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学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数:课题常见不等式的解法教学目的理解和掌握一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法教学内容问题思考：1、一元二次不等式的解法步骤是什么？2、解分式不等式的时候应该注意哪些问题？3、解绝对值不等式的时候，我们常用的有几种去绝对值的符号？1、一元二次不等式的解法：求ax2 3 bx c 0( a 0)的解集，还可以用配方法以及考察ax2 bx C 0( a 0)函数图形的方法来解不等式2解分式不等式时，切忌随意去分母。
正确的解法是通过讨论决定分母的正负号后，利用不等式的基本性质，将原不等式化为几个不等式组，或先通过移项将不等式的一边变为零后，再通分找到原不等式的等价不等式(组)。
3绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①分段讨论；②两边平方法；③转化方法。
2 例1.求下列不等式的解集:2(1) 3x 5x 2 01 例2.已知一个一元二次不等式的解集为 {Xl- <x<3}.(3) χ24x 45≥ 02 (4) 3x 2x 4≤ 0 2(5) X 4x 4≥ 0⑹ x 2 2x 3≤ 0 X 2 3x 2 2 ax bx 3 0,求 a,b 的若关于X 的一元二次不等式为(1) 若关于X 的一元二次不等式为ax2 bx C 0,求关于X的一元二次不等式cx2 bx a 0的解集2例3.解关于X的不等式mχ2 (m 2)x 2 0 ,并写出解集例4.当k为何值时，关于X的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0 的解集为(-,+ )?例5.若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,3), 求不等式CX 2+ax-b<0的解集2 3例6.当k为何值时，不等式2kx +kx- 0对于一切实数X都成立?8例7.已知集合A={x Xa 0},集合B={χx22ax 3a20},求 A B 与A B.例8.已知函数f(x)=x 2+px+q,且f(2)=2,若对于任意实数X恒有f(x) x,求实数p, q的值。
高一不等式的试题及答案一、选择题1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 1) \)，则下列选项中正确的是：A. \( a < 0 \) 且 \( b^2 - 4ac = 0 \)B. \( a > 0 \) 且 \( b^2 - 4ac = 0 \)C. \( a < 0 \) 且 \( b^2 - 4ac > 0 \)D. \( a > 0 \) 且 \( b^2 - 4ac > 0 \)答案：B2. 若不等式 \( |x - 3| < 2 \) 的解集为：A. \( (1, 5) \)B. \( (-2, 5) \)C. \( (1, 5) \cup (-2, 5) \)D. \( (-∞, 5) \cup (1, +∞) \)答案：A3. 若不等式 \( \frac{1}{x} < 1 \) 的解集为：A. \( x < 0 \) 或 \( x > 1 \)B. \( x < 0 \) 或 \( 0 < x < 1 \)C. \( x < 0 \) 或 \( x > 1 \)D. \( 0 < x < 1 \)答案：A4. 若不等式 \( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \) 的解集为：A. \( R \)（实数集）B. \( (-∞, 2] \cup [2, +∞) \)C. \( (-∞, 4] \cup [4, +∞) \)D. \( [0, +∞) \)答案：A5. 若不等式 \( \log_2(x+1) > 1 \) 的解集为：A. \( x > 1 \)B. \( x > 0 \)C. \( x > -1 \)D. \( x > 2 \)答案：A二、填空题6. 若不等式 \( ax^2 + bx + c \leq 0 \) 的解集为 \( [1, 2] \)，则 \( a \)、\( b \)、\( c \) 之间的关系是 \( a > 0 \)，\( b = -3a \)，\( c = 2a \)。
高一数学不等式练习题在高中数学的学习中，不等式是基础而重要的概念之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些高一数学不等式的练习题，供同学们练习和巩固知识。
练习题一：解绝对值不等式1. 解不等式 |x - 3| < 2。
2. 解不等式|x + 4| ≥ 5。
练习题二：解一元一次不等式3. 解不等式 3x - 5 > 10。
4. 解不等式 -2x + 1 ≤ -4。
练习题三：解一元二次不等式5. 解不等式 x^2 - 4x + 3 > 0。
6. 解不等式 2x^2 + 5x - 3 ≤ 0。
练习题四：解含有分式的不等式7. 解不等式 \(\frac{x - 1}{x + 2} > 0\)。
8. 解不等式 \(\frac{2x - 3}{x^2 - 1} < 0\)。
练习题五：解含有根式的不等式9. 解不等式 \(\sqrt{x} - 2 < 0\)。
10. 解不等式 \(\sqrt{2x + 3} ≥ x\)。
练习题六：解含有指数和对数的不等式11. 解不等式 \(2^x > 8\)。
12. 解不等式 \(\log_2(x - 1) < 1\)。
练习题七：解不等式组13. 解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 0 \\3 - 2x ≥ 4\end{cases}\]14. 解不等式组：\[\begin{cases}3x - 1 < 5x + 2 \\x^2 - 4x + 4 ≤ 0\end{cases}\]练习题八：应用题15. 某工厂需要生产一批零件，每件零件的成本为 \(c\) 元，售价为\(s\) 元。
若工厂希望每件零件的利润不低于 5 元，求 \(c\) 和\(s\) 之间的关系。
16. 某公司计划购买一批电脑，每台电脑的价格不超过 3000 元。
如果公司希望每台电脑的利润率不低于 20%，求电脑的最低进价。
高一不等式练习题在高中数学学习中，不等式是一个十分重要的概念和工具。
不等式不仅能够描述数值的大小关系，还可以用于解决实际问题以及证明数学定理。
因此，掌握不等式的基本性质和解题方法对于高一学生来说至关重要。
本文将为你提供一些高一不等式练习题，帮助你巩固知识和提升解题能力。
一、简单的一元一次不等式1. 解不等式5x - 7 < 3x + 5。
解：首先，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到2x < 12。
然后，将系数为2的x除以2，得到x < 6。
