2019年北京五中高三数学期中考试

2023北京五中高三（上）期中数 学班级______ 姓名_______学号______ 成绩________一.选择题: 共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2{|4}P x x =≤，{}M m =，若P M M = ，则m 的取值范围是A. (],2-∞ B. []2,2- C. [)2,+∞ D. (][)-22∞∞，，+ 2．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ B ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥C ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则m //α D ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递增的是A ．3y x = B ．21y x =-+ C ．2log y x =D ．2,02,0x xx y x -⎧≥=⎨<⎩4. 已知直线1:210l mx y +-=与直线()2:10l x m y m +--=平行，则m 的值为A ．1-B ．2C ．1-或2D ．2-5．已知圆22:1O x y +=，过直线34100x y +-=上的动点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为A ．1BCD ．26．关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法正确的是A ．()f x 是偶函数B ．0是()f x 的极值点C ．()f x 在(,22ππ-上有且仅有1个零点 D ．()f x 的值域是[]1,1-7．《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈. 现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为A. 5立方丈B. 20立方丈C. 40立方丈D. 80立方丈8．已知a 和b 是两个互相垂直的单位向量，()R λλ=+∈c a b ，则“1λ=”是“c 和a 夹角为4π”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在双曲线E 上，满足ABM ∆为等腰三角形，顶角为120︒，则双曲线E 的离心率为B. 210．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动. 若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最小值为ABCD．二.填空题: 共5小题，每小题5分，共25分.11．已知抛物线2:C y ax =的准线方程为18x =-，则=a .12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =，若焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13．函数()sin 2f x x =的图像向左平移_______个长度单位得到函数π)4()sin(2g x x =+的图像，若函数()g x 在区间(0,)a 单调递增，则a 的最大值为_______14. 北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为28m 的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示)，要求上下各空0.25m ，左右各空0.25m ，相邻宣传栏之间也空0.25m. 设三个宣传栏的面积之和为S (单位:2m )，则S 的最大值为________.15. 对于函数()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，下列4个结论正确的是 .①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤；②()()2(2)N f x kf x k k *=+∈，对一切[0,)x ∈+∞恒成立；③若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根12,x x ，则123x x +=；④函数()ln(1)y f x x =--有5个零点三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1,3,cos AD CD B ===.（1）求AC 的长；（2）若_________；求ABC △的面积.从①=BC 3BCA π∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD ，且2,1,CD PA AB BC AB BC ====⊥.（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PAB 的夹角；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得直线PC 与平面ADM 垂直，如果垂直，求此时点M 到平面PCD 的距离，如果不垂直，说明理由.18. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测. 调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差. 对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：序号智能体温计测温（C）水银体温计测温（C ）序号智能体温计测温（C ）水银体温计测温（C ）0136.636.61136.336.20236.636.51236.736.70336.536.71336.236.20436.536.51435.435.40536.536.41535.235.30636.436.41635.635.60736.236.21737.237.00836.336.41836.836.80936.536.51936.636.61036.336.42036.736.7（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X 的分布列与数学期望；(Ⅲ) 医学上通常认为，人的体温在不低于37.3C 且不高于38C 时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3C ，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.19.已知椭圆22:36C xy +=的右焦点为F .（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线():0l y kx m k=+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．20. 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.21. 对于向量()0000,,X a b c =，若0a ，0b ，0c 三数互不相等，令向量()1111,,i i i i X a b c ++++=，其中1i i i a a b +=-，1i i i b b c +=-，1i i i c c a +=-，0,1,2,3,i = .（Ⅰ）当()05,2,1X =时，试写出向量100X ；（Ⅱ）证明：对于任意的i N ∈，向量i X 中的三个数i a ，i b ，i c 至多有一个为0；（Ⅲ）若000,,a b c N ∈，证明：存在正整数t ，使得3tt X X +=参考答案一.选择题: 共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BCDBCCAADB二.填空题: 共5小题，每小题5分，共25分.11．【答案】1212．【答案】2231x y -=13．【答案】8π，8π14. 【答案】9215. 【答案】①③对于②，当3k =时，则()6(6)f x f x =+，而由解析式知对于③，函数()f x 与函数y m =的图象如下图所示，若关于根12,x x ，则112m -<<-，由对称性可知1x +对于④，函数()f x 与函数ln(1)y x =-的图象如下图所示，由图可知，两函数的交点有()ln(1)y f x x =--有3个零点，④错误.故答案为：①③.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. （1）由cos B =21cos 22cos 13B B =-=-，又2B D ∠=∠，所以1cos 3D =-，在ADC 中，由余弦定理，得2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅=，所以AC =（2）选①：=BC AC =cos B =sin B =在ABC 中，由余弦定理，得222cos 2BC AB AC B BC AB+-=⋅，2=AB =所以11sin 22ABC S AB BC B =⋅∠=⨯= .选②：3BCA π∠=，由(1)知AC =由cos B =sin B =所以sin sin()sin cos sin cos BAC B BCA B BCA BCA B ∠=+∠=∠+∠=在ABC 中，由正弦定理，得sin sin AC AB B BCA =∠，则AB =所以11sin 22ABC S AB AC BAC =⋅∠== 17.【详解】（1）证明：,,1,2AB CD AB BC AB BC CD ⊥===∥，∴45AC BAC DCA =∠=∠=︒.∵在DAC △中，由余弦定理得2222cos AD AC DC AC DC ACD =+-⋅∠，即222222AD =+-AD =∴222AC AD DC +=.∴AC AD ⊥.又PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD .∴PA AD ⊥.又：,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，∴AD PC ⊥.（2）解：取CD 中点N，连结AN .∵,2,1,1AB CD CD AB CN ===∥，∴,AB NC AB NC =∥.∴四边形ABCN 是平行四边形.∴AN BC ∥.∵AB BC ⊥，∴AB AN ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，∴,PA AN PA AB ⊥⊥.∴以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C D P -∴(1,11),(1,0,0),(0,2,0)PC BC DC =-==.平面PBC 的一个法向量为(1,0,0)n =，设平面PDC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则∴00m PC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111020x y z y +-=⎧∴⎨=⎩令11x =，则得11z =，此时(1,0,1)m =.∴cos ,||||m m n n m n ⋅〈〉==.∴平面PDC 与平面PBC 所成角的余弦值为4π.（3）解：∵M 为PB.18. 解：(Ⅰ)表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01，0406，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有12种情况. 由此估计所求概率为123205=.…………4分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3X =由(Ⅰ)可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35.所以0303338(0)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 12133336(1)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21233354(2)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 3333327(3)155125P X C ==-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以X 的分布列为X 0123P8125361255412527125故X 的数学期望8365427225901231251251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯==（）（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N .表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽查1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15.由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为124()1125111555P N =-⨯⨯（）=. 结论1：因为124()125P N =接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态.结论2：因为124()1251P N =<，所以有可能这3人都不处于“低热”状态.19.解：（Ⅰ）因为椭圆 ：，所以焦点 ，离心率．（Ⅱ）直线 ：（）过点 ，所以 ，所以 ：．由得 ．（依题意）．设 ，，则，．因为点 关于 ，则．所以，直线的方程可以设为，令，所以直线 过 轴上定点 ．20. 解：1）当0a =时，()ln xf x x =，定义域为()0,+∞，()312ln 'x f x x -=，令()'0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为12e，无极小值.