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力学中的数学方法-张量-6-2013改

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学术研究型硕士研究生课程学分分配

学术研究型硕士研究生课程学分分配

附件一哈尔滨工业大学硕士研究生数学基础课、基础理论课选课清单课程编号说明：1、第一位S表示硕士生课程；2、第二、三位表示学院，第四、五位表示系，不设系的学院第四、五位填写“0”；3、第六、七、八位表示顺序号；4、第九位表示开课学期（C表示春季学期开课，Q表示秋季学期开课）。

附件二应用研究型及全日制工程硕士研究生管理类课程附件三硕士研究生培养方案学科代码：081100学科名称：控制科学与工程类型：学术研究型一、研究方向1.控制理论与应用2.先进过程控制3.现代检测技术4.导航控制系统5.惯性技术6.制导、控制与仿真7.模式识别理论与应用8.智能控制二、课程设置注：1.学分要求见学校统一规定（见附件）。

2.根据课题需要，从学科交叉角度出发，特殊情况下，可选不在培养方案内的外院系课程2～4学分。

附件：课程设置及学分要求学术研究型硕士研究生在攻读学位期间，所修的总学分数为32～36学分，学位课的学分之和不少于19学分，应增强其理论性和基础性，基础理论课和学科基础课可以跨学院和跨学科设置，为学生今后攻读博士学位和从事科研工作打下坚实基础。

课程体系框架如下：1．学位课（19学分）（1）思想政治理论课程（3学分）（其中：课堂讲授2学分，社会实践1学分）（2）第一外国语（2学分）（3）数学基础课或基础理论课（4学分）（4）学科基础课（4～6学分）（5）学科专业课（4～6学分）学位课程均为考试课程。

除马克思主义理论课中的社会实践学分外，学位课必须采用课堂授课的方式进行。

学位课应全部在课程学习阶段完成。

2．选修课（6～8学分）选修课程应结合本学科主要研究方向或本领域学术前沿设置。

选修课一般为考查课程。

选修课程可采用教师讲授为主，教师辅导研究生进行研讨为辅的方法进行学习。

选修课应在课程学习阶段完成。

第二外国语在选修课范围内。

3．专题课程与实践环节（3～6学分）专题课程主要结合本领域学术前沿和硕士生学位论文的选题进行设置。

张量与并矢(即向量的直积)

张量与并矢(即向量的直积)

明了二阶张量等价于
的线性组合。
然后，从规则 (4) 可以证明，全部的
是线性无关的，因此构成了
的基底。
最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩并最终归结为计算 果就非常简单了。
。特别是，如果所给的基是标准正交基，那么结
实线性空间上的并矢张量和线性变换互相等同（爱因斯坦指标升降）
对于 维欧几里得空间 而言，由于
特别是如果所给的基是标准正交基那么结实线实线实线实线性空性空性空性空间间间间上的上的上的上的并并并并矢矢矢矢张张张张量和量和量和量和线线线线性性性性变换变换变换变换互相等同互相等同互相等同互相等同爱爱爱爱因斯坦指因斯坦指因斯坦指因斯坦指标标标标升降升降升降升降对于维欧几里得空间或者而言由于的映射是线性映射所以欧规则欧欧欧几里得空几里得空几里得空几里得空间和间间间上的上的上的上的并表明给定任意一个并矢张量之后从矢量到并并并矢矢矢矢张张张张量量量量总总总总是是是是对应对应对应对应着着着着它它它它自身上的自身上的自身上的自身上的线线线线性性性性变换变换变换变换
动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关李群
代数
的表示的另外一个话题，请参看李群的表示 (Lie group representation) 及李代数的表示 (Lie algebra
representation) ，在这里就不再深入探讨了。
及其李
实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一 个常见的例子：由一维谐振子的态矢量所构成的并矢张量可以用来描述二维谐振子系统。
。
进阶定义
设 是域 上的一个线性空间，则下述定义是等价的。

力学中的数学方法-张量-1

力学中的数学方法-张量-1

力学中的数学方法¾力学中的张量¾复变函数技术¾积分变换方法¾变分法第一章力学中的张量i= 1在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij σσσσσσσσσσ在力学中还有一些更复杂的量。

例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。

当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。

3. 张量所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。

张量是矢量概念的推广。

它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。

采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。

5. 应力状态每个应力分量须用两个方向描述，第一个方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用方向112233i i显然，指标i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。

