向量的加减法运算ppt课件

2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
共线
或重合 ，则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ，
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a，b，a∥b的充
要条件是存在实数λ，使 a=λb (b≠0).
如图所示，点P在l上的充要条
共线 向量
件是：
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量，t∈R，
三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和 减法运算(如图)：
OAOC
D
CO AO
2．空间向量的数乘
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量，
称为
数乘 ．
当λ＞0时，λa与a方向 相同
；当λ＜0时，
λa与a方向
相反 ；λa的长度是a的长度的|λ|

【例2】
如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且
=a, =b, =c,试用 a,b,c 表示向量, , .
分析:寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三
角形法则或平行四边形法则表示即可.
解:∵四边形 ACDE 为平行四边形,
∴ = =c, = − =b-a.
在平面内任取一点 O,作=a, =b,则向量
a-b=.如图所示
作法
如果把两个向量 a,b 的起点放在一起,则 a-b
几何意义
可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的
Hale Waihona Puke 终点的向量探究一向量的减法运算
【例 1】 化简下列各式:
(1) − + − ;
(2)( + )+( + )-( − ).
解:(1) − + − = + − = −
=0.
(2)( + )+( + )-( − )=( + )+( + )( − )= + − = − = .
探究二用已知向量表示未知向量
∴ = + =b-a+c,
= − =c-a, = − =c-b.
探究三向量加减法的综合运用
【例 3】 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外的一点,且向量
, , , 满足 + = + ,则四边形 ABCD 的形状
= + − =r3+r1-r2.
典例如图,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C
的向量分别为 r1,r2,r3,求 .

(3)用 a,b,e 表示 ;
(4)用 d,c 表示 .
解 由题图知, =a, =b, =c,=d,=e.
(1) = + + =d+e+a.
(2) = − =- − =-b-c.
(3) = + + =e+a+b.
B.矩形
C.正方形
D.不确定
(2)已知| |=6,| |=9,求| − |的取值范围.
分析(1)先由 = 判断四边形 ABCD 是平行四边形,再由向量减法的几何
意义将| − |=| − |变形,进一步判断此四边形的形状.(2)由
|| |-| ||≤| − |≤| |+| |求范围.
(5) − = − -( − )= − =f-d.
知识点二、向量减法运算及其几何意义
定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法
已知向量a,b,在平面内任取一点O,
作=a,=b,则=a-b.如图所示
用几何法求两个向量的差时,这一步至关重要
几何
意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b
的终点指向向量a的终点的向量
边三角形.故选 A.
4.化简: + − − =
.
答案 0
解析 + − − = + -( + )= − =0.
5.如图,已知=a,=b, =c,=d, =f,试用 a,b,c,d,f 表示以下向量:
(1) ;(2) ;
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
变式训练如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且

【审题路线图】1.向量的加减运算⇒向量加减法的三 角形法则⇒化简. 2.看到作图⇒向量加减法的三角形法则⇒作图的一般步 骤⇒作图.
【解析】1.选B.根据题意,得 AB BC AD AC AD DC. 2.方法一:如图①,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b， 则 OB＝a＋再b作， 则OC＝c， CB＝a＋b－c.
【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应 用.
3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分析 图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b，
则OB＝a＋再b作， 连CB接＝cO，C,则
OC＝a＋b－c.
【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b, 然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的 起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量.
3.设a表示向西走10km,b表示向北走10 3 km,则a-b表 示( ) A.向南偏西30°走20 km B.向北偏西30°走20 km C.向南偏东30°走20 km D.向北偏东30°走20 km 【解析】选A.由减法的三角形法则易求得.
4. PA PB =________. 【解析】 PA PB BA. 答案:
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性

∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，

A
2b
a
b
b
a
O
[类似题]已知非零向量e1和e2不共线，如果 AB e1 e2 ,
BC 2e1 8e2 ,CD 3 e1 e2 , 证明：ABD三点共线.
2.[逆向使用]已知非零向量e1和e2不共线，欲使ke1 e2和
e1 ke2共线，确定实数k的值.
3.[课本例题 ]如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 AB a, AD b，用a, b表示MA, MB, MC , MD.
完毕课本84页练习
平面对量旳线性运算
——向量旳减法运算
预备知识：相反向量
类比实数旳相反数旳概率，定义相反向量：
与a长度相等，方向相反旳向量， 叫做a旳相反向
量，记作-a ; -a与a互为相反向量
要求：零向量旳相反向量仍是零向量
所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；
3、
a=-b，b=-a，a+b=0
1.已知a,
b是两个非零向量,下列说法正确的有
概念辨析
_____ .
(1) 2a的方向与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的 2 ； 5
(2)a b与（b a）是一对相反向量；
(3)若a, b不共线，则 a( 0)与b不共线；
2.下列说法正确的个数是 _______
(1)若 a 0，则 0；(2)若 0，则 a 0；
探究：
问题：已知OA和OB不共线，AC t AB(t R), 试用OA和OB表示OC .
特例：对于OC (1 t)OA tOB,当t 1 时，你知道其几何意义 吗？ 2
中点公式向量表示法： C为AB中点，则OC OA OB 2