（2）()()312ln 'ax x f x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-，()30x a ∴+<，∴ 12ln 0ax x+-≤对()0,x a ∈-恒成立，∴ 2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+，①若120a e -<-≤，即120a e ->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴ ()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----，()0ln a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去；②若12a e -->，即12a e -<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e -=，当120x e -<<时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12e x a -<<-时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，()12ming x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭ 111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e -∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，()()2ln 1xf x x =-，()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+ 2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=，①当121ex -≤<时，()'0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②当120x e -<≤时，()'0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212ln h e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12210e -=->又()()222212ln h eee e ----=--⋅ 2510e=-<，∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，()0'0f x ∴=，当00x x <<时，()0'0f x >，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增，当120x x e -<≤时，()0'0f x <，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由①和②可知，()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减，∴当0x x =时，()()2ln 1xf x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--= ，0001ln 2x x x -∴=，()()020ln 1x f x x ∴=-()2000112111222x x x ==-⎛⎫--⎪⎝⎭，又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0201211222f x x ∴=<-⎛⎫--⎪⎝⎭.21.【详解】（1）1523a =-=，1211b =-=，1154c =-=，即1(3,1,4)X =；2312a =-=，2143b =-=，2431c =-=，即2(2,3,1)X =；3231a =-=，3312b =-=，3121c =-=，即3(1,2,1)X =；4121a =-=，4211b =-=，4110c =-=，即4(1,1,0)X =；5110a =-=，5101b =-=，5011c =-=，即5(0,1,1)X =；6011a =-=，6110b =-=，6101c =-=，即6(1,0,1)X =；7101a =-=，7011b =-=，7110c =-=，即7(1,1,0)X =；......由上，从4(1,1,0)X =开始，每3个向量出现重复一个向量，而100332314(1,1,0)X X X +⨯+===.试题11（2）假设i X 中i a ，i b ，i c 有不止1个为0，若0,0i i i a b c ==≠且1i ≥，则1111||0,||0i i i i i i a a b b b c ----=-==-=，故111i i i a b c ---==，此时11||0i i i c c a --=-≠矛盾；若0i i i a b c ===且1i ≥，111111||0,||0,||0i i i i i i i i i a a b b b c c c a ------=-==-==-=，所以111i i i a b c k ---===为定值，而0a ，0b ，0c 三数互不相等，当2i ≥，则122122122i i i i i i i i i a a b b b c c c a k ---------=-==-==-=，不妨令222i i i a b c ---≤≤，则222222i i i i i i b a c b c a k -------=-=-=，显然222222()()2i i i i i i b a c b c a k k -------+-=-⇒=，即0k =，所以1110i i i a b c ---===，以此类推得：2220i i i a b c ---===，......，0000a b c ===，与0a ，0b ，0c 三数互不相等矛盾；综上，对于任意的N i ∈，向量i X 中的三个数i a ，i b ，i c 至多有一个为0；（3）令{}max ,,i i i i a b c m =，又1+=-i i i a a b ，1+=-i i i b b c ，1+=-i i i c c a 且*,,N i i i a b c ∈，所以1i i m m +≤，且N i ∈，由题意，N i m ∈，且N i ∈，故{}i m 在*N i ∈上不可能单调递减，即必存在*N n ∈使1n n m m +=，根据1+n X 的定义，{},,n n n n X a b c =中,,n n n a b c 必有一个0，由（2）知：,,n n n a b c 中有且仅有一个为0，令0n a =，若n n b c ≠，不妨设0n n b c <<，则111,,n n n n n n n n n n n n n a a b b b b c c b c c a c +++=-==-=-=-=，则1n n n m m c +==，所以{}2111max ,n n n n n n n a a b b c b m ++++=-<-<，同理221,n n n b c m +++<，所以21n n m m ++<，又N i m ∈，故此情况不可能一直出现（至多有1n m +次），所以一定能找到*N l ∈，使得l l b c =；若n n b c =，则{}0,,n n n X b b =，{}1,0,n n n X b b +=，{}2,,0n n n X b b +=，{}30,,n n n X b b +=，...所以存在正整数t ，使得3+=t t X X ；综上，存在正整数t ，使得3+=t t X X .。

2018-2019学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用并集的定义求解即可．【详解】集合，，，，故选A．【点睛】本题主要考查并集的定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。

输出k=4。

选B。

3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中，，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果．【详解】等差数列的前项和为，，，，解得，，数列的公差为1，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解．4.最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】由于函数的最小正周期为，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，是最大值，故函数的图象关于直线对称，故正确；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除，故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性以及三角函数图象的对称性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.在中，，，，则解的情况是A. 一解B. 两解C. 无解D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，根据大边对大角可知必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，从而可得结果．【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，，，必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，此三角形有二解，故选B．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6.是命题“，”为真命题的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，而，有，所以，由，可得成立，即，成立；反之，，成立，可得，不能推出．是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设从甲地到乙地距离为，其全程的平均速度为，利用基本不等式可得，由不等式的性质可得，从而可得结果．【详解】设从甲地到乙地距离为，往返的速度分别为，，其全程的平均速度为，因为,所以．，故选C．【点睛】本题考查了基本不等式的应用、不等式性质，属于基础题．比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）利用不等式性质；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.8.已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a<b<c，由已知条件可知：0<a<1<b<e<c<e2，∵−ln a=ln b，∴ab=1∵ln b=2−1nc∴bc=e2，∴,(1<b<e)，，故选A.点睛：对于连等问题，常规的方法有两个，一是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的变量，进而研究范围，二是数形结合，根据函数的集合特征建立变量间的关系进行运算.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数______．【答案】【解析】【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可．【详解】由复数除法运算法则可得，，故答案为.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．10.，，三个数的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性、指数函数的单调性、幂函数的单调性分别比较三个数与1和2的大小，即可得结果．【详解】由对数函数的单调性可得，化简，由幂函数及指数函数的单调性可得．．故答案为．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数以及幂函数的单调性，比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.曲线在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】求出，得到的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程．【详解】，，则，即曲线在点处的切线斜率，则对应的切线方程为，即，故答案为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12.已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为.【答案】1【解析】试题分析：设，，所以的最大值为1.考点：平面向量的线性运算和数量积.13.能说明“若是奇函数，则”为假命题的一个函数是______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】由奇函数的性质分析：“若是奇函数，则”为假命题，必有函数的定义域不包含0，据此分析可得结果．【详解】根据题意，若是奇函数，且0在函数定义域中，则必有，“若是奇函数，则”为假命题，则0不在函数的定义域，则能说明“若是奇函数，则”为假命题，只需函数的定义域不包含0即可，故这个函数可以是，故答案为.【点睛】本题主要考查奇函数的定义与性质，属于基础题．对于奇函数的性质，一定要注意，只有函数定义域内包含时才能应用.14.设函数，若在单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】分离常数得出，分析得不合题意，必须，从而得出在上单调递减，令是的子集，从而可求出实数的取值范围．【详解】；时；在上单调递增，不合题意；所以；在上单调递减；又在上单调递减；所以是的子集，所以，的取值范围是，故答案为．【点睛】本题主要考查分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性．利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．Ⅰ画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ求函数在上的解析式．【答案】Ⅰ和；Ⅱ.【解析】【分析】Ⅰ根据偶函数的图象关于轴对称，画出轴右侧的图象即可，根据图象即可写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ可设，从而，根据时的解析式，求出，根据是上的偶函数即可求出时的解析式，从而得出在上的解析式．【详解】Ⅰ图象如下：函数的单调增区间为和；Ⅱ设，则；函数是定义在R上的偶函数，且当时，；；．【点睛】本题主要考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及根据图象写出函数单调区间，偶函数在对称区间上的函数解析式的求法，属于中档题．“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则当时，函数的解析式为．16.(本小题满分12分)已知函数。

