高一数学不等式解法例题.doc

高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11a aC x aD x x a ．＞或＜．＜或＞x a a11 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．例4 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()() 例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x [ ] A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x＝0} 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32 [ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1C ．≥230--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 A a B a C a D a ．＜．＞．＝．＝－12121212若 ＜ ＜ ，则不等式 － － ＜ 的解是 0 a 1 (x a)(x ) 0 1 a8.不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．9.设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则[ ]A ．(U A)∩B ＝RB ．A ∪(U B)＝RC ．(U A)∪(U B)＝R D ．A ∪B ＝R9.判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝________．11. 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．12. 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．13. 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．14. 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．10 已知 ， ， ， ， ，则满足条件集合 的个数为 ≠ {a b} A {a bc d} A ⊆ ⊂。

完整版)高一不等式及其解法习题及答案教学目标】1.能够熟练解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式2.理解分类讨论的数学思想并能够应用于解含参不等式教学重难点】分类讨论的数学思想教学过程】题型一：解一元二次不等式例1：解下列不等式1）2x²-3x-2>0；（2）-6x²-x+2≥0；（3）2x²-4x+70方法总结：对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，可以通过求出其判别式Δ=b²-4ac的值，来判断其解的情况。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，解集为x根2；2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，解集为x=根1=根2；3.当Δ<0时，方程无实数根，解集为空集。

变式练】1-1.已知不等式ax²+bx+c的解集为(2,3)，求不等式cx²+bx+a的解集。

题型二：解高次不等式例2：求不等式(x-4)(x-6)≤0的解集。

方法总结：对于高次不等式，可以通过将其化为一元二次不等式的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。

变式练】2-1.解不等式x(x-1)(x+1)(x+2)≥0.题型三：解分式不等式例3-1：解下列不等式1) 23/(x²-4x+1) < 1；(2) 23/(x²-4x+1) ≤ 2；(3) 23x-7/(x²-2x+1)。

方法总结：对于分式不等式，可以通过将其化为分子分母同号的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。

