当前位置：文档之家 › 5+第三章+轴向拉压变形

5+第三章+轴向拉压变形

  • 格式：ppt
  • 大小：1.09 MB
  • 文档页数：37

下载文档原格式

  / 37

合集下载

材料力学第3章 轴向拉压变形

材料力学第3章 轴向拉压变形
Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By

BB'

l2 sin 45

l1
tan
45

(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan

l2
sin

l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1

FN1l1 E1 A1

工程力学：第三章 轴向拉压变形

工程力学：第三章 轴向拉压变形
l
E 148.2 MPa
2. 螺拴横向变形
' 2.22 104
横截面内任一点、 在任一方向上的应变
d ' di 0.0034 mm
螺拴直径缩小 0.0034 mm
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移，已
知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
l1
FN1 EA1
2l
l2
FN2l EA2
FN2 4FN1
4. 内力计算
MB 0,
FN1
l 2
( FN2
F
)
2l
0
FN2 4FN1
FN2＝4FN1＝88
2F 21
4.59 104
N
5. 截面设计
A1
FN1
[ t ]
71.7
mm 2
A2
FN2
[ c ]
383 mm2
结论： A1 A2 383 mm2
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1 F2 F1
FN2 F2
(l )分段
FN1l1 EA
FN2l2 EA
(F2 F1 )l1 EA
F2l2 EA
(l )分段
F2(l1 EA
l2 )
F1l1 EA
2. 分解载荷法
lF1(
l)分F段1l1
EA
F2(lElF12Al2F) 2(ElFE11AAl1
Ay
AA5
l1 cos 45
l2
()
小变形概念
小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形
应 用：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束

材料力学-3轴向拉压变形

材料力学-3轴向拉压变形





例2：杆件受力如图所示。 （1）计算杆件各段的变形即全杆的总变形； （2）计算B,C,D,E,F诸截面的相对于A截面的位移，并绘制 全杆各截面相对于A截面的位移沿杆轴的变化规律图。 1.5EA B 2EA C A D EA 刚体 a a a 5P E EA 2P a F
4P
a
解：
§3－2
B'
D'
A 800
B
60° 60° D C 400 P 400
L 1.36 2 sin 60 2 sin 60o 0.79 mm
§3－3 拉压与剪切应变能 一、应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存
于杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“ V ”表示。
A RA
P B 3
+
B P
C P
D RD
P 3
P 3
+
P 3
2P 3 P B A 3EA
+
_
BA
2P 3
DA 0
_
P C A 3EA
例10木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木
材的许用应力分别为[]1=160M Pa和[]2=12MPa，弹性模量分 别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 P P y 4N1 N2 解：平衡方程:
B
3 1
D
C
2 N3
X N
Y N
N2
1
1
sin N 2 sin 0

A P
cos N 2 cos N 3 P 0
N1

材料力学-3轴向拉压变形.

材料力学-3轴向拉压变形.

A
L1
B L1
L2 uB F
L2
vB
C B'
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：
vB
L1c tg
L2
sin
uB L1
例3：试定性画出图示结构中节点B的位移图。
1
2
α B
P
N2
N1
α B
P
1
2
α
α B’
B ΔL2 B2
例4 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm²的钢索绕过 无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直 位移。设刚索的 E =177GPa。
由此可见：两解相同，即几个载荷同时作用所产生的总效果， 等于各载荷单独作用所产生的效果的总和。 ——力的叠加原理(线代数方程)
适用范围：(物理线性、几何线性、小变形)。 叠加原理：将复杂问题可化为许多简单问题叠加。
例1： 受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变量多少？ P
解：
E
P AE
4P D2 d 2
A1.5EAB 2EA C
D EA E EA F
4P
刚体
5P
2P
a
a
a
a
a
解：
§3－2 桁架的节点位移
一、 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
求各杆的变形量△Li ，如图；
L1
L2
C
变形图严格画法，图中弧线；
L2 P L1 C' C"
变形图近似画法，图中弧之切线。
2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系
A 76.36
A

材料力学：第三章 轴向拉压变形

材料力学：第三章 轴向拉压变形

FN
R0 w 2 x rAdx
x
1 2
w 2rA(R02
x2)
从而，叶片的正应力为
x
q
w
q
x FN
R0
Ri O
(x)
FN A
1 2
w
2
r
(R02
x2)
x
Example-动变形
q
最大正应力发生在叶片底部
w
max (Ri )
w2r
2
(R02
Ri2 )
q
x
R0
FN
Ri
在x处取出一个长为dx单元体，
静不定问题-概念
（静定问题） （一次静不定问题）
静不定问题-概念
对超静定问题，多于约束是相对的， 可选择不同的约束为多于约束
多于约束
多于约束
静定不问题-概念
对超静定问题，多于约束是相对的， 可选择不同的约束为多于约束
多于约束
多于约束
静不定问题-概念
求解静不定问题的基本方法
静定与静不定的辩证关系——多余约束的 两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限 制与约束，前者使问题变为不可解，后者使 问题变为可解 求解静不定问题的基本方法——平衡、变 形协调、本构关系（现在的本构关系体现为 力与杆件伸长的关系）
FN1=P FN2=P-2P=-P
l
3l
FN1
FN2
2P
F
1P
P P
Example-多力杆
利用虎克定律，杆件1段的伸长为
l1
FN1L EA
3Pl EA
()
2P
P
杆件2段的伸长为
l
3l
l2