双重求和∑∑===31i 31j j i ij x x a S 简写成ji ij x x a S =展开式（9项）313321321131322322221221311321121111x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a S ++++++++=三重求和（27项）333ijk i j i 1j 1k 1k S a x x x ====∑∑∑ijk i j ka x x x =注意：i,j,……英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3，在该约定下，表达式后的说明(i,j=1，2，3)在以后的写法中将被略去i∂7.求和时注意的问题31i i i i i ii a b c a b c =∑是违约的，求和时要求保留求和号或特别标出Ψ=αi i不参与求和，只在数值上等于8. 自由指标jij i x a x =′例如指标i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。

弹性力学-第二章 张量基础知识

弹性力学-第二章 张量基础知识

′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0

张量定义

张量定义

或
L Lkek e
L
张量的转置记为
L LT Lkl Lml ek em
LT Lmnen em
Lkl ek el
第一式两边乘以 第二式两边乘以 于是 即
Llk el ek
el
ek Lkl el
ek ,有
el Lkl ek
坐标变换
2 2 2 i j 2 0
2 2 2 2 0
0 0 1
x1 , x2 , x3 x1 x2 x3
x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3
xi ij x j
e3
e3
e2
x2
ei iiei
（对 i 求和，为自由指标） i
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
ij 张量的性质:
1) ij 张量不是对称张量
因为 kl
ek el ，而k el ek ，所以 kl lk
ij
张量是正交张量
在坐标变换时其值保持不变，即满足
( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 )
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？
矢量（Vector）
满足以下变换 关系的三个量 {ai } 定义一个矢量
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
22
32
23
e3
31
33
图解（二维）：
在解析式中记：
e1 1'1e1 1'2e2 1' je j ,

第一章张量分析基础知识

第一章张量分析基础知识

第⼀章张量分析基础知识晶体物理性能南京⼤学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体⼈⼯培养技术的成熟，单晶体的各⽅⾯物理性能（如⼒、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作⽤的物理效应，在各尖端科学技术领域⾥，都得到了某些应⽤．特别是⽯英⼀类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电⼦技术中，⽐较早地在⼯业规模上进⾏⼤批⽣产和⼴泛应⽤．激光问世的四⼗多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应⽤中，已成单晶体应⽤中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之⼀，⽬的就是希望对晶体特别是光电技术中使⽤的晶体（包括基质晶体与⾮线性光学晶体）的有关物理性能及其应⽤⽅⾯的基本知识，有⼀个了解．对今后从事光电晶体的⽣长、检测和应⽤的⼯作，在分析问题、解决问题⽅⾯有所帮助，同时要在今后⼯作中不断从实践和理论两个⽅⾯扩⼤知识领域，有⼀个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个⽅⾯作深⼊全⾯的介绍，也将侧重于激光晶体有关的⼀些性能及其应⽤．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离⼦晶体为主要对象，以光电技术上应⽤为线索组织内容，共分为⼋章．着重于从宏观⾓度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作⽤过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应⽤，包括弹性与弹性波（第⼆章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第⼋章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、⽅便地描述这些物理性能必须使⽤张量来表⽰．因此，在第⼀章，我们介绍了关于张量分析基础知识⽅⾯的内容．由于⽔平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因⽽内容安排不妥、取舍不当、错误之处⼀定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第⼀章张量的基础知识§１．１标量、⽮量和⼆阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５⼆阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的⾜符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表⽰和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８⼆阶对称张量的⼏何表⽰和⼆阶张量的主轴………………………………………§１．９⼆阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第⼆章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原⼦间⼒…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应⼒……………………………………………………………………………………§２．４推⼴的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５⽴⽅晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因⼦的测量⽅法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３⾼频电场的介电极化（光的⾊散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离⼦晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的⼀般性质…………………………………………………………………§４．２常⽤铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热⼒学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电⽅程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应⽤实例――⽯英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲⾯……………………………………………………………§５．４晶体表⾯上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光⼲涉及其应⽤……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１⾮线性极化…………………………………………………………………………§６．２⾮线性极化系数……………………………………………………………………§６．３⾮线性介质中电磁场耦合⽅程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７⾓度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放⼤…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐⽅法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13⾮线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应⽤§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的⼏个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第⼋章声光效应及其应⽤§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作⽤产⽣的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作⽤的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在⼀些物理常数测量中的应⽤…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散⾓α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射⾯相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第⼀章张量分析基础知识以前学的课程中，有关⼒学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以⼀维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因⽅⾯是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的⼒学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，⽽晶体的各向异性却是⼀种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、⾮线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要⽅⾯。

