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附件一哈尔滨工业大学硕士研究生数学基础课、基础理论课选课清单课程编号说明：1、第一位S表示硕士生课程；2、第二、三位表示学院，第四、五位表示系，不设系的学院第四、五位填写“0”；3、第六、七、八位表示顺序号；4、第九位表示开课学期（C表示春季学期开课，Q表示秋季学期开课）。
附件二应用研究型及全日制工程硕士研究生管理类课程附件三硕士研究生培养方案学科代码：081100学科名称：控制科学与工程类型：学术研究型一、研究方向1.控制理论与应用2.先进过程控制3.现代检测技术4.导航控制系统5.惯性技术6.制导、控制与仿真7.模式识别理论与应用8.智能控制二、课程设置注：1.学分要求见学校统一规定（见附件）。
2.根据课题需要，从学科交叉角度出发，特殊情况下，可选不在培养方案内的外院系课程2～4学分。
附件：课程设置及学分要求学术研究型硕士研究生在攻读学位期间，所修的总学分数为32～36学分，学位课的学分之和不少于19学分，应增强其理论性和基础性，基础理论课和学科基础课可以跨学院和跨学科设置，为学生今后攻读博士学位和从事科研工作打下坚实基础。
课程体系框架如下：1．学位课（19学分）（1）思想政治理论课程（3学分）（其中：课堂讲授2学分，社会实践1学分）（2）第一外国语（2学分）（3）数学基础课或基础理论课（4学分）（4）学科基础课（4～6学分）（5）学科专业课（4～6学分）学位课程均为考试课程。
除马克思主义理论课中的社会实践学分外，学位课必须采用课堂授课的方式进行。
学位课应全部在课程学习阶段完成。
2．选修课（6～8学分）选修课程应结合本学科主要研究方向或本领域学术前沿设置。
选修课一般为考查课程。
选修课程可采用教师讲授为主，教师辅导研究生进行研讨为辅的方法进行学习。
选修课应在课程学习阶段完成。
第二外国语在选修课范围内。
3．专题课程与实践环节（3～6学分）专题课程主要结合本领域学术前沿和硕士生学位论文的选题进行设置。
力学中的数学方法¾力学中的张量¾复变函数技术¾积分变换方法¾变分法第一章力学中的张量i= 1在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij σσσσσσσσσσ在力学中还有一些更复杂的量。
例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。
当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。
3. 张量所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。
它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。
采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。
5. 应力状态每个应力分量须用两个方向描述，第一个方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用方向112233i i显然，指标i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
双重求和∑∑===31i 31j j i ij x x a S 简写成ji ij x x a S =展开式（9项）313321321131322322221221311321121111x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a S ++++++++=三重求和（27项）333ijk i j i 1j 1k 1k S a x x x ====∑∑∑ijk i j ka x x x =注意：i,j,……英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3，在该约定下，表达式后的说明(i,j=1，2，3)在以后的写法中将被略去i∂7.求和时注意的问题31i i i i i ii a b c a b c =∑是违约的，求和时要求保留求和号或特别标出Ψ=αi i不参与求和，只在数值上等于8. 自由指标jij i x a x =′例如指标i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
第⼀章张量分析基础知识晶体物理性能南京⼤学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体⼈⼯培养技术的成熟，单晶体的各⽅⾯物理性能（如⼒、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作⽤的物理效应，在各尖端科学技术领域⾥，都得到了某些应⽤．特别是⽯英⼀类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电⼦技术中，⽐较早地在⼯业规模上进⾏⼤批⽣产和⼴泛应⽤．激光问世的四⼗多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应⽤中，已成单晶体应⽤中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之⼀，⽬的就是希望对晶体特别是光电技术中使⽤的晶体（包括基质晶体与⾮线性光学晶体）的有关物理性能及其应⽤⽅⾯的基本知识，有⼀个了解．对今后从事光电晶体的⽣长、检测和应⽤的⼯作，在分析问题、解决问题⽅⾯有所帮助，同时要在今后⼯作中不断从实践和理论两个⽅⾯扩⼤知识领域，有⼀个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个⽅⾯作深⼊全⾯的介绍，也将侧重于激光晶体有关的⼀些性能及其应⽤．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离⼦晶体为主要对象，以光电技术上应⽤为线索组织内容，共分为⼋章．着重于从宏观⾓度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作⽤过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应⽤，包括弹性与弹性波（第⼆章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第⼋章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、⽅便地描述这些物理性能必须使⽤张量来表⽰．因此，在第⼀章，我们介绍了关于张量分析基础知识⽅⾯的内容．由于⽔平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因⽽内容安排不妥、取舍不当、错误之处⼀定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第⼀章张量的基础知识§１．