江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试数学试题

江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试

数学试题 2013.3.2

一．填空题（每小题5分，共70分）

1. 设集合{}{}{},2,1,2,1,2,3A a B A B === ,则a = ． 2．如果

mi i

+=-112

（R m ∈，表示虚数单位）

，那么=m ． 3．若函数)2(log )(22a x x x f a ++

=为奇函数，则a =

4．某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s ），随机选择了50名学生进行调查， 下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布，估计这600名学 生中成绩在[13,15]（单位：s ）内的人数大约是 ．

5．设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列的四个命题： （1）若,m n m α⊥⊥，则//n α；

（2）若,,n m αβ⊂⊂α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直 （3）若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥ （4）若//,,//,m n n ααβ⊥则m β⊥

其中，所有真命题的序号是 ． 6．阅读下列程序：输出的结果是 ．

7．设变量,x y 满足约束条件22

11x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨

⎪+≥⎩

则23z x y =+的最大值是 ．

8．甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2

张卡

片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．

9．函数x x x f cos 3sin )(2

-=([0,])x π∈的值域是_______

10．已知,,O A B 是平面上不共线三点，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，若||7OA =

，

||5OB = ，则()OP OA OB -

的值为 .

11．设()12

32,2

()log 1,2

x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1212()()f x f x a x x ==≠，则实数a 的取值范 围是 . 12．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，12,F F 是左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点P ， 使1||PF 是

P 到直线的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是_______． 13．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，

则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ．

14．函数2

()2(3)2f x ax a x a =--+-中，a 为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a 值的和为______________．

二．解答题（解答要给出必要的文字说明和演算步骤，共90分） 15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且10

10

3cos ,21tan =

=

B A ． （1）求tan

C 的值；

（2）若ABC ∆最长的边为1，求b 边及ABC ∆的面积．

16．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，P 为AB 的中点，Q 为CD 1的中点．

（1）求证：DP ⊥平面A 1ABB 1； （2）求证：PQ ∥平面ADD 1A 1．

17. 今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为 “天狼星”的自驾游车队。该车队是由31辆车身长都约为5m （以5m 计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m 的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s ）, 匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据安全和车流的需要，当120≤

1

61

2x x +

（m 的距离.自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为)(s y ．

（1）将y 表示为x 的函数；（2）求该车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．

18．已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为53，且过点12

(4,)5P ，A 为上顶点，F 为右焦点．点

(0,)Q t 是线 段OA （除端点外）上的一个动点，过Q 作平行于x 轴的直线交直线AP 于点M ，以QM 为直径的圆的圆心为N ． （1）求椭圆方程；（2）若圆N 与x 轴相切，求圆N 的方程；

（3）设点R 为圆N 上的动点，点R 到直线PF 的最大距离为d ，求d 的取值范围．

B 1 A

B

C

D Q

P

A 1

C 1

D 1

19．设函数3

21()3

f x x ax bx c =

+++(0)a <在0x =处取得极值1-． （1）设点(,())A a f a --，求证：过点A 的切线有且只有一条；并求出该切线方程． （2）若过点(0,0)可作曲线()y f x =的三条切线，求a 的取值范围；

（3）设曲线()y f x =在点11(,())x f x ，22(,())x f x (12x x ≠)处的切线都过点(0,0)，

证明：''

12()()f x f x ≠．

20．已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和. （1）当首项12a =，公比1

2

q =时，对任意的正整数k 都有1

2(02)k k S c c S c +-<<<- 成立， 求c 的取值范围； （2）判断()2

*

21n n n S S S n N

++-∈的符号，并加以证明；

（3）是否存在正常数m 及自然数n ，使得21lg()lg()2lg()n n n S m S m S m ++-+-=-成立？ 若存在，

请求出相应的,m n ；若不存在，说明理由.