Marino_Vafa公式的一个注记

Gauss-K ronecker 曲率公式的一个注记王东明;甘德俊;牛应轩【期刊名称】《皖西学院学报》【年(卷),期】2016(032)002【摘要】从Gauss‐Kronecker曲率的定义出发，给出并证明了对n＋1维欧氏空间Rn＋1中的n维超曲面的Gauss‐Kronecker曲率的一个计算公式。

例子显示利用该公式计算超曲面的Gauss‐Kronecker曲率更方便。

%From the definition of Gauss‐Kronecker curvature ,this paper gives and proves a formula for calculating the Gauss‐Kronecker curvature , based n‐dimensional super‐surfaces in the n + 1‐dimensional Euclidean space . Examples show the convenience of the formula in calculating the Gauss‐Kronecker curvature of a super‐su rface .【总页数】3页(P52-54)【作者】王东明;甘德俊;牛应轩【作者单位】皖西学院金融与数学学院，安徽六安237012;皖西学院金融与数学学院，安徽六安237012;皖西学院金融与数学学院，安徽六安237012【正文语种】中文【中图分类】O186.1【相关文献】1.anti-de Sitter空间中具有常高阶平均曲率的类空超曲面的一个注记 [J], 高耀文2.关于具有常平均曲率和数量曲率超曲面的M(o)bius几何的一个注记 [J], 夏巧玲3.关于预定曲率方程的解曲面的凸性的一个注记 [J], 徐金菊4.关于常曲率空间中子流形截面曲率的一个注记 [J], 孙弘安5.常数量曲率超曲面——高阶平均曲率拉普拉斯计算公式的一个应用 [J], 张廷枋因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u u u a x y z t tx y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M Mat atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩22at at ππ⎡⎤⎡⎤＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i x f x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+ 1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ= [][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d ixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=00[()]()i x F e f x f λλλ=-..1[()][()]x F f d F f x i ξξλ-∞=⎰.0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（）()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-()()i x f f x e dxλλ+∞--∞=⎰[]12()F πδλ= 22242ax aF e e λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1cos ()21sin ()2ia ia ia ia a e e a e e i--=+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e dx +∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax cL ce p a p a =>-21[]L x s =21[]()xL ex s ββ-⋅=+[]22sin kL kt s k =+[]22cos sL kt s k ==+[]22[]2ax axe eaL shax L s a--==- Re Re s a > []22[]2axaxe esL chax L s a -+==+ Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x sττ=⎰[][()]n n n d L f L x f ds=- ..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sx L x x e dx δδ+∞-==⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为：011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。

科芬曼森公式摘要：1.科芬曼森公式的背景和意义2.科芬曼森公式的数学表达及其推导3.科芬曼森公式的应用领域4.科芬曼森公式在实际问题中的案例解析5.科芬曼森公式与其他相关公式的比较6.科芬曼森公式的局限性与改进方向正文：科芬曼森公式（Coffman-Mansson formula）是一种求解线性变换的不变量的方法，由科芬曼（Coffman）和曼森（Manson）于20世纪30年代独立发现。

