相似三角形的性质测试题(A卷)

第24章 相似三角形全章复习与测试【知识梳理】1.相似形ìïíïî定义：的两个图形；性质：若两个多边形是相似形，则这两个多边形，对应边同形状相对应角相等例.长度成的比2.比例线段2,,,;,,.P AB ;0.61:8:AP a b c d a c b d a c b d a c k b a b c d ad bc a B b c c b d a c a c k b d b d PB AB d AP P AB AP ìíîì=Ûïïï=íïï==ïîìï×í==»==±±=+===+=两条线段的比：两条线段的的比；概念比例线段：若，则叫成比例线段；基本性质：性质合比性质：若则；等比性质：若则定义：点分线段成且黄金分割金分割数：长度黄ìïïïïïïïïíïïïïïïïïïîî3.三角形一边的平行线.ììïïïïíïïïïïîíìïïíïïî平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的；性对应线段成比例截得的三角形原三角形对形应成比例平行于三角质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，与的三边截形的第三边同若一直线截三角的两边所得的对应线段成比例，则这条直线；判定定理推论：若一直线三角形的两边的延长线（在第三边）所得的对应线段成比例，则这条；侧平行于直线三角形的第三边ïïïïïî4.三角形的重心ìïíïî定义：三角形三条的交点；定理：三角形的重心的距离，它中线到一个顶点等于到的顶距离的两个倍点.这点对边中5. 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例；平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.6. 相似三角形的判定相似三角形的123Rt .ìïïïïíïïïD ïî预备定理：平行于三角形的直线截其它两边所在的直线，与；判定定理：，两个三角形；判定定理：且截得的三角形原三角形相似两角对应相等相似角，两个三形；判定定理：，两个三角形；相似的判定：似和对应成比例，两相两边对应成比例夹角相等三边对应成比例相斜三个边直角边直角角形相似7.相似三角形的性质123ìïïíïïî基本性质：相似三角形的，；性质定理：相似三角形、和都等于；性质定理：相似三角形的等对对于；分性质比定应理应角相等对应边成比例对似：相似三角形高的比应中线的比对应角平线的相比周长的比相似比面积比的等于.的比相似的平方注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.8.实数与向量相乘：设k 是实数，a r 是向量，那么k 与a r 相乘所得的积是一个向量，记作ka r .若00k a ¹¹r r 且，则,|||0|||0,k k ka ka ka ka a k ka a a ì=ïí><ïîr r r r r r r r 的长度：；的方向当同向反向：时与；当时与；若=00k a =r r 或，则0ka =r r ；9.运算律：（1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()ma n n a m a +=+r r r ；（2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()a k k kb a b +=+r r r r ；（3）实数与向量相乘的结合律：)()(a a m n mn =r r .10.平行向量定理： 如果向量b r 与非零向量a r 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =r r .11.单位向量：长度为1的向量；设与非零向量a r 方向相同的单位向量为0a uu r ，则：0||a a a =r r uu r ， 01||a a a =uu r r r .12.向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算.已知,a b r r 是两个不平行的向量，向量c r 可以用,a b r r 表示成c xa yb =+r r r （x ，y 是实数）的形式.那么：向量c r 就是向量xa yb r r 与的合成（向量c r 分解为xa yb r r ，两个向量）；向量xa yb r r 与是向量c r 分别在,a b r r 方向上的分向量，或者xa yb +r r 是向量c r 关于,a b r r 的分解式.【考点剖析】一．三角形的重心（共7小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（ ）A ．三角形三条角平分线的交点B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条边的垂直平分线的交点D ．三角形三条高的交点2．（2023•黄浦区二模）已知点G 是△ABC 的重心，设，，那么用、可表示为 ．3．（2023•奉贤区一模）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD ＝6，那么线段DG 的长是 ．4．（2023•浦东新区二模）如图4，AD 过△ABC 的重心G ，设向量＝，＝，那么向量＝ ．（结果用、表示）5．（2023•金山区一模）如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝6，G 1为△ABC 的重心，E 为线段AB 上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt △CDE （点D 在直线BC 的上方），G 2为Rt △CDE 的重心，设G 1、G 2两点的距离为d ，那么在点E 运动过程中d 的取值范围是 ．6．（2023•徐汇区一模）如图，已知G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E．设＝，＝，试用x+y（x、y为实数）的形式表示向量＝ ．7．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为 ．二．*平面向量（共5小题）8．（2023•宝山区二模）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，设，那么用向量表示为（ ）A．B．C．D．9．（2023•浦东新区模拟）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（ ）A．，B．||＝2||C．D．10．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．11．（2023•静安区校级一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．12．（2022秋•嘉定区期中）已知：如图，已知两个不平行的向量、．求作：﹣2（写出结论，不要求写作法）．三．比例的性质（共5小题）13．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（ ）A．B．C．D．14．（2023•徐汇区一模）已知，则＝ ．15．（2023•崇明区一模）如果＝（x≠0），那么＝ ．16．（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．17．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．四．比例线段（共3小题）18．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（ ）A．8B．6C．4D．119．（2023•奉贤区一模）已知线段a＝4，b＝16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ．20．（2023•虹口区一模）已知线段b是线段a和c的比例中项，a＝2cm，c＝8cm，则b＝ cm．五．黄金分割（共4小题）21．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（ ）A．B．C．D．22．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（ ）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）23．（2023•金山区一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是 米（结果保留根号）．24．（2023•杨浦区一模）已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞NP），如果MN＝10，那么线段MP ＝ ．六．平行线分线段成比例（共4小题）25．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）A．＝B．＝C．＝D．26．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝27．（2023•徐汇区模拟）如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长，交AC于F，连接CP并延长，交AB于E，连接EF．求证：EF∥BC．28．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求线段DN的长．七．相似图形（共4小题）29．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的边长是 .（用a的代数式表示）．30．（2022秋•浦东新区期中）下列各组中两个图形不相似的是（ ）A．B．C．D．31．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 ．32．（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（ ）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含45°角的直角三角形必相似八．相似三角形的性质（共4小题）33．（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为 ．34．（2023•虹口区一模）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分线的长为6，那么∠A的平分线的长为 ．35．（2023•宝山区一模）已知一个三角形的三边之比为2：3：4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为 厘米．36．（2023•徐汇区一模）两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5，则这两个三角形面积之比为 ．九．相似三角形的判定（共5小题）37．（2023•杨浦区三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）A．1B．2C．3D．438．