中考数学《隐形圆》专题练习

专题11 隐圆问题

直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题

类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

典例1 如果圆22(2)(3)4xaya上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________

类型二 由圆周角的性质确定隐形圆

典例2 已知圆22:5,,OxyAB为圆O上的两个动点，且2,ABM为弦AB的中点，

22,,22,2CaDa.当,AB在圆O上运动时，始终有CMD为锐角，则实数a的取值范围为__________．

类型三 两定点A、B，动点P 满足(0,1)PAPB确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）

典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3

倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．

（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： 3sin17,335.74466 ）

（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

1．已知ABC中， 3ABAC， ABC所在平面内存在点P使得22233PBPCPA，则ABC面积的最大值为__________．

2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B，C 为圆224xy上两点， 点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC 的长的取值范围为_______

隐形圆最值问题初中题型

隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。

以下是一个典型的隐形圆最值问题：

问题： 已知一个正方形的周长为20cm。在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。求这个圆的最大半径。

解答： 设正方形的边长为a，圆的半径为r。根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。

根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm

设圆的半径为r，圆的直径为2r。由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5

解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm

因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。

在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。

1 专题：隐形的圆——“道是无圆却有圆”

方法技巧

常见的隐圆有两类：(1)到定点的距离等于定长的点在同一个圆上(圆的定义)；(2)若定长线段的张角是定角(定弦定角)，则定角的顶点在定弦所对的一条弧上运动．利用“辅助圆”的丰富性质转换角，求线段的长或最值是隐圆类问题的基本模式．

题型一 利用“定点定长”构隐圆

【例1】如图，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE＝1，求BP的最大值．

【例2】如图，O是长度为4的线段AB上的一点，且OA＝1，以OA为半径作⊙O，点M是⊙O上的一动点，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC＝90°(M，B，C三点为逆时针顺序)，连接AC．求AC长度的取值范围．

2 题型二 利用“定弦定角”构隐圆

【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点P为对角线BD上的一点，作PE⊥AP交BC于点E．若∠CAE＝15°，求PBPE的值．

【例4】如图，⊙O的半径为1，AB为⊙O的弦，将弦AB绕点A逆时针旋转120°，得到AC，连接OC，求OC长度的最大值．

针对练习6

1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦(CD与AB不平行)，点M是CD的中点，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F．

①当∠EMF＝60°时，求CDAB的值；

②当∠EMF＝90°时，CDAB的值为 ；当∠EMF＝120°时，CDAB的值为 ．

3 2．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是⌒AB上的一点，且∠AOC＝120°，点P是⌒AC上的一动点，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，CD⊥OB于点D，求证：EF＝CD．

3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q．求DQ的最小值．

4．如图，△ABC的两个顶点A，B在半径为6的⊙O上，∠A＝30°，∠B＝90°，点C在⊙O内．当点A在圆上运动，且OC的长最小时，求弦AB的长．

高中数学拓展训练【隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题】

近年来阿波罗尼斯圆及隐圆问题受到命题者的广泛青睐，难度为中档、高档题目.该类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.对优化思维过程，提升数学解题能力，培养学生数学核心素养大有裨益.

【典例1】 (1)已知点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，若点C(5，－1)，那么|BC|的最大值为( )

A.16 B.14

C.12 D.10

(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是( )

A.[0，2] B.[－52，1]

C.[－2，2] D.[－2，0]

答案 (1)C (2)B

解析 (1)动直线方程化为m(x－1)＋n(y－3)＝0，知恒过定点Q(1，3).

又∵点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，

∴∠ABQ＝90°，则点B的轨迹是以AQ为直径的圆，

∴圆心为AQ的中点M(－2，－1)，

圆的半径r＝12|AQ|＝5.

又|MC|＝（5＋2）2＋（－1＋1）2＝7>r＝5，

∴点C(5，－1)在圆M外，

故|BC|的最大值为r＋|MC|＝7＋5＝12.

(2)设点P(x，y)，且PA→·PB→≤20. ∴(x＋12)x＋y(y－6)≤20，则(x＋6)2＋(y－3)2≤65，

则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，

联立x2＋y2＝50，x2＋y2＋12x－6y＝20，得x＝1，y＝7或x＝－5，y＝－5.

结合图形(图略)可知－52≤x≤1.

点津突破 1.题目条件隐含“圆M”及“圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65”，从而借助几何直观求解最值与范围.