张量定义及算法


1

可乘张量
设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量 a , b 是已知的，则由等式
i T ik a i b k , Tik ai bk , T.k a i bk , Tki ak b i
确定的都是二阶张量，称为可乘张量. 2

克罗内克尔符号
克罗内克尔符号 ij 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是
[张量的商律] 任一指标 jk， j k' 使
' ' 1 m
k Tlm ail a jmT ijk , Tlmp ail a jm akpT ijk
i1 il il i i i 设 Tji11 jm 和 Tj ' j ' 各为一组 x 和 x 的函数，如果对任意逆变矢量 与 及
因为从
x i x i ij i j x x
可得
ij
x i x i x i x j i j x i x j x i x j
[二阶对称张量与反对称张量]
若张量满足等式
Tik Tki , T ik T ki , Tki Ti k
则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式
i
x j1 x jl x i1 x im j1 jl j j T i1im x 1 x l x i1 x im
N

j1 jl i1 im
jl 是 x i 的函数， 则量 Ti1j1 im (共有 n 个分量)称为 l 阶逆变(或抗变)m
r1 rl s1 s k r1 rl s1 s k Tp p t t T p p Tt t
1 m 1 h 1 m 1 h

力学中的数学方法张量72013年改

∂x1
= σ ij
∂ [1 ( ∂ui ∂x1 2 ∂x j
+ ∂u j )] ∂xi
=
1 2
[σ
ij
∂ ∂x1
( ∂ui ∂x j
)
+σ
ji
∂ ∂x1
( ∂ui ∂x j
)]
=σ ij
∂ ∂x1
( ∂ui ∂x j
)
=
σ ij
∂ ∂x j
( ∂ui ∂x1
)
=
∂ ∂x j
(σ ij
∂ui ) − ∂σ ij
− σ iju j,1,
P1i
=
σ
ε aux
jk
δjk 1i
−
(σ
iju
aux j ,1
+
σ
u aux
ij
j ,1
)
与J积分和传统I积分相比：此公式不要求材料属性可导。
24
材料属性和力学场连续， 可采用散度定理
I积分是否无法求解？
¾积分区域被界面分割时，无法直接采用散度定理
25
相互作用积分可以表示为三部分：
∫ ∫ ∫ I = lim Γ→0
Γ P1inidΓ = − A1 (P1iq),i dΓ −
A2
( P1i
q),i
dΓ
+
I* interface
其中，界面积分
∫ ∫ ∫ I = P m qdΓ + P m qdΓ = (P − P )m qdΓ * interface
①
Γinterface 1i
i
图1
图2
12
1 .J积分的守恒性的证明
∫ J积分定义如下：

第一章 张量简介


x′jδij = x j ⋅ βij ⇒ xi′ = βij x j
线性变换
{ x′ } = [ T ]{ x }
正交矩阵
[ ]T
=
⎛ ⎜ ⎜
β11 β21
β12 β22
β13 β 23
⎞ ⎟ ⎟
⎜⎝ β31 β32 β33 ⎟⎠
[ T ]T = [ T ]−1
5、张量的定义
（1） 零阶张量 一个元素：它是坐标变换下的不变量—零阶张量
→
⎛ σ11
⎜ ⎜⎜⎝
σ σ
21 31
σ12 σ 22 σ 32
σ σ σ
13 23 33
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
→
σ
ij
⎛ ⎜⎝
i j
= 1、2、3⎞ = 1、2、3⎟⎠
[ε
]
→
ε
ij
⎛ ⎜⎝
i j
= 1、2、3 ⎞ = 1、2、3⎟⎠
2、Kronecker δij
定义：
δ ij
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = (i ≠
第一章 张量简介
1、下标记法：
x、y、z → xi (i=1、2、3)，
u、v、w → u (i=1、2、3)， i
x → x1、y → x2、z → x3
u → u 、v → u 、w → u
1
2
3
[σ ] = ⎛⎜⎜τσyxx
⎜⎝τ zx
τ xy σy τ zy
τ xz τ yz σz
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
同济大学土木工程学院水利工程系李遇春编塑性力学基础同济大学土木工程学院水利工程系2012年12同济大学土木工程学院水利工程系李遇春编第一章张量简介1下标记法