题型四：解含参数的一元二次不等式例4-1：解关于x的不等式2x+ax+2>(a∈R)。

方法总结：对于含参不等式，可以通过分类讨论的思想来解决。

首先讨论a的值，然后根据a的取值再讨论不等式的解集。

变式练】1.已知a∈R，解关于x的不等式ax-(a+1)x+1<2.2.解不等式a(x-1)/(x-2)。

高一基本不等式典型例题咱们可以从简单的说起，比如说“算术几何不等式”，这就像是把两个世界放在一起。

想象一下，你和你的朋友比赛，谁能吃掉更多的冰淇淋。

你有个平整的碗，他却用一个歪歪扭扭的杯子，这可就显现出你们之间的差距了吧。

算术不等式就像在告诉我们，平均水平不一定是最好的。

追求均匀反而会让我们失去更多的乐趣。

大家都知道“冰淇淋越多越好”，但如果你的朋友吃到了一堆融化的冰淇淋，那可真是让人心疼了。

再来看看“柯西施瓦兹不等式”，哎，这个名字听起来就很高大上。

它的意思简单得不能再简单了。

想象你和你的另一半一起去逛街，你们买了两样东西。

结果，你买了很多小东西，他却只买了一个大包包。

你可能会觉得你们的选择有点不太对等。

这个不等式就像是在说，两个变量的乘积，其实不一定比各自的和要小。

听起来复杂，其实就是告诉我们，合作的力量比单打独斗要强大得多。

接着说说“赫尔德不等式”，这真的是个妙不可言的东西。

咱们假设有个小团队，大家各自分工，最后合力把事情做好。

就像一群小蚂蚁，虽然每只蚂蚁的力量微不足道，但它们合在一起，简直能搬起比自己大好几倍的东西。

赫尔德不等式就是在提醒我们，团结的力量是无限的，简直就是“众人拾柴火焰高”的真实写照。

不等式的世界里，总是充满了惊喜。

想象一下，如果有一天你发现你的成绩居然能通过不等式来提升，那感觉简直爽翻了。

只要你能掌握这些不等式，仿佛打开了一个新的大门，所有的数学问题都在向你招手，等待着你去探索。

说不定，这些公式和定理还能帮你在考试中逆袭，成为大家口中的“数学天才”。

理解不等式并不容易。

学习的过程就像走在沙滩上，脚下的沙子不断滑动，让你时而有点失去平衡。

不过没关系，咱们都知道，走路嘛，总是要有跌跌撞撞的。

重要的是，别放弃，要勇敢地走下去。

毕竟，“不经历风雨，怎能见彩虹”嘛！每一次的尝试都是一次成长，每一个错误都是一次进步。

想说的是，不等式就像是一把钥匙，打开了通往数学王国的大门。

只要你用心去理解，去感受，那些原本复杂的公式，都会变得简单明了。

高一数学一元二次不等式例题例1 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤32 (3)∅ (4)R (5)R【介绍定义域】例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6解 x ≥3或x ≤－2．练习：例3 若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ）[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa 11分析比较与的大小后写出答案．a 1a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11a a【求a 、b 的值】例4 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b a a ()()1211122×得 a b ==-1212，．练习：1、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 2、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．3、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --32[] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0选B ．【有关判别式】例7、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2- 例8、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥。

含绝对值不等式的解法练习题高一数学（含解析）含绝对值不等式的解法练习题高一数学含绝对值不等式的解法练习题1.不等式1|2x-1|2的解集是( )A.(- ,0)(1, )B.(- ,0)][1, ])C.(- ,0)[1, ]D.(-,- )[1, ]答案：B解析：原不等式等价于-2-1或12.解得-2.假如a0,那么下列各式中错误的是( )A. B.a+cb+c C.adbd D.a-cb-c答案：C解析：反例可举d=0.3.已知a1,则不等式|x|+a1的解集是( )A.{x|a-1C. D.R答案：D解析：由|x|+a1,得|x|1-a.∵a1,1-a0.故该不等式的解集为R.4.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A.{x|-2C.{x|-22}D.{x|x2或x-2}答案：C解析：由绝对值的几何意义易知.5.关于任意实数x,不等式|x|m-1恒成立,则实数m的取值范畴是_______ __________.答案：m1解析：|x|m-1对一切实数x恒成立,则m-1应不大于|x|的最小值,即m-10,得m1.6.|x-1||x+1|的解集是______________.答案：{x|x0}解析：原不等式可化为(x-1)2(x+1)2,解得x0.7.已知集合A={x||x+7|10},B={x|?|x-5|?2c},又AB=B,求实数c的范畴.解：先解|x+7|10,得x+710或x+7-10,有x3或x-17,即A={x|x3若x-17}.由AB=B得B A,对B讨论如下情形:(1)B= 有c(2)B 有c0,解|x-5|2c,得-2c解得c-11或c1.取c1,即0由(1)(2)知实数c的取值范畴是{c|c{c|0能力提升踮起脚,抓得住!8.已知集合M={x| 1},P={x|x-t0},要使MP= ,则t的取值范畴是( )A.{t|t1}B.{t|t1}C.{t|t1}D.{t|t1}答案：A解析：M={x|-11},P={x|xt},由MP= 知t1.9.若|x-4|+|x-3|A.aB.aC.aD.a3或a-4答案：B解析：由几何意义:|x-4|+|x-3|的最小值为1,则当a1时,原不等式的解集为空集.10.不等式|6-|2x+1||1的解集是________________.答案：{x|x-4或-3解析：原不等式等价于6-|2x+1|1或6-|2x+1|-1,又等价于-55或2x+17或2x+1-7.解之可得.11.不等式|x-2|+|x-3|9的解集是________________.答案：{x|-2解析：当x3时,原不等式为x-2+x-39,解得x7,即有3当23时,为x-2+3-x9,即19成立,即有2当x2时,为2-x+3-x9,解得x-2,即有-2综合得原不等式的解集为{x|37}{x|23}{x|-212.设A={x||2x-1|1},B={x||2x-a|1},AB= ,AB=R,求实数a的值.解：|2x-1|1 2x-11或2x-1-1,即x1或x0,即A={x|x1或x解|2x-a|1,得-11,即,即B={x| }.由AB= ,AB=R,图示如下:可得解得a=1.13.关于实数x的不等式|x- | 与|x-a-1|a的解集依次记为A与B,求使A B的a的取值范畴.解：由|x- | ,得- ,因此2aa2+1.由|x-a-1|a,得-ax-a-1a,则12a+1,要使A B,就必须即故a的取值范畴为2.拓展应用跳一跳，够得着!14.已知aR,则(1-|a|)(1+a)0的解集为( )A.|a|B.aC.|a|D.a1且a-1答案：D解析：(1)a0时,(1-|a|)(1+a)=(1-a)(1+a)a(2)a0时,(1+a)(1+a)=(1+a)20,且a-1.综合知a1,且a-1.15.已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|答案：a5解析：∵|x+2|+|x-3|5恒成立,当a5时,|x+2|+|x-3|故要使|x+2|+|x-3|16.设不等式|x+1|-|x-2|k的解集为R,求实数k的取值范畴.解法一：依照绝对值的几何意义,|x+1|能够看作数轴上点P(x)到点A(-1)的距离|PA|,|x-2|能够看作是数轴上点P(x)到点B(2)的距离|PB|,则|x+1|-|x-2|=| PA|-|PB|.如图所示:当点P在线段AB上时,-3|PA|-|PB|3,当P在A点左侧时,|PA|-|PB|=-3,当P在B点右侧时,|PA|-|PB|=3,则不等式-3|x+1|-|x-2|3恒成立.故使原不等式的解集为R的实数k的取值范畴是k-3.解法二:令y=|x+1|-|x-2|课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

