高一数学 初升高衔接班 第六讲 一元二次不等式的解法讲义

0
的解集.
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图 象来解一元二次不等式。
一元二次不等式的解集如下表
b2 4ac
说明:这类题要充分利用判别式和韦达定理.
课堂练习
1.若方程 x2 (k 2)x 4 0 有两负根,求k的
取值范围.
第二教材P74 15
例3.已知 A {x | x2 x 6 0}, B {x | x2 2x 8 0},
C {x | x2 4ax 3a2 0}, 若 A B C ,求实数a
的取值范围.
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
二次函数
y ax2 bx c(a 0)
的图像
0
y
0 x1 x2 x
一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
的根
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
ax2

bx c 0(a
的解集

0)
x
|
x

x1或x

x2
x R 恒成立,则必有
k>0
(6k)2 4k(k 8) 0

研一研·问题探究、课堂更高效
S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用．这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
探究点一 一元二次不等式恒成立问题
问题 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一
解析 当 a＝0 时，－2≥0 解集为 ∅ ；
当 a≠0 时，a 满足条件：aΔ<＝04a2＋4aa＋2<0 ，
解得－1<a<0.
综上可知，－1<a≤0.
例 2 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
解 方法一 设 f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
3．不等式xx－＋23>0 的解集是 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
(C )
4．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m 的取值范
围是
(D )
A．m≥2
B．m≤－2
跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件 与单价 P 元之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本 为 C＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于 1 300 元？ 解 由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300， 化简得 x2－65x＋900≤0
解得 0<k≤31.
小结 解一元二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二
次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等

栏目 导引
方法感悟
第三章 不等式
1．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2) 确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式 对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4) 联系二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二 次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不 等式的解集(在两根之内或两根之外)．
栏目 导引
第三章 不等式
跟踪训练 3．(1)关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<2或x>3}，则 b＝________，c＝________； (2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a ＝________，m＝________.
栏目 导引
第三章 不等式
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第三章 不等式
(4)法一：方程－2x2＋x＋1＝0 的解为 x1＝－12，x2＝1，函数 y＝－2x2＋x＋1 的图象是开口向下的抛物线，与 x 轴的交点
为－12，0和(1,0)，如图 1，观察图象知不等式的解集为：
{x|x<－12或 x>1}．
图1
栏目 导引
第三章 不等式
法二：在不等式两边同乘－1，可得 2x2－x－1>0， 方程 2x2－x－1＝0 的解为 x1＝－12，x2＝1； 画出函数 y＝2x2－x－1 的图象简图如图 2. 观察图象，可得原不等式的解集为 {x|x<－12或 x>1}．
x 轴交于(－2,0)和(1,0)两点，而且－2 和 1 是一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0 的两根，由根与系数的关系，得
－2＋1＝－ab， －2×1＝1a，

三、课堂练习：
课本P20，练习1—3，
三、课堂练习：
补充练习： 1、若不等式
x2 8x mx2 mx
20 1
0
对一切x恒成立，
求实数m的范围.（-4<m≤0）
2、设不等式ax2+bx+c>0的解集是
{x|a<x<β}(0<a<β)，求不等式
cx2+bx+a<0的解集。
（{x|x<
1
}∪{x|x>
x>2}.
例题解析（师生共同活动）
例2：解不等式-3x2+6x>2.
分析：二次项系数小于零，首先将其变形为二次项系数 大于零情形，转化为熟知类型，然后求解。
解：原不等式变形为：3x2-6x+2<0.
因为Δ=36-24＞０,方程3x2-6x+2=0解是：
x1=1-
3 3
，x2 =1+
3 3
所以原不等式的解3;
3 3
}.
例题解析（师生共同活动）
例3：解不等式4x2-4x+1>0.
解：∵Δ=16-16=0,方程4x2-4x+1=0的解是：x1=x2=
∴不等式的解集是：{x|x≠ 12，x∈R}.
1.2
例题解析（师生共同活动）
例4：解不等式-x2+2x-3>0. 解：将原不等式变形，得：x2-2x+3<0. ∵Δ= 4-12<0,方程x2-2x+3=0无实数解. 所以不等式x2-2x+3<0解集是ø. 故原不等式的解集是ø.
一、复习回顾
不等式解集含义； 会在数轴上表示解集； 不等式性质及其利用。

常见错误类型及纠正方法
忽视不等式性质
在解一元二次不等式时，需要注 意不等式的基本性质，如不等式 的传递性、可加性等。忽视这些
性质可能导致错误的解集。
忽视定义域限制
在某些情况下，一元二次不等式 的定义域可能受到限制。忽视这 些限制可能导致错误的解集或无
解。
计算错误
在解一元二次不等式时，需要进 行因式分解、配方等计算步骤。 计算错误可能导致错误的解集或
确定解集
根据各区间内因式的符号，确定不等式的解 集。
03 一元二次不等式 在实际问题中应 用
区间内根存在性判断
判别式法
通过计算判别式$Delta = b^2 - 4ac$，判断一元二 次方程在指定区间内是否 有实根。
中点法
利用区间中点函数值的符 号，结合函数连续性，判 断一元二次方程在指定区 间内是否有实根。
例如，对于不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$，首先确定抛物线开口向上，然 后找出交点 $x_1 = -1, x_2 = 3$，最后根据开口方向和交点位置得出解 集为 $-1 < x < 3$。
05 一元二次不等式 与其他知识点联 系
一元二次方程、一元二次不等式和函数综合应用
一元二次方程与一元二次不等式的关系
一元二次函数与一元二次不等式关系
一元二次不等式的一般形式：$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$。
一元二次不等式的解集与对应的一元二次函数的图像密切相关。当 $a > 0$ 时，抛物线开 口向上，不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$；当 $a < 0$ 时 ，抛物线开口向下，不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集为 $x_1 < x < x_2$。