通州区2019-2020学年第一学期高三年级期中考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCCACB第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i10．1322log 53211．20x y12．113．1f xx14．0,1三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）15．解：（Ⅰ）图略； 3分函数f x 的单调增区间为1,0和1,；6分（Ⅱ）设0x，则0x ． 7分因为函数f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x时，22f xxx ，所以222fx． 10分所以222,2,xx f xx x x，．13分16．解：（Ⅰ）因为*65()na n n N 所以*1[6(1)5](65)6()nna a n n nN ，所以数列{}n a 是等公差为6的等差数列．………………………………………………………….3分又因为111a ，所以数列{}n a 的前n 项和：21()[11(65)]3822n nn a a n n S nn……………………………………… ……………….6分（Ⅱ）因为1n n na b b 所以1a bb，223a b b ………………………………………………. ………………………………8分所以12231117b b b b ，，………………………………………………………………………………………………………10分设数列{}n b 的公差为d ，则112+112317b d b d ，，所以143b d，，……………….……………….……………….………………. …................ . (12)分所以数列{}n b 的通项公式：31n b n ，n N．…………….………………………………. 13分17．．解：（Ⅰ）由21cos sin cos2222x x xf x，得11121cos sin cos 22224f xx x x ．3分所以f x 的最小正周期为2，最大值为22，最小值为22；6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，232cos2410f，所以3cos45． 7分所以si28分cos2410分212cos412分18712525．13分18．解：（Ⅰ）在ABC 中，由由正弦定理s insi na b A B ，得si n b A a B． 2分由3sin cos b Aa B ，得3sin cos 3b Aa B ．所以3s i 3BB ． 4分因为0B，所以sin 0B，因而cos 0B ．所以sin 3tan cos 3B B B，所以6B． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a c AC，而sin 3sin C A ，所以3ca①9分由余弦定理22cos ba c ac B ，得2292cos6a c ac ，即2239acac②12分把①代入②得3a ，33c .13分19．（Ⅰ）证明：因为E ，F 分别为PC ，PB 的中点，所以E，………………………………………………. ……………… 2分又因为EF 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以E平面；……… ……………………………… ………………………………………….4分（Ⅱ）证明：因为P A A 平面，所以PA．………………………………………………５分又因为90ACB ，即AC BC ，且PA AC A ，所以B 平面，………………………………………………………………………………………7分所以BC AE ．因为EF BC ，所以E；………………………………………………………………………………………….10分（Ⅲ）解：因为PA ABC 平面，所以PA AC ．所以112222422PACS PA AC ．因为BCPAC平面所以三棱锥-P ABC 的体积：11182422333PACV SBC因为EFPAE 平面，122PAEPACS S ，122EFBC所以三棱锥-P AEF 的体积：2112222333PAEV SEF所以几何体EFABC的体积：1222V V V . …………………………………………14分20．（Ⅰ）解：函数f x的定义域为0,． 1分因为11x f xxxx，2分所以在0,1内，0f x ，f x 单调递增；在1,内，0f x，f x 单调递减．所以函数f x 在1x 处取得唯一的极大值，即f x 的最大值1ln11f a ．因为函数f x的最大值为3，3分所以ln113a ，解得4a ． 4分（Ⅱ）因为当1,x时，3122f x k xf x a k x 恒成立，所以3ln 112x xak xax，所以ln 13x x k x ，即ln 130x x k x ． 5分令ln 13g x x x k x ，则ln 2g xx k ． 6分因为2k，所以0g x．所以g x 在1,单调递增． 7分所以1g x g 12k ，所以120k，所以12k．即实数k的取值范围是1,22；8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：10,1x ，21,x ．所以210,x ． 9分因为1x ，2x 是函数f x 的两个零点，所以120f x f x ． 10分因为122211f x f f x f x x 222211ln ln x x x x 22212ln x x x ． 11分令12ln h xxx x，则22222121211x xx h xxx xx．所以在1,，0h x ，h x 单调递减．所以10h xh ．所以1210fx fx ，即121fx f x ． 13分由（Ⅰ）知，f x 在0,1单调递增，所以121x x ，所以121x x ． 14分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分。

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类）2016.11（满分：150分 考试时间：120分钟）本试卷分为选择題（共40分）和非选择題（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中■选出符合題目要求的一项.1.已知集合.4 = |xlx （x-l ） <0,XG RL J B= Ixly <X <2.XG R ；,那么集合.4CB 二A. 0B. |xl-y <x < 1 t X€ R|■C ・{x\ -2 <x <2f x € R;D. |xI -2 <x < 1 e RI2.下列四个函数中•在其定义域上既是奇函数乂是血调递增函数的是3 2A. y = * ■ 1B. y = taiixC. y = xD ・ y =-亍3•已知 sinx = y t JW sin2x 的值为4. 设xeR 且"0.则是丄>2”成立的xA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设zn,“是两条不同的直线・a,0是两个不同的平面•下列命题正确的是 A.若 mUa 、nU.0、m 丄"，则 a 丄0 B.若 a//^,m 丄 a,n 〃0,则 m 丄" C.若 a 丄p.mla,n//fi,则 m 〃“D.若 a 丄/3,aC\fl = m,n 丄m,贝丄06. 已知三角形.4BC 外接圆0的半径为1（0为圆心）.且页I +况=0, 1刃1 =2I A 5|.则CA •说=1524 25C昱或■咚 匕 25 J 25D-釜或15 4T髙三数学（文史类）试卷第1页（共4页）pr + 1, %W0, I7.已知函数/U）= 则函数ed）的零点个数是Uog2x, X >0, 厶A. 4B. 3C.2D. 18.5个煞球和4个白球从左到右任意排成一排.下列说法正确的是A.总存在一个热球•它右侧的白球和黑球一样多B.总存在一个白球•它右侧的白球和熬球一样多C.总存在-•个黑球•它右侧的白球比黑球少一个D.总存在一个白球•它右侧的白球比•黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题:本大題共6小题,每小题5分，共30分.把答案填在答題卡上•9.设平而向= =（・2』），若“〃〃.则y = _____ •10.已知角A是三角形的一个内角，且cos.4二了.则sitU = _________ ,cos2.4 = __________ .11.已ftla»log2 l0.6,6«2. l06.c = 10^50.6,则a』,c 的大小关系是 __________________ （用“ > ”连接）.12设各项均为正数的等比数列血」的前“项和为若心=2,S4 =5S2,则山= ___________________ S4 = _________ •（mx2 + 1 .x^09、在（- *• + *）上具有单调性•则实数加的取值范围（m2 -l）2\x<0是_______ ■14. _________________________________________________________________ 《九章算术》是我国占代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驚马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行…百九十三里•日增一十三里；鷲马初日行九十七里•日减半里.良马先至齐,复还迎弩马.问几何日相逢."其意为：“现在有良马和驾马同时从长安出发到齐去.已知长安到齐的距离是3000里•良马第一天行193罷,之后每天比前一天多行13里;弩马第一天行97里，之后毎天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎弩马.多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第___________________________________________________________________ 天，两马相逢・高三数学（文史类）试卷第2页（共4页）三、解答题:本大题共6小题■共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (本小题满分13分)已知数列laJ(neN-)是公差不为0的等差数列.若佝=1,且a 2,a 4,a 5成等比 数列.(I )求卬」的通项公式；(D)若久二一!—•求数列卩」的前几项和S.・(本小題满分13分)已知函数/(兀)=asinx - Acosx (a e R)的图象经过点(y ,0).(I )求/(%)的最小正周期； (U)若%e[y,y],求/(%)的取值范围.(本小题满分13分)如图，已知.4, B, C, Q 四点共面.CD = 1,= 2,.4B = 4,乙 ABC = 120°,cos Z. BDC =(I )求sinLDBC 的值； 抹(U)求佃的长.丿//\厂岛三数学(文史类)试卷 第3页(共4页)15.16. 16.18.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形.PA丄平面ABCD.PA//DE.（I ）求证:BC1CE；（U ）若直线mU平面刊/试判断直线m与平面CDE的位世关系•并说明理由；19.（本小题满分13分）已知函数/■（切二冲■,awR. e（I）若曲线y=/（^）在点（o/（o））处切线的斜率为-2,求函数/U）的最小值;（U ）若函数/（律）在区间（0.1）上无极值，求Q的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数/（力）=ax -丄- （a + l）lnx,awR・X（I）若-2,求函数/（戈）的单凋区间；（口）若毎1,且/&）＞1在区间［丄®上恒成立，求a的取值范围;e（皿）若a＞丄，判断函数g（x） =x［f（x） +a + l］的零点的个数.e商三数学（文史类）试卷笫4页（共4页〉所以f x 最小正周期为一二. 7分北京市朝阳区2019学年度高三年级第一学期统一考试数学答案（文史类）2019.11、选择题：（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDABABA、填空题：（满分30 分）题号 910111213 14答案-44 7 525b >c > a1 15 2'~2(516（注：两空的填空，第一空 3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分） 解：（I ）设｛a n ｝的公差为d ,2 因为a 2,a 4,a 8成等比数列，所以 @4）二a ? 08.22即（a 1 3d ） =（a 1 d ） （a 1 7d ），即 d = a 1d 又6=1 ,且d - 0，解得d =1 . 所以有 a n 二 a (n 「1)d 二 n .(□)由(I)知：* 二」 (1 " Ja n 0n 卅 n(n+1) n n +111则 S n =1 + —22 即 S n =113分16. （本小题满分13分）所以 f x =sinx -、-3cosx =2sin(x — —).3解：（I ）因为函数x 二asinx - 3cosx 的图象经过点（3,0），所以（（3）解得a =1 .所以f x 的取值范围是[-1,2].由正弦定理 DC = BC ■ sin ZDBC sin ZBDCsin • DBC = DC sin BDC 価BC)在厶 BDC 中，由 BC^DC 2 DB 2 —2DC DB cos BDC 得,4 =1 DB 2.所以 DB 2 一4 7DB 一3 =0 .773J7解得DB = 7或DB 二-以（舍）.7J2?^7由已知得• DBC 是锐角，又sin ・DBC = ，所以cos DBC =^ 1414所以 cos ABD 二cos(120〃 - DBC ).二cos120〃 cos DBC sin 120’ sin DBC在厶ABD 中，因为AD 2=AB 22BD -2AB BDcos ABD7 2 47-) , 2 714所以 AD =3.3 •(n)因为 x <—，所以 x -2 2 65 ■■:所以当x，即x 时，3 2 6、,， n 7兀 3n f x 取得最大值，最大值是 2；当x-— 3 6，即X 二〒 时，f X 取得最小值，最小值是-1.1 5-7■■ 3 21 7 2 14=2141413分17. 解 （本小题满分13分）：（I ）在厶BDC 中，因为cos BDC凸，所以sin. BDC 二旦7 7得,1413分所以f x 最小正周期为一二. 7分18.(本小题满分14分)证明：(I)因为PA _底面ABCD , PA//DE所以DE _底面ABCD . 所以DE _ BC .又因为底面ABCD 为矩形，所以BC _CD . 又因为CD 「|DE =D , 所以BC _平面CDE •所以BC _ CE .(n)若直线 m 平面PAB ，则直线m//平面CDE因为PA//DE ，且PA 二平面PAB , DE :平面PAB , 所以DE //平面PAB •在矩形ABCD 中，CD//BA ，且BA 二平面PAB , CD -平面PAB , 所以CD//平面PAB •又因为CD 「|DE =D ，所以平面 PAB//平面CDE • 又因为直线m 平面PAB ，所以直线m//平面CDE . ................... 9分(川)易知，三棱锥 E - PCD 的体积等于三棱锥 P -CDE 的体积.由(I)可知，BC _平面CDE . 又因为AD//BC , 所以AD _平面CDE .易证PA//平面CDE ，所以点P 到平面CDE 的距离等于 AD 的长.1 1因为 AB =PA =2DE =2 , AD =3，所以 S CDE CD DE 2 1=1.2 21 1所以三棱锥 E- PCD 的体积V S CDE AD 1 3=1. ............ 14分3 319.