《数值分析》PPT课件

n
（1.12）
向量2-范数为
x ( x, x) ( xi2 )
i 1 1 2 n 1 2
2
28
若给定实数 i 0(i 1,2,, n), 称{i } 为权系数，
R n 上的加权内积为
( x, y ) i xi yi
p( x) H n 表示为
p( x) a0 a1 x an x n ,
它由 n 1 个系数 (a0 , a1 ,, an ) 唯一确定.
（1.2）
1, x, , x n是线性无关的， 它是 H n 的一组基，故
H n span{1, x, , x n },
且 (a0 , a1 ,, an ) 是 p (x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
17
类似地，对连续函数空间 C[a, b] ，若 f ( x) C[a, b] ,
可定义三种常用范数如下：
f
f

max f ( x) ,
a x b
b
称为 范数， 称为 1-范数，
1 2
1


a
f ( x) dx,
b
f
2
( f 2 ( x)dx) ,
a
称为 2-范数.
可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.
（1.7）
称为格拉姆(Gram)矩阵， 则 G 非奇异的充分必要条件是 u1 , u2 ,, un 线性无关.
24
证明 方程组
G非奇异等价于 det G 0，其充要条件是齐次
( j u j , uk ) (u j , uk ) j 0, k 1,2, , n（1.8）
第3章

同法解得
y(0.4) y2 2.020118, y(0.8) y4 2.8565830,
y(0.6) y3 2.451578 y(1.0) y5 3.243224
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4、单步法的局部截断误差与阶
单步法的一般表示形式
yn1 yn h(xn , yn , yn1, h) 其中与f (x, y)有关，称为增量函数,当含有yn1时，方法是隐式的，
f
( xn
ih,
y( xn
ih))
或表示为 yn1 yn h(xn , yn , h)
其中
r
(xn, yn, h) ci Ki i 1
K1 f (xn , yn )
i 1
Ki f (xn ih, yn h ij K j ) j 1
这里ci , i , ij均为常数。称为r级显式龙格 - 库塔(Runge Kutta)法，
简称R - K方法。
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2、二阶显式R-K方法
r 2 的R - K方法, 计算公式如下 :
yn1 yn h(c1K1 c2K2 ) K1 f (xn , yn )
K2 f (xn 2h, yn 21hK1)
这里c1, c2 , 2 , 21均为待定常数。
上的近似值 y1, y2 , , yn , yn1, 。相邻两节点间的间距 hn xn1 xn称为步长。假定hi h为定数，这时节点 为xn x0 nh, n 0,1, 2,
初值问题数值解法的基本特点：它们都采用 “步进式”，即求解 过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法， 只要给出已知信息yn , yn-1, yn-2, 计算yn1的递推公式。

n
9 表 −1
xn
yn 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178
yn+1 = yn + h( yn −
0.2 0.3 1.2774
0.1 1.1000 2xn 0.6 1.1918 yn
).
0.7 0.8 0.9
取步长 h = 0.1，计算结果见表9-1.
0.4 1.3582
0.5 1.4351 1. ，按这个解析式 初值问题（2.2）的解为 y = 1+ 2x0 1.7848
∂f (x,ξ ) y(x, y1) − y(x, y2 ) ≤ y1 − y2 , ξ在 1, y2之 . y 间 ∂y
若假定 ∂f (x, y) 在域 D 内有界，设 ∂f (x, y) ≤ L，则
∂y
∂y
y(x, y1) − y(x, y2 ) ≤ L y1 − y2 .
4
它表明 f 满足利普希茨条件，且 L 的大小反映了右端函 数 f 关于 y变化的快慢，刻画了初值问题(1.1)和(1.2)式是否 是好条件. 求解常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类 型的方程，实际中归结出来的微分方程主要靠数值解法.
yn+1 = yn + hf (xn+1, yn+1),
（2.5）
称为后退的欧拉法 后退的欧拉法. 后退的欧拉法 它也可以通过利用均差近似导数 y′(xn+1) ，即
y(xn+1) − y(xn ) ≈ y′(xn+1) = f (xn+1, y(xn+1)) xn+1 − xn
直接得到.
16
欧拉公式是关于 yn+1 的一个直接的计算公式，这类公 式称作是显式的 显式的； 显式的 后退欧拉公式的右端含有未知的 yn+1，它是关于 yn+1 的一个函数方程，这类公式称作是隐式的 隐式的. 隐式的

