下载文档原格式
人教版高一必修一数学不等式解法步骤高中数学不等式是数学学科的一个重要部分，不等式在实际生活和科学技术领域中都有着广泛的应用。
在高中必修一数学课程中，学生需要学习不等式的解法步骤，掌握不等式的基本概念和解题方法，提高解决实际问题的能力。
人教版高一必修一数学不等式解法步骤主要包括以下内容：1.不等式的基本概念和性质：首先，学生需要了解不等式的基本概念和性质。
不等式是指两个数或者两个代数式之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等式关系。
在学习不等式的过程中，学生还需要掌握不等式的可加性、可乘性等基本性质，这些性质是解不等式问题的关键。
2.不等式的解法方法：解不等式是数学学科中的一个重要问题，不等式的解法方法有很多种，包括直接法、间接法、分情况讨论法、参数法等。
学生需要掌握这些解法方法，根据不同的不等式问题选择合适的解法，并且要熟练运用这些解法方法解决实际问题。
3.一元一次不等式的解法：在学习不等式的过程中，学生首先需要掌握一元一次不等式的解法。
一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。
解一元一次不等式的关键是通过变形和等价变换将不等式化为标准形式，然后通过对不等式进行加减乘除等操作来求解未知数的取值范围。
4.一元二次不等式的解法：学生在学习一元一次不等式之后，需要进一步学习一元二次不等式的解法。
一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式。
解一元二次不等式一般需要借助图像或者特殊的代数方法来求解，学生需要掌握各种解法方法，并熟练应用到实际问题中去。
5.不等式组的解法：在学习一元不等式之后，学生还需要学习不等式组的解法。
不等式组是由多个不等式组成的一种复合不等式，解不等式组的关键是找出其解的交集或者并集，并求出满足所有不等式的未知数的取值范围。
学生需要通过练习不等式组的解题方法，提高解决实际问题的能力。
6.不等式问题的应用：在学习不等式的过程中，学生还需要了解不等式在实际问题中的应用。
含参数的一元二次不等式的解法教学设计授课班级：高一（3）班授课教师：邓慧明一、设计思路：1、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（北师大版）第三章第2节第三课时。
从教材中的地位与作用来看，一元二次不等式在陕西高考数学考试大纲中要求：通过函数图像了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系，并会解一元二次不等式。
二次型不等式是联系不等式、函数、方程、几何、三角等知识的桥梁和纽带，在高考中常常作为考查学生的综合应用知识的能力出现。
含参数的一元二次不等式的解法是一元二次不等式的重点内容之一，而且在解含参数的一元二次不等式的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
2、学生学习情况分析学生已经学习过系数为常数的一元二次不等式的解法，对解法的本质有了一定的了解，把系数变为参数后怎么解？通过对比、点拨让学生去发现含参数的一元二次不等式的解法与系数为常数的解法本质是相同的；通过教师设置的问题链（即变式）进一步感受参数对解决问题的影响；通过自主探究、合作交流，明确分类的原因以鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探究的习惯；通过变式过程让学生明白变与不变的辩证关系，激发学生的数学学习兴趣，发展他们的创新意识。
3、设计指导思想与理念《数学课程标准》指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
本节课将在教师引导下，使用自主探究、合作交流等方式，充分发挥学生学习的主动性，为学生形成积极主动地、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。
二、教学目标:1.知识与技能掌握一元二次不等式的解法，在此基础上理解含有参数的一元二次不等式的解法.2.过程与方法通过体验解题的过程，培养数形结合的能力，分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；提高学生的逻辑分析能力.3.情感态度价值观通过分类讨论的过程激发学习数学的热情，培养学生思维的严密性.三、教学重、难点：教学重点:含有参数的一元二次不等式的解法.教学难点:分类讨论标准的划分.（“分类讨论”是高中数学中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
高一数学知识点专题练习高一数学知识点专题练习含参数的二次不等式解法专练一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质．分“当时“，“当时“两种情况讨论，综合可求k的范围．【解答】解：当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点，则，解得：，综上k的取值范围是．故选C．2.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，属于中档题．本题易忘记讨论的情况导致漏解．【解答】3.不等式的解集为，则m的取值范围A. B.C. D. 或【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，属于基础题．关于x的不等式的解集为，可转化成不等式恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．【解答】解：关于x的不等式的解集为，不等式恒成立，当，即时，不等式化为，解得，不是对任意恒成立，当时，即时，，使，即且，化简得：，解得或，应取，综上，实数m的取值范围是．故选B．4.不等式对恒成立，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查恒成立问题，考查导数知识的综合运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值，问题得以解决．学_科网【解答】解：对恒成立，，设，，令，解得，函数单调递增，，解得，函数单调递减，，，故选B．5.已知关于x的不等式对任意恒成立，则k的取值范围是A. B. C. 或 D. 或【答案】A对k进行分类讨论，当时恒成立，时不等式不能恒成立，当时，只需求得k的范围，最后综合得到答案．本题主要考查了二次函数的性质考查了学生分类讨论思想，数形结合思想以及不等式的相关知识．6.关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、分离参数法，考查了等价转化能力，是综合性题目．