(本小题满分13分)…、ax +1」、—ax + a T解：(I)因为 f (x) x ，所以 f (x)x.e e依题意，f (0) - -2解得a = -1 .所以f (x)二-x 1xef (X)*2PED当x 2时，f(x)・0，函数f (x)为增函数;(1)(2)当x ： 2时，f (x) ::: 0，函数f (x)为减函数;1所以函数f (x)的最小值是f(2) 2.e□亠…、ax+1 …、vx+a-1因为f (x) —，所以f (x)=e 1则f(X)x <0.此时f (x)在0,1上单调递减，满足条件ea —1 1令f(x)=0 得x 1 .a a1(i )若1 一a乞0 , 即卩0 ：：： a叮，则f (x) :：: 0在0,1上恒成立.此时f (x)在0,1上单调递减，满足条件.(ii)若0 ：：：1 丄：：1，即a 1 时，由f (x) ■ 0得0 ：x :：:1 --；a a1由f (x) ：： 0 得1 x ：： 1.a1 1此时f (x)在(0,1 )上为增函数，在(1 —,，)上为减，不满足条件a a1(iii)若1 一；-1 即a < 0 .则f (x) ：：：0 在0,1 上恒成立.此时f (x)在0,1上单调递减，满足条件.综上，a乞1.20.(本小题满分14分)13分1解：(I)若a - -2，则f(x) - -2x In x, (0「：)xf (x)二-(2x 1)(x 1)由f (x) 0得，0 ■ x :： 1 ；由f (x) ::: 0得，x 1.所以函数f(x)的单调增区间为(0,1);单调减区间为(1,=).(n)依题意，在区间』，e］上f (x)min1.ef (x)二2ax -(a 1)x1 (ax -1)(x -1),a -1.令f (x) =0得,若a — e，则由1f (x) 0 得，1 ：：x Ee ；由f (x) <0 得，x ：：1.e所以 f (X )min = f(1) = a —1、1，满足条件;1 1 1若 1 < a ::: e ,则由 f (x) . 0 得， x 或 1 ：：： x _ e ；由 f (x) ：：： 0 得， x ：：： 1.eaa1f(x)min =min{ f ( ), f(1)}, e若 a =1，则 f (x) _0.1所以f (x)在区间［-,e ］上单调递增， e1 f (X)min = f ( ) ：1，不满足条件;e综上，a 2............................................. 9分(Ill) x (0, ：：),g(x)二ax 2 - (a 1)x1 nx (a 1)x-1.所以 g '(x)二 2ax -(a 1)ln x .设 m(x)二 2ax -(a 1)ln x ,a 1 2ax-(a 1) m(x) = 2a.xxa +1令 m (x) =0 得 x.2ata +1 , a +1 ,当 0 ：： x 时，m (x) ：： 0 ；当 x 时，m (x) 0 .2a 2aa +1 a +1所以g (x)在(0, )上单调递减，在( ，•：：)上单调递增2a 2a所以g(x)的最小值为g (； 1^(a 1)(1-ln ； \.1a +1 1 11 e 因为a ，所以a=■ 1< 1 e<e .e2a 2 2a 22a +1 a +1 所以 g (x)的最小值 g ( 2) = (a 1)(1「ln )0.从而，g(x)在区间(0,=：)上单调递增.1依题意f(e) 1f(1) 1，即所以 2 ：：：1 1 a +1又g(r 2)丽厂(6 2lna)-1,e a e a e a设h(a)二e3a -(2ln a 6).3 2 2 2则h(a) =e •令h(a)=O 得a 二3•由h (a) ：：：0，得0 ：：：a ：：：3；a e e2 2 2由h(a) 0 ,得a 飞•所以h(a)在(0,飞)上单调递减，在(飞，+：：)上单调递增e e e 2所以h(a)min =h(有)=2 -2ln 2 .0.e豊6::: 1.所以h(a) .0恒成立所以e3a • 2ln a 6 , 2e a…/ 1 、 1 a+1 , 1 1 1,1 1 1 , c所以g(飞2) 7 2 1=~1 2 2 1 7 2 1 ：：。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCBACB第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i10．1322log 52e11．220x y 12．113．1f xx14．0,1三、15．解：（Ⅰ）图略； 3分函数f x 的单调增区间为1,0和1,；6分（Ⅱ）设0x，则0x ． 7分因为函数f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x时，22f xxx ，所以222fx． 10分所以222,2,xx f xx x x，．13分16．解：（Ⅰ）由21cos sin cos2222x x xf x，得11121cos sin cos 22224f xxxx．3分所以f x的最小正周期为2，最大值为22，最小值为22； 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，232cos 2410f，所以3cos 45．7分所以si28分cos2410分212cos412分18712525．13分17．解：（Ⅰ）在ABC 中，，由正弦定理sinsi na b A B ，得si n b A a B． 2分由3sin cos b Aa B ，得3sin cos 3b Aa B ．所以3s i 3BB ． 4分因为0B，所以sin 0B，因而cos 0B ．所以sin 3tan cos 3B B B，所以6B． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a c AC，而sin 3sin C A ，所以3c a①9分由余弦定理22cos b a c ac B ，得2292cos6acac ，即2239acac②12分把①代入②得3a ，33c .13分18．解：（Ⅰ）因为函数f x 图象的对称轴为2a x， 1分所以当02a ，即0a时，2m a x12g af xf aa ；3分当2a ，即a 时，2max12g a f x faa ． 5分所以222,2,a a g aaa a6分（Ⅱ）假设存在符合题意的实数,m n ，则由（Ⅰ）可知，当a R 时，2,g a ． 8分所以若,a m n ，有5,5ga m n ，则0mn ． 9分所以22g aa a ，且为单调递增函数． 11分所以2222g m gn12分所以22m n13分19.（Ⅰ）解：函数f x的定义域为0,． 1分因为11x f xxxx，2分所以在0,1内，0f x ，f x 单调递增；在1,内，0f x，f x 单调递减．所以函数f x 在1x 处取得唯一的极大值，即f x 的最大值1ln11f a ．因为函数f x的最大值为3，3分所以ln113a ，解得4a ． 4分（Ⅱ）因为当1,x时，3122f x k xf x a k x 恒成立，所以3ln 112x xak xax，所以ln 13x x k x ，即ln 130x x k x ． 5分令ln 13g x x x k x ，则ln 2g xx k ． 6分因为2k，所以0g x．所以g x 在1,单调递增． 7分所以1g x g 12k ，所以120k，所以12k．即实数k的取值范围是1,22；8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：10,1x ，21,x ．所以210,x ． 9分因为1x ，2x 是函数f x 的两个零点，所以120f x f x ． 10分因为122211f x f f x f x x 222211ln ln x x x x 22212ln x x x ． 11分令12ln h xxx x，则22222121211x xx h xxx xx．所以在1,，0h x ，h x 单调递减．所以10h xh ．所以1210fx fx ，即121fx f x ． 13分由（Ⅰ）知，f x 在0,1单调递增，所以121x x ，所以121x x ． 14分20．解：（Ⅰ）根据题意,数列n a 满足21nn S a ,当1n 时,111a S . 1分当2n时, 11nnna S S ,122nnn a a a ，即12n n a a ． 2分所以数列n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 3分所以12n na ，n N ； 4分又由已知22log nn b a ，得122l o g 21n nb n． 5分（Ⅱ）依题意得1111122n n nn nb nc n a ，nN ． 6分因为11112122nn n nc c n n 11121102222n n n n n ，7分所以当1n 时，n c 取得最大值12c ． 8分因为221n c xx 对于一切的正整数n 恒成立，所以2221xx ． 9分解得1x 或3x ，所以实数x 的取值范围是13x xx或；10分（Ⅲ）假设存在,,,,,m n k a a a m n k m n kN，使,,m n k a a a 成等差数列，则2nmk a a a ，即1112222n m k ． 11分两边同时除以12m ，得1212n m k m①． 12分因为12n m 为偶数，12k m为奇数，这与①矛盾． 13分所以不存在,,,,,m n k a a a m nk m n k N，使,,m n k a a a 成等差数列． 14分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。

2019-2021北京高中数学期中汇编：导数的运算一．选择题（共19小题）1．已知f（x）＝e x，则f'（0）＝（）A．0B．C．1D．e2．f（x）＝x（2018+lnx），若f'（x0）＝2019，则x0等于（）A．e2B．1C．ln2D．e3．（2019春•西城区校级期中）设函数f（x）＝sin x﹣cos x，则f'（x）等于（）A．sin x﹣cos x B．cos x﹣sin x C．sin x+cos x D．﹣cos x﹣sin x 4．（2019秋•丰台区期中）若函数f（x）＝sin x+，则f（x）的导函数f'（x）＝（）A．﹣cos x+x﹣2B．﹣cos x﹣x﹣2C．cos x+x﹣2D．cos x﹣x﹣25．函数的导数为（）A．B．C．D．6．（2021春•丰台区期中）函数f（x）＝x2在x＝﹣1处的导数为（）A．2B．1C．﹣1D．﹣27．在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）8．函数y＝cos x的导数是（）A．sin x B．﹣sin x C．cos x D．﹣cos x9．函数y＝x2cos x的导数为（）A．y′＝2x cos x﹣x2sin x B．y′＝2x cos x+x2sin xC．y′＝x2cos x﹣2x sin x D．y′＝x cos x﹣x2sin x10．（2019秋•丰台区期中）已知函数f（x）＝x•lnx的导函数为f'（x），若f'（x0）＝1，则x0的值为（）A．1B．2C．e D．011．（2019春•海淀区期中）函数f（x）＝xlnx的导数f'（x）为（）A．lnx+1B．lnx﹣1C．D．12．（2020春•朝阳区校级期中）函数的导数是（）A．B．C．D．13．（2021春•海淀区校级期中）已知函数，则（）A．y'＝e x B．C．D．14．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝x sin x，那么f′（x）＝（）A．cos x B．sin x﹣x cos x C．sin x+x cos x D．sin x15．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝sin x，那么函数f（x）在处的导数为（）A．B．C．D．116．（2021春•海淀区期中）下列求导运算中错误的是（）A．（3x）′＝3x ln3B．（）′＝C．（x+）′＝1+D．（sin x•cos x）′＝cos2x17．（2019春•西城区校级期中）下列求导正确的是（）A．B．C．（x2cos x）'＝﹣2x sin xD．18．（2021春•海淀区期中）若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x2+1C．f（x）＝sin2x D．f（x）＝e x+x19．求函数f（x）＝sinα+cosα的导数（）A．cosα+sin x B．cosα﹣sin x C．﹣sin x D．0二．填空题（共6小题）20．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝x2﹣4x+2，且f′（x0）＝2，那么x0的值为．21．（2020春•朝阳区校级期中）函数的导函数是f'（x），则f'（x）＝．22．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝e2x，那么f′（x）＝．23．（2021春•西城区校级期中）已知函数f（x）＝ln（2x+1），则f'（1）＝．24．（2021春•海淀区期中）已知f（x）＝ln（3x﹣1），则f′（1）＝．25．函数f（x）＝xlnx的导函数f′（x）＝．2019-2021北京高中数学期中汇编：导数的运算参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．已知f（x）＝e x，则f'（0）＝（）A．0B．C．1D．e【分析】先求出导函数f′（x）＝e x，然后代入x＝0即可．【解答】解：∵f′（x）＝e x，∴f′（0）＝e0＝1．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．2．f（x）＝x（2018+lnx），若f'（x0）＝2019，则x0等于（）A．e2B．1C．ln2D．e【分析】可求出导函数f′（x）＝lnx+2019，从而根据f′（x0）＝2019即可得出x0的值．【解答】解：f（x）＝x（2018+lnx），则f′（x）＝2019+lnx，∴f′（x0）＝2019+lnx0＝2019，∴x0＝1，故选：B．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．（2019春•西城区校级期中）设函数f（x）＝sin x﹣cos x，则f'（x）等于（）A．sin x﹣cos x B．cos x﹣sin x C．sin x+cos x D．﹣cos x﹣sin x【分析】进行基本初等函数的求导即可．【解答】解：∵f（x）＝sin x﹣cos x，∴f′（x）＝cos x+sin x．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．4．（2019秋•丰台区期中）若函数f（x）＝sin x+，则f（x）的导函数f'（x）＝（）A．﹣cos x+x﹣2B．﹣cos x﹣x﹣2C．cos x+x﹣2D．cos x﹣x﹣2【分析】进行基本初等函数的求导即可．【解答】解：．故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．5．函数的导数为（）A．B．C．D．【分析】直接运用商的导数的求导法则求解．【解答】解：．故选：D．【点评】本题考查了导数的运算，考查了商的导数的求导法则，，此题是基础题．6．