经典例题
题型二 利用已知向量表示其他向量
总结 三个技巧 1.搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三 个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． 2.注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交 换律来分析解决问题． 3.注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
又|A→D＋C→D|＝|D→A＋D→C|＝|D→B|，|C→D－C→B|＝|B→D|＝|D→B|，∴D 正确；
A 肯定不正确，故选 BCD．
当堂达标
4.已知 A，B，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若P→A ＋P→B ＝P→C ＋A→B ，则下列结论正确的是( ) A．点 P 在△ABC 内部 B．点 P 在△ABC 外部
经典例题
题型一 向量加减法法则的应用
例1 化简(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 解：方法一(统一成加法) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝ A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝A→D＋D→A＝0. 方法二(利用减法)
(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(A→B－A→C)－C→D＋B→D
课堂小结
知识点： 1.相反向量 2.向量减法 3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系 题型： 1. 向量加减法法则的应用 2.利用已知向量表示其他向量 3.向量减法的应用
课后作业
对应课后练习
C．点 P 在直线 AB 上 √D．点 P 在直线 AC 上
解析：因为P→A ＋P→B ＝P→C ＋A→B ，所以P→B －P→C ＝A→B －P→A ， 所以C→B ＝A→B ＋A→P ，C→B －A→B ＝A→P ，即C→A ＝A→P . 故点 P 在边 AC 所在的直线上．

a
(2) 三角形法则
b
向量的加法符合下列运算规律：
（（12））交结换合律律：：aa
b b
cb
(aa.
b)
c
a
a a
(b
b
c ).
多个向量相加，可以按照三角形法则.
负向量：大小相a 等但方向a相反的向量.
减法：a b a (b)
ab
b
a
ab
特例：a
(a)
0.
b
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
λα
φ1 = φ φ1=π- φ
Prj(λα)= 0 =λPrjlα；
λ<0
（二） 向量的坐标表示
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
向量平行 方向相反或者方向b 相同的向量a
a//b
零向量和任何向量都平行.
三、向量的线性运算
（一） 向量的加 减法
加法：a b c
(1) 平行四边形法则
b c
a
b
c
a
(b )
ab
（向(二((123量))）)aa向与000,,,量实aaa与数与 与数aa0的2同 的反a乘向乘向法，积，|| 记aa作|||a||12,a规a||a定 | a是一个向量.

一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD
讲 课 人 ： 邢 启 强
6向.2量.3数乘向运量算数及乘其运几算何及意其义几—何人意教义版—高山中东数省 学滕新州教市 材第必一修中 第学二人册教 优版秀高课中 件数学新 教材必 修第二 册课件( 共19张 PPT)
所以四边形ABCD为梯形
17
深化练习 6向.2量.3数乘向运量算数及乘其运几算何及意其义几—何人意教义版—高山中东数省学滕新州教市材第必一修中第学二人册教优版秀高课中件数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
1. 如图, 在任意四边形ABCD中, E、F 分别是AD、BC的中点. 求证：AB DC 2EF .
2
学习新知
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
a
aaa
a a a
OA
B
C
N
M
QP
OC OA AB BC a a a
记: a a a 3a 即: OC 3a.
同理可得: P N ( a ) ( a ) ( a ) 3 a
讲
课
(1a 2b)=1a 2b
启 强
6
向量数乘运算及其几何意义—人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 优秀课 件
典型例题 向量数乘运算及其几何意义—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件
例1：计算：
（1）(3)4a ； 12a
5b （2）3 (a b ) 2 (a b ) a

（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BDCD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
练习、如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o，
B.a＋b
√ D.a－b
解析 C→A＝B→A－B→C＝a－b.
12345
2.化简O→P－Q→P＋P→S＋S→P等于
→ A.QP
→ C.SP
√→ B.OQ → D.SQ
解析 原式＝(O→P＋P→Q)＋(P→S＋S→P)＝O→Q＋0＝O→Q.
12345
3.已知在四边形ABCD中，D→B－D→A＝A→C－A→D ，则四边形ABCD一定是
√A.平行四边形 C.矩形
B.菱形 D.正方形
解析 由D→B－D→A＝A→C－A→D，可得A→B＝D→C， 所以四边形ABCD一定是平行四边形.
12345
4.下列等式成立的个数是
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A.5
√ B.4
C.3
D.2
解析 由题意知，①③④⑤成立.
6.2.2 向量的减法运算
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b b bO b
b b
b
bb
a+b