27.2.1 第1课时 平分线分线段成比例

∆ABC果 ∠ A= ∠ A ′ , ∠ B= ∠ B ′ , ∠ C= ∠ C ′ , 且
们就说 ∆ABC 与 ∆A B C 相似，记作 ∆ABC ∽ ∆A B C ，k
' ' ' ' ' '
AB BC CA = = =k． A ′B′ B′C ′ C ′A ′
l2 ,再画 条与 l1 , l2 相交的平行线 l3 , l4 ， l5 分
截得的两条线段 DE, EF 的长 度 AB, BC, DE, EF 的 长 度 ,
l4 ， l5 在 l1
截得的两条线段 AB, BC 和在 l2 ,
AB : BC 与 DE : EF 相 等 吗 ? 任 意 平 移 l5 , 再
思考 如果把图中 l1 , l2 两条直线相交，交点 A 的比会相等吗？依据是什么？ 纳总结
落到 l4
，如图 右图，所得的对应线段
平行线分线段 比例定理推论 平行于 角形一边的直线截其他两边 或两边延长线 ， 所得的_______线段的比_________. 四 扣标展示 达标测评 展示点评 堂训练
做一做
如 图 ， 若 AB=3cm ， BC=5cm ， EK=4cm ， 写 出
EK = _____ =_____ ， KF
AB = ____=______ 求 FK 的长? AC
实验探究 (2) 平行线分线段
比例定理推论 落到 l3 ，如 左图，所得的对应线段
思考 1 如果把图中 l1 , l2 两条直线相交，交点 A 的比会相等吗？依据是什么？
如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求 AD 和 BD.
五
课后反思
27.2.1

1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上 图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应 线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等 于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对 应线段写在对应的位置上.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似. 几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长 是否对应成比例？
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
C
AB AC BC k，
DE DF EF
A
BD
E
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与
△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为 1 .

侵权必究
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
段平 成行 比线 例分
线
课堂小结
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例
判定三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似
3.如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角 形一共有（ C ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
侵权必究
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，以下结论正确的是( C )
A. AE AD AC BD
C. AE AD CE BD
B. AE BD AC AB
D. AC AD CE BD
E
B
C
侵权必究
想一想：
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要
证明什么？
由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？
A
D
E
B
C
侵权必究
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
A
证明：
D 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
E
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
侵权必究
B
C
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平 行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，

2．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝2 cm，A′B′＝4 cm，那么 △A′B′C′与△ABC的相似比是__________． 2∶1
知识点2：平行线分线段成比例定理及推论 3．(老河口期末)如图，已知AB∥CD∥EF，AC∶AE＝3∶5，那么下列结论正确 的是( D ) A．BD∶DF＝2∶3 B．AB∶CD＝2∶3 C．CD∶EF＝3∶5 D．DF∶BF＝2∶5
【易错启思】在△ABC中，当点P在直线AB上时，应分点P在边AB上和点P在边 AB的____反__向__延__长__线___上进行讨论．
12．如图，在▱ ABCD中，过点B作直线BF分别交AC，AD于点O，E，交CD的延长 线于点F.
(1)若OE＝2，BE＝5，求OOAC 的值；
(2)求证：OB2＝OE·OF.
解：(1)∵OE＝2，BE＝5，∴OB＝BE－OE＝3，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴OOAC ＝OOEB ＝23
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COF，∴
OA OC
＝
OB OF
，∵OOAC
＝OOEB
，∴OOBF
＝OOEB
，∴OB2＝OE·OF
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
DE BC
＝AADB
＝23
.∵M为DE的中
点，∴
DM BC
＝
1 3
.∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC，∴
ND NB
＝
DM BC
＝
1 3
，
∴NBDD ＝12
9．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线
上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝125 ，则线段AB的长是( D )

第1课时 平行线分线段成比例的基本事实 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。23:03:1123:03:1123:039/6/2021 11:03:11 PM
• 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.623:03:1123:03Sep-216-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。23:03:1123:03:1123:03Monday, September 06, 2021
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
2．若△ABC与△A′B′C′相似，AB与A′B′是对应边， 且AB＝3 cm，A′B′＝4 cm，则△ABC与△A′B′C′的相
似比是__3_∶__4___．
[解析] 两个相似三角形对应边的比叫做相似比．
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
知识点 2 平行线分线段成比例的基本事实
[解析] 由AE∥CF∥DG，直接可得相似三角形．
图27－2－13
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
解：(1)∵CF∥DG，∴△BCF∽△BDG.又∵BC∶CD＝2∶3，∴BC∶BD＝2∶5， 即△BCF与△BDG的相似比为2∶5. 同理△ABE∽△CBF，相似比为1∶2；△ABE∽△DBG，相似比为1∶5. (2)∵△ABE∽△CBF， ∴ACEF＝ABBC，即A1E2＝12，∴AE＝6. ∵△BCF∽△BDG，∴CDFG＝BBCD， 即1D2G＝25，∴DG＝30.即 AE＝6，DG＝30.
3．如图 27－2－2，已知 a∥b∥c，则下列结论：①BACC＝DDEF； BC AB BC BE ②DE＝EF；③AB＝AF.其中正确的有( C )

解：∵
EF∥BC，∴
AE BE
AF FC
.
∴ 7 AF ， 74
A
E
F
解得 AF = 4.
B
C
(2) 若 AB = 10，AE = 6，AF = 5，则 FC 的长是多少？
解：∵ EF∥BC，∴ AE AF .
AB AC
∴6 5，
10 AC
解得
AC =
25 3.
∴ FC = AC－AF = 25 5 10 .
△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明
三角形相似，可以怎样做呢？
可以将 DE 平移 到 BC 边上去
A
D
E
B
C
如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC.
证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
问题 1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？
问题 2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，
A
它们的边长是否对应成比例？
D
E
B
C
问题 3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平 行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC， 且只要 DE∥BC，这个结论恒成立.
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例
复习引入
1. 相似多边形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ，对 应边的比叫做 相似比 .
2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.