数学中考复习专题解析及测试专题《圆》

专题七《圆》

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考点分析:

内容 要求

1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位巻关系以及其有关概念 I

2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之 间的关系 II

3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆 周角的知识进行有关的推理论证及计算 II

4、垂径泄理的应用及逆泄理的应用，会添加与之相关的辅助线 II

5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用 II

命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和而积的汁算, 另外也会考査圆与勾股左理、相似三角形知识的综合应用.其中，点和圆、直线和圆的位程 关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三 角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考査.

从2005和2006年并地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到 10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至 14%左右，不难看岀正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低.预测2008年中考这部分 内容的考査会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查.

•难题透视

例1如图7J,在0O中，弦AD平行于弦若ZAOC = 80 ,则 _______________________ 度.

【考点要求】本题主要考査圆中圆心角与圆周角之间的关系.

【思路点拔】TZB二丄ZAOC, ZAOC = 80 2

AZB=40°

VAD/7BC

••• ZZMB = ZB=40°

【答案】填：40

【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系.突破方法：抓住 题中的所在条件.如本题中的两条弦平行，由此可将ZDAB转化为ZABC,然后再利用圆

周角与圆心的角关系求解.

解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的 圆周角等于圆心角的一半.同时还要根拯平行线的性质进行解题.

例2如图AB是的0O的直径，BC、CD、DA是OO的弦，且BC=CD=DA,则

ZBCD=()

A. 100° B・ 110° C・ 120° D・ 135°

【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是 半圆等基本知识. 【思路点拔】VAB是的00的直径

/. ACB度数是180°

I BC=CD=DA

图7-2 /. BC = CD = DA

VZBCD=1（18O°+ 60° ）=120°

【答案】选填C

【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆 中相等的弦所对的狐相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦, 其所对的圆心角等于180%以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理 解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数.

例3已知：AB和CD为0O的两条平行弦，OO的半径为5cm, AB=8cm, CD=6cm>

求AB、CD间的距离是.

【考点要求】本题考査圆中弦、弦心距等与弦有关的计算

问题.

【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此

可确左岀圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心 的同侧；二是位于圆心的异侧.如图8-3：过O作EF丄AB, 分别交AB、CD于E. F,贝lj AE=4 cm. CF=3 cm,由勾股定 理可求出OE=3cm, 0F=4cin・故当AB、CD在圆心异侧时， 距离为7 cm,在圆心同侧时，距离为lcm・

【答案】填：7 cm或lcm

【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另 一情形；二是辅助线的添加.突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时, 应全而考虑各种可能情况.圆中与弦有关的讣算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距, 以构造直角三角形，从而应用勾股左理进行il•算.

例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道， 需确左管道圆形截而的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水 部分的截面.

（1） 请你补全这个输水管道的圆形截而；

（2） 若这个输水管道有水部分的水而宽AB = 16cm,水而最深刘 为4cm,求这个圆形截面的半径.

【考点要求】本题考查圆内心的确左，及与弦有关计算问题，同爪 动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力.

【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答.

（2）过O作OC丄AB于D ,交弧AB于G

VOC丄AB , •••BD=1AB=Lxl6=8cm.

2 2 由题意可知，CD=4cm・ 设半径为xcm,则OD= (x—4)

cm. 在RtABOD中，由勾股定理得： OD2 + BD2=OB2, /.(x-4)24-82=x2・

Ax=10 ・

【答案】这个圆形截而的半径为10cm. 【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆而或者补(B)

B 全之后不知如何进行讣算.突破方法：补全圆而的关键在于确泄圆心，然后再利用勾股泄理 进行计算.

解题关键：确左圆心时，主要根据圆的泄义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分

线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形.

例5如图7-7,有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工 艺品反面两耳连线中点D处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜 边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确泄点D的位程（画出图形表示）， 并且分別说明理由.

【考点要求】本题考査线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确左，考查学生综

合运用知识的能力.

【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径左理，如图7-8中，图

①，画TH的垂线L交TH于D,则点D就是TH的中点.