（2021春•丰台区期中）函数f（x）＝x2在x＝﹣1处的导数为（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】可求出导函数f′（x）＝2x，然后将x换上﹣1，即可得出f（x）在x＝﹣1处的导数．【解答】解：∵f′（x）＝2x，∴f′（﹣1）＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了幂函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．7．在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】讨论x的符号，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：若x＝0时，不等式x•f′（x）＜0不成立．若x＞0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．若x＜0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，故不等式x•f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．8．函数y＝cos x的导数是（）A．sin x B．﹣sin x C．cos x D．﹣cos x【分析】直接根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵y＝cos x，∴函数的导数y′＝﹣sin x，故选：B．【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据导数公式是解决本题的关键．比较基础．9．函数y＝x2cos x的导数为（）A．y′＝2x cos x﹣x2sin x B．y′＝2x cos x+x2sin xC．y′＝x2cos x﹣2x sin x D．y′＝x cos x﹣x2sin x【分析】利用两个函数的积的导数法则，求出函数的导函数．【解答】解：y′＝（x2）′cos x+x2（cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x故选：A．【点评】求函数的导函数，关键是判断出函数的形式，然后据函数的形式选择合适的求导法则．10．（2019秋•丰台区期中）已知函数f（x）＝x•lnx的导函数为f'（x），若f'（x0）＝1，则x0的值为（）A．1B．2C．e D．0【分析】可以求出导函数f′（x）＝lnx+1，根据f′（x0）＝1即可得出lnx0+1＝1，解出x0即可．【解答】解：f′（x）＝lnx+1，∴f′（x0）＝lnx0+1＝1，∴lnx0＝0，x0＝1．故选：A．【点评】本题考查了基本初等函数和积的函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．11．（2019春•海淀区期中）函数f（x）＝xlnx的导数f'（x）为（）A．lnx+1B．lnx﹣1C．D．【分析】根据题意，由导数的计算公式可得f′（x）＝（x）′lnx+x（lnx）′，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝xlnx，其导数f′（x）＝（x）′lnx+x（lnx）′＝lnx+1，故选：A．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．12．（2020春•朝阳区校级期中）函数的导数是（）A．B．C．D．【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导即可．【解答】解：∵，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．13．（2021春•海淀区校级期中）已知函数，则（）A．y'＝e x B．C．D．【分析】根据基本初等函数的求导公式即可求解．【解答】解：，则＝．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．14．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝x sin x，那么f′（x）＝（）A．cos x B．sin x﹣x cos x C．sin x+x cos x D．sin x【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．【解答】解：∵f（x）＝x sin x，∴f′（x）＝sin x+x cos x．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝sin x，那么函数f（x）在处的导数为（）A．B．C．D．1【分析】根据题意，求出f（x）的导数，将x＝代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sin x，则其导数f′（x）＝cos x，则有f′（）＝cos＝，故选：C．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．16．（2021春•海淀区期中）下列求导运算中错误的是（）A．（3x）′＝3x ln3B．（）′＝C．（x+）′＝1+D．（sin x•cos x）′＝cos2x【分析】根据基本初等函数、复合函数和商的导数的求导公式对每个选项函数求导即可．【解答】解：，，．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数、商的导数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．17．（2019春•西城区校级期中）下列求导正确的是（）A．B．C．（x2cos x）'＝﹣2x sin xD．【分析】根据基本初等函数、商的导数和积的导数的求导公式对每个选项函数求导即可．【解答】解：，，（x2cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x，（xlnx）′＝lnx+1．故选：A．【点评】本题考查了基本初等函数、商的导数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（2021春•海淀区期中）若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x2+1C．f（x）＝sin2x D．f（x）＝e x+x【分析】根据题意知，f（x）的导函数为偶函数，从而对每个选项函数求导，判断导函数是否为偶函数即可．【解答】解：∵函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，∴f（x）的导函数为偶函数，A．f′（x）＝﹣3sin x为奇函数，∴该选项错误；B．f′（x）＝3x2+2x为非奇非偶函数，∴该选项错误；C．f′（x）＝2cos2x为偶函数，∴该选项正确；D．f′（x）＝e x+1为非奇非偶函数，∴该选项错误．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，偶函数的图象的特点，偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．19．求函数f（x）＝sinα+cosα的导数（）A．cosα+sin x B．cosα﹣sin x C．﹣sin x D．0【分析】根据题意，分析可得sinα+cosα为常数，则函数f（x）＝sinα+cosα为常数函数，求出其导数即可得答案．【解答】解：根据题意，sinα+cosα为常数，则函数f（x）＝sinα+cosα为常数函数，则f′（x）＝0；故选：D．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．二．填空题（共6小题）20．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝x2﹣4x+2，且f′（x0）＝2，那么x0的值为3．【分析】可求出导函数f′（x）＝2x﹣4，然后根据f′（x0）＝2即可求出x0的值．【解答】解：∵f′（x）＝2x﹣4，∴f′（x0）＝2x0﹣4＝2，解得x0＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．21．（2020春•朝阳区校级期中）函数的导函数是f'（x），则f'（x）＝．【分析】根据基本初等函数、商的导数和复合函数的求导公式进行求导即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，商的导数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．22．（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）＝e2x，那么f′（x）＝2e2x．【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．【解答】解：∵f（x）＝e2x，∴f′（x）＝2e2x．故答案为：2e2x．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．23．（2021春•西城区校级期中）已知函数f（x）＝ln（2x+1），则f'（1）＝．【分析】根据对数函数和复合函数的求导公式求出，然后将x换上1即可求出f′（1）的值．【解答】解：∵f（x）＝ln（2x+1），∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了对数函数和复合函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．24．（2021春•海淀区期中）已知f（x）＝ln（3x﹣1），则f′（1）＝．【分析】求函数的导数，直接代入即可．【解答】解：∵f（x）＝ln（3x﹣1），∴f′（x）＝，则f′（1）＝＝，故答案为：【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．25．函数f（x）＝xlnx的导函数f′（x）＝lnx+1．【分析】根据导数的运算法则计算即可【解答】解：f′（x）＝（x）′lnx+x（lnx）′＝lnx+1，故答案为：lnx+1【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷2018年11月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31M x x =-≤<，{}3N x x =<-，则MN =A ．{}1x x <B ． {}1x x ≥C ． {}3x x ≥-D ．φ2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1326S =，61a =，则数列{}n a 的公差为 A ．2-B ．1-C ．2D ． 14．最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ． cos(2)6y x π=- 5．在ABC ∆中，30b =，15c =，25C =︒，则ABC ∆解的情况是A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定 6．设a ，b 是非零向量，则2=a b 是a 与b 共线的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()a b <，其全程的平均速度为v ，则A ．2a bv += B ．v =C ．a v <<D 2a bv +<8. 已知函数()ln ,0,2ln ,,x x e f x x x e ⎧<≤=⎨->⎩ 若正实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A ．()21,e B ．()2,e e C ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．复数12i=2i+- ． 10． 2log 5，32-，12e 三个数的大小关系是 ． 11．曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为 ．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为 ． 13．能说明“若()f x 是奇函数，则()00f =”为假命题的一个函数是 ． 14．设函数()x f x x a=-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式． 16．（本小题13分） 已知函数()21cossin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若()f α=，求sin 2α的值． 17．（本小题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b =，sin C A =，求a ，c ． 18．（本小题13分）已知函数()()221R f x x ax a a =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，（Ⅰ）求()g a 的表达式；（Ⅱ）是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本小题14分）已知函数()()ln R f x x x a a =-+∈．（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <． 20．（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和()n S n N *∈满足21n n S a =-，数列{}n b 满足22log n n b a =+． （Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令n n nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； （Ⅲ）数列{}n a 中是否存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈且，使,,m n k a a a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i10．1322log 52e ->> 11．220x y +-= 12．1 13．()1f x x= 14．(]0,1三、 15．解：（Ⅰ）图略； 3分函数()f x 的单调增区间为()1,0-和()1,+∞； 6分 （Ⅱ）设0x >，则0x -<． 7分 因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，所以()()()()()22220f x f x x x x x x =-=-+-=->． 10分所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，．13分16．