（2023•松江区一模）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P 是BA延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（ ）A．1B．2C．3D．439．（2023•杨浦区一模）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD＝∠B，下列结论中，错误的是（ ）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE40．（2023•徐汇区模拟）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）A．1B．2C．3D．441．（2023•普陀区一模）在△ABC和△DEF中，已知AB＝AC，DE＝DF，如果从下列条件中增添一个条件，△ABC与△DEF仍不一定相似，那么这个条件是（ ）A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．∠A＝∠E D．一十．相似三角形的判定与性质（共13小题）42．（2023•嘉定区二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC ：S△DBC等于（ ）A．1：2B．1：3C．2：3D．1：443．（2023•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（ ）A．B．C．D．44．（2023•松江区二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（ ）A．B．C．D．45．（2023•崇明区一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，以下条件中不能推出△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A＝∠BCD B．＝C．＝D．＝46．（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（ ）A．4B．8C．D．47．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．48．（2023•奉贤区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF 交AD的延长线于点G．（1）求证：CE＝CF；（2）如果FG2＝AG⋅DG，求证：．49．（2023•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F，AB•DC＝BF•BD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证：EC＝2DG．50．（2023•青浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，点E在边BC上，连接AE 交BD于点F，且AB2＝BF•BD．（1）求证：点F在边AB的垂直平分线上；（2）求证：AD•AE＝BE•BD．51．（2023•虹口区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB＝∠CDE，点F在BD上，联结CF．（1）求证：AD•DE＝AC•DC；（2）如果AD•CE＝DF•DB，求证：四边形DFCE为梯形．52．（2023•宝山区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，OB＝OC．（1）求证：AB＝CD；（2）E是边BC上一点，联结DE交AC于点F，如果AO2＝OF•OC，求证：四边形ABED是平行四边形．53．（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．（1）求证：AG2＝GF•GM；（2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．54．（2023•金山区二模）如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE∥BC（DE＜BC），且DA＝EA，联结BD、CE．（1）求证：四边形DBCE是等腰梯形；（2）点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若CF2＝GF•BF，求证：CG＝DE．一十一．相似三角形的应用（共4小题）55．（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为 米．56．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD ＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 平方厘米．57．（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去测量零件的内孔直径AB．如果＝＝，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是 cm．58．（2022秋•宝山区校级月考）现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝ 米．一十二．向量的线性运算（共2小题）59．（2022•黄浦区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，请用向量，表示向量＝ ．60．（2021•徐汇区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是 （用向量、表示）．【过关检测】一、单选题(本大题共6题，每题4分，满分24分)1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是( )A．a bd c=B．b ac d=C．a bc d=D．b ca d=2．如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是( )A．23ADBD=，23CEAE=B．23ADAB=，23DEBC=C．32ABAD=,12ECAE=D．43ABAD=，43AEEC=3．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )A ．125B ．154C ．95D ．125或954．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 中点，AE⊥AD 交CB 的延长线于E ，则下列结论正确的是( )A ．△AED∽△ACB B ．△AEB∽△ACDC ．△BAE∽△ACED ．△AEC∽△DAC5．已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（ ）．A ．20米B ．30米C ．40米D ．50米6．若向量a r 与b r 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b=r r 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BC CE的值等于________．8．如图，在中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分，，如果10AC =，4AE =，那么BC = ．9．两个相似三角形面积比为1：9，小三角形的周长为4cm ，则另一个三角形的周长为___________cm ．10．把长为10cm 的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是_____cm ．11．在比例尺为1:10000000的地图上，上海与香港之间的距离为12.3厘米，则上海与香港之间的实际距离为______千米．12．如果32x y =，那么3x y y-=______．13．在△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AD =1，DB =2，则△ADE 与△ABC 的面积比为____________.14．在ABC D 中，5,8AB AC BC ===, 那么这个三角形的重心到BC 的距离是________，15．如图，在ABC V 中，10AB =，6AC =，D 为BC 上的一点，四边形AEDF 为菱形，则菱形的边长为______．16．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，12AD AB =，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则12S S 的值等于_________．17．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，CD AB ^，3BCD CAD S S =△△，则:AC BC 的值为______．18．如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P 是 AB 上一个动点，当 PC+PD 的和最小时，PB 的长为___________．三、解答题（19、20、21、22题每题满分10分，23、24题每题满分12分，25题满分14分）19．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．20．如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．（1）求证：△DCP∽△QBP．（2）若13BPPC=，求ABAQ的值．21．已知：如图，Rt△CDE 中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M 为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H（1）求证：MB=MD ；（2）当AB=BC ，DC=DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形．22．如图，已知在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，设BA a =uuu r r ，BC b =uuu r r ；（1）求AD uuu r （用向量,a b r r 的式子表示）（2）如果点E 在中线AD 上，求作BE uuu r 在,BA BC uuu r uuu r 方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）23．已知：275x y z ==，设x A x y z =++，x z B y +=，x y z C x+-=，求A 、B 、C 的值，并且比较它们大小．24．在ABC V 中，2AB AC ==，1BC =，36A Ð=o ，BD 平分ABC Ð，交于AC 于D ．试说明点D 是线段AC 的黄金分割点．25．已知一次函数y=-34x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．。