【其中复习】高一数学不等式解法经典例题解下列分式不等式：（1）；（2）分析：当分式不等式化为时，要注意它的等价变形①②（1）解：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为。

（2）解法一：原不等式等价于∴原不等式解集为。

解法二：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为典型例题三例3 解不等式分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法、解法一：原不等式即∴或故原不等式的解集为、解法二：原不等式等价于即∴、典型例题四例4 解不等式、分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：或所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集、也可用数轴标根法求解、解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：或或或或或、∴原不等式解集是、解法二：原不等式化为、画数轴，找因式根，分区间，定符号、符号∴原不等式解集是、说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解、解法二中，“定符号”是关键、当每个因式的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间、在解题时要正确运用、典型例题五例5 解不等式、分析：不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解、解：移项整理，将原不等式化为、由恒成立，知原不等式等价于、解之，得原不等式的解集为、说明：此题易出现去分母得的错误解法、避免误解的方法是移项使一边为０再解、另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理、典型例题六例6 设，解关于的不等式、分析：进行分类讨论求解、解：当时，因一定成立，故原不等式的解集为、当时，原不等式化为；当时，解得；当时，解得、∴当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为、说明：解不等式时，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解、因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论、在解出的两根为，后，认为，这也是易出现的错误之处、这时也应分情况来讨论：当时，；当时，、典型例题七例7 解关于的不等式、分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解、解：原不等式或由，得：由判别式，故不等式的解是、当时，，，不等式组(1)的解是，不等式组(2)的解是、当时，不等式组(1)无解，(2)的解是、综上可知，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是、说明：本题分类讨论标准“，”是依据“已知及(1)中‘，’，(2)中‘，’”确定的、解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点、一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定、本题易误把原不等式等价于不等式、纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法、典型例题八例8 解不等式、分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可、解答：去掉绝对值号得，∴原不等式等价于不等式组∴原不等式的解集为、说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解、典型例题九例9 解关于的不等式、分析：不等式中含有字母，故需分类讨论、但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比较两根的大小，从而引出讨论、解：原不等式可化为、(1)当（即或）时，不等式的解集为：；(2)当（即）时，不等式的解集为：；(3)当（即或1）时，不等式的解集为：、说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论、比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根、但与两根的大小不能确定，因此需要讨论，，三种情况、典型例题例10 已知不等式的解集是、求不等式的解集、分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数的正负，然后求出方程的两根即可解之、解：(解法1)由题可判断出，是方程的两根，∴，、又的解集是，说明、而，，∴、∴，即，即、又，∴，∴的解集为、(解法2)由题意可判断出，是方程的两根，∴、又的解集是，说明、而，、对方程两边同除以得、令，该方程即为，它的两根为，，∴，、∴，，∴方程的两根为，、∵，∴、∴不等式的解集是、说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数，，的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根、典型例题二例12 若不等式的解为，求、的值、分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于、式子、解：∵，，∴原不等式化为、依题意，∴、说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解、典型例题三例13 不等式的解集为，求与的值、分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，、解法一：设的两根为，，由韦达定理得：由题意：∴，，此时满足，、解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故需满足：∴，、说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力、对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好、典型例题四例14 解关于的不等式、分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想、解：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，∴(2)当时，原不等式变为：①①当时，①式变为，∴不等式的解为或、②当时，①式变为、②∵，∴当时，，此时②的解为、当时，，此时②的解为、说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏、另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解、典型例题五例15 解不等式、分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或、解：原不等式等价于下面两个不等式组：①②由①得，∴由②得∴，所以原不等式的解集为，即为、说明：本题也可以转化为型的不等式求解，注意：，这里，设全集，，则所求不等式的解集为的补集，由或、即，∴原不等式的解集是、。