该公式在信息论、编码理论、密码学等领域具有重要的理论和实际应用价值。

科芬曼森公式的数学表达如下：设线性变换T将向量空间V变换到向量空间W，T的矩阵表示为A。

对于任意一个向量x∈V，其变换后的向量记为y，则有：y = Ax在A的行向量中，选取一个非零向量u，使得u与A的每一列向量都正交。

那么，u的模长即为A的奇异值，记作σ。

此时，有：σ= |A|_2 = sqrt(trace(A"A))其中，A"表示A的转置。

科芬曼森公式可以用于求解许多实际问题，如线性变换的奇异值分解、矩阵的谱聚类、信号处理中的滤波等。

以下是一个简单的案例解析：假设我们有一个3x3的矩阵A，表示线性变换，我们需要求解其奇异值。

首先，计算A的转置矩阵A"，然后计算A"A的迹，最后求迹的平方根即可得到A的奇异值。

科芬曼森公式与其他相关公式相比，如奇异值分解（SVD），具有一定的局限性。

首先，科芬曼森公式仅适用于方阵，而奇异值分解可以处理任意大小的矩阵。

其次，科芬曼森公式在计算过程中涉及到矩阵的乘法，而奇异值分解只需对矩阵进行奇异值分解操作。

然而，在某些特定场景下，科芬曼森公式具有计算优势，如在线性变换的不变量求解中。

科芬曼森公式在实际应用中具有一定的局限性，例如在处理大规模矩阵时，计算复杂度较高。

针对这一问题，研究人员提出了许多改进方法，如采用数值稳定算法、并行计算等。

此外，科芬曼森公式仅适用于线性变换，对于非线性变换，可以考虑使用其他方法，如奇异值分解、局部线性嵌入等。

费马大定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.的整数解都是平凡解，即当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)(补充：(0，0，0)是其中一个特殊解2008年由赵浩杰提出)当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。

虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁²怀尔斯和他的学生理查²泰勒于1995年成功证明。

证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。

而安德鲁²怀尔斯 (Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

研究历史1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。

关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

”(拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。

数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。

对很多不同的n，费马定理早被证明了。

但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。

同时主验证验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：然后代入：透过因式分解，可得：这样便可验证：和立方验证透过和立方可验证立方和的原理：那即是只要减去及便可得到立方和，可设：右边的方程运用因式分解的方法：这样便可验证出：几何验证图象化透过绘立体的图像，也可验证立方和。

根据右图，设两个立方，总和为：把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：要得到，可使用的空白位置。

该空白位置可分割为3个部分：∙∙∙把三个部分加在一起，便得：之后，把减去它，便得：上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：可透过这样便可证明反验证透过也可反验证立方和。

以上计算方法亦可简化为一个表格：这样便可证明1. 把因式分解∙把两个数项都转为立方：∙运用立方和可得：2. 把因式分解∙把两个数项都转为立方：∙运用立方和便可得：∙但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：∙亦可使用另一个方法来减省步骤。

首先把公因子抽出：∙直接使用立方和，并得：立方差立方差也可以使用立方和来验证，例如：运用负正得负，可得：然后运用立方和，可得：这个方法更可验证到立方差的公式是平方差及的排列并不重要，可随意排放。

来验证。

先设及。

那即是，同时运用了若上列公式是的话，就得到以下公式：以上运用了，也即是两方是相等，就得到：注：塞尔伯格迹公式空间的函数空间上某类算子的，其中而设为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面对的某离散子群的商。

考虑上的拉普拉斯算子由于为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的值至多可数事实上，更可将其由小至大排列：对应的特征函数，并满足以下周期条件：行变元代换于是特征值可依排列。

塞尔伯格迹公式写作和式中的取遍所有双曲共轭类。

所取函数须满足下述性质：∙在带状区域上为解析函数，在此为某常数。

∙偶性：。

∙满足估计：，在此为某常数。

函数是的。

后续发展的尖点问题提供了纯粹的代数框架。

最后，为紧的情形可藉处理，然而，一旦取泰勒公式称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。

冥函数公式冥函数公式是数学领域著名的数学模型，它描述了特定的概率分布，可以用来分析和模拟许多自然和社会科学现象。

该公式由两位来自普林斯顿大学的数学家弗兰克盖特和弗兰克马林在1930年发明，用于解决一类古典物理问题，后来逐渐发展成用于研究各种经济，社会和自然现象的数学工具。

冥函数公式最初是弗兰克盖特和马林研究宇宙的行星运动规律时发明的，其本质是一种概率函数，可以用来描述两个连续变量之间的关系，建立概率分布模型，这种模型只依赖于自变量而不受因变量的影响，因此被称为绝对概率分布模型。