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。

第4课时 相似三角形的判定定理301 基础题知识点 三边成比例的两个三角形相似1．将一个三角形的各边都缩小12后，得到的三角形与原三角形(A) A ．一定相似 B ．一定不相似C ．不一定相似D ．不能判断是否相似2．甲三角形的三边分别为1，2，5，乙三角形的三边分别为5，10，5，则甲乙两个三角形(A)A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断是否相似3．已知△ABC 的三边长分别为6 cm 、7.5 cm 、9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，要使这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可以是(C)A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm4．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是三边成比例的两个三角形相似．5．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝3cm 时，△ABC∽△DEF.6．△ABC 和△A′B′C′符合下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似．BC ＝2，AC ＝3，AB ＝4；B′C′＝2，A′C′＝3，A′B′＝2.解：在△ABC 中，AB>AC>BC ，在△A′B′C′中，A′B′>A′C′>B′C′，BC B′C′＝22＝2，AC A′C′＝33＝3，AB A′B′＝42＝2. ∴BC B′C′≠AB A′B′≠AC A′C′. ∴△ABC 与△A′B′C′不相似．7．如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由．解：△ABC∽△DBE.理由如下：∵AC DE ＝36＝12，BC BE ＝48＝12，AB DB ＝510＝12， ∴AC DE ＝BC BE ＝AB DB. ∴△ABC∽△DBE.02 中档题8．下列能使△ABC 和△DEF 相似的条件是(C)A ．AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝ cB ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝1C ．AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝6D ．AB ＝2，AC ＝3，BC ＝5，DE ＝6，EF ＝3，DF ＝39．如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的(C)A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3、4及x ，那么x 的值(B)A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个11．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：△ABC∽△EFD.。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