解：（Ⅰ）由()21cos sin cos 2222x x x f x =--，得 ()()1111cos sin 2224f x x x x π⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭． 3分所以()f x 的最小正周期为2π，最大值为2，最小值为2-； 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()cos 2410fπαα⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 所以3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 7分所以sin 2cos 22παα⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 8分 cos 24πα⎛⎫=-+⎪⎝⎭10分 212cos 4πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12分18712525=-=． 13分17．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin b A a B =． 2分sin cos A a B =，得sin cos 3b A a B =．所以sin 3B B =． 4分 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos 3B B B ==， 所以6B π=． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin C A =，所以c = ① 9分由余弦定理22cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即229a c += ② 12分把①代入②得3a =，c = 13分18．解：（Ⅰ）因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-， 1分 所以当02a-≤，即0a ≥时，()()()2max 12g a f x f a a ===++； 3分 当02a ->，即0a <时，()()()2max 12g a f x f a a ==-=-+． 5分所以()222,0,2,0.a a a g a a a a ⎧-+<=⎨++≥⎩ 6分（Ⅱ）假设存在符合题意的实数,m n ，则由（Ⅰ）可知，当a R ∈时，()[)2,g a ∈+∞． 8分 所以若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0m n <<． 9分 所以()22g a a a =++，且为单调递增函数． 11分所以()()2225,25,g m m m m g n n n n ⎧=++=⎪⎨=++=⎪⎩ 12分所以22m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 13分19.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞． 1分因为 ()11xf x x x x-'=-=， 2分 所以在()0,1内，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,+∞内，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+． 因为函数()f x 的最大值为3， 3分 所以ln113a --=，解得4a =． 4分 （Ⅱ） 因为当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立， 所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 13x x k x +>-，即()()ln 130x x k x +-->． 5分 令()()()ln 13g x x x k x =+--，则()ln 2g x x k '=+-． 6分 因为2k ≤， 所以()0g x '>．所以()g x 在()1,+∞单调递增． 7分 所以()()1g x g >=12k +， 所以 120k +≥， 所以12k ≥-．即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,1x ∈． 9分 因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，所以()()120f x f x ==． 10分 因为()()122211f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222211ln lnx x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭22212ln x x x =+-． 11分 令()12ln h x x x x=+-， 则()()22222121211x x x h x x x x x--+-'=--==-．所以在()1,+∞，()0h x '<，()h x 单调递减．所以()()10h x h <=． 所以()1210f x f x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭． 13分 由（Ⅰ）知，()f x 在()0,1单调递增， 所以121x x <， 所以121x x <． 14分 20．解：（Ⅰ）根据题意,数列{}n a 满足21n n S a =-,当1n =时,111a S ==. 1分 当2n ≥时, 11n n n a S S -=-=,122n n n a a a -=-，即12n n a a -=． 2分 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 3分所以12n n a -=，n N *∈； 4分 又由已知22log n n b a =+，得122log 21n n b n -=+=+． 5分（Ⅱ）依题意得()1111122n n n n n b n c n a --+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，n N *∈． 6分因为()()11112122nn n n c c n n -+⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11121102222n n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 7分所以当1n =时，n c 取得最大值12c =． 8分因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以2221x x ≤--． 9分 解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{}13x x x ≤-≥或； 10分 （Ⅲ）假设存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,m n k a a a 成等差数列， 则2n m k a a a =+，即1112222n m k ---⋅=+． 11分 两边同时除以12m -，得1212n m k m -+-=+①． 12分 因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾． 13分 所以不存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,m n k a a a 成等差数列． 14分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。

2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x﹣a≤0}，若2∈A，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．[4，+∞）2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上存在最小值的是（）A．f（x）=x2﹣x B．f（x）=|lnx|C．f（x）=x3D．f（x）=sinx 3．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）满足，则的值是（）A．0B．C．D．14．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则向量，夹角的大小为（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，则ab 的值为（）A．1B．2C．4D．86．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）数列{a n}的通项公式为，若数列{a n}单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，2）D．[1，+∞）8．（5分）已知向量，，满足++=，且2＞2＞2，则•、•、•中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定的二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）角θ的终边经过点P（4，﹣3），则tanθ=．10．（5分）等差数列{a n}中，a1=5，a2+a5=0，则{a n}中为正数项的项的个数为．11．（5分）已知，是不共线的两个向量，=，则=．12．（5分）函数在区间[0，π]上的最大值为．13．（5分）能说明“若存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题的一个函数f（x）是．14．（5分）已知函数．（1）当a=1时，函数f（x）的值域是；（2）若函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）设{a n}是等比数列，其前n项的和为S n，且a2=2，S2﹣3a1=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S n+a n≥48，求n的最小值．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=5，AC=7，∠B+∠D=π．（Ⅰ）求cosD的值；（Ⅱ）若AC是∠DAB的角平分线，求DC的长．18．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax﹣1．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）写出a的一个值，使得函数f（x）有三个不同零点（只需直接写出数值）19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；＜a2+a4+a6+…+a2n．（Ⅱ）求证：a1+a3+a5+…+a2n+120．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：存在x0，使得f（x0）＜1．2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x﹣a≤0}，若2∈A，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上存在最小值的是（）A．f（x）=x2﹣x B．f（x）=|lnx|C．f（x）=x3D．f（x）=sinx 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．3．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）满足，则的值是（）A．0B．C．D．1【解答】解：由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．4．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则向量，夹角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，则ab 的值为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．6．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“C=”⇔“A+B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）数列{a n}的通项公式为，若数列{a n}单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，2）D．[1，+∞）＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜【解答】解：数列{a n}单调递增⇔a n+1n2+n．∴a＜2．故选：C．8．（5分）已知向量，，满足++=，且2＞2＞2，则•、•、•中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定的【解答】解：∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）角θ的终边经过点P（4，﹣3），则tanθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，则tanθ==﹣，故答案为：﹣．10．（5分）等差数列{a n}中，a1=5，a2+a5=0，则{a n}中为正数项的项的个数为3．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=5，a2+a5=0，∴5+d+5+4d=0，∴d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7，a1＞0，a2＞0，a3＞0，n≥4时，a n＜0，则{a n}中为整数的项的个数为3，故答案为：3．11．（5分）已知，是不共线的两个向量，=，则=．【解答】解：，是不共线的两个向量，=，∴==，则==，故答案为：．12．（5分）函数在区间[0，π]上的最大值为2．【解答】解：由于：x∈[0，π]，所以：，则：，则，所以函数的最大值为2，故答案为：213．（5分）能说明“若存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题的一个函数f（x）是f（x）=x2﹣1．【解答】解：“若存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题，例如：f（x）=x2﹣1．当x=﹣1时，满足f（﹣1）=0，f（1）=0，满足存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），但是函数f（x）是偶函数，故答案为：f（x）=x2﹣1．14．（5分）已知函数．