冥函数公式的公式描述如下：f (x) = (1/b) e^(-(x-a)/b)，其中a为均值，b为标准差，x 为自变量。

冥函数的使用可以提供解释复杂问题的简单机制，它主要用于模拟某些自然现象和人类行为的表现，比如地震、物理学问题、社会现象的发展趋势、股票市场的波动等。

冥函数的应用已经被广泛地应用在许多领域，例如，它可以用于解释股票和外汇市场的变动，也可以用来模拟病毒传播、排队系统、用户行为和消费者购买行为等。

此外，冥函数也被用于描述自由落体物体的运动轨迹，即受到重力场影响，其他物理现象也可以使用冥函数进行分析和模拟。

以上描述仅仅是冥函数的基本定义及一些常见的应用场景，在实际的研究和应用中，冥函数可以用于更加复杂的模型，可以帮助研究者更好地理解和分析某些自然或社会现象。

比如，研究者可以利用它来模拟物种数量随着时间流逝的变化；可以用来模拟和预测生物多样性的变化与破坏；可以用于建模城市发展及人口空间分布；可以用于研究人们的行为习惯等。

总结而言，冥函数公式是一种重要的数学模型，它可以用来描述某些连续变量之间的关系，对于理解和分析某些自然和社会现象有着重要的作用。

它可以帮助研究者更好地理解和掌握这些复杂现象，从而为人类提供有效的解决方案。

coffin-manson模型公式Coffin-Manson模型公式是一个用于描述材料疲劳寿命的经验公式，由Coffin和Manson在20世纪50年代提出。

该模型公式可以帮助工程师和科学家预测材料在疲劳载荷下的寿命，并对材料设计和使用提供指导。

Coffin-Manson模型公式的基本形式为:ε = A * (2Nf)^B其中，ε代表应变幅，Nf代表循环次数，A和B是实验数据拟合得到的常数。

这个公式描述了材料在循环载荷下的应变累积与循环次数之间的关系。

根据这个公式，材料的应变累积会随着循环次数的增加而增加，直到达到疲劳寿命。

Coffin-Manson模型公式的提出是基于实验观察和统计分析。

研究人员对多种材料进行了疲劳寿命测试，并记录下了应变累积和循环次数的数据。

通过对这些数据进行拟合分析，得到了A和B的数值。

这些数值可以用于计算其他材料的疲劳寿命。

Coffin-Manson模型公式的应用范围广泛。

它可以用于预测金属、塑料、陶瓷等各种材料在疲劳载荷下的寿命。

在工程设计中，工程师可以使用这个公式来评估材料的可靠性和耐久性，从而选择合适的材料和设计参数。

此外，科学家可以使用这个公式来研究材料的疲劳行为，深入了解材料的损伤机制和寿命预测原理。

然而，Coffin-Manson模型公式也存在一些限制和假设。

首先，该模型假设材料的疲劳行为是线性可加的，即应变累积和循环次数之间的关系是简单的幂函数。

实际上，材料的疲劳行为可能受到多种因素的影响，如温度、湿度、载荷频率等。

其次，该模型公式适用于低应变幅下的疲劳寿命预测，对于高应变幅下的疲劳寿命预测则不太准确。

为了提高疲劳寿命预测的准确性，研究人员不断改进和扩展Coffin-Manson模型。

他们引入了更多的参数和修正项，以考虑更多的影响因素。

例如，引入温度修正因子、载荷频率修正因子等。

这些改进使得模型更加适用于各种复杂的工程情况。

Coffin-Manson模型公式是一个重要的工具，用于预测材料在疲劳载荷下的寿命。

欧拉公式与计算几何Euler's formula is a fundamental concept in mathematics that relates the number of vertices, edges, and faces of a polyhedron. It states that for any polyhedron, V - E + F = 2, where V represents the number of vertices, E represents the number of edges, and F represents the number of faces. This formula has been a key tool in the field of combinatorial geometry for centuries, allowing mathematicians to derive valuable insights about the structure of shapes and solids.欧拉公式是数学中的一个基本概念，它将多面体的顶点、边和面的数量联系起来。