材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形

材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形
o x
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。

chap3_轴向拉压变形


3、物理条件： FAx l1 l AC EA FBx l2 lBC EA
B C 4、将（c）、（d）代入（b）式， 得： FAxl1 FBxl2 0 (e)
A
(c ) (d )
5、联立求解（a）、（e），得：
FAx
Fl2 l1 l2
FBx
第三章 轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的变形与胡克定律 F 1.杆的轴向变形： l l1 l b
b1
l l1
F
2.比例极限内，线应变：
l1 l l l l
3.杆的横向变形： b b1 b
5.比例极限内，横向正应变与 轴向正应变成正比。泊松比 （或横向变形系数）
解：按应变能与外力作功相等关系:
V W
A B 60° 60° D
C 800 400 P 400
(3 7)
2 FN l V 2 EA (11.55 103 ) 2 1.6 2 177 109 76.36 106
能量守恒:弹性体内的应 变能在数值上等于外力所 作之功
1 1 W P C 20 103 C 2 2
4．比例极限内，杆的 横向应变：
b b
(3 3)
6．各向同性材料，弹 性常数的关系
或: E
E G 2(1 )
第三章 轴向拉压变形
物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与F 二、拉压杆的弹性定律 和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。
第三章 轴向拉压变形
§3-1 §3-2 §3-3 §3-5
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 简单拉压静不定问题

材料力学第三章 轴向拉压变形

FB = 2 FA
由⑵式与⑷式联立解得得： 式与⑷式联立解得得： ⑷
B FB
F FA = FN AC = 3 2F FB = FN BC = 3
×
装配应力 ⒈ 装配应力 超静定结构，由于构件制造误差， 超静定结构，由于构件制造误差，在装配时构件内部会 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 装配应力 装配应力 静定结构
⑷
FN 1 + 2 FN 2 − 2 F = 0
FN 2 = 2 FN 1
解得： 解得：
}
FN 1
2P 4P = , FN 2 = 5 5
×
解拉压超静定问题的方法和步骤： 解拉压超静定问题的方法和步骤： ⑴画变形的几何图； 画变形的几何图； ⑵根据变形图，建立变形的几何方程； 根据变形图，建立变形的几何方程； ⑶画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画，即变 画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画，变形为压缩杆件的轴力按压 力画； 力画； ⑷根据受力图，建立平衡方程； 根据受力图，建立平衡方程； ⑸根据虎克定律，建立物理方程； 根据虎克定律，建立物理方程； ⑹将物理方程代入几何方程得补充方程； 将物理方程代入几何方程得补充方程； ⑺联立平衡方程与补充方程求解未知量。 联立平衡方程与补充方程求解未知量。
×
求图示结构中刚性杆AB 中点 的位移δC。 中点C 例4 求图示结构中刚性杆
① 2EA EA ②
解：由平衡方程得 l
A
δA
a δC
C a
δB
B
F
P FN 1 = FN 2 = 2 FN 1l Fl δ A = ∆l1 = = EA 2 EA FN 2 l Fl δ B = ∆l 2 = = 2 EA 4 EA

材料力学-第3章 轴向拉压变形

dz
微元应变能
1 dVε = σ dxdz ⋅ ε dy 2
σ dxdz ~ ε dy
dy
x
σ
应变能密度 vε =
z
σε
2
=
σε
2
⋅ dxdydz
σ = Eε
vε =
σ2
2E
36
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
应变能密度（比能） vε的计算公式
2E 适用于所有单一方向存在应力的情况
vp = σp2 / 2E 称为材料的回弹模量， σp —材料 的比例极限 应变能密度的单位为 J/m3（焦耳/米3）
拉压杆的变形与胡克定律
总结：描述材料变形特征的材料常数有哪几个？
1. 弹性模量 2. 泊松比 3. 剪切模量
σ
dx dx + ε dx
σ
ε=
σ
E
E
τ
µσ ε′ = = − µε −
γ
τ
τ = Gγ
三个常数之间的相互关系：
E G= 2(1 + µ )
8
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压杆的变形与胡克定律
C ⇒ C ′′ C ′′ ⇒ C ′
( 4 F + 2 F2 ) l ′′ =CD = 1 因为：CC ∆l EA cos 30° CC ′′ CC ′= = 2∆lCD 所以： sin 30°
∠CC ′C ′′ = = ∠BCD 30°
AA′= 2CC ′= 4∆lCD
29
材料力学－第3章 轴向拉压变形
∆
δ
31
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
•
物体因变形而储存在物体内部的能量称为物体的变形能 或应变能。用 Vε 表示。 由于外力是缓慢作用到物体上的（静荷载），可以忽略 物体动能的改变，在弹性变形范围内，物体无热能的改 变，故由能量守恒原理可知：外力在变形过程中所做的 功等于物体的变形能（应变能） 即： Vε = W