【解答】解：关于x的不等式在区间上有解，等价于，，设，，则函数在单调递减，且当时，函数取得最大值．所以实数a的取值范围是．故选A．7.如果关于x的不等式的解集是，那么等于A. B. 81 C. D. 64【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解集的计算以及指数的计算问题，属于基础题目根据跟与系数的关系可以得到a，b的值．学_科网【解答】解：不等式可化为，其解集是，那么，由根与系数的关系得，解得，；所以．故选B．8.若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式与对应方程根的应用问题，是基础题目．由已知得方程有实数根，，由此求出a的取值范围．9.设函数是定义在上的增函数，实数a使得对于任意都成立，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：法一：由条件得对于恒成立令，只需在上的最小值大于0即可．．当，即时，，，故；当，即时，，，故；当，即时，，满足，故．综上．法二：由得，，，当时，恒成立，此时；当时，恒成立．求当时，函数的最小值．令，则，而函数是上的减函数，所以当且仅当，即时，．故要使不等式在上恒成立，只需，由得．故选：A解法一：由条件得对于恒成立，令，只需在上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由，得，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键注意要利用分类讨论的数学思想．10.x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出，再化简不等式，求出它的解集即可．本题考查了一元一次不等式与一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．【解答】解：关于x的不等式的解集是，即不等式的解集是，；不等式可化为，解得，该不等式的解集是．故选：C．11.已知不等式的解集为A，不等式的解集是B，是不等式的解集，则A. B. C. 1 D. 5【答案】A【解析】解：不等式的解集为，不等式的解集是，所以，所以不等式的解集为，所以，；．故选：A．求出不等式的解集A、B，计算，再由根与系数的关系求出a、b的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的关系与应用问题，是基础题目．12.若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，，，关于x的不等式在区间上恒成立，转化为关于x的不等式在区间上恒成立，，当时，，所以，故选：C．本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查换元思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数与x轴交于，两点，则关于x的不等式的解集是______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，考查解不等式问题，是一道基础题．根据二次函数的性质得到，解出即可．【解答】解：二次函数与x轴交于，两点，，，即，解得：，不等式的解集是，故答案为．14.已知函数的定义域为R，值域为，则实数a的取值集合为______ ．【答案】本题考查了函数的值域和函数图象的关系，函数定义域为即被开方数非负恒成立，利用抛物线图象即可求解．15.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：依题意，当时，恒成立．当时，；当时，即，解之得．故答案为．利用该函数的被开方数大于等于零得出该函数有意义需满足的不等式，结合恒成立问题得出字母m满足的不等式本题考查偶次根式的定义域的求解，考查不等式恒成立问题的解决办法，关键要进行等价转化．16.关于t的不等式有解，则实数m的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：关于t的不等式有解，，解得，实数m的取值范围是．故答案为：．根据一元二次不等式与二次函数的关系，利用判别式列出不等式求出m的取值范围．本题考查了一元二次不等式与二次函数的关系和应用问题，是基础题目．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知函数在区间上有最大值1和最小值．求a，b的值；若在区间上，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：，，函数的图象开口向上，对称轴为，在上递减；，且，．等价于，即，要使此不等式在上恒成立，只需使函数在上的最小值大于0即可．在上单调递减，，由得，．因此满足条件的实数m的取值范围是．【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．函数图象开口向上，对称轴，故在递减；进而根据在区间上有最大值1和最小值，可得a，b的值；若在区间上，不等式恒成立，函数在上的最小值大于0，进而可得实数m的取值范围．18.已知不等式的解集为A，不等式的解集为B．求；若不等式的解集为，求a、b的值．【答案】解：，，解得：，，，，解得：，，；由得：，2为方程的两根，，．【解析】通过解不等式求出集合A、B，从而求出即可；问题转化为，2为方程的两根，得到关于a，b的方程组，解出即可．本题考查了不等式的解法，考查集合的运算，是一道基础题．19.已知不等式的解集为或．Ⅰ求a，b的值；Ⅱ解不等式．【答案】解：Ⅰ由题知1和2是方程式的根，由根与系数关系得，解得，．Ⅱ方程两根为，，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为．【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的解的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．Ⅰ由一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数关系，即可求出a、b的值；Ⅱ根据方程的两根，讨论m的值，即可求出对应不等式的解集．20.已知函数．若，求的值域；当时，解方程；若对于任意的实数x，都有恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：时，分母，故即函数的值域为；时，，则或1即的根为，1．由题意恒成立，恒成立，只要恒成立即可，即恒成立当时，恒成立，符合题意当时，．综上所述：．