三角形相似性质练习题一、选择题1. 若两个三角形的两边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形（）。

A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似2. 在ΔABC中，若AB=6cm，AC=8cm，且∠A=30°，在ΔDEF中，若DE=12cm，DF=16cm，且∠D=30°，则ΔABC与ΔDEF（）。

A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似3. 下列关于相似三角形的性质，错误的是（）。

A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长成比例D. 面积相等二、填空题1. 若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形（）。

2. 在ΔABC中，若AB=5cm，AC=7cm，且ΔABC∽ΔDEF，若DE=10cm，则DF的长度为（）cm。

3. 若两个相似三角形的面积比为9:16，则它们的边长比为（）。

三、解答题1. 在ΔABC中，AB=6cm，AC=8cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=12cm，DF=16cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。

2. 已知ΔABC与ΔDEF相似，且AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，DE=3cm，求DF的长度。

3. 在ΔABC中，∠A=60°，∠B=70°，AB=5cm，AC=8cm，求ΔABC的面积。

4. 证明：若两个三角形的两边成比例，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。

5. 在ΔABC中，AB=5cm，AC=7cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=10cm，DF=14cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。

四、判断题1. 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形一定相似。

（）2. 两个相似三角形的面积比等于它们对应边长比的平方。

（）3. 任意两个等腰三角形都是相似的。

（）4. 如果两个三角形的周长比是2:3，那么它们的面积比也是2:3。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定：①________________________________________；②________________________________________；③________________________________________；④_________________________________________________________．在证明两个三角形相似时，首先考虑角度信息，其次考虑对应边成比例．问题2：想一想相似三角形的判定与性质的区别是什么？问题3：如果两个图形___________，而且____________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________；位似图形上__________________________________________________．相似三角形的判定一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定2.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，若，CD=3，则AF的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，交AC于点E，若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定6.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：位似变换7.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大为原来的2倍，得到△．若点A的坐标是（1，2），则点的坐标是( )A.（2，4）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定8.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )A.3B.3或C.3或D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定9.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，，D为BO的中点，若E是线段AB上的一动点，连接DE，当△BDE与△AOB相似时，点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定。

