关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

级数收敛与发散的判定方法级数是由一系列连加的无穷项组成的数列。

在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是一个重要的问题。

下面我将介绍几种常见的方法来判定级数的收敛性或发散性。

一、正项级数收敛判定法正项级数是指级数的每一项都是非负数。

对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判定其收敛性或发散性。

1. 比较判别法：如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个已知收敛的正项级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个正项级数的每一项都大于等于另一个已知发散的正项级数的对应项，那么这个级数也是发散的。

2. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。

3. 根值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的根的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。

二、交错级数收敛判定法交错级数是指级数的每一项交替正负。

对于交错级数，我们可以使用以下方法进行判定。

1. 莱布尼茨判别法：对于交错级数，如果级数的每一项绝对值递减趋向于零，并且满足单调性条件，即后一项的绝对值不大于前一项的绝对值，那么该级数收敛。

三、级数收敛判定法对于非正项级数，也有一些方法可以判定其收敛性。

1. 绝对收敛判别法：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛。

2. 条件收敛判别法：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么它是条件收敛的。

四、其他级数的判定方法除了上述常见的判定法外，还有一些特殊的级数判定方法。

1. 积分判别法：将一个级数与一个函数的积分进行比较，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。

2. 定积分法：将级数的前n项求和表示为一个关于n的函数，然后对该函数进行定积分，如果定积分收敛，则级数收敛；如果定积分发散，则级数发散。

总结：级数的收敛与发散的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法、条件收敛判别法、积分判别法和定积分法等。

级数敛散性判别方法的归纳级数是数列之和的概念在数学中的推广。

级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。

下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。

一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。

1.比较判别法对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。

2.比较判别法的极限形式对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：（1）若0<c<∞，则∑b_n收敛或发散，则∑a_n也收敛或发散。

（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。

比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。

二、比值判别法比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。

对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。

比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。

三、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。

对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；（2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛；（b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。