5x
结合图像知不等式 x2 5x 0的解是 0 x 5
推广：
求一般的一元二次不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0) 的解.并且规定
ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0) 为一元二次不等式的标准形.
二一元次二函次数不等，式一的元解法二次方程，一元二次不等式的关系
一元二次不等式及其解法
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
用十字相乘法解方程
解下列方程
1、x2－3x－10=0 2、3x+10x－8=0
观察思考 2
一元二次不等式（定义）
像 x2 5x 0 这样只含一个未知
数，并且未知数最高次数为2的不等式， 称为一元二次不等式.
3、解下列不等式． (1)3x2－5x≤2；(2)－2x2＋x＋1<0； (3)2x2－x＋6<0；(4)－x2＋6x-9≥0； (5)x2－x－1>0；(6)x(6－x)>0.
x O 没有实根
全体实数
ax2+bx+c<0 (a>0)的解 x1< x <x2
没有实根
没有实根
这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是要 抓住相应的二次函数的图像。
记忆口诀：
大于取两边，小于取中间.
例题1、求下列一元二次不等式的解
（1）x2 2x 3 0
（2）4x2 4x 1 0 （3）x2 2x 3 0
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x

2 2 2
一元二次方程 x x20 ，三者之间有什 关系
想一想
2
f x x x 2
2
x x20 x2 x 2 0
y
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题： 对二次函数y=x2-x-2， 当x为何值时，y=0？
-1
o
2
x
当x为何值时，y<0？
当x为何值时，y>0？
2
•
巩固练习
判断下列式子是不是一元二次不等式？
1 (1) x 5 x
( 2 ) xy 3 0
2
4 )x 3 x x ( x 1 ) ( 3 ) ( x 2 )( x 3 ) 0(
寻觅方法，解：
代数方法：
x x 2 0
2
x 2 x 1 0
3.2一元二次不等式的解法
现在有一家商店对某种成本价为650元的电视机有一个促销活 商品促销
动：
买一台电视机，单价950元； 买两台，单价是900元； 依次类推，每多买一台，单价降低50元。 要使商店保持每次交易赢利大于200元，
问每人最多买几台？
一元二次不等式
一个整式不等式，若只含有一个未知数，并且未知数
你还能写出多少个？
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

学习目标
思
而
学
4．不等式－3x2＋5x－4>0 的解集为________.
∅ [原不等式变形为 3x2－5x＋4<0. 因为 Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以 3x2－5x＋4＝0 无解． 由函数 y＝3x2－5x＋4 的图象可知，3x2－5x＋4<0 的解集为∅ .]
合作探究
学
而
思
学习目标
思
而
学
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A ＝( )
A ．{x|－1＜x＜2}
B ．{x|－1≤x≤2}
C ．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D ．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B [通解 A ＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1 或 x＞2}，所以∁R A ＝{x|－1≤x≤2}，故选 B . 优解 因为 A ＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A ＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选 B .]
1
[解]
(1 )∵Δ> 0 ，方程
2 x 2 －3 x －2 ＝0
的根是
x
1
＝－ 2
，x
2
＝2
，
∴不等式 2x2－3x－2 >0 的解集为
xx
<
1 －
2
或x
>
2
.
(2)∵Δ＝0，方程 x2－4x＋4＝0 的根是 x1＝x2＝2，
∴不等式
x 2 －4 x ＋4 > 0
的解集为x
|x
≠2
.
合作探究
一元二次不等式的解法
例 1、解下列不等式：

(1)若 a<f(x),x∈D 恒成立,则 a<f(x)min,x∈D;
(2)若 a<f(x),x∈D 有解,则 a<f(x)max,x∈D.
第十四页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
第六章
第二节
一元二次不等式及其解法
-14-
【变式训练】
若(0,3)内的每一个数都是不等式 2x2+mx-1<0 的解,则 m 的取值
范围是
.
17
-∞,- 3
【解析】由题意可知不等式 22+ − 1 <
0 对(0,3)内的每一个数恒成立, 所以 <
1
− 2对(0,3)内的每一个数恒成立, 所以

1
1
−
2在(0,3)内单调递减,
故
≤
−6=

3
17
17
− , 故的取值范围是 -∞,- .
3
3
<
1
-2

min
, 而 =
第六章
第二节
一元二次不等式及其解法
-11-
考点 2 一元二次不等式恒成立、有解问题
典例 2
(2016·太原模拟)设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈
2
恒成立,则实数 m 的取值范围是 (
A.
C.
3 3
- ,
2 2
3
0,
2
B.
D.
3
,+∞
2
3
-∞,2
∪
3
,+∞
2
,f


-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)
)
3