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

专题27.20 相似三角形的性质（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图所示，△ADE △△ACB ，△AED ＝△B ，那么下列比例式成立的是（ ）A ．AD AC ＝AE AB ＝DEBC B ．AD AB ＝AEAC C ．ADAE＝AC AB ＝DE BC D ．AEEC＝DE BC 2．已知~ABC △△ A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，若10AD =，A 'D '=6，则ABC 与△A 'B 'C '的周长比是（ ）A ．5:3B ．25:9C ．3:5D ．9:253．如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC △△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．2AB AC AD =⋅ B ．2AB AC BD =⋅ C ．AB AD BC BD ⋅=⋅D ．AB AD AD CD ⋅=⋅4．下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF ＝4：25，则DE ：DC ＝( )A ．2：5B ．3：5C ．5：2D ．5：36．如图△ABC 中，AC ＝4，AB ＝5，D 是AC 上一点，E 是AB 上一点，且△AED ＝△C ，设AD ＝x ，AE ＝y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．y ＝54x （0≤x ≤4）B ．y ＝54x （0＜x ≤4）C ．y ＝45x （0≤x ≤4）D ．y ＝45x （0＜x ≤4）7．如图，平行四边形ABCD 中，G 、H 分别是AD ，BC 的中点，AE △BD ，CF △BD ，四边形GEHF 是矩形，若5AB =，8AD =，则BD 的长为（ ）A ．395B ．152C ．8D ．2238．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：19．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD AB ⊥于D ，P 是线段CD 上一个动点，以P 为直角顶点向下作等腰Rt BPE ∆，连结AE ，DE ，则DE 的最小值为( )A ．1B ．2CD ．10．如图，已知ABC ，任取一点O ，连接,,AO BO CO ，分别取点,,DEF ，使13OD AO =，13OE BO =，13OF CO =，连接,,DE DF EF ，得到DEF ，给出下列说法：△ABC 与DEF是位似图形；△ABC 与DEF 是相似图形；△DEF 与ABC 的周长比为1:3；△DEF 与ABC 的面积比为1:6．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______． 12．如图，△ABC △△CBD ，AB =9，BD =25，则BC =______．13．如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，若 DE△BC ，AD=2BD ，则 DE ：BC 等于_______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()10,0A ，OB =90B ∠=︒，则点B 坐标为___________．15．如图，△ABC 的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC 相似但不全等的△DEF （△DEF 的顶点在格点上），则△DEF 的三边长分别是___．16．如图，四边形ABCD 是正方形，6AB =，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB DE CD 、、于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF EN ⊥交AB 于F ，则AF =______．17．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量某建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5米，测得AB =1.8米，AC ＝9米，则建筑物CD 的高是 _____米．18．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝9cm ．动点P 从点A 出发以2cm /s 的速度向点B 运动，动点Q 从点C 出发以1cm /s 的速度向点A 运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t ＝_____s 时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．三、解答题19．如图，在ABP △中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1) 求证：ABP DCP ∽△△； (2) 求AB 的长．20．如图，在矩形ABCD 中，AB ：BC ＝1：2，点E 在AD 上，BE 与对角线AC 交于点F ．(1) 求证：△AEF △△CBF ； (2) 若BE △AC ，求AE ：ED ．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP ，在离河岸D 点3.2米远的B 点，立一根长为1.6米的标杆AB ，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF ，电线杆的顶端M 在河里的倒影为点N ，即PM PN =，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP ==米，经测量此时A 、D 、N 三点在同一直线上，并且点M 、F 、P 、N N 共线，点B 、D 、F 共线，若AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ，求河宽EP 是多少米？22．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且EF FG ⊥于F ．（1）求证：△BEF△△CFG ；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG 的长．23．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．24．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．参考答案1．A【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．解：△△ADE△△ACB，△AED＝△B，△ADAC＝AEAB＝DEBC，故选：A．【点拨】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键．2．A【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比即可得出结果．解：△△ABC~△A'B'C'，对应中线，AD=10，A'D'=6，△△ABC与△ A'B'C'相似比为5:3，△△ABC与△ A'B'C'的周长比5:3，故选：A．【点拨】题目主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．3．A【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．解：△△ABC△△ADB，△AB AC AD AB，△AB2=AC•AD．故选：A．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．