1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */

定义：迭代法是通过不断迭代逼 近方程的解的方法。
SOR方法（Successive OverRelaxation Method）：在雅可比 法基础上引入松弛因子，以加速迭 代收敛速度。
优缺点：计算量较小，但需要合 适的初值和参数设置，否则可能 不收敛或收敛到非解。
矩阵分解：LU分解和QR分解
定义
矩阵分解是将一个复 杂的矩阵分解为几个 简单的、易于处理的 矩阵。
步骤
将增广矩阵通过行变换化为阶 梯形矩阵，然后回代求解未知
数。
适用范围
适用于系数矩阵是方阵且系数 矩阵或增广矩阵有唯一解的情
况。
优缺点
方法简单易懂，但对方阵来说 计算量较大，且容易出错。
迭代法：雅可比法和SOR方法
雅可比法：利用前一步的解作为 下一次迭代的初值，通过迭代逐 步逼近方程的解。
适用范围：适用于系数矩阵是稀 疏矩阵或系数矩阵有唯一解的情 况。
04 插值与拟合
多项式插值
定义
多项式插值是根据已知的离散数 据点，构造一个多项式来逼近或
插值这些数据点的方法。
常用方法
拉格朗日插值、牛顿插值、样条插 值等。
应用
在数值分析、数学建模、数据拟合 等领域有广泛应用。
样条插值
定义
样条插值是一种通过样条函数来 逼近或插值数据点的方法。样条 函数是一种分段定义的函数，在 每一段上具有连续的一阶和二阶
改善数值稳定性。
迭代法基础
迭代法原理
迭代法是通过不断迭代来 逼近真实解的一种方法。
迭代法的收敛性
迭代法是否收敛以及收敛 速度的快慢是评价迭代法 好坏的重要指标。
常见的迭代法
如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法、松弛法等。

数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。

则有
x f ( x) x nxn1 Cp n, n f ( x) x
它表示相对误差可能放大 n倍. 如
n 10 ， 有
f (1) 1, f (1.02) 1.24 若取 x 1, ，
x A 1.02, 自变量相对误差为 2 %， 函数值相对误差为 24 % ，
避免误差危害的若干原则
例 在五位十进制计算机上，计算
A 52492 i ,
其中 0.1 0.9. i
i 1 1000
解：把运算的数写成规格化形式
A 0.52492 10 i .
5 i 1 1000
由于在计算机内计算时要对阶， 若取 i 0.9 ， 对阶时 i 0.000009 105 ，在五位的计算机中表示为 机器 0 ，因此
* 只有一位有效数字. x2
若改用
x2 8 63
1 8 63 1 0.0627 15.94
则具有3位有效数字.
避免误差危害的若干原则
说 明
如果x1和x2 很接近时，应用
x1 ln x1 ln x2 ln . x2
1 x x1 ,
当x很大时, 应用 x 1 x
取右端的有限项近似代替左端。 如果无法改变算式，在计算机上则采用双精度运算，以 增加有效数字位数，但这要增加机器计算时间和多占内
存单元.
避免误差危害的若干原则
三、防止大数吃小数
当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运 算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数 "吃掉"从 而引起计算结果很不可靠.
例如，某计算机允许表示具有七位有效数字的十进制数， 计算333.3333+0.0002222222。 若计算时没有位数的限制，则计算结果应当是 333.3335222222。而现在的问题是，计算机由于字长位数 的限制，只能表示七位有效数字，于是只得将小数点最后 的6个数字全部删掉，得到333.3335。这样，在相加的过通过改变 计算公式避免或减少有效数字的损失。

似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：

总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)