张量概念及其基本运算

张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。

如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。

•张量：向量的推广。

在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。

一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。

张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。

•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合张量的阶◆现令n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。

当n =0时，零阶张量，M = 1，标量；当n =1时，一阶张量，M = 3，矢量；、、、当取n 时，n 阶张量，M = 3n 。

张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z) →x i (i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。

()3,2,1;3,2,1333231232221131211==→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡j i ij σσσσσσσσσσ()3,2,1;3,2,1;3,2,1a 21i 21===n i i i i i nEinstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值∑=++==31332211i i ii i b a b a b a b a b a ∑=++==31332211j i i i j ij j ij b a b a b a b a b a ()23322112312)(σσσσσ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=i ii ii ∑∑===3131i j ijij ij ij εσεσ131312121111εσεσεσ++=232322222121εσεσεσ+++333332323131εσεσεσ+++2332222113122a a a a a j ii ii ++==∑=★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。

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2
4) 矢量的逆变分量和协变分量 任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
i
i ij ⎧ ⎪v = g v j ⎨ j = v g v ⎪ ij ⎩ i
i
表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量 gi 方向的分量表示。 vi称 为矢量V的协变分量； vi是矢量V的逆变分量。
k ij
⎧ g ij ,k = Γkij + Γ jki ⎪ ⎨ g jk ,i = Γkij + Γijk ⎪ ⎩ g ki , j = Γijk + Γ jki
2式+3式-1式
2Γijk = g jk ,i + g ki , j − g ij ,k
若度量张量的分量已知，可计算坐标系的克里斯托弗符号， 克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。由于直角坐标系的 14 gij 是常数，所以在直角坐标系中克里斯托弗符号=0
k gi , j ⋅ g k = Γ lij g l ⋅ g k = Γ lijδ lk = Γ ij
12
2) 克里斯托弗符号的性质及其计算 a) 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指 标一样提升或下降(但不是张量)
Γ ijk = Γ g lk
l ij
Γ = Γ ijl g
k ij
lk
b) 克jt = δ jjδ tk − δ jk δ t j = 2δ tk ε ijk = 2δ = 6
k k
10
e
ijk
eijk = ε
ijk
三、张量演算
《弹性力学与张量分析》，郭日 修，高等教育出版社
将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变 导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的 协变导数是本节讨论的重点。
g = g gj
i ij
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量， 或共轭度量张量
1
3) 相伴（共轭）度量张量的性质
g ⋅ g = g gk ⋅ g = g δ = g
i
j
ik
j
ik
j k
ij
g = g ⋅gj
ij i
i j
g ⋅ gj =δ
i
i j
g gk ⋅ g j = δ
d) 克里斯托弗符号不是张量 证明略
15
3) 对偶基矢量 gi 的偏导数gi,j
gi ⋅ g = δi
j
j
gi ,k ⋅ g j + gi ⋅ g j ,k = 0 gi ⋅ g j ,k = − gi ,k ⋅ g j = −Γikj g i , j = −Γ ijk ⋅ g k
16
四、矢量的协变导数
g = g ij = x
( (
) ( ) ) (
) = (x )
2
1 2
( )
1 2
6
基本度量张量
⎧g1 = cos x 2 i1 + sin x 2 i 2 ⎪ 1 2 1 2 ⎨g 2 = − x sin x i1 + x cos x ⎪g = i ⎩ 3 3
( (
) ( ) ) (