4．D【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项．解：设小正方形的边长为1三边之比为1:2A44，故本选项不符合；B、三角形的三边分别为23，故本选项不符合；C、三角形的三边分别为2，32:D、三角形的三边分别为2，4，1:2故选：D．【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．5．A【分析】由条件可证明△DEF△△BAF，结合面积比可求得相似比，可求得答案．解：△四边形ABCD为平行四边形，△DE ∥AB ， △△DEF △△BAF ， △24()25DEF BAF S DE S AB ==△△， △25DE DE AB CD ==， 故选：A ．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．D 【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，易证出△ADE △△ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：△△AED ＝△C ，△A ＝△A ，△△ADE △△ABC ， △ADAB ＝AE AC， △AC ＝4，AB ＝5，AD ＝x ，AE ＝y ， △5x＝4y ， △y ＝45x ，△0＜CD ≤4， △y ＝45x （0＜x ≤4）．故选：D ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键7．A 【分析】连接GH ，可证得△EFH ~△CBF ，从而得到EF FHCB BF=，再证得四边形ABHG 是平行四边形，可得EF =GH =AB =5，从而得到325BF =，再证明△ABE △△CDF ，可得75BE DF ==，即可求解．解：如图，连接GH ，在矩形GEHF 中，△EHF =90°，EF =GH ，△CF △BD ，△△EHF =△BFC =90°，△点H 是BC 的中点，△FH =BH =CH =4，△△FBH =△BFH ，△△EFH ~△CBF ， △EF FH CB BF=， △四边形ABCD 是平行四边形，△AG △BH ，AD =BC ，AB =CD ，AB △CD ，△△ABE =△CDF ，△点G 、H 分别为AD 、BC 的中点，△AG =BH ，△四边形ABHG 是平行四边形，△EF =GH =AB =5， △548BF =，解得：325BF =， △327555BE BF EF =-=-=， 在△ABE 和△CDF 中，90AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△CDF ， △75BE DF ==，△32739555BD BF DF =+=+=． 故选：A 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．解：如图：由题意可知，3DM =，3BC =，△DM BC =，而DM BC ∥，△四边形DCBM 为平行四边形，△AB DC ∥，△BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，△ABE CDE ∽，△21ABE CDE C AB C CD ==△△．故选：D ．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．9．B【分析】当DE AE ⊥ 时，DE 有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．解：连接AE△AB BE BC BP = △AB BE BC BP= △ABE CBP =∠∠△ABE CBP △∽△△45BAE BCP ==︒∠∠△BAE CBA =∠∠△//AE BC△E 点的运动轨迹为射线AE△当DE 最短时，DE AE ⊥即当DE AE ⊥ 时，DE 有最小值△在t R ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==△12AD AB == △45DAE ∠=︒△ADE 是等腰直角三角形△2DE =△DE 的最小值是2故答案为：B ．【点拨】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．10．C【分析】根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可．解：由题意，得DEF 与ABC 是位似图形，△DEF与ABC是相似图形，故△△正确；△13OD AO=，13OE BO=，13OF CO=，△DEF与ABC的相似比为1: 3，△DEF与ABC的周长比为1:3，DEF与ABC的面积比为1:9，故△正确，△错误，故选C．【点拨】本题考查了位似图形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的性质及位似图形与相似图形的关系．11．2：3##2 3【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．解：△两个相似三角形对应边的比为2：3，△它们对应高线的比为2：3，故答案为：2：3．【点拨】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键．12．15【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．解：△△ABC△△CBD，△AB CBCB BD=，即2BC AB BD=⨯，AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD∴=⨯=⨯==，15BC=∴，故答案为：15【点拨】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．13．2：3【分析】根据DE△BC 得出△ADE△△ABC ，结合AD=2BD 可得出相似比即可求出DE ：BC ． 解：△DE△BC ，△△ADE△△ABC ， △DE AD BC AB=， △AD=2BD ， △23AD AB =， △DE ：BC=2：3，故答案为：2：3．【点拨】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系．14．()2,4【分析】过点B 作BC△OA 于点C ，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得AB =可得△BOC△△AOB ，设OC=x ，则有BC=2x ，最后利用勾股定理可求解．解：过点B 作BC△OA 于点C ，如图所示：△△B=△BCO=90°，△BOA=△BOA ，△△BOC△△AOB ，△点()10,0A ，△OA=10，△OB =△AB△AB=2OB ，△BC=2OC ，△在Rt△BOC 中，222OB BC OC =+，即2520OC =，△2OC =，△BC=4，△点B 的坐标为()2,4；故答案为()2,4．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15，2．【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案．解：如图所示：△ABC△△DEF ，DFED ＝2，EF2【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键．16．2【分析】MN 垂直平分DE ，得出NE ND =，利用6DN NC +=，在ΔRt NCE 中利用勾股定理求得CN 的长，再证明FBE ECN ∆∆，利用相似比求得BF 的长度，进而求得AF 的长度．解：设CN x =，则6DN x =-MN 垂直平分DE∴6NE ND x ==-在ΔRt NCE 中，222CN CE NE +=又△E 是BC 中点△3CE =2223(6)x x ∴+=- 解得94x = 又△EF EN ⊥90NEC FNB ∴∠+∠=,NEC EFB CNE FEB ∴∠=∠∠=∠Δ~ΔFBE ECN ∴FB CE BE CN∴= 3934FB ∴= 4FB ∴=642AF AB FB ∴=-=-=故答案为：2．