第二节 正项级数及其敛散性判别法正项级数是数项级数中比较简单，但又很重要的一种类型．若级数∑∞=1n nu中各项均为非负，即u n ≥0(n =1，2，…)，则称该级数为正项级数．这时，由于u n =s n -s n -1， 因此有s n =s n -1＋u n ≥s n -1,即正项级数的部分和数列｛s n ｝是一个单调增加数列．我们知道，单调有界数列必有极限，根据这一准则，我们可以得到判定正项级数收敛性的一个充分必要条件．定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是正项级数∑∞=1n nu的部分和数列｛s n ｝有界．例1 试判定正项级数∑∞=122sin n nnπ的敛散性． 解 由s n =21121121218141212sin 8sin 4sin 21264-⎪⎭⎫⎝⎛-=++++<++++n n nn πππ＜1, 即其部分和数列｛s n ｝有界，因此正项级数∑∞=1πn nn2sin 2收敛． 直接应用定理1来判定正项级数是否收敛，往往不太方便，但由定理1可以得到常用的正项级数的比较判别法．定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，如果存在正整数N ，使当n＞N 时，u n ≤v n 成立，那么(1) 若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；(2) 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散．证 我们不妨只对结论(1)的情形加以证明. 设∑∞=1n nu的前n 项和为A n ，∑∞=1n nv的前n 项和为B n ,于是A n ≤B n ．因为∑∞=1n nv收敛，由定理1，就有常数M 存在，使得B n ≤M (n =1,2,3,…)成立．于是A n≤M (n =1,2,3,…)，即级数∑∞=1n nu的部分和数列有界，所以级数∑∞=1n nu收敛．证明结论(2)的方法与上面相同，读者不难自行完成． 推论1 (比较判别法的极限形式) 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv满足nnn v u ∞→l i m=ρ，则(1) 当0＜ρ＜+∞时，∑∞=1n nu与∑∞=1n nv具有相同的收敛性；(2) 当ρ=0时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(3) 当ρ=+∞时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu亦发散．证 (1) 由于nnn v u ∞→lim=ρ＞0，取ε=2ρ＞0，则存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-n n v u ＜2ρ即n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ρρ＜u n ＜n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2ρρ．由比较判别法，知结论成立．结论(2)、结论(3)的证明类似，请读者自己完成．例2 判断级数∑∞=1n nn 31sin2的收敛性． 解 由于0≤2n n 31sin ＜2n ·n 31=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32，而级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n 收敛，由比较判别法知∑∞=1n n n 31sin2收敛． 例3 讨论p -级数∑∞=1n pn1的敛散性．解 当p =1时，p -级数即为调和级数∑∞=1n n 1,它是发散的． 当p ＜1时，p n 1≥n 1＞0，由∑∞=1n n 1发散及比较判别法知，∑∞=1n p n1发散．当p ＞1时，由习题8-1的习题3知，正项级数加括号不影响其收敛性．现对级数从左至右依次按1，2，22， (2),…个项对p -级数加括号，得１＋⎪⎭⎫⎝⎛+p p 3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++p p p p 71615141+⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181 +…． 而⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 3121＜⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 2121=121-p ,⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 7141＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 4141 =2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 8181 =181-p =3121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，………………于是，p -级数加括号后的级数的每一项均小于以r =121-p （＜1)为公比的等比级数的相应项，而该等比级数收敛，故由比较判别法知，原级数∑∞=1n p n 1收敛． 综上所述，当p ＞1时，∑∞=1n p n 1收敛；当p ≤1时，∑∞=1n p n1发散．例4 判断级数∑∞=+1n n n )1(12的敛散性．解 因为231)1(1lim2n n n n +∞→=nn n n +∞→323lim =2111lim n n +∞→=1，而p -级数∑∞=1231n n收敛(p =23＞1)，故由推论1知∑∞=+1n n n )1(12收敛．例5 试证明正项级数∑∞=+++1n n nn 2512发散． 证 注意到2512+++n n n ＞28n n =n181⋅ (n =1,2,3,…)，因调和级数∑∞=1n n1是发散的，由比较判别法知，∑∞=+++1n n n n 2512发散．仔细分析例4与例5，我们就会发现，如果正项级数的通项u n 是分式，而其分子分母 都是n 的多项式(常数是零次多项式)，只要分母的最高次数高出分子的最高次数一次以上(不 包括一次)，该正项级数收敛，否则发散．利用比较判别法，把要判定的级数与等比级数比较，就可建立两个很有用的判别法．定理3 ［达朗贝尔(d ′Alembert)比值判别法］ 设有正项级数∑∞=1n nu，如果极限n n n u u 1lim+∞→=ρ，那么(1) 当ρ＜1时，级数收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，级数发散；(3) 当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散． 证 (1) 由于nn n u u 1lim+∞→=ρ＜1，因此总可找到一个小正数ε0＞0，使得ρ+ε0=q ＜1．而对此给定的ε0，必有正整数N 存在，当n ≥N 时，有不等式ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＜ρ+ε0=q ． 这就是说，对于正项级数∑∞=1n nu，从第N 项开始有u N +1＜qu N ， u N +2＜qu N +1＜q 2u N ，…．因此正项级数u N +u N +1+u N +2+…=nn Nu∞=∑的各项(除第一项外)都小于正项级数u N +qu N +q 2u N +…=∑∞=1n Nu ·q n -1 的各对应项，而级数∑∞=1n Nuq n -1是公比的绝对值|q|＜1的等比级数，它是收敛的，于是由比较判别法可知，级数nn Nu∞=∑收敛，由上节性质1，知∑∞=1n nu也收敛．(2) 由于nn n u u 1lim +∞→=ρ＞1,可取ε0＞0，使得ρ-ε0＞1．对此ε0，存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＞ρ-ε0＞1 这就是说正项级数∑∞=1n nu从第N 项开始，后项总比前项大．这表明n n u ∞→lim ≠0，因此，由级数收敛的必要条件可知，正项级数∑∞=1n nu发散．(3) 当ρ=1时，正项级数∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．这个结论从p -级数就可以看出．事实上，若∑∞=1n nu为p -级数，则对于任意实数p ，有nn n u u 1lim+∞→=ppn n n 1)1(1lim +∞→=1, 但当p ≤1时，p -级数发散；p ＞1时，p -级数收敛．例6 试证明正项级数∑∞=1πn nn 3tan 2收敛．证 因为n n n u u 1lim +∞→=nn n n n 331tan 2tan 2lim 1ππ⋅⋅++∞→=32＜1，所以由比值判别法知，级数收敛．例7 讨论级数2!∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1n n x n （x ＞0）的敛散性．解 因为nn n u u 1lim +∞→=n n n n x n n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→!1)!1(lim 1=ex n x nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim， 所以当x ＜e,即e x ＜1时，级数收敛；当x ＞e ，即ex＞1时，级数发散． 当x =e 时，虽然不能由比值判别法直接得出级数收敛或发散的结论，但是，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11是一个单调增加而有上界的数列，即nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11≤e (n =1,2,3,…)，因此对于任意有限的n ，有n n u u 1+=n n n n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111e＞1． 于是可知，级数的后项总是大于前项，故n n u ∞→lim ≠0，所以级数发散．例7说明，虽然定理3对于p =1的情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在n n n u u 1lim+∞→=1的过程中，n n u u1+是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的．此外，凡是用比值判别法判定发散的级数，都必有n n u ∞→lim ≠0．定理4 ［柯西(Cauchy)根值判别法］ 设正项级数∑∞=1n nu满足n n n u ∞→lim =ρ，那么(1) 当ρ＜1时，∑∞=1n nu收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，∑∞=1n nu发散；(3) 当ρ=1时，∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．它的证明与定理3的证明完全相仿，这里不重复了．但同样要注意的是，若ρ=1，则级数的敛散性仍需另找其他方法判定．例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12的敛散性．解 因为n nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim =12lim +∞→n n n =21＜1, 故级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12收敛．例9 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛1n na x 的敛散性，其中x ,a 为正常数．解 因为n nn a x ⎪⎭⎫⎝⎛∞→lim =ax a x n =∞→lim ． 故当x ＞a 时，a x＞1，级数发散；当0＜x ＜a 时，ax ＜1，级数收敛；当x =a 时，一般项u n =1不趋于零，级数发散．习题9-21． 判定下列正项级数的收敛性： (1)∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2)∑∞=+1n n n 1; (3)∑∞=++1n n n n )2(2;(4)∑∞=+1n n n )5(12；(5)∑∞=+1n na )1(1(a ＞0); (6)∑∞=+1n nba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n 22 (a ＞0);(8)∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nnn 23； (10) ∑∞=1n nn n !;(11)∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12)∑∞=1n n n3； (13)∑∞=1n n n 22)!(2；(14) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn 3sin 2;(16) ∑∞=1πn nn n 2cos 32． 2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n nnx ;(2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。