⎧ g = cos x 2 2 + sin x 2 2 = 1 ⎪ 11 1 2 2 ⎪ )i g 22 = − x sin x + x1 cos x 2 ⎨ ⎪ g 33 = 1 ⎪ ⎩ g12 = g 23 = g13 = 0
( (
) ( ) ) (
)
⎧ g1 = 1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ g2 = x ⎪ ⎪ ⎩ g3 = 1
基本度量张量
⎧ g = cos x 2 2 + sin x 2 2 = 1 ⎪ 11 ⎪ g 22 = − x1 sin x 2 2 + x1 cos x 2 ⎨ ⎪ g 33 = 1 ⎪ ⎩ g12 = g 23 = g13 = 0
i ⎧ v ⎪ =V⋅gi ⎨ ⎪ ⎩vi = V ⋅ g i
表示矢量的逆变分量和协变分量的大小等于矢量和相应的基 矢量的点积。
3
4
例题1 求圆柱坐标系xi的基矢量、基本度量 张量、对偶基矢量及相伴度量张量 解： 由笛卡尔直角坐标系zi
1 1 2
2 2 ⎧ 1 1 2 ⎧ z = x cos x x = z + z ⎪ ⎪ 2 1 2 ⎪ 2 2 1 sin = z x x ⎨ ⎨ x = arctan(z / z ) ⎪z 3 = x3 ⎪x3 = z 3 ⎩ ⎪ ⎩
2
( (
) ( ) ) (
) = (x )
2
1 2
Dsr g = g
rs
g = g ij = x
( )
1 2
g = 1,
11
g
22
= 1/ x
( ),
1 2
g 33 = 1,
对偶基矢量
i ij ⎧ g g g = ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g i = g ij g j
j
⎧g 1 = g 11g1 ⎪ 2 22 1 2 g g g x 1 /( ) = = ⎨ 2 ⎪ 3 33 g g g3 = i3 = ⎩
i
v i | j = vi , j − v k Γ
k ij
协变矢量 vi的协变导数。
17
2) 矢量的微分
d V = V, j dx = v | j gi dx
j i
j
d V = V, j dx = v i | j g dx
j
i
j
18
1）基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号
求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：
∂V i = ( v gi ) j ,j ∂x
= vi g
= v , j gi + v gi, j
i i
(
i
)
,j
= vi , j g + vi g , j
i
i
11
gi , j
k 2 k ⎛ ⎞ ∂ z ∂ ∂z i i = j⎜ k ⎟ = i j i k ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂x
《张量分析》第二版，黄克智等，清华大学出版社
ε
= ge ijk ijk
j k
g g kj = δ
ik
i j
ε
ijk
ijk
= 1/ ge
l k
ijk
g = g ij
g ×g ⋅g = ε
i
=ε δ ijl
= ε gl ⋅ g k ijl
g × g = ε gl i j ijl
类似
j ijl i g ×g = ε g
ik
g g kj = δ
ik
i j
Dsr rs g = g
类似
g = g ij Dsr = ⎡ ⎣ gij ⎤ ⎦ 中元素g sr的代数余子式
j
g i = g ij g
i ij ⎧ ⎪g = g g j ⎨ j ⎪ ⎩ g i = g ij g
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换， 提升或下降指标。
六、对偶基矢量、相伴度量张量
1) 对偶基矢量
对偶基矢量 （逆变基矢量 ）gi 由下式定义：
g ⋅ gj =δ
i
i j
在三维空间中， g1 、 g2 、 g3 分别垂直于（g2，g3）、 （g1，g3） 及 （g1，g2）所在的平面。
2) 相伴（共轭）度量张量
将对偶基矢量 gi 沿基矢量 gj 的方向分解:
可以看出基矢量 gi对于坐标 xj 的偏导数也是矢量，它也可以分 解成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：
gi , j = Γijk g = Γ g k
k k ij
式中: Γijk是 沿 gk方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；
Γijk 是 沿 gk方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。
gi , j ⋅ g k = Γ ijl g l ⋅ g k = Γ ijlδ kl = Γ ijk
g 12 = g 23 = g 13 = 0 ⎧ g1 = 1 ⎪ ⎪ 2 1 ⎨ g = 1/ x ⎪ 3 = 1 g 7 ⎪ ⎩
例题2 求球坐标系xi的基矢量、基本度量 张量、对偶基矢量及相伴度量张量
8
1.7 张量分析
一、置换张量
j k ijk i ε =ε g g g =ε g g g i j k ijk
Γ ijk = Γ jik
Γ =Γ
k ij
k ji
13
c) 克里斯托弗符号可按以下公式计算
g ij = g i ⋅ g j g ij ,k = g i ,k ⋅ g j + g i ⋅ g j ,k = Γikj + Γ jki = Γkij + Γ jki
2Γ = 2 g kl Γ ijl = g kl (g jk ,i + g ki , j − g ij ,k )
1) 矢量的偏导数
V, j = v
i ,j
i
,j
gi + v Γ g k
i k ij
k i jk i
变换最后一项中两个哑指标的字符，
V, j = v
i
gi + v Γ gi = v | j gi
i ,j
v |j = v
+v Γ
k
i jk
i 称为逆变矢量 vi的协变导数。 jk
V, j = vi , j g − v i Γ g k = v i | j g i
( ) ( )
∂r ∂z gi = i = i i j ∂x ∂x
j