【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．17．7.5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，即可求解．解：∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴△ABE ∽△ACD ， ∴AB BE AC CD=， ∵BE ＝1.5米，AB ＝1.8米，AC ＝9米， ∴1.8 1.59CD=， 解得，DC ＝7.5，即建筑物CD 的高是7.5米，故答案为：7.5．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．18．9 4【分析】分△APQ△△ABC、△AQP△△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，△当t=6÷2=3△0≤t≤3△△P AQ＝△BAC，△当APAB＝AQAC时，△APQ△△ABC，△26t＝99t-，解得：t＝94，当APAC＝AQQB时，△AQP△△ABC，△29t＝96t-，解得：t＝277，△277>3，故舍去综上所述：当t＝94时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，故答案为：94．【点拨】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表示相关线段的长度，得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，考虑全面，做好分类讨论．19．(1)见分析(2)AB＝8【分析】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．(1)证明：△CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，△AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，△54PDPC=，10584APBP==，△PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，△△DPC＝△APB，△△ABP△△DCP；(2)解：△△ABP△△DCP，△AB PBCD PC=，即844AB=，△AB＝8．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．(1)见分析(2)1：3【分析】（1）根据矩形的性质得到AD△BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF△△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，△BAD=△ABC=90°，接着证明△ABE△△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．(1)证明：△四边形ABCD为矩形，△AD△BC，△△AEF△△CBF；(2)设AB=x，则BC=2x，△四边形ABCD为矩形，△AD=BC=2x，△BAD=△ABC=90°，△BE△AC，△△AFB=90°，△△ABF+△BAF=90°，△BAC+△ACB=90°，△△ABF=△ACB，△△BAE=△ABC，△ABE=△BCA，△△ABE△△BCA，△AE ABAB BC=，即2AE xx x=，△AE =12x ， △DE =AD -AE =32x ， △AE ：DE =13:22x x =1：3．【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．河宽为12米【分析】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．解：如图，连接DF ，△点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， △四边形DEPF 为矩形，△DF EP =，△ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=，△ 5.250.756FN PN FP =+=+=，△AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ，△90ABD NFD ∠=∠=︒，△ADB NDF ∠=∠，△ADB NDF ∽△△； △AB NF BD DF=， △ 1.6AB =， 3.2BD =， △1.663.2DF=， △12DF =，△12EP =（米）．答：河宽EP 是12米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．（1）见分析（2）32 9【分析】（1）证明△BEF=△CFG，结合△B=△C=90可证得△BEF△△CFG；（2）由△BEF△△CFG，可得BF CFCGBE⨯=，代入数据可得CG．解：(1)△ABCD是正方形，EF FG⊥于F △△B=△C=△EFG=90△△BEF+△BFE=△BFE+△CFG=90△△BEF=△CFG△△BEF△△CFG(2)解:：△△BEF△△CFG△BE BF CF CG=△(124)4321239BF CFCGBE⨯-⨯===-．【点拨】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键．23．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE△AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到△ABF=△DGF，证明△ABF△△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）证明△GEC△△CBA ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 解：△D ，E 是AC ，BC 的中点，△DE 为△ABC 的中位线，△DE△AB ，AB=2DE ，△△ABF=△DGF ，△F 为AD 中点，△AF=DF ，在△ABF 和△DGF 中，ABF=DGF AFB=DFG AF=DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ABF△△DGF （AAS ），△AB=GD ；（2）△AB=2，△CD=2，DE=1，△GE=3，△CA=CB ，△△CAB=△CBA ，△CG=EG ，△△GEC=△GCE ，△DE△AB ，△△GEC=△CBA ，△△GEC△△CBA ，设CE=x ，则BC=2x ， △CE GE =AB BC ，即3=22x x，解得：x【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．24．作图见分析，C 点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【分析】由于C 点不确定，故分OPC OBA ∆∆∽，BPC BOA ∆∆∽，OPC OAB ∆∆∽三种情况进行讨论．解：点B 的坐标为(4,2)，4∴=OA ，2AB =，224225OB，OP =如图，当OPC OBA ∆∆∽时， 12OC OP OA OB ==，即1242PC OC ==， 1PC ∴=，2OC =，1(2,0)C ∴；当BPC BOA ∆∆∽时，PB BC PCOB OA OA==，即1224BC PC ==，解得2BC =， 2211AC ∴=-=，2(4,1)C ∴；当OPC OAB ∆∆∽时，∴OP OCOA OB =，解得 2.5OC =， 3(2.5,0)C ∴；综上所述，C 点坐标为：(2,0)或(4,1)或(2.5,0)．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．。