求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。

以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。

1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。

例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。

但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。

2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。

若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。

其中，$a_n$和$b_n$都是正数。

3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。

该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。

此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。

将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。

若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。

一、 正项级数敛散性的判别设∑∞=1n n u 是正项级数，假设 0lim ≠∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 发散。

若0lim =∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散。

可依照下面的思路判别其敛散性。

(1)若是通项n u 包括有n ！之类的因子，或关于n 的假设干因子连乘形式，那么用比值判别法，即ρ=+→∞n n n u u 1lim ，那么当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。

若是nn n u u 1lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n nv 应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。

(2)若是通项n u 包括有n 或关于n 的函数为指数的因子，那么用根值判别法，即ρ=∞→n lim n n u ，那么当1<ρ时∑∞=1n nu收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。

若是n lim n n u →∞不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，那么∑∞=1n n u 发散。

(3)当n u 不是以上情形时，寻觅∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的经常使用公式和麦克劳林展开式，取得)0(~>C nCu n α，第八讲 常数项级数敛散性的判别等价的通项，两级数应具有相同的敛散性。

因此当1>α时∑∞=1n n u 收敛；当1≤α时∑∞=1n nu发散。

数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。

在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。

下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。

1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。

即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。

2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。

如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。

5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。

6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。

具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。

正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。

在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。

这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。

我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。

对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。

本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。

希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。

1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。

正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。

正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。

通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。

深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。

1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。

关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。

在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。

目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。

这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。

正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。

判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。

一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。

二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。

三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。

四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。

五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。

这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。