【解析】将的值带入，从而求出函数的值域即可；将带入，令，解方程即可；问题转化为恒成立，通过讨论a的符号，结合二次函数的性质求出a的范围即可．本题考查了求函数的值域，解方程问题，考查函数恒成立以及二次函数的性质，是一道中档题．21.已知函数，当时，，当时，．求的解析式；若不等式的解集为R，求c的取值范围；当时，求的最大值．，因为，，当且仅当，即时取等号，当时，．【解析】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，其中根据函数的零点与对应方程根的关键，结合韦达定理，构造关于a，b的方程，进而求出a，b的值，是解答本题的关键．由已知中函数，当时，，当时，，可得的两根为，2，由韦达定理根与系数的关系我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；由的结论，根据不等式的解集为R，可得，由此构造关于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范围；根据的结论，我们易求出的解析式，结合基本不等式，分析出函数的值域，即可得到其最大值．22.已知关于x的不等式．当时，解不等式；当时，解不等式．学_科网【答案】解：当时，此不等式为，可化为，化简得，解得即或；不等式化为，当时，；当时，不等式化为，若，即，解不等式得；若，即，解不等式得；若，即，解不等式得；当时，不等式，解得或；综上所述：当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【解析】本题考查了含参数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，解题时应对参数进行讨论，是综合性题目．时，不等式化为，求解即可；不等式化为，讨论、和时，对应不等式的解集是什么，从而求出对应的解集．。
高一基本不等式题型及解题方法不等式是数学中的重要概念之一，通过不等式可以描述数值之间的大小关系。
在高中数学中，学生将接触到基本不等式的概念和解题方法，这是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，帮助学生更好地掌握不等式的知识。
一、基本不等式的概念在数学中，不等式是指两个数或表达式之间的大小关系。
基本不等式是指形如a < b、a > b、a ≤ b、a ≥ b这样简单的不等式，其中a和b是实数。
不等式的解集是所有满足不等式关系的实数集合。
在高一阶段，学生将学习不等式的基本性质、解法和应用。
掌握不等式的基本概念是解决各种不等式问题的重要基础。
二、不等式的解法不等式的解法主要有两种：代入法和图像法。
1.代入法代入法是解决不等式问题的常用方法，它的基本思想是根据题目的给定条件，找到合适的实数值代入不等式进行验证，从而确定不等式的解集。
例如，对于不等式3x + 5 > 1，可以通过代入x的不同取值进行验证。
找到一个合适的x值，使得3x + 5 > 1成立，这样就确定了不等式的解集。
2.图像法图像法是通过解不等式对应的方程，将不等式表示的数学关系用图像表示出来，从而直观地看出不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 ≤ 5，可以将不等式表示的数学关系用数轴上的图像表现出来，找出满足不等式关系的实数解。
通过代入法和图像法，可以有效地解决各种不等式问题，帮助学生更好地理解不等式的概念和解题方法。
三、常见的基本不等式题型在高一数学中，常见的基本不等式题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只有一个变量，并且变量的次数是一次的不等式。
解决一元一次不等式的关键是要找到不等式的解集，通常可以通过代入法或图像法来解题。
例如，解不等式2x - 3 > 5，可以通过将给定条件代入不等式进行验证，找到满足不等式关系的实数解。
我们要了解高一解不等式的解法步骤。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的工具，它表示一个数相对于另一个数是大还是小。
在解决不等式问题时，我们需要遵循一定的步骤来确保答案的准确性和完整性。
解不等式的通用步骤如下：
1. 首先，确定不等式的类型，例如：一元一次不等式，一元二次不等式等。
2. 根据不等式类型，选择合适的解法。
例如，一元一次不等式可以通过移项直接求解；一元二次不等式则需要考虑判别式等。
3. 对不等式进行简化，合并同类项，移项等，使其变得更易于解决。
4. 求解简化后的不等式，并给出解集。
5. 最后，根据实际情况，可能需要进一步确定解集的范围，例如：确定解集在实数范围内还是整数范围内。
总结：解不等式的关键在于确定不等式类型，然后选择合适的策略进行简化和求解。
不同类型的不等式可能有不同的解法，所以在开始解不等式之前，一定要明确其类型。
高一数学基本不等式知识点在高中数学学习的过程中，不等式是一个重要的部分。
不等式是数学中研究各种数量之间大小关系的一种数学关系。
在高一阶段，基本不等式是学习不等式的基础，也是进一步研究不等式的前提。
1. 不等式的定义与性质不等式是指两个数或者两个算式之间的大小关系。
常见的不等式符号包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。
在解不等式的过程中，我们需要注意不等式的性质，比如对称性、传递性以及与等式的关系等。
2. 基本不等式基本不等式是高一阶段不等式学习的核心内容。
在基本不等式中，包括了重要的三个不等式：算术平均数与几何平均数的大小关系、平均数不等式、柯西-施瓦茨不等式。
a. 算术平均数与几何平均数的大小关系：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。
b. 平均数不等式：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于它们的四次方平均数，四次方平均数大于等于它们的几何平均数。
即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ ((a1^4+a2^4+...+an^4)/n)^1/4 ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。
c. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
该不等式在向量和内积的研究中具有重要的应用。
3. 不等式的解法在解不等式的过程中，我们需要运用相关的性质和定理，结合具体的不等式形式进行推导。
a. 基本不等式的应用：基本不等式是解决各类不等式问题的基础。
我们可以将待解决的不等式通过恰当的变形和不等式的运算性质转化成基本不等式，再利用基本不等式求解。