第3章-轴向拉压变形


弹性体功能原理
根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能， 数值上等于外力所作的功
Vε W
功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大，弹性 体处于准静态，以致动能与热能等的变化，均可忽略不 计。
单辉祖-材料力学教程 22
外力功与应变能计算
一般弹性体 广义载荷 f : 0 F
相应位移 : 0
第 3 章 轴向拉压变形
本章主要研究：
轴向拉压变形分析 节点位移分析 简单拉压静不定问题分析
单辉祖-材料力学教程 1
§1 引言
§2 拉压杆的变形与叠加原理
§3 桁架节点位移分析与小变形概念 §4 拉压与剪切应变能
§5 简单拉压静不定问题
§6 热应力与初应力 §7 拉压杆弹塑性分析 §8 结构优化设计概念简介
dW fd
弹性体
f f k
k : 线弹性体在载荷作
用点、沿载荷作用方向 产生单位位移所需之力 － 刚度系数
单辉祖-材料力学教程
W

Δ
0
fd kd
0

Δ
2 FN l FΔ W 2 2 EA
23
例 3-6 用能量法计算By 解：1. 轴力分析
单辉祖-材料力学教程
2
§1 引 言
杆件的轴向拉压变形问题，可以分为静定 问题和静不定问题。 分析轴向拉压变形的基础是胡克定律，在 此基础上建立了几何法、叠加法和能量法。
单辉祖-材料力学教程
3
§2 拉压杆的变形与叠加原理
拉压杆的轴向变形与胡克定律 拉压杆的横向变形与泊松比 叠加原理 例题
刚体 EA
解：1. 计算 FN
M B 0,
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
C
A
A2
A1
以B、C为圆心作圆交于A’点 •计算困难：解二次方程组；在几
何构形变化的同时内
力也在变化，需迭代
求解。
26
第三章
B
轴向拉压变形
3、小变形问题实用解法
1 2
45
小变形：与结构原尺寸相比 为很小的变形。
A2
A
实用解法：
A1
C
A
*按结构原几何形状与尺
寸计算约束反力与内力； *采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。
3
第三章
轴向拉压变形
§3-1
引言
1 A
2
3
4
5
A
F
F
思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形相关？
•各杆内力？ •A点位移? 是否与力F 同方向？
4
第三章
轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
F
b b1 l l1
F
杆件受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化。
FN1 2F
(拉)
(压) (伸长)
FN 2 F
A
C
F
FN1l1 2F 2l 2Fl l1 E1 A1 EA EA
l 2 FN 2 l2 Fl E2 A2 EA
(缩短)
25
第三章
轴向拉压变形
B
2、节点A的位移的精确计算 及其困难。
1 2
45
•位移求法：杆1伸长 l1 到 A1 点， 杆2伸长 l2 到 A2 点，
x x

d
x
FN x dx
(d) dx 微段伸长：d l
dx
FN x dx EA
x
(e)总伸长： l d l
l 0
需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。
19
第三章
轴向拉压变形
计算拉压杆变形的第二种方法——载荷叠加法
几组载荷同时作用所产生的总效果，等于各组
第三章
轴向拉压变形
上一讲回顾
•许用应力
u
n
•强度条件
max
（塑） 极限应力 u s n安全因数 b （脆）
FN,max A (等截面)
FN (变截面) A max
•由强度条件解决的几类问题
强度校核
截面设计
确定承载能力
F1 A
F1+F2
B C
F2
求整段杆的变形： ——变形叠加法 方法：分段求变形，再相加。 步骤：1、分段求轴力；(截面法) 2、分段求变形；
3、求代数和。
分段求变形
FNi li l Ei Ai
16
第三章
轴向拉压变形
长度分解计算变形然后叠加
17
第三章 例：已知 q, l , E , A ，求 l ?
等强原则与最轻重量设计 •连接部分的强度计算（假定计算法）