因此，不等式的解集为x < 6。
2. 解不等式2 - 3x > 4x + 5。
解：首先，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到-7x > 3。
然后，将系数为-7的x除以-7，并改变不等式的方向，得到x < -3/7。
因此，不等式的解集为x < -3/7。
二、一元一次不等式的综合运用1. 若3x - 2 > 4x + 1，则x的取值范围是多少？解：首先，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到-x > 3。
然后，将两边的不等式同时乘以-1，并改变不等式的方向，得到x < -3。
因此，不等式的解集为x < -3。
2. 若2(x - 3) - 5 < 4 - (x + 1)，求解集。
解：首先，将不等式中的括号展开并整理，得到2x - 6 - 5 < 4 - x - 1。
然后，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到3x < 16。
最后，将系数为3的x除以3，得到x < 16/3。
因此，不等式的解集为x < 16/3。
三、含绝对值的不等式1. 解不等式|x - 2| < 3。
解：根据绝对值的定义，不等式可以化为两个不等式：x - 2 < 3 和 -(x - 2) < 3。
解第一个不等式得到x < 5，解第二个不等式得到x > -1。
完整版)高一不等式及其解法习题及答案教学目标】1.能够熟练解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式2.理解分类讨论的数学思想并能够应用于解含参不等式教学重难点】分类讨论的数学思想教学过程】题型一：解一元二次不等式例1：解下列不等式1）2x²-3x-2>0；（2）-6x²-x+2≥0；（3）2x²-4x+70方法总结：对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，可以通过求出其判别式Δ=b²-4ac的值，来判断其解的情况。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，解集为x根2；2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，解集为x=根1=根2；3.当Δ<0时，方程无实数根，解集为空集。
变式练】1-1.已知不等式ax²+bx+c的解集为(2,3)，求不等式cx²+bx+a的解集。
题型二：解高次不等式例2：求不等式(x-4)(x-6)≤0的解集。
方法总结：对于高次不等式，可以通过将其化为一元二次不等式的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。
变式练】2-1.解不等式x(x-1)(x+1)(x+2)≥0.题型三：解分式不等式例3-1：解下列不等式1) 23/(x²-4x+1) < 1；(2) 23/(x²-4x+1) ≤ 2；(3) 23x-7/(x²-2x+1)。
方法总结：对于分式不等式，可以通过将其化为分子分母同号的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。
题型四：解含参数的一元二次不等式例4-1：解关于x的不等式2x+ax+2>(a∈R)。
方法总结：对于含参不等式，可以通过分类讨论的思想来解决。
首先讨论a的值，然后根据a的取值再讨论不等式的解集。
变式练】1.已知a∈R，解关于x的不等式ax-(a+1)x+1<2.2.解不等式a(x-1)/(x-2)。
高一数学暑期复习专题14——不等式的解法【典型例题】例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围例2设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围例3解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)例4. 已知A ＝{x| 2ax 2＋(2－ab)x －b>０}，B ＝{x| x<－2或x>３}，其中b>0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．变式训练4：不等式11<-x ax 的解集是{x| x<1或x>2}，则a ＝ ．例5. 已知关于x 的不等式a x ax --5<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．变式训练5：已知函数f (x)＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x)－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4．(1)求函数f (x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x)＜xk x k --+2)1(．例6. 若不等式2x －1>m(x 2－1)对满足－2≤m≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．变式训练6：若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 例7． 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax(a ∈R)．变式训练7：解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．【巩固练习】 1 设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( ) A (－∞，－2)∪(－21，+∞) B (－21，21) C (－∞，－2)∪(－21，1) D (－2，－21)∪(1，+∞) 2 已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b )，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________ 3 已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是_______ 4 已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3 (1)求p 的值；(2)若f (x )=11+-x x p p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞kx p +1log (k ∈R +)5 设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式 x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论6 已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2 (1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值 并求此时f (sin θ)的最小值7 解不等式log a (x －x1)＞18 设函数f (x )=a x 满足条件 当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围。