１标量、⽮量和⼆阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５⼆阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的⾜符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表⽰和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８⼆阶对称张量的⼏何表⽰和⼆阶张量的主轴………………………………………§１．９⼆阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第⼆章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原⼦间⼒…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应⼒……………………………………………………………………………………§２．４推⼴的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５⽴⽅晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因⼦的测量⽅法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３⾼频电场的介电极化（光的⾊散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离⼦晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的⼀般性质…………………………………………………………………§４．２常⽤铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热⼒学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电⽅程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应⽤实例――⽯英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲⾯……………………………………………………………§５．４晶体表⾯上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光⼲涉及其应⽤……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１⾮线性极化…………………………………………………………………………§６．２⾮线性极化系数……………………………………………………………………§６．３⾮线性介质中电磁场耦合⽅程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７⾓度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放⼤…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐⽅法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13⾮线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应⽤§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的⼏个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第⼋章声光效应及其应⽤§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作⽤产⽣的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作⽤的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在⼀些物理常数测量中的应⽤…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散⾓α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射⾯相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第⼀章张量分析基础知识以前学的课程中，有关⼒学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以⼀维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因⽅⾯是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的⼒学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，⽽晶体的各向异性却是⼀种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、⾮线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要⽅⾯。
张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。
如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。
•张量：向量的推广。
在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。
一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。
张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。
•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合张量的阶◆现令n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。
当n =0时，零阶张量，M = 1，标量；当n =1时，一阶张量，M = 3，矢量；、、、当取n 时，n 阶张量，M = 3n 。
张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z) →x i (i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。