一元二次不等式知 识 梳 理1．三个“二次”间的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实 数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅x 2－5x ＋4≤0 x(x ＋11)≥3(x ＋1)2(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) |x 2－3x|＞4(x －3)(x ＋2)(x －1)≥0 3723202x x x -+--≥含参不等式例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11aC x aD x x a．＞或＜．＜或＞x a11例2 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．例4 关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝() A.52 B.72 C.154 D.152练习解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．.考点三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧全部点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的全部点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特别点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可推断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念自 测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域肯定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点肯定在可行域的顶点或边界上．( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( ) 2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3)3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．多数个4．(2014·天津卷)设变量x ，y 满意约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．55．(2014·安徽卷)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞(2)若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34【训练1】 (1)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满意约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )考点二 简洁线性目标函数的最值问题【例2】 (1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满意约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( ) A ．8 B ．7 C ．2 D ．1(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满意约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，(3)且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3C ．－5或3D ．5或－3【训练2】 (1)(2015·潍坊模拟)若x ，y 满意条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－23，35)B ．(－∞，－35)∪(23，＋∞) C ．(－35，23)D ．(－∞，－23)∪(35，＋∞)(2)(2014·湖南卷)若变量x ，y 满意约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车支配900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元微型专题 非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；(2)（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2表示点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离；(4)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率；(5)y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．【例4】 实数x ，y 满意⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．基础巩固题组1．(2015·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A ．1 B.12 C.13 D.142．(2014·湖北卷)若变量x ，y 满意约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是()A ．2B ．4C ．7D ．83．(2013·陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．24．(2014·大连模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.135．(2015·济南模拟)已知变量x ，y 满意约束条件⎩⎨⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，1＜x ≤a ，目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为10，则实数a 的值为( )A ．2 B.83 C ．4 D ．8实力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37 D ．49解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.明显当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.答案 C12．已知实数x ，y 满意不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，1) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)解析 作出不等式组对应的平面区域BCD ，由z ＝y －ax ，得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 仅在点B (1，3)处的截距最大，由图象可知a ＞k BD ，因为k BD ＝1，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 D13．(2013·广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线． 答案 614．变量x ，y 满意⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)． 由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．视察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min＝1－(－3)＝4，d max＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8.故z的取值范围是[16，64].。

含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （ ） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（ ）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且 二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是 ，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。