典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
典型例题一例1 若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1≠a ）．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．解法1 （1）当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +--= =（2因为 所以 = =分析解法因为 =[])1lg()1lg(lg 1x x a+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+---=0)1lg(lg 12>--=x a， 所以)1(log )1(log x x a a +>-．说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.ab ba b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)(∵>a ∴)(ba 又∵a ∴ab a 说明：例3 分析 4，有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22a b =时取等号） 两边同加4444222():2()()a b a b a b ++≥+，即：44222()22a b a b ++≥ （1） 又：∵ 222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加22222():2()()a b a b a b ++≥+∴222()22a b a b ++≥ ∴ 2224()()22a b a b ++≥ （2） 由（1）和（2）可得444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）． 说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．例4 分析 形式，的技巧．∴ 1a ∵b a +∴1a b c说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．典型例题五例５ 已知c b a >>，求证：ac c b b a -+-+-111＞0. 分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一：(分析法书写过程)为了证明ac c b b a -+-+-111＞0 只需要证明c b b a -+-11＞ca -1∵c b a >>∴0,0>->->-c b b a c a∴c b c a b a ---1,11 ＞0 ∴+11＞1成立∴∵∴∴∴么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．证明：为要证c a c <只需证a c <-<即证a c -<也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-， 即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a bc +>≥2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴ 所求不等式c a c <<说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．典型例题七例7 若233=+b a ，求证2≤+b a ．分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．证法一：假设2>+b a ，则)(2))((222233b ab a b ab a b a b a +->+-+=+，而233=+b a ，故1)(22<+-b ab a ．∴ab b a ab 2122≥+>+．从而1<ab ， ∴2122<+<+ab b a ．∴4222)(222<+<++=+ab ab b a b a ． ∴2<+b a ．这与假设矛盾，故2≤+b a ．证法二：假设2>+b a ，则b a ->2，故3333)2(2b b b a +->+=，即261282b b +->，即0)1(2<-b ， 这不可能．从而2≤+b a ．证法三：假设2>+b a ，则8)(3)(333>+++=+b a ab b a b a ． 由233=+b a ，得6)(3>+b a ab ，故2)(>+b a ab ． 又2))((2233=+-+=+b ab a b a b a ，∴))(()(22b ab a b a b a ab +-+>+． ∴ab b ab a <+-22，即0)(2<-b a ．这不可能，故2≤+b a ．说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾． 一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．典型例题八例8 分析：证明：即证x 化简得∵=∆∴32x ∴2y x 说明：，然后分(1)>x 2．典型例题九例9 已知2122≤+≤y x ，求证32122≤+-≤y xy x ． 分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明． 证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r ．∵2122≤+≤y x ，∴可设θ=cos r x ，θ=sin r y ，其中π≤θ≤≤≤2021，r ．∴)2sin 211(cos sin 22222θ-=θθ-=+-r r r y xy x ． 由232sin 21121≤θ-≤，故22223)2sin 211(21r r r ≤θ-≤． 而21212≥r ，3232≤r ，故32122≤+-≤y xy x ．说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为222r y x =+或222r y x ≤+或12222=±b y a x 时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变例10 “化当=k 当=k 当k =∴21=说明如证明42111222++n kk k 12-2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．