方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T、H画HC丄TO, TE丄HO, HC与TE 相交于点F,过点0、F画直线L交HT于点D,由画图知,©△HOCWRtZVTOE,易得HF=TF, 又OH=OT,所以点0、F在HT的中垂线上，所以HD=TD 了，则点D就是HT的中点.

方法三：如图③，（原理同方法二）

① ② ③

图7-8

【答案】见图.

【方法点拨】这一道题有一泄的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角 板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开.突破方法：充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径立理或者构造全等的直角三角形来确 左弦的中点.

例6如图7・9, AB是OO的直径，BD是0O的弦，延 长BD到点C, DC=BD,连接AC交OO与点F.

（1） AB与AC的大小有什么关系?为什么？

（2） 按角的大小分类，请你判断AABC属于哪一类三

角形，并说明理由.

【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应 用.

【思路点拔】（1）（方法1）连接DO , VOD是AABC

的中位线，

•••DO〃CA, VZODB=ZC, AOD=BO , AZOBD = ZODB.

AZOBD=ZACB> A AB=AC

（方法2）连接AD, VAB是00的直径，•••AO丄BC,

•••BD=CD, A AB=AC

（方法 3）连接 DO VOD 是厶ABC 的中位线,.\OD=-AC ,OB=OD=-AB, .\AB=AC 2 2

（2）连接 AD, VAB 是。O 的直径,A ZADB=90°

AZB

VAC和OO交于点F,连接BF,

AZA

【答案】（1）AB = AC； （2） AABC为锐角三角形

【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将

问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形.突破方法：判断或证明线段的大小关 系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中， 往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行 判断，而不是边的大小关系.

解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明.

例7如图7-13,已知AB为00的直径，弦CD丄AB,垂足为H・

（1） 求证：AH AB=AC2：

（2） 若过A的直线与弦CD （不含端点）相交于点&与00相交于点 F.求证：AEA&AC2：

（3） 若过A的直线与直线CD相交于点P,与OO相交于点Q,判断

APAQ^AC1是否成立（不必证明）・

【考点要求】本题考査与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证

明题.

【思路点拔】（1）连结CB, TAB是OO的直径，•••ZACB=90。.

而ZCAH=ZBAC, :.ACAH^ABAC.

AC AU

= 9 即 AH AB^AC1 ・

AB AC

(2)连结 FB,易证ZHES'AFB、

••・AE・AF=AH・AB,

:.AEAF=AC2 ・

(也可连结CF,证△AECs/\ACF)

(3)结论AP AQ=AC2成立. 图7-9 【答案】（3）结论AP AQ^AC2 3成立.

【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式 比较合适.突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH-AB=AC2^. 可将英先转化为—=—,然后从比例式中对应边的比容易看岀证明的目标为 AB AC

ACAW-ABAC,从而使得解题变得有的放矢.

解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容 易证明角相等・

•难点突破方法总结

在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽疑注意巧妙而又快速地找到其突破口， 把题目由繁化简，变难为易.归纳下来，有这样几个方而值得考生们注意：

1. 掌握解题的关键点.（1）有直径，常作其所对的圆周角：（2）有切线，常将切点与圆 心连结起来：（3）有关弦的问题，常需作弦心距.联系垂径泄理和直角三角形中的勾股龙理:

（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判左问题，根据题目条 件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径.

2. 重视基本左理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法.

3. 重视数学思想方法的应用.运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论 思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计.

•拓展演练

一、选择题

1. 已知OO的半径为5cm, A为线段OP的中点，当OP=6cm,点A与的位置关系时 （）

A.点A在OO内B.点A在OO上C.点A在0O夕卜 D.不能确定

2. 已知OOi与002的半径分别为3cm和4cm,圆心距=10cm,那么OCh与OO2的位置关 系是（）

A.内切B.相交 C.外切 D.外离

3. 下列语句中正确的有（ ）

①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③长度相等的两条弧是等弧④经 过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.