()3,2,1;3,2,1333231232221131211==→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡j i ij σσσσσσσσσσ()3,2,1;3,2,1;3,2,1a 21i 21===n i i i i i nEinstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值∑=++==31332211i i ii i b a b a b a b a b a ∑=++==31332211j i i i j ij j ij b a b a b a b a b a ()23322112312)(σσσσσ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=i ii ii ∑∑===3131i j ijij ij ij εσεσ131312121111εσεσεσ++=232322222121εσεσεσ+++333332323131εσεσεσ+++2332222113122a a a a a j ii ii ++==∑=★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。
ρ()dx udydz x udydz ρ∂∂+ 2.10、张量分析在力学中的应用质量守恒定律将速度u 在直角坐标系中分解，沿,,x y z 轴上的分量为,,u v w 。
微元控制体m 在dt 时间内，沿x 轴方向流入的质量：udydzdt ρ流出的质量：()udydzdt udydz dxdt x ρρ∂+∂ 净流出质量：()u dxdydzdt xρ∂∂ 同样的，沿y 轴方向的净流出质量为()v dxdydzdt xρ∂∂ 沿z 轴方向的净流出质量为()w dxdydzdt xρ∂∂ 总净流出质量：u v w dxdydzdt x y z ρρρ⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭在o t 时刻，控制体质量为：dxdydz ρ经过dt 时间后，质量为：()dxdydz dxdydz dt tρρ∂+∂ dt 时间内的质量减少量为：()dxdydz dt dxdydzdt t tρρ∂∂-=-∂∂ 质量守恒：u v w dxdydzdt dxdydzdt t xy z ρρρρ⎛⎫∂∂∂∂-=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭0u v w t x y z ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 令：123,,u u v u w u ===123,,x x y x z x === 则： 3121230u u u t x x x ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 310i i iu t x ρρ=∂∂+=∂∂∑ 约定求和：0i iu t x ρρ∂∂+=∂∂ 张量形式：()0u t ρρ∂+∇⋅=∂（可压缩） 0tρ∂=∂，00i u x ρ∂=→∇⋅=∂（不可压缩）动量定理流体运动所遵循的牛顿第二定律可表述为：流体的动量随时间的变化率等于作用在该流体上的诸外力的向量和:()d Mu F dt =微元控制体m 在dt 时间内，沿x 轴方向流入的动量：uudydzdt ρ流出的动量：()uudydzdt uudydz dxdt x ρρ∂+∂ 净流出动量：()uu dxdydzdt xρ∂∂ 同样，沿y 轴方向的净流出动量为()uv dxdydzdt xρ∂∂ 沿z 轴方向的净流出动量为()uw dxdydzdt xρ∂∂ 总净流出动量：uu vu wu dxdydzdt xy z ρρρ⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭ 在o t 时刻，控制体动量为：udxdydz ρ经过dt 时间后，动量为：()udxdydz udxdydz dt tρρ∂+∂ dt 时间内的动量变化为：()u udxdydz dt dxdydzdt t tρρ∂∂=∂∂因此，dt 时间内微元体的动量变化量为：u uu vu wu dxdydzdt tx y z ρρρρ⎛⎫∂∂∂∂+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ u u u v u w u u u u u v u w dxdydzdt t t x x y y z z ρρρρρρρρ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭u v w u u u u u u v w dxdydzdt tx y z t x y z ρρρρρ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于连续性方程：0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂得： 因此，dt 时间内微元体的动量变化率为：u u u u u v w dxdydz tx y z ρ⎛⎫∂∂∂∂+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 微元体受到的力为质量力（体积力）和表面力，微元体受到的质量力为Fdxdydz ρ，表面力：假定左x 面受到的力为x p dydz -，则x 右平面受到的力为()x x x x p dydz p p dydz dx p dydz dydzdx x x∂∂+=+∂∂，因此x 两面受到的合力为：x p dxdydz x ∂∂。
张量的变换规律及其在物理学中的应用研究引言：张量是数学中的一个重要概念，它在物理学中具有广泛的应用。
张量的变换规律是研究张量在不同坐标系下的表示方式，通过变换规律可以更好地理解和描述物理现象。
本文将探讨张量的变换规律及其在物理学中的应用研究。
一、张量的基本概念张量是一个多维数组，它在不同坐标系下具有不同的表示方式。
在物理学中，张量可以用来描述物体的形变、力学性质等。
张量的阶数表示张量的维度，例如一阶张量是一个向量，二阶张量是一个矩阵。
二、张量的变换规律张量的变换规律是研究张量在不同坐标系下的表示方式。
在坐标系变换中，张量的分量会发生变化，但张量本身的性质保持不变。
对于一阶张量，其变换规律可以通过坐标变换矩阵来表示；对于二阶张量，其变换规律可以通过坐标变换矩阵的乘积来表示。
三、张量的物理应用1. 张量在力学中的应用：张量在力学中有广泛的应用，例如刚体力学中的转动惯量张量、应力张量和应变张量等。
通过张量的变换规律，可以在不同坐标系下描述物体的力学性质，从而更好地理解和解决力学问题。
2. 张量在电磁学中的应用：张量在电磁学中也有重要的应用，例如电磁场张量和电磁波张量等。
通过张量的变换规律，可以在不同坐标系下描述电磁场的分布和传播，从而研究电磁现象和解决电磁问题。