典型例题十一例11 已知0>>b a ，求证：bb a ab b a a b a 8)(28)(22-<-+<-． 分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．证明：欲证b b a ab b a a b a 8)(28)(22-<-+<-， 只须证bb a ab b a a b a 4)(24)(22-<-+<-． 即要证2222)(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b a b a a b a ，即要证bb a b a ab a 22-<-<-．∵故“欲而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由0)()()(222≥-+-+-a c c b b a ，易得ca bc ab c b a ++≥++222，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．证明：∵242424888)()()(z y x z y x ++=++444444x z x y y x ++≥222222222)()()(x z z y y x ++=222222222222y x x z x z z y z y y x ⋅+⋅+⋅≥222222)()()(y zx x yz z xy ++= z xy y zx y zx x yz x yz z xy 222222⋅+⋅+⋅≥ 332332332y x z x z y z y x ++=．∴332332332888y x z x z y z y x z y x ++≥++．说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式ab b a 222≥+而得到的．左右两边都是三项，实质上是ca bc ab c b a ++≥++222公式的连续使用．)11z y +的过程．例13 分析立，则b a 1()1(-，即41(-44又∵10<<a ，10<<b ，10<<c ，∴21)1(>-b a ，21)1(>-c b ，21)1(>-a c ．∴23)1()1()1(>-+-+-a c c b b a ①又∵21)1(b a b a +-≤-，21)1(c b c b +-≤-，21)1(ac a c +-≤-．以上三式相加，即得：23)1()1()1(≤⋅-+⋅-+⋅-a c c b b a ②显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证． 说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．典型例题十四例14 已知a 、b 、c 都是正数，求证：⎪⎭⎫⎝⎛-++≤⎪⎭⎫⎝⎛-+33322abc c b a ab b a ．分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证332abc c ab -≤-，即只需证c 即-由a c ∴即c a ∴⎪⎭⎝-≤-⎪⎭ ⎝⎛∴33322abc ab ． 说明：题中给出的2ba +，ab ，3c b a ++，3abc ，只因为a 、b 、c 都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当ab c =时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本题的关键是证明332abc ab c ≥+．典型例题十五例15 已知0>a ，0>b ，且1=-b a ．求证：1)1)(1(10<+-<bb a a a ． 分析：记)1)(1(10bb a a a M +-<=，欲证10<<M ，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件1=-b a ，+∈R b a 、可换元，围绕公式1tan sec 22=θ-θ来进行．则1a ==∵0出来，R ∈α,；(2)若2x αcos ，=sin r y例分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．证明：∵x 是不等于1的正数，∴021>>+x x ，∴n n n x x 2)1(>+． ①又021>>+n n x x ． ②将式①，②两边分别相乘得n n n n n x x x x ⋅⋅>++22)1)(1(，∴n n n n x x x ⋅>+++12)1)(1(．说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为1≠x ，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．典型例题十七例17 已知，x ，y ，z +∈R ，且1=++z y x ，求证3≤++z y x ．只需证+xy 看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的．典型例题十八例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n下手考查即可．证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n ． 说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．典型例题十九例19 ，求证442c a ≤+分析： 证明：∴a 2∴4a 说明积公式C ab S sin 21=．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．。
高一数学不等式经典例题数学嘛，有时候就像个神秘的盒子，让人既爱又恨。
你知道吗，特别是高一的同学们，面对那些不等式题，心里总是嘀咕：这到底是什么鬼！这就像是你要在一个迷宫里找出口，前面有个大叔在那儿笑眯眯地指路，结果说的全是些晦涩难懂的术语。
哎，真是让人哭笑不得。
今天咱们就来聊聊这不等式，轻松一下，让你们在考试时不至于抓狂。
想象一下，有一天你走进教室，老师在黑板上写下一个大大的不等式，像个大石头压在心头。
你可能心里想：这是什么情况，简直是天书！别担心，咱们先来拆解一下。
就拿“(a > b)”这事儿来说。
你可以把它想象成两个小朋友在赛跑，(a) 小朋友跑得飞快，而 (b) 小朋友慢得像个乌龟。
结果大家都知道，(a) 先到终点，(b) 只能在后面追着嚷：“慢点啊，别跑那么快！”不等式的魅力就在于它的灵活性。
你可以像变魔术一样，把它们变来变去，比如说，如果你把两边都加上一个数字，情况就会变化。
这就像你给两位小朋友都加上一块蛋糕，嘿，谁还不是个小富翁呢？可是呢，别忘了，减去的操作也是可以的。
就像你把小朋友的玩具藏起来，那就麻烦了，大家都要小心翼翼，不然就容易发生“争抢”事件。
说到不等式，咱们还得提到一个超级英雄，叫做“三角不等式”。
听上去很高大上，其实它就是在说：“两个边加起来大于第三边。