Fs F , bs b bs A d
1
第三章
轴向拉压变形
材料力学分析的基本过程
内力
外力 结构
材料性能
应力
强度准则
变形
应变
2
第三章
轴向拉压变形
第三章 轴向拉压变形
§3-1
§3-2 §3-3
引言
拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移
F1
l1
l
F2
l2
l
F1Leabharlann l1l *l材料非线性问题， l * l1 l2 , 叠加原理不成立。
24
第三章
轴向拉压变形
§3-3
桁架的节点位移
例：已知 E1 A1 E2 A2 EA, l2 l ,求桁架节点A的水平与铅垂位移 解：1、轴力与变形分析
B
1 2
45
28
第三章
轴向拉压变形
例：ABC刚性杆，B为杆中点，求节点C的位移。 解：先计算杆1内力 FN 1 与伸长 l1
1
然后画B点位移
30o
B
A
C
再画C点位移
B
F
C
C y 2B y 4l1
思考：BB’,CC’铅垂向下，刚性杆 ABC杆为什么能伸长？ 答：切线代圆弧的近似。
29
第三章 例：画出节点A的位移
B
AC 2CC '
34
第三章
轴向拉压变形
内容总结



纵向变形与横向变形的定义 纵向变形与横向变形的定义——泊松比 拉压杆变形的求解方法
1. 2.
变形叠加 载荷叠加

桁架小变形节点位移
1）按结构原始尺寸计算约束反力与内力; 2）由切线代圆弧的方法计算节点位移。
35
第三章
轴向拉压变形
作业：3-2，3-10，3-13

4


4
V (1 2 ) V
一般情况下，材料受拉体积会增加，所以我们推断泊松比 小于0.5。橡胶与石蜡是两种受拉时体积几乎无变化的材 料，因此其泊松比接近于极限值0.5。另一方面，软木的 泊松比接近于0，即拉伸时横向几乎不收缩。
15
第三章
轴向拉压变形
多力杆的变形与叠加原理 (superposition principle)





先求内周长,设ds 弧长改变量为du, du / ds d d 4F 4Fd ds 2 u ds 0 2 2 0 ( D d )E ( D d 2 )E
du ds
4Fd d d 2 2 ( D d )E

纵向变形：杆件沿轴向或载荷方向的变形 横向变形：垂直于轴向或载荷方向的变形
5
第三章
F b
轴向拉压变形
F
b1
l l1

拉压杆的轴向变形与胡克定律
FN A
l F
l l
E
线弹性范围适用
FN l l EA
拉压刚度
6
第三章
轴向拉压变形

拉压杆的横向变形与泊松比
F b b1 l l1
1833年，格林研究电磁波在弹性介质表面上的反射与
折射时，首次用能量法证明，各向同性弹性材料的应 变能函数中应当包括两个弹性常数。 许多人进行试验来验证泊松比为1/4的理论结论 维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237; 1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
9
第三章
轴向拉压变形
常见材料的性能参数
对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比 与剪切模量G 存在如下关系： E G 2(1 )
10
第三章
轴向拉压变形

关于横向变形的两点说明
F b b1 l l1
F
横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向
F F
泊松比：对于大多数各向同性材料0<<0.5 铜泡沫： = －0.39
u
D D
4 FD D2 d 2 E


13
第三章
F F
轴向拉压变形
D d
4Fd d d 2 2 ( D d )E
u
D D
4 FD D2 d 2 E


A

4
(D2 d 2 ) ( D 2 d 2 )(1 ) 2
F
b b1 b

b
b
横向正应变
试验表明：在比例极限内，横向正应变与轴向正应变成正比 一般 与 符号相反。
定义：
泊松比
7
第三章
轴向拉压变形

关于泊松比
平衡问题，其基本方程中只包含一个弹性常数。
1821年，纳维首次用分子理论研究各向同性弹性体的
1825年，柯西把纳维的理论推广到各向异性弹性体，
36
第三章
轴向拉压变形
谢谢
37
11
第三章
轴向拉压变形
例：已知E，μ，D，d，F，求D和d的改变量。
F F d D
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
12
第三章
轴向拉压变形
例：已知E， μ， D，d，F，求D和d的改变量。
F F d D
解：
4 F F 4F 2 2 E AE D d E D2 d 2 E
圆管横截面积变不变？
V
A

4

4
(D2 d 2 )L ( D 2 d 2 ) L(1 )(1 ) 2
14
圆管体积变不变？
V

4
第三章
轴向拉压变形
V V

4
(D2 d 2 )L ( D 2 d 2 ) L(1 )(1 ) 2
2 (D2 d 2 )L 1 (1 2 ) o ( )
叠加原理的适用范围 *材料线弹性
*小变形
*结构几何线性
22
第三章
轴向拉压变形

从数学上理解叠加法
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 x2 )
f (kx ) kf ( x )
当函数是线性函数时，叠加原理成立