例1若OVaVl,则不等式(x-a)(x--)<0的解是a[]1A・ a<x< 一1B・一Vx<aaC・ x>1 或xVaaD・ x< -或x>aa分析比较a与丄的大小后雪出答案.a解VO<a<l, Aa<-,解应当在“两根之间”，得aVxV丄.a a选A.例2 Jx2-x-6有意义,贝收的取值范围是___________ .分析求算术根，被开方数必须是非负数.解据题意有，x2-x-620,即(x—3)(x+2)20,解在“两根之外”，所以xN3或xW—2.例 3 若ax2+bx-l<0 的解集为{xl~l<x<2},则a= _______ , b= _________ .分析根据一元二次不等式的解公式可知，一1和2是方程ax?+bx—l= 0的两个根，考虑韦达定理.解根据题意，一1, 2应为方程ax2+bx—1= 0的两根，则由韦达定理知b__ =(_l)+ 2 = 1< : 得—— =(—l)X2 = —2a1 1 ap，b—亍例4解下列不等式(1)(x-l)(3-x)<5-2x(2)x(x+ll)23(x+l)2(3)(2x +l)(x-3)> 3(x2+2), 3 , (4)3x~ -3x + 1> - —9 1(5)x~ -x + 1> -x(x- 1)分析将不等式适当化简变为ax^+bx+c>0(<0)形式, 然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).答(l){xlx<2 或x>4}3(2){xllWxW 寸(3)0(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.例5不等式l+x> 丄的解集为1-X[A.{xlx>0}B.{xIxNl}C. {xlx>l}D. {xlx>l 或 x=0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分.解不等式化为1+X —丄>0,通分得三即土>。

高一数学具体的不等式试题1.记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q.（1）若a=3,求P（2）若求正数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】思路分析：（1）解得（2）化简由得得到。

解：（1）由得（2）由得所以，即的取值范围是【考点】集合的概念，集合的运算，简单不等式的解法。

点评：中档题，为进行集合的运算，首先化简集合，明确集合中的元素是什么。

2.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是()A．10B．－10C．－14D．14【答案】C【解析】根据题意，由于不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，那么说明了是ax2＋bx＋2=0的两个根，然后利用韦达定理可知则a＋b的值是-14，故选C.【考点】一元二次不等式的解集点评：主要是考查了二次不等式的解集的运用，属于基础题。

3.关于x的不等式：的解集为 .【答案】【解析】根据题意，由于等价于，故可知不等式的解集为。

【考点】不等式的求解点评：主要是考查了不等式的求解，属于基础题。

4.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】取，可以验证①②③都是正确的，所以正确的有3个.【考点】本小题主要考查不等式的性质的应用.点评：遇到考查不等式性质的题目时，要注意特殊值法的应用，这种方法一般情况下简单有效.5.函数在上满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D.【考点】不等式点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。

6.不等式的解集是，【答案】【解析】根据题意，由于不等式，故可知答案为【考点】一元二次不等式的解法点评：本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解，属于基础题。

7.已知关于的不等式的解集是，则 .【答案】【解析】因为，关于的不等式的解集是，所以，a=。

典型例题一例1 假如10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-〔0>a 且1≠a 〕．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比拟法证明．解法1 〔1〕当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a +---=0)1(log 2>--=x a ．〔2〕当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2>-=x a ．综合〔1〕〔2〕知)1(log )1(log x x a a +>-．分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比拟法．因为 )1(log )1(log x x a a +--a x a x lg )1lg(lg )1lg(+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+---=0)1lg(lg 12>--=x a， 所以)1(log )1(log x x a a +>-．说明：解法一用分类相当于增设了条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质〔换底公式〕也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.abba b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>abb a ， ∴.abba b a b a >.说明：此题考查不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥〔当且仅当a b =时取等号〕 分析 这个题假如使用比拟法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。

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典型例题一
例1解不等式：（1）015223x x x
；（2）0)2()5)(4(32x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(x f （或0)(x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：（1）原不等式可化为
0)
3)(52(x x x 把方程0)3)(52(x x x 的三个根3,25,0321x x x 顺次标上数轴．然后从右上
开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
∴原不等式解集为
3
025x x x 或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x
x x x x
x x
x 或∴原不等式解集为2
455x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”
，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题二
例2 解下列分式不等式：
（1）22
123
x x ；（2）1
2731422
x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()
(或x g x f 时，要注意它的等价变形。