”简单来说，就是你跟朋友一起出去玩，两个小伙伴的力气加起来总得大于你一个人的力气，这样才能一起把大西瓜搬回家！想想那场景，几个小伙伴围着大西瓜，笑得像花儿一样，真是个欢乐的夏天！还有一个特别好玩的东西，叫做“均值不等式”。
这玩意儿告诉我们，平均数总是比最小值大。
就好比班里有几个小伙伴考得特别差，结果平均下来，大家的分数却居然还不错！这时候，大家可能会说：“哎，看看，那些学霸果然是拖了后腿啊！”可见，团队的力量是多么强大，有时候大家一起努力，分数能比单打独斗高出一截。
面对这些不等式，常常有同学会感到无从下手。
解题的关键在于细心和耐心。
高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。
2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。
其中[),0,a b ∈+∞（2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。
例题1：若实数,a b 满足221ab+=，则a b +的最大值是 ．解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：1a b ==-时取等号。
变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。
解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=12m n ==时取等号。
例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：当21212x x x +=⇒=-时取等号。
变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为 。
解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：当且仅当122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取 例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。
高一数学期末复习 不 等 式 的 解 法例1 解下列不等式：（1）－3x 2＋4x ＋4>0．（2）42412++x x ≥0． （3）(2x ＋1)(x －3)>3(x 2＋2) ．（4）1＋x －x 3－x 4<0 ．例2 解不等式861414322+-+-x x x x ≥1．分式不等式的常见解法：0)()(>x q x p （或0)()(<x q x p ）等价于 p(x)q(x)>0（或p(x)q(x)<0）；)()(x q x p ≥0（或)()(x q x p ≤0）等价于 ⎩⎨⎧≠≥0)(,0)()(x q x q x p （或⎩⎨⎧≠≤.0)(,0)()(x q x q x p ）例3．解不等式（1）235x -（2）1346x +≤ （3）253x x -≤+（4）|x ＋1|－|x －1|>1．例4．解关于x 的不等式x 2-(a+1)x+a>0练习：1．下列不等式的解集是R 的为（ C ）A ． x 2＋2x ＋1>0B ．02>x C ． 0121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛x D ． x x 131<- 2．不等式2)1(+-x x ≥0的解集是（ C ）A ． {x|x>1}B ． {x|x ≥1}C ． {x|x ≥1或x= －2}D ． {x|x ≥－2且x ≠1}3．不等式x 2－2mx －15m 2<0，（m<0）的解是（B ）A ． –3m<x<5mB ． 5m<x<－3mC ． –3m<x<5m 或5m<x<－3mD ． x<－3m 或x>5m4．与不等式xx --23≥0的解集相同的不等式是（B ） A ． (x －3)(2－x)≥0 B ．23--x x ≤0C ． 32--x x ≥0 D ． (x －3)(2－x)>0 5．不等式2<|2x ＋3|≤4的解集是（C ）A ． 2527|{-<<-x x ，或x <-21≤}21 B ． 2527|{-<<-x x ，或<<-x 21}21 C ． 27|{-x ≤25-<x ，或x <-21≤}21 D ． 27|{-x ≤≤x 25-，且x <-21≤}21 6．不等式1312>+-x x 的解集是__________ ． 7．不等式x(x －1)(x 2＋1)(x ＋3)(x －4)>0的解集是__________ ．8．若二次函数f(x)=ax 2＋bx 有f(x 1)=f(x 2)（x 1≠x 2），则f(x 1＋x 2)=_______ ．9．不等式|x －4|＋|x －3|<a 在R 上的解集为空集，求实数a 的取值范围．10．设关于x 的不等式2)1(2+-a x ≤2)1(2-a 和)13(2)1(32+⋅++-a x a x ≤0 （a ∈R ）的解集依次为A 、B ，求使B A ⊆的实数a 的取值范围．。
实用文档标准文案大全典型例题一例1解不等式：（1）015223???xxx；（2）0)2()5)(4(32????xxx．分析：如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(?xf（或0)(?xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(???xxx把方程0)3)(52(???xxx的三个根3,25,0321????xxx顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为??????????3025xxx或（2）原不等式等价于??????????????????????2450)2)(4(050)2()5)(4(32xxxxxxxxx或∴原不等式解集为??2455???????xxxx或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123????xx；（2）12731422?????xxxx分析：当分式不等式化为)0(0)()(??或xgxf时，要注意它的等价变形实用文档标准文案大全①0)()(0)()(????xgxfxgxf②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(?????????????xgxfxfxgxfxgxgxfx gxf或或（1）解：原不等式等价于????????????????????????????????????????0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2 )(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx用“穿根法”∴原不等式解集为????????????,62,1)2,(。
