的作用：1）换指标；2）选择求和。

A i →A kδk i A i =δA k =A k思路：把要被替换的指标i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k 表示例题3：T k j →T i jδi k T k j =δT i j =T i j特别地，δi k δk j =δi j , δi k δk j δj m =δi m四、δij符号的应用3. 置换符号(PermutatisnSymbol)e 123=e 231=e 312=1e 321=e 213=e 132=−1e 111=e 121=e 232= =031e i j k⎧1, ⎧=⎧−1, ⎧0, ⎧i, j, k, 为1，2，3的偶置换（123，231，312）i, j, k, 为1，2，3的奇置换（213，132，321）i, j, k, 的任意两个指标相同13e i j k =e j k i =e k i j =−e j i k =−e i k j =−e k j i二、e i j k 符号的应用1）.三阶行列式2）、右手卡氏直角坐标系的单位基矢量叉乘若e 1, e 2, e 3是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量ei ×e j =? e k =e i jk e k3）例题：证明a ×b = ε ijk ai b j e ke1 a × b = a1 b1e2 a2 b2e3 a3 b3= a2b3e1 − a3b2 e1 + a3b1e2 − a1b3e2 + a1b2 e3 − a2b1e3 = ε 231a2b3e1 + ε 321a3b2 e1 + ε 312 a3b1e2 + ε132 a1b3e2 +ε123 a1b2 e3 + ε 213 a2b1e3= ε ijk ai b j ek11三、常见的恒等式δi l ei j k el m n = δ j l δk lδi1 δi 2 δi 3 δ j3 δk 3δi m δ jm δk mδi n δ jn δk n1) 证明ei j k = ( ei × e j )iek = δ j1 δ j 2 δk 1 δk 2el mn = ( el × em )ien = δm1 δm 2 δn1 δn 2 δl1 δl 2δl 3δl1δm1 δm 2 δm3δn1 δn 2 δn 312δm3 = δl 2 δl 3 δn 32) 证明ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lδil δi m δjm δk m δi k δjk δkkei j k el mk = δ jl δk l= δk l = δi mδi m δjm δil δ jlδi k δjk −− δk m δilδil δ jl +3δi k δ jk δil δ jl+3δil δ jl =δim δ jm δil δ jl δim δ jm13δim δ jmδim δ jmδjmδ jl由ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lei j k el j k = 2δil3)4)ei j k ei j k =6144. 纳布拉算子∂ ei = ( ▽= ∂xi),i ei = ∂ ,i ()ei15§1.3 张量的代数运算⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧数乘加法点积缩并叉积⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧点叉积张量积转置求逆对称与反对称161. 张量的记法绝对记法（一个字母）：T、A 分量记法：矩阵表示：T = Tijkl ......eie je k ...⎧T11 T12 T13 ⎧ ⎧ ⎧ T = ⎧T21 T22 T23 ⎧ ⎧ ⎧T31 T32 T33 ⎧ ⎧172. 张量的特征定义在坐标变换时，满足如下变换关系的量为张量T = α T ⎧ ' ' ' ' ' α ' α ' ijkl ii j j k k ⎧ i jkl ⎧ Tijkl = α ii ' α jj ' α kk ' α ll ' Ti ' j 'k 'l ' ⎧ ⎧例：由第一节应力张量e i′ = Li′je jT = Ti' j ' ei' e j ' = Ti' j ' Li' j e j L j 'k e k = T jk e j e kT jk = Li' j L j 'k Ti' j '因此， T 为二阶张量。