高一基本不等式例题摘要：一、基本不等式的概念和性质1.定义和表达式2.基本不等式的性质二、例题解析1.例题一2.例题二3.例题三三、解题方法和技巧1.代入法2.比较法3.综合法四、总结1.基本不等式在数学中的重要性2.提高解题效率的方法正文：一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指对于任意的实数a 和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。

基本不等式有许多重要的性质，例如，当a 和b 相等时，等号成立；当a 和b 不相等时，等号不成立。

二、例题解析1.例题一：求解不等式x^2 + y^2 <= 10，其中x 和y 为实数。

解析：我们可以将该不等式看作是两个实数的平方和，根据基本不等式，我们知道x^2 + y^2 >= 2xy，所以2xy <= 10，即xy <= 5。

因此，该不等式的解集为xy <= 5。

2.例题二：证明a^2 + b^2 >= 2ab，其中a 和b 为实数。

解析：根据基本不等式，我们有a^2 + b^2 >= 2ab，等号成立的条件是a=b。

为了证明这个结论，我们可以将a 和b 的平方和表示为(a-b)^2 + 2ab，然后利用平方的非负性，得到a^2 + b^2 >= 2ab，等号成立的条件是a=b。

3.例题三：求解不等式(x-2)^2 + (y-3)^2 <= 10，其中x 和y 为实数。

解析：我们可以将该不等式看作是两个实数的平方和，根据基本不等式，我们知道(x-2)^2 + (y-3)^2 >= 2(x-2)(y-3)，所以2(x-2)(y-3) <= 10，即(x-2)(y-3) <= 5。

因此，该不等式的解集为(x-2)(y-3) <= 5。

三、解题方法和技巧1.代入法：在解题过程中，我们可以将未知数表示为已知数的函数，然后代入原式，从而简化问题的求解过程。

高一数学不等式经典例题数学嘛，有时候就像个神秘的盒子，让人既爱又恨。

你知道吗，特别是高一的同学们，面对那些不等式题，心里总是嘀咕：这到底是什么鬼！这就像是你要在一个迷宫里找出口，前面有个大叔在那儿笑眯眯地指路，结果说的全是些晦涩难懂的术语。

哎，真是让人哭笑不得。

今天咱们就来聊聊这不等式，轻松一下，让你们在考试时不至于抓狂。

想象一下，有一天你走进教室，老师在黑板上写下一个大大的不等式，像个大石头压在心头。

你可能心里想：这是什么情况，简直是天书！别担心，咱们先来拆解一下。

就拿“(a > b)”这事儿来说。

你可以把它想象成两个小朋友在赛跑，(a) 小朋友跑得飞快，而 (b) 小朋友慢得像个乌龟。

结果大家都知道，(a) 先到终点，(b) 只能在后面追着嚷：“慢点啊，别跑那么快！”不等式的魅力就在于它的灵活性。

你可以像变魔术一样，把它们变来变去，比如说，如果你把两边都加上一个数字，情况就会变化。

这就像你给两位小朋友都加上一块蛋糕，嘿，谁还不是个小富翁呢？可是呢，别忘了，减去的操作也是可以的。

就像你把小朋友的玩具藏起来，那就麻烦了，大家都要小心翼翼，不然就容易发生“争抢”事件。

说到不等式，咱们还得提到一个超级英雄，叫做“三角不等式”。

听上去很高大上，其实它就是在说：“两个边加起来大于第三边。

”简单来说，就是你跟朋友一起出去玩，两个小伙伴的力气加起来总得大于你一个人的力气，这样才能一起把大西瓜搬回家！想想那场景，几个小伙伴围着大西瓜，笑得像花儿一样，真是个欢乐的夏天！还有一个特别好玩的东西，叫做“均值不等式”。

这玩意儿告诉我们，平均数总是比最小值大。

就好比班里有几个小伙伴考得特别差，结果平均下来，大家的分数却居然还不错！这时候，大家可能会说：“哎，看看，那些学霸果然是拖了后腿啊！”可见，团队的力量是多么强大，有时候大家一起努力，分数能比单打独斗高出一截。

面对这些不等式，常常有同学会感到无从下手。

解题的关键在于细心和耐心。