3. 张量在相对论中的应用：相对论是现代物理学的重要理论之一，张量在相对论中有着重要的应用。
例如，时空的度规张量可以用来描述物体在时空中的运动和相互作用。
通过张量的变换规律，可以在不同惯性系下描述物体的运动和相互作用，从而更好地理解和解释相对论的基本概念和现象。
四、张量的研究进展张量的研究在数学和物理学中都有着重要的地位。
在数学领域，人们一直在探索张量的性质和应用，发展了许多重要的理论和方法。
在物理学领域，人们通过张量的变换规律，研究了许多重要的物理问题，并取得了丰富的成果。
结论：张量是数学中的一个重要概念，在物理学中具有广泛的应用。
通过研究张量的变换规律，可以更好地理解和描述物理现象。
第一章 张量的概念§ 1.1 引言什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。
有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。
当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。
例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛σσσσσσσσσ=σzz zyzxyz yy yxxz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。
当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。
把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。
矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。
可以看出，张量是矢量概念的推广。
关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。
由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。
采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。
这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。
因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。
此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。
张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。
物理学中的基础问题与数学方法物理学是研究自然界规律的科学。
在以往的发展过程中，基础物理学问题的研究一直占据重要的地位。
从牛顿力学到量子力学，从经典电动力学到相对论，我们所熟知的物理学理论都深深地依赖于数学方法。
在这篇文章中，我们将探讨物理学中的一些基础问题和数学方法。
一、力学及其数学基础力学是物理学的一个基础分支，主要研究物体在运动中所受到的力和运动规律。
其中，牛顿力学是力学中最为基础和经典的分支。
在牛顿力学中，物体可以看作质点，其受力情况由牛顿第二定律描述：F = m*a其中，F表示作用在物体上的力，m表示物体的质量，a表示其受力加速度。
通过这个简单的公式，我们可以描述物体的运动规律。
而当考虑非牛顿力学情况时，我们需要引入更为复杂的数学工具。
比如，在相对论中，质量会随着速度的变化而变化，我们需要使用黎曼几何的方法描述相对论中的引力、时空曲率等现象。
二、电动力学中的数学方法电动力学主要研究电荷之间的相互作用和电场、磁场的产生和作用。
其中，麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组。
这个方程组非常复杂，它由四个方程组成，分别描述电荷、电场、磁场之间的相互作用。
用数学语言来描述，麦克斯韦方程组可以看作是关于电磁场强度E和B的一组偏微分方程组，它们定义了电磁波的行为和性质。
当然，要对这个问题有更深入的理解，我们还需要引入向量场和张量等数学工具，比如电位、电动势等。
这些数学方法在电动力学中起到了至关重要的作用。
它们帮助我们理解和解释电磁波的传播规律，以及电场和磁场的相互作用。
三、量子力学中的数学思想量子力学是物理学中的基础性理论之一，它主要研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，一个微观粒子的性质是由波函数描述的。
波函数可以看作是关于时间和空间的一组复函数，它描述了粒子的状态。
然而，波函数本身并不是可观测量，真正的可观测量是波函数的平方，也就是概率密度。
具体来说，波函数的平方表征了在不同的位置和时间下，粒子出现的概率。
【力学中的张量分析】-力学与Mathematica系列03张量的推导与计算十分繁杂，因而使用Mathematica进行张量分析本身便是一件很自然的事，但很无奈，网上几乎没有相应的中文教程，与之相应的是，各种论坛上关于使用Mathematica进行张量分析的求助帖基本没本帖系统地总结了一下Mathematica中各种张量函数的用法，并辅以部分例题，为大家展示如何使用Mathematica进行张量分析。
限于篇幅，希望本帖能起到抛砖引玉的作用。
1. 张量的表示在Mathematica中，使用多层列表表示张量。
例如，二阶对称克罗内克符号为二阶张量，我们可以手动输入，或者借助内置函数产生。
里奇-列维塔张量亦是如此。
{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} // MatrixFormArray[KroneckerDelta, {3, 3}] // MatrixFormTable[Mod[(j - i) (k - j) (i - k), 3, -1], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}, {k, 1, 3}] // MatrixFormLeviCivitaTensor[3] // MatrixForm实际上，Mathematica并不能直接区分协变张量和逆变张量，所以我们需要借助度量张量来实现。
例如在极坐标下，我们已知某一矢量在自然协变基矢量下的逆变分量，求其在逆变基矢量下的协变分量。
Gx = CoordinateChartData["Polar", "Metric", {r, \[Theta]}];Gn = CoordinateChartData["Polar", "InverseMetric", {r, \[Theta]}];Gx // MatrixFormGn // MatrixFormPn = {1, r}Px = Pn.GnPx.Gx张量分析中，有很大一部分是对各种等式的证明，因此抽象表示张量很有必要，Mathematica也提供了这种表示方法，可以看到，这种表示方法可以指定任意维度，数据类型以及对称性等。
