道是无圆却有圆 --浅谈隐形圆在几何解题中的应用
摘要：几何是初中数学最重要的内容之一，关于几何的阶梯方法也多种多样，但由于初中生空间思维能力还处于初步阶段，对于一部分几何问题依旧处于概念模糊，解题思路狭隘的问题，这就需要用到新的方法进行初数学几何解题，其中隐形圆作为一种解题方法就被广泛应用于多类型的几何解题之中。
关键词：隐形圆概念；几何解题中的应用
初中几何是比较难懂的一类数学题，学生在做题时往往容易出现错误，影响学生的考试成绩，这就要求教师需要找到解初中几何题最快最有效的方法，帮助学生以最短的时间解决初中几何遇到的困难，隐形圆作为一种有效的几何解题方法被教师们所应用。
一、隐形圆概念
隐形圆应用在几何解体领域解题，那么隐形圆就是一种圆形的辅助线，这种圆形的辅助线，可以包覆几何图形的整体，也可以包覆几何图形的部分，在教学中，教师将圆的概念引进到几何解题之中，是一种直观有效的解题方法，利用圆的特点进行集合中某部分数值的运算可以省去很多逻辑思考步骤，同时有效提高学生的答题正确率，这种利用隐形圆解答初中几何问题的方法虽然应用广泛，但并非所有的几何图形或者几何题目都适用隐形圆进行解题辅助分析，下面就列举出一部分隐形圆适用的解题案例进行详细的讲述。
二、几何解题中的应用
隐形圆作为一种辅助的几何解题手段，受到了广泛的应用，但是利用隐形圆这种方法解决几何问题还需要考虑诸多因素，在某些情况下不适用隐形圆进行解题，在举例说明之前，首先需要了解什么是圆，圆的特性有哪些，掌握到圆的特性之后再根据原的特性进行适用几何题目的归类总结。
（一）四边形题目隐形圆应用
几何题目包罗万象，教师在隐形圆解题教学中，应当对可利用隐形圆方法解几何题目的情况进行细致的分类，让学生有直观的印象，同时还要寻找符合隐形圆解题方法题目的特点，帮助学生更好的学习隐形圆解题思路。第一种情况是几何图中出现定点加定长的情况因为定点加定长等于圆的情况下，这种情况是适合解题的依据是到定点的距离等于定长的点的集合以定点为圆心定长为半径的圆。这种情况非常适合解四边形题目，因为四边形可以选择一顶点进行隐形圆的绘制工作，之后利用圆的特性求边长，从而得出正确的数值[1]。这种方法可以将四边形的边长转化为圆的直径长度，利用圆形中求直径的方法便可以求出四边形一边的长度，有效的提高了学生的解题速度，提高学生的解题正确率，当学生再遇到四边形求边长时便会立刻联想到用隐形圆的方法进行题目的解答。下面举一个实际应用，四边形ABCD中AB=AC=AD=2，BC=1，AB为CD的一半求BD的长如图1。
微专题22“隐形圆”问题
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题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆
1.－6
5，0
解析：由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相交，所以2
－1<（2a）2＋（a＋3）2
<1＋2，1<5a2＋6a＋9<9，5a2＋6a＋8>0，
5a2＋6a<0，解得a∈－6
5，0
.
2.2－2
2≤a≤2＋2
2解析：因为PA、PB与O相切，且∠APB＝60°，则∠APO＝30°，
所以OP＝OA
sin30°＝2，则存在使∠APB＝60°的点P等价于在圆M上存在与点O距离为2的
点．圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1的圆心M(a，a－4)在直线y＝x－4上，所以OM＝
a2＋（a－4）2，所以圆M上到点O的最小距离为OM－1＝a2＋（a－4）2－1，最大距离
为OM＋1＝a2
＋（a－4）2
＋1，存在满足题意有点P即OM－1≤2≤OM＋1，解不等式得
2－2
2≤a≤2＋2
2.
1.8解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x′，y′）．因为x′＝x1＋x2
2，y′＝y1＋y2
2，
所以OA→
＋OB→
＝(x
1＋x
2，y
1＋y
2)＝2OM→
，因为C：x2＋y2－6x＋5＝0，所以(x－3)2＋y2＝4.
圆心C(3，0)，半径CA＝2，因为点A，B在圆C上，AB＝23，所以CA2－CM2＝1
2AB2
，
即CM＝1.点M在以C为圆心，半径r＝1的圆上，所以OM≤OC＋r＝3＋1＝4，所以|OA→
＋
OB→
|≤8.
题组二已知定点A，B，动点P满足PA→
·PB→
＝λ确定隐形圆
1.[4，6]解析：圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径r＝1，设P(a，b)
在圆C上，则AP→
＝(a＋m，b)，BP→
＝(a－m，b)，因为∠APB＝90°，所以AP→
⊥BP→
，所以AP→
·BP→
＝(a＋m)(a－m)＋b2＝0，所以m2＝a2＋b2＝OP2，所以m的最大值即为OP的最大值，等于
2019 年中考初三数学专题系列
辅助圆
模型一： “隐形圆”解点的存在性
模型分析 “定边、定角”圆上找 .具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上 .
1. 如图，已知线段 AB.
（ 1）请你在图①中画出使∠ APB＝90°的所有满足条件的点 P；
（ 2）请你在图②中画出使∠ APB＝60°的所有满足条件的点 P；
（ 3）请你在图③中画出使∠ APB＝45°的所有满足条件的点 P.
2. （1）如图①，在矩形 ABCD中， AB＝ 2， BC＝ 5.请你在图①中矩形 ABCD的边上画出使∠ BPC＝90°的点 P；
（ 2）如图②，在矩形 ABCD中， AB＝ 2， BC＝ .请你在图②中矩形 ABCD的边上画出使∠ BPC＝ 60°的点 P；
（ 3）如图③，在正方形 ABCD中， AB＝ 2， BC＝ .请你在图③正方形 ABCD的边上画出使∠ BPC＝45°的点 P.
3. 如图，线段 AB 和动点 C 构成△ ABC， AB＝ 2，∠ ACB＝120°，则△ ABC周长的最大值为 ___________.
.
模型二：“隐形圆”解角的最值
.
B D
＝∠ E；如图②，∠ F＞∠ B＞∠ G.
4. 如图，线段 AB 是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线
b 上，在直线
b 上是否存在一点
P，使得球
员在 P 点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由 .
5. 如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（ 1， 0），（ 5， 0），点 P 是该直角坐标系内的一个动点 .
（ 1）使∠ APB＝30°的点 P 有 ________个；
（ 2）若点 P 在 y 轴上，且∠ APB＝ 30°，求满足条件的点 P 的坐标；
2019年中考初三数学专题系列
辅助圆
模型一： “隐形圆”解点的存在性
模型分析 “定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上.
1. 如图，已知线段AB.
（1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P；
（2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P；
（3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.
2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；
（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P.
3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________.
.
模型二：“隐形圆”解角的最值
模型分析 同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.
4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由.
5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.
（1）使∠APB＝30°的点P有________个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由.
模型三：“隐形圆”解线段的最值
模型分析 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）：