A C G FB DE G 《相似三角形的性质》习题精选一． 填空：1． 在△ABC 中，AB=AC ，∠A=360 ，∠B 的平分线交 AC 于 D ， △BCD ∽△____，且BC_____。

2． △ABC ∽△A 1B 1C 1，，AB=4，A 1B 1=12，则它们对应边上的高的比是 ，若BC 边上的中线为1.5，则B 1C 1上的中线A 1D 1=_______3． 如果两个相似三角形的周长为6cm 和15cm ，那么两个相似三角形的相似比为_______4． 在△ABC 中，BC=54cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，若另一个与它相似的三角形的最短边长为15cm ，则其周长为_____5． 在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若BD=9，DC=12，则AD=_____，BC=_____6． △ABC ∽△A 1B 1C 1，，且△ABC 的周长：△A 1B 1C 1的周长=11：13，又A 1B 1－AB=1cm ，则AB=_____cm ，A 1B 1=_______cm 。

7． 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 分成的两部分面积的比是1：2，EF 是中位线，则被EF 分成的两部分面积的比S 四边形AEFD ：S 四边形BCEF =_______ 8． 如图，DEFG 是Rt △ABC 的内接正方形，若CF=8，DG=42， 则BE=_______，二． 选择题：9．两相似三角形面积的比是1：4，则它们对应边的比是（ ） A.1：4 B 1：2 C 2：1 D 1：210 在Rt △ABC 中，∠C=900，，∠B=300，，AD 为∠A 的平分线，DC 长为5cm ，那么BD=（ ）A 10 cmB 5 cmC 15 cmD 以上都不对11．三角形的3条中位线长是3cm ，4cm ，5cm ，则这个三角形面积是（ ）A ． 12cm B. 18cm C 24cm D 48cm12．在◇ABCD ，AE ：EB=1：2，S △AEF =6，S △CDF =（ ）A 12 B 15 C 24三． 几何证明13．△ABC 中，∠C=900，D ，E 分别是 AB ，AC 上的点，AD · AB=AE ·AC ，求证 ED ⊥AB(13) (14) (15)14 在△ABC 中，M 是AC 边的中点，且AE=41BA ，连接EM ，并延长交BC 的延长线于D ，求证 BC=2CD15 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ， 求证 ：BF 2=EF ·EG16 已知：在△ABC 中，∠BAC=900 AD ⊥BC 于D ，P 为AD 中点，BP 延长线交AC 于E ，EF ⊥BC 于F 求证： EF 2=AE ·AC17 已知△ABC ，（1）∠ACB=900，P 为AB 边上一动点（不与点A 、B 重合）过点P 引直线截△ABC ，使截得三角形与△ABC 相似，则符合题意的直线最多能引多少条？并画图说明；（2）在第一问中，若BC=3，AC=4，设线段AP=X ，过点P 的直线截得的三角形面积为Y ，求Y 与X 之间的函数关系式，并注明X 的取值范围；（3）若∠ACB 为锐角或钝角，请回答第（1）问的问题答案1、△BCD ∽△ABC BC=BD2、1：3 4：53、2：54、54cm5、16，256、511，516 7、5：7 8、4 9 、B 10、A 11、C 12、D 13、证 △ADE ∽△ACB ∠ADE=∠C=900 所以ED ⊥AB 14、过点C 作CF ∥ED ，交AB 于F ，易得F 是AB 中点，∴BF=2EF ，又CF ∥ED ，∴2==CDBC EF BF ，即 BC=2CD 15、先证BE=EC ，∠EBC=∠ECB ，可得∠ABF=∠ACF ，又 AB ∥CG ，∴∠ABF=∠G ，∴△ECF ∽△EGC ，∴EC 2=EF ·EG ，即 BF 2=EF ·EG16、延长BA 、FE 交于点G ，由条件得AD ∥FG ，∴BE BP EF PD =，BEBP EG AP =，又AP=PD ∴EF=EG ，再证△AEG ∽△FEG ，故 EF 2=AE ·EC17、⑴符合条件的最多可引三条（图略）；⑵当直线PD ∥BC 时，Y=256X 2（0∠x ∠5），当直线PE ∥AC 时，Y=256X 2—512X+6（0∠x ∠5）⑶当直线PC ⊥AB 时，则有①Y=83X 2 （0∠x ≤516），②Y=32X 2——320X+350( 516≤x ＜5 ＝ ③符合条件的最多也引三条（图略）。