它表明对于任何多面体，V - E + F = 2，其中V表示顶点的数量，E 表示边的数量，F表示面的数量。

这个公式自从提出以来在组合几何领域发挥着重要作用，使数学家们能够从形状和立体的结构中推导出有价值的见解。

One of the most fascinating aspects of Euler's formula is its simplicity and elegance. Despite its profound implications, the formula itself is straightforward and easy to understand. This elegance is a testament to the beauty and power of mathematics, showcasing how complexideas can be distilled into concise and elegant statements that capture the essence of a concept.欧拉公式最迷人的地方之一在于它的简洁和优雅。

实验一拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值的比较一、问题提出选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。

二、要求通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。

适当增加n，在作比较，由此作初步分析。

三、问题的解答为统一起见，认为题目中的节点指的是中间节点，插值时还要考虑两端点的函数值，故原题目中有 n+2 个插值节点。

以下给出题目所需的 MATLAB 函数，其中参数 count_knot 表示题目中的n ，count_dot 表示题目中的m 。

function result=campare3inter(count_knot,count_dot)%count_knot 中间节点的个数%count_dot 拟合的函数值的个数clfknot=linspace(-2,2,count_knot+2);x=-2:0.01:2;y=exp(-x.^2);y0=exp(-knot.^2);plot(x,y,knot,y0,'ro');%,hold on;x_new=linspace(-2,2,count_dot);y_real=exp(-x_new.^2);%Lagrange 插值y_lagrange=lagrange(knot,y0,x_new);plot(x_new,y_lagrange,'k');hold on;%分段线性插值y_line=zeros(1,length(x_new))count_1=1;for j=1:count_dotfor i=1:count_knot+1if((x_new(j)>=knot(i))&((x_new(j)<=knot(i+1))))%直线的点斜式方程y_line(count_1)=((y0(i)-y0(i+1))/(knot(i)-knot(i+1)))*(x_new(j)-knot(i))+y0(i);count_1=count_1+1;break;end endendplot(x_new,y_line,'b');hold on;%三次样条插值 y_temp=[0 y0 0];pp=csape(knot,y_temp,'second');[breaks,coefs,npolys,ncoefs,dim]=unmkpp(pp);count=1;for j=1:count_dotfor i=1:count_knot+1if((x_new(j)>=knot(i))&((x_new(j)<=knot(i+1))))y_spline(count)=polyval(coefs(i,:),x_new(j)-knot(i));count=count+1;break;end endendplot(x_new,y_spline,'g');%输出原函数值和三种插值函数值的比较结果result=[y_real' y_lagrange' y_line' y_spline']图形输出（n=5,m=50）10.90.80.70.60.50.40.30.20.1-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2绿色：节点和exp(-x2)。

根据您提到的"Weingarten公式"，我假设您指的是微分几何中的"Weingarten公式"（Weingarten formula）。

Weingarten公式描述了曲面上一个点处的法向量与该点曲面的切平面上的曲率之间的关系。

该公式在描述曲面的法向量与曲率之间的关系时非常有用。

设M 是一个曲面，p 是M 上的一个点，N 是p 处的单位法向量，L 是M 上经过p 点的曲线，其切向量是切于曲线的单位切向量T。

设H 和K 分别是M 在p 处的平均曲率和高斯曲率，D 和Δ表示M 上的导数算子。

则Weingarten 公式可以表示为：
D T = -hN
其中，D T 是T 在M 上的协变导数，h 是M 在p 处的法向曲率，是切向曲率与N 之间的关系。

Weingarten公式为我们提供了计算曲面上的法向曲率的一种简单方法，通过计算切向曲率与法向量的关系，我们可以推导出平均曲率和高斯曲率等其他重要曲率度量。

需要注意的是，在不同的文献和教材中，Weingarten公式的具体形式和记法可能会有所不同。

因此，对于具体的应用和问题，建议参考相关文献和教材的定义和描述。