（2）解法一：原不等式等价于027313222?????xxxx21213102730132027301320)273)(132(222222??? ???????????????????????????????xxxxxxxxxxxxxxx或或或∴原不等式解集为),2()1,21()31,(??????。
解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(?????xxxx0)2()13)(1)(12(???????xxxx用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(??????典型例题三实用文档标准文案大全例3解不等式242???xx分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义???????)0()0(aaaaa二是根据绝对值的性质：axaxaxaax???????.,或ax??，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式?????????????????????240424042222xxxxxx或即??????????????????1222222xxxxxxx或或或∴32??x或21??x故原不等式的解集为??31??xx．解法二：原不等式等价于24)2(2??????xxx即????????????)2(42422xxxx∴312132???????????xxxx故或．典型例题四例4解不等式04125622?????xxxx．分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：???????????041205622xxxx或???????????041205622xxxx所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：???????????0412,05622xxxx或???????????0412,05622xxxx ??????????;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx或?????????;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx实用文档标准文案大全；?????????62,51xx或????????6,2,5,1xxxx,51???x或2??x或6?x．∴原不等式解集是}6512{?????xxxx，或，或．解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(?????xxxx．画数轴，找因式根，分区间，定符号．)6)(2()5)(1(????xxxx符号∴原不等式解集是}6512{?????xxxx，或，或．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5解不等式xxxxx?????222322．分析：不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2??????xxxxx．由012???xx恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(????xxx．解之，得原不等式的解集为}321{????xxx或．说明：此题易出现去分母得)23(2222xxxxx?????的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六实用文档标准文案大全例6设Rm?，解关于x的不等式03222???mxxm．分析：进行分类讨论求解．解：当0?m时，因03??一定成立，故原不等式的解集为R．当0?m时，原不等式化为0)1)(3(???mxmx；当0?m时，解得mxm13???；当0?m时，解得mxm31???．∴当0?m时，原不等式的解集为?????????mxmx13；当0?m时，原不等式的解集为?????????mxmx31．说明：解不等式时，由于Rm?，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0?m时，原不等式化为03??，此时不等式的解集为R，所以解题时应分0?m与0?m两种情况来讨论．在解出03222???mxxm的两根为mx31??，mx12?后，认为mm13??，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0?m时，mm13??；当0?m 时，mm13??．典型例题七例7 解关于x的不等式)0(122????axaax．．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式?????????????;)1(2,01,02)1(222xaaxxaax或???????.01,02)2(2xax由0?a，得：???????????????;01)1(2,1,2)1(22axaxxax????????.1,2)2(xax由判别式08)1(4)1(422???????aaa，故不等式01)1(222?????axax的解是aaxaa2121??????．当20??a时，1212????aaa，121???aa，不等式组(1)的解是实用文档标准文案大全121????xaa，不等式组(2)的解是1?x．当2?a时，不等式组(1)无解，(2)的解是2ax?．综上可知，当20??a时，原不等式的解集是??????,21aa；当2?a时，原不等式的解集是????????,2a．说明：本题分类讨论标准“20??a，2?a”是依据“已知0?a及(1)中‘2ax?，1?x'，(2)中‘2ax?，1?x'”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22xaax???．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8解不等式331042???xx．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．解答：去掉绝对值号得3310432?????xx，∴原不等式等价于不等式组 ????????????????????????06104010433104310432222xxxxxx?????????????????????. 321,2500)12)(3(20)52(2xxxxxxx或∴原不等式的解集为???????????325021xxx或．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9解关于x的不等式0)(322????axaax．实用文档标准文案大全分析：不等式中含有字母a，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322????axaax的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2???axax．