（1）当a=1时，函数f（x）的值域是R；（2）若函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是[0，1]【解答】解：（1）当a=1时，即当x≤1时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，当x＞1时，f（x）=x＞1，综上所述当a=1时，函数f（x）的值域是R，（2）由f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，其对称轴x=1，当a＞1时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象，存在直线y=a没有交点；当0≤a≤1时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a只有一个交点当a＜0时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a没有交点；要使函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是[0，1]；故答案为：R；[0，1]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数．当x=0时，可得f（0）=（Ⅱ）由函数==sinx+cosx=sin（x+）令x+得：≤x≤∵x，∴函数f（x）的单调递增区间[，），k∈Z．16．（13分）设{a n}是等比数列，其前n项的和为S n，且a2=2，S2﹣3a1=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S n+a n≥48，求n的最小值．【解答】解：（1）设等比数列的公比q，∵S2﹣3a1=0，∴a2=2a1=2，∴q=2，a1=1，∴=2n﹣1（2）∵S n==2n﹣1，∵S n+a n=2n﹣1+2n﹣1=3•2n﹣1﹣1≥48，∴3•2n﹣1≥49，∴，∴n≥6即n的最小值6．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=5，AC=7，∠B+∠D=π．（Ⅰ）求cosD的值；（Ⅱ）若AC是∠DAB的角平分线，求DC的长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=7，∴由余弦定理可得cos∠B===﹣，∵∠B+∠D=π，∴cos∠D=cos（π﹣∠B）=﹣cos∠B=．（Ⅱ）∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，∴由正弦定理，在△ABC中，有，在△ADC中，有，∵sin∠ABC=sin∠DAC，且sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，∴DC=BC，∴DC=5．18．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax﹣1．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）写出a的一个值，使得函数f（x）有三个不同零点（只需直接写出数值）【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=x3+x2+ax﹣1的定义域为（﹣∞，+∞），当a=﹣1时，f（x）=x3+x2﹣x﹣1，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：）∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间为（﹣1，）；（Ⅱ）证明：∵f′（x）=3x2+2x+a，令f′（x）=）=3x2+2x+a=a，解得x1=0，x2=，而f（0）=﹣1，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y+1=a（x﹣0），即y=ax﹣1，∴无论a为何值，直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线；（Ⅲ）解：取a的值为﹣2．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；＜a2+a4+a6+…+a2n．（Ⅱ）求证：a1+a3+a5+…+a2n+1【解答】（I）解：∵．∴a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，联立解得：a1=0，a2=5，a3=3．（II）证明：n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+（﹣1）n﹣[（n﹣1）2+（﹣1）n﹣1]=2n﹣1+2（﹣1）n．当n为偶数时，a n=2n+1；当n为奇数时，a n=2n﹣3（n＞1）．=0+3+7+……+2（2n+1）﹣3==2n2+n．∴a1+a3+a5+…+a2n+1a2+a4+a6+…+a2n=5+9+……+（2n+1）==2n2+3n．∵2n2+3n﹣（2n2+n）=2n＞0．∴a1+a3+a5+…+a2n＜a2+a4+a6+…+a2n．+120．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：存在x0，使得f（x0）＜1．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）且m≠0，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=﹣或x=，当m＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：）故函数f（x）在x=处取得极小值f（）=，当m＜0时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：（﹣）故函数f（x）在x=﹣处取得极大值f（﹣）=+；（Ⅱ）当m＜0时，由（Ⅰ）知，f（x）的最小值是f（）=，存在x0，使得f（x 0）＜1⇔f（）＜1，则f（）﹣1=，设g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，=g（1）=﹣1＜0，故g（x）最大值故f（）﹣1＜0，原结论成立．。

2018-2019学年北京五中高三（上）开学数学试卷（理科）试题数：20.满分：01.（单选题.5分）已知全集U=R.集合A={x|x＜2}.B={x|lg（x-1）＞0}.则A∩（∁U B）=（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|1≤x＜2}C.{x|x＜2}D.{x|x≤1}2.（单选题.5分）已知log a13＞log b13＞0 .则a、b之间的大小关系是（）A.1＜b＜aB.1＜a＜bC.0＜a＜b＜1D.0＜b＜a＜13.（单选题.5分）若a.b∈R.则“ 1a ＜1b”是“ aba3−b3＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题.5分）若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位.m∈R）是纯虚数.则复数m+3i1−i的模等于（）A.1B.2C.3D.45.（单选题.5分）阅读如图所示程序框图.运行相应的程序.则程序运行后输出的结果为（）A.7B.9C.10D.116.（单选题.5分）若变量x.y 满足约束条件 {x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3 .且z=ax+3y 的最小值为7.则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.-2 D.不确定7.（单选题.5分）已知函数f （x ）=x-4+ 9x+1 .x∈（0.4）.当x=a 时.f （x ）取得最小值b.则函数g （x ）=（ 1a）|x+b|的图象为（ ）A.B.C.D.8.（单选题.5分）在直角坐标系xOy 中.对于点（x.y ）.定义变换σ：将点（x.y ）变换为点（a.b ）.使得 {x =tana y =tanb 其中 a ，b ∈(−π2，π2) ．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数y 1=2x （x ＞0）. y 2=x 2 (x ＞0) . y 3=e x (x ＞0) .y 4=lnx （x ＞1）在坐标系xOy 内的图象.变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ）A. ② . ③ . ① . ④B. ③ . ② . ④ . ①C. ② . ③ . ④ . ①D. ③ . ② . ① . ④9.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取___ 名学生． 10.（填空题.5分）在极坐标系中.直线ρcosθ-ρsinθ+1=0与圆ρ=2sinθ的位置关系为___ ． 11.（填空题.5分）某班级原有一张周一到周五的值日表.五位班干部每人值一天.现将值日表进行调整.要求原周一和周五的两人都不值这两天.周二至周四的这三人都不值自己原来的日期.则不同的调整方法种数是___ （用数字作答）．12.（填空题.5分）f （x ）是定义在R 上的偶函数.f （x+3）=- 1f (x ).又当-3≤x≤-2时.f （x ）=2x.则f （11.5）=___ ．13.（填空题.5分）函数f （x ）的定义域为实数集R.f （x ）= {(12)x −1，−1≤x ＜0log 2(x +1)，0≤x ＜3对于任意的x∈R 都有f （x+2）=f （x-2）．若在区间[-5.3]上函数g （x ）=f （x ）-mx+m 恰有三个不同的零点.则实数m 的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）若函数f （x ）对其定义域内的任意x 1.x 2.当f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2.则称f （x ）为紧密函数.例如函数f （x ）=lnx （x ＞0）是紧密函数.下列命题： ① 紧密函数必是单调函数； ② 函数f （x ）= x 2+2x+ax （x ＞0）在a ＜0时是紧密函数；③ 函数f （x ）= {log 3x ，x ≥22−x ，x ＜2是紧密函数；④ 若函数f （x ）为定义域内的紧密函数.x 1≠x 2.则f （x 1）≠f （x 2）；⑤ 若函数f （x ）是紧密函数且在定义域内存在导数.则其导函数f′（x ）在定义域内的值一定不为零．其中的真命题是___ ．15.（问答题.0分）讨论函数f（x）=（a-1）lnx+ax2+1的单调区间．16.（问答题.0分）春节期间.受烟花爆竹集中燃放影响.我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升.特别是在大气扩散条件不利的情况下.空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时.国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表（单位：微克/立方米）．（Ⅱ）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市.浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹．从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研.记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X.求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM2.5浓度的方差分别为s12和s22.比较s12和s22的大小关系（只需写出结果）．17.（问答题.0分）如图.正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直.AB=2.∠ABC=60°.M 是AB的中点．（Ⅰ）求证：EM⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-BE-C的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P.使得直线AP与平面ABE所成的角为45°.若存在.求出EPEC的值；若不存在.说明理由．18.（问答题.0分）设函数f（x）=xlnx．（1）求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（2）若f(x)≥ax2+2a(a≠0)在区间（0.+∞）上恒成立.求a的最小值．19.（问答题.0分）已知椭圆M：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63.焦距为2 √2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A.B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1.求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（-2.0）.直线PA与椭圆M的另一个交点为C.直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C.D和点Q（- 74 . 14）共线.求k．20.（问答题.0分）对于自然数数组（a.b.c）.如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差．如果（a.b.c）的极差d≥1.可实施如下操作f：若a.b.c中最大的数唯一.则把最大数减2.其余两个数各增加1；若a.b.c中最大的数有两个.则把最大数各减1.第三个数加2.此为一次操作.操作结果记为f1（a.b.c）.其级差为d1．若d1≥1.则继续对f1（a.b.c）实施操作f.….实施n 次操作后的结果记为f n（a.b.c）.其极差记为d n．例如：f1（1.3.3）=（3.2.2）.f2（1.3.3）=（1.3.3）．（Ⅰ）若（a.b.c）=（1.3.14）.求d1.d2和d2014的值；（Ⅱ）已知（a.b.c）的极差为d且a＜b＜c.若n=1.2.3.…时.恒有d n=d.求d的所有可能取值；（Ⅲ）若a.b.c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项.求证：存在n满足d n=0．2018-2019学年北京五中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.5分）已知全集U=R.集合A={x|x＜2}.B={x|lg（x-1）＞0}.则A∩（∁U B）=（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|1≤x＜2}C.{x|x＜2}D.{x|x≤1}【正确答案】：C【解析】：lg（x-1）＞0.可得x-1＞1.可得B.