(1)当2aa?（即1?a或0?a）时，不等式的解集为：??2axaxx??或；(2)当2aa?（即10??a）时，不等式的解集为：??axaxx??或2；(3)当2aa?（即0?a或1）时，不等式的解集为：??axRxx??且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根ax?1，22ax?，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根．但a与2a两根的大小不能确定，因此需要讨论2aa?，2aa?，2aa?三种情况．典型例题十例10已知不等式02???cbxax的解集是??)0(??????xx．求不等式02???abxcx的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程02???abxcx的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出?，?是方程02???cbxax的两根，∴ab?????，ac????．又02???cbxax的解集是??????xx，说明0?a．而0??，0??000????????cac，实用文档标准文案大全∴0022???????caxcbxabxcx．．??????????????????????????????),1)(1(1,11??????????????accbacab∴02???caxcbx，即0)1)(1()11(2???????????xx，即0)1)(1(?????xx．又????0，∴???11，∴0)1)(1(?????xx的解集为??????????11xx．(解法2)由题意可判断出?，?是方程02???cbxax的两根，∴ac????．又02???cbxax的解集是??????xx，说明0?a．而0??，0??000????????cac．对方程02???abxcx两边同除以2x得0)1()1(2?????cxbxa．令xt1?，该方程即为02???ctbta，它的两根为??1t，??2t，∴??11x，??21x．∴??11x，??12x，∴方程02???abxcx的两根为?1，?1．∵????0，∴???11．∴不等式02???abxcx的解集是??????????11xx．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有?，?是已知量，故所求不等式解集也用?，?表示，不等式实用文档标准文案大全系数a，b，c的关系也用?，?表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12 若不等式1122???????xxbxxxax的解为)1()31(????，， ，求a、b的值．分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a、b 式子．解：∵043)21(122??????xxx，043)21(122??????xxx，∴原不等式化为0)()2(2???????baxbaxba．依题意????????????????????34231202bababababa，∴?????????2325ba．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．典型例题十三例13 不等式022???bxax的解集为??21???xx，求a与b的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为??21???xx，不等式022???bxax 需满足条件0?a，0??，022???bxax的两根为11??x，22?x．解法一：设022???bxax的两根为1x，2x，由韦达定理得： ?????????????axxabxx22121由题意：???????????????21221aab∴1?a，1??b，此时满足0?a，0)2(42??????ab．解法二：构造解集为??21???xx的一元二次不等式：实用文档标准文案大全0)2)(1(???xx，即022???xx，此不等式与原不等式022???bxax应为同解不等式，故需满足：2211?????ba∴1?a，1??b．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14 解关于x的不等式01)1(2????xaax．．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：分以下情况讨论(1)当0?a时，原不等式变为：01???x，∴1?x(2)当0?a时，原不等式变为：0)1)(1(???xax①①当0?a时，①式变为0)1)(1(???xax，∴不等式的解为1?x或ax1?．②当0?a时，①式变为0)1)(1(???xax．②∵aaa???111，∴当10??a时，11?a，此时②的解为ax11??．当1?a时，11?a，此时②的解为11??xa．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：??????????????????????????????11100000aaaaaaaRa分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0?a时，解一元二次不等式01)1(2????xaax应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十五例15 解不等式xxx????81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情实用文档标准文案大全况下，)()(xgxf?可转化为)()(xgxf?或)()(xgxf?，而)()(xgxf?等价于：?????0)(0)(xgxf或????????2)]([)(0)(0)(xgxfxgxf．解：原不等式等价于下面两个不等式组：①????????0103082xxx②??????????????222)8(103010308xxxxxx由①得???????258xxx或，∴8?x由②得∴????????????.1374258xxxx或81374??x，所以原不等式的解集为?????????881374xxx或，即为???????1374xx．说明：本题也可以转化为)()(xgxf?型的不等式求解，注意： ??????????2)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf，这里，设全集}52{}0103{2????????xxxxxxU或，???????????xxxxA81032，则所求不等式的解集为A的补集A，由2)8(10301030881032222??????????????????????xxxxxxxxxx或13745??x．即??????????137452xxxA或，∴原不等式的解集是????????1374xxA．。