∁R B．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁u B）．【解答】：解：∵lg（x-1）＞0.∴x-1＞1.解得x＞2．∴B={x|lg（x-1）＞0}=（2.+∞）.∴∁R B=（-∞.2]．则A∩（∁u B）=（-∞.2）．故选：C．【点评】：本题考查了函数的性质、不等式的解法、集合的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．2.（单选题.5分）已知log a13＞log b13＞0 .则a、b之间的大小关系是（）A.1＜b＜aB.1＜a＜bC.0＜a＜b＜1D.0＜b＜a＜1【正确答案】：D【解析】：由题意判断出0＜a＜1.和0＜b＜1.在一个坐标系中画出函数y=log a x、y=log b x的图象.由图判断a、b的大小．【解答】：解：∵ log a13＞log b13＞0 .且0＜13＜1.∴0＜a＜1.0＜b＜1.在一个坐标系中画出函数y=log a x和y=log b x的图象.由对数函数的图象在第一象限内从左到右底数逐渐增大知.b＜a.∴0＜b＜a＜1.故选：D．【点评】：本题根据对数函数的图象和性质判断两个对数的大小.还利用了底数与图象的之间关系.考查了数形结合思想．3.（单选题.5分）若a.b∈R.则“ 1a ＜1b”是“ aba3−b3＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：∀a.b∈R.a2+ab+b2= (a+12b)2+ 34b2≥0.当且仅当a=b=0时取等号．可得aba3−b3＞0⇔（a-b）ab＞0.⇔“ 1a ＜1b”．【解答】：解：∀a.b∈R.a2+ab+b2= (a+12b)2+ 34b2≥0.当且仅当a=b=0时取等号．∴ ab a3−b3＞0⇔（a-b）ab＞0.⇔“ 1a＜1b”．∴“ 1a ＜1b”是“ aba3−b3＞0”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．4.（单选题.5分）若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位.m∈R）是纯虚数.则复数m+3i1−i的模等于（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：由已知求得m.代入m+3i1−i.利用复数代数形式的乘除运算化简.再由复数模的计算公式求解．【解答】：解：∵（1+mi）（3+i）=3-m+（3m+1）i为纯虚数.∴m=3.则m+3i1−i = 3+3i1−i=3(1+i)2(1−i)(1+i)=3i .∴复数m+3i1−i的模等于3．故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数的基本概念.考查复数模的求法.是基础题．5.（单选题.5分）阅读如图所示程序框图.运行相应的程序.则程序运行后输出的结果为（）A.7B.9C.10D.11【正确答案】：B【解析】：由程序框图知算法的功能是求S=0+lg 13 +lg 35+lg 57+…+lg ii+2的值.令S≤-1求出i的取值范围.即可得出输出i的值．【解答】：解：由程序框图知：算法的功能是 求S=0+lg 13+lg 35+lg 57+…+lgii+2的值. ∵S=lg 13 +lg 35 +lg 57 +…+lg ii+2 =lg 1i+2 ≤-1. ∴i+2≥10. 解得i≥8；∴跳出循环的i 值为9. ∴输出i=9． 故选：B ．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图.根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 6.（单选题.5分）若变量x.y 满足约束条件 {x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3 .且z=ax+3y 的最小值为7.则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.-2 D.不确定 【正确答案】：B【解析】：由约束条件作出可行域.化目标函数为直线方程的斜截式.对a 分类讨论可得最优解.联立方程组求得最优解的坐标.代入目标函数即可求得a 值．【解答】：解：由约束条件 {x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3 作出可行域如图.联立方程组求得A （2.1）.B （4.5）.C （1.2）. 化目标函数z=ax+3y 为y= −a 3x +z 3．当a ＞0时.由图可知.当直线y= −a3x +z3 过A 或C 时.直线在y 轴上的截距最小.z 有最小值． 若过A.则2a+3=7.解得a=2；若过C.则a+6=7.解得a=1不合题意．当a ＜0时.由图可知.当直线y= −a3x +z3 过A 或B 时.直线在y 轴上的截距最小.z 有最小值． 若过A.则2a+3=7.解得a=2.不合题意；若过B.则4a+15=7.解得a=-2.不合题意． ∴a 的值为2．故选：B．【点评】：本题考查简单的线性规划.考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法.是中档题．.x∈（0.4）.当x=a时.f（x）取得最小值b.则函数7.（单选题.5分）已知函数f（x）=x-4+ 9x+1）|x+b|的图象为（）g（x）=（1aA.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：变形利用基本不等式即可得出a=2.b=1.利用函数g （x ）=（ 1a ）|x+b|为函数g （x ）=（ 12）|x+1|.关于直线x=-1对称.即可得出结论．【解答】：解：∵x∈（0.4）.∴x+1＞1．∴f （x ）=x-4+ 9x+1 =x+1+ 9x+1 -5≥2 √(x +1)•9x+1 -5=1. 当且仅当x=2时取等号.f （x ）的最小值为1． ∴a=2.b=1.∴函数g （x ）=（ 1a ）|x+b|为函数g （x ）=（ 12 ）|x+1|.关于直线x=-1对称． 故选：B ．【点评】：本题考查了变形利用基本不等式.考查数形结合的数学思想.属于中档题． 8.（单选题.5分）在直角坐标系xOy 中.对于点（x.y ）.定义变换σ：将点（x.y ）变换为点（a.b ）.使得 {x =tana y =tanb 其中 a ，b ∈(−π2，π2) ．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数y 1=2x （x ＞0）. y 2=x 2 (x ＞0) . y 3=e x (x ＞0) .y 4=lnx （x ＞1）在坐标系xOy 内的图象.变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ）A. ② . ③ . ① . ④B. ③ . ② . ④ . ①C. ② . ③ . ④ . ①D. ③ . ② . ① . ④ 【正确答案】：A【解析】：用x.y 表示出a.b.根据反正切函数的单调性得出各自图象的a.b 的范围及大小关系.从而得出答案．【解答】：解：由 {x =tana y =tanb 可得 {a =arctanxb =arctany .对于y 3=e x （x ＞0）.显然y 3＞1.∴b=arctany 3＞ π4 .∴y 3对应的图象为 ① ； 对于y 4=lnx （x ＞1）.a=arctanx ＞arctan1= π4 .∴y 4对应的图象为 ④ ； 对于y 1和y 2.当0＜x ＜2时.2x ＞x 2.∴arctan2x ＞arctanx 2. 即当0＜a ＜arctan2时.∴arctany 1＞arctany 2. ∴y 1对应的图象为 ② .y 2对应的图象为 ③ ． 故选：A ．【点评】：本题考查了反正切函数的性质.基本初等函数的性质.属于中档题．9.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取___ 名学生． 【正确答案】：[1]15【解析】：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．【解答】：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4. ∴高二在总体中所占的比例是 33+3+4 = 310 .∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本. ∴要从高二抽取 310×50=15 . 故答案为：15【点评】：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．10.（填空题.5分）在极坐标系中.直线ρcosθ-ρsinθ+1=0与圆ρ=2sinθ的位置关系为___ ． 【正确答案】：[1]直线与圆相交且过圆心【解析】：直线ρcosθ-ρsinθ+1=0化为普通方程为x-y+1=0.圆ρ=2sinθ化为普通方程为x 2+y 2-2y=0.圆心C （0.1）.半径r=1.圆心C （0.1）到直线x-y+1=0的距离d=0.由此得到直线与圆直交且过圆心．【解答】：解：直线ρcosθ-ρsinθ+1=0化为普通方程为x-y+1=0. 圆ρ=2sinθ化为普通方程为x 2+y 2-2y=0. 圆心C （0.1）.半径r=1.圆心C （0.1）到直线x-y+1=0的距离d= |0−1+1|2=0.∴直线与圆相交且过圆心．故答案为：直线与圆相交且过圆心．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系的判断.考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．11.（填空题.5分）某班级原有一张周一到周五的值日表.五位班干部每人值一天.现将值日表进行调整.要求原周一和周五的两人都不值这两天.周二至周四的这三人都不值自己原来的日期.则不同的调整方法种数是___ （用数字作答）． 【正确答案】：[1]24【解析】：由题意.先安排原周一和周五的两人.有A 32=6种.再安排周二至周四的这三人中.该天没有被值日的人.有A 21=2种.剩余2人.全排有A 22=2种.利用乘法原理可得结论．【解答】：解：由题意.先安排原周一和周五的两人.有A 32=6种.再安排周二至周四的这三人中.该天没有被值日的人.有A 21=2种.剩余2人. 全排有A 22=2种.共有6×2×2=24种. 故答案为24．【点评】：本题考查排列知识的运用.考查学生的计算能力.属于中档题．12.（填空题.5分）f （x ）是定义在R 上的偶函数.f （x+3）=- 1f (x ) .又当-3≤x≤-2时.f （x ）=2x.则f （11.5）=___ ． 【正确答案】：[1] 15【解析】：由f （x+3）=- 1f (x ) .求出函数的周期是6.再结合偶函数的性质.把f （11.5）转化为-1f (2.5).代入所给的解析式进行求解．【解答】：解：∵f （x+3）=- 1f (x ) .∴f （x+6）=- 1f (x+3) =f （x ）.则函数是周期为6的周期函数. ∴f （11.5）=f （2×6-0.5）=f （-0.5）=- 1f (2.5)∵f （x ）是定义在R 上的偶函数.当-3≤x≤-2时.f （x ）=2x.∴f （2.5）=f （-2.5）=-5. ∴f （11.5）= 15 ． 故答案为： 15 ．【点评】：本题考查了函数周期性和奇偶性的应用.即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式.将所求的函数值进行转化.转化到已知范围内求解.考查了转化思想． 13.（填空题.5分）函数f （x ）的定义域为实数集R.f （x ）= {(12)x −1，−1≤x ＜0log 2(x +1)，0≤x ＜3对于任意的x∈R 都有f （x+2）=f （x-2）．若在区间[-5.3]上函数g （x ）=f （x ）-mx+m 恰有三个不同的零点.则实数m 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] [−12，−16)【解析】：求出f （x ）的周期.问题转化为f （x ）和y=m （x-1）在[-5.3]上有3个不同的交点.画出f （x ）的图象.结合图象求出m 的范围即可．【解答】：解：∵f （x+2）=f （x-2）.∴f （x ）=f （x+4）. f （x ）是以4为周期的函数.若在区间[-5.3]上函数g （x ）=f （x ）-mx+m 恰有三个不同的零点. 则f （x ）和y=m （x-1）在[-5.3]上有3个不同的交点. 画出函数函数f （x ）在[-5.3]上的图象.如图示：.由K AC =- 16 .K BC =- 12 .结合图象得： m∈ [−12，−16) .故答案为： [−12，−16) ．【点评】：本题考查了函数的零点问题.考查数形结合思想以及转化思想.是一道中档题． 14.（填空题.5分）若函数f （x ）对其定义域内的任意x 1.x 2.当f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2.则称f （x ）为紧密函数.例如函数f （x ）=lnx （x ＞0）是紧密函数.下列命题： ① 紧密函数必是单调函数； ② 函数f （x ）=x 2+2x+ax（x ＞0）在a ＜0时是紧密函数；③ 函数f （x ）= {log 3x ，x ≥22−x ，x ＜2是紧密函数；④ 若函数f （x ）为定义域内的紧密函数.x 1≠x 2.则f （x 1）≠f （x 2）；⑤ 若函数f （x ）是紧密函数且在定义域内存在导数.则其导函数f′（x ）在定义域内的值一定不为零．其中的真命题是___ ． 【正确答案】：[1] ② ④【解析】：根据已知可得紧密函数f （x ）的自变量与函数值是一一映射.单调函数一定是紧密函数.但紧密函数不一定是单调的.由此逐一分析5个结论的真.可得答案．【解答】：解：∵函数f （x ）对其定义域内的任意x 1.x 2.当f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2.则称f （x ）为紧密函数.∴紧密函数f （x ）的自变量与函数值是一一映射.单调函数一定是紧密函数.但紧密函数不一定是单调的.故 ① 错误； f （x ）=x 2+2x+ax（x ＞0）在a ＜0时是单调递增函数.故一定是紧密函数.故 ② 正确；函数f （x ）= {log 3x ，x ≥22−x ，x ＜2不是一一映射.不是紧密函数.故 ③ 错误；若函数f （x ）为定义域内的紧密函数.x 1≠x 2.则f （x 1）≠f （x 2）.故 ④ 正确；函数f （x ）=x 3是紧密函数且在定义域内存在导数.则其导函数f′（x ）=3x 2在定义域内的值可以为零.故 ⑤ 错误； 故答案为： ② ④【点评】：本题考查的知识点是紧密函数的定义.正确理解紧密函数的概念.是解答的关键． 15.（问答题.0分）讨论函数f （x ）=（a-1）lnx+ax 2+1的单调区间．【正确答案】：【解析】：先求出函数的定义域.然后对函数f （x ）进行求导.根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a 分3种情况进行讨论【解答】：解：f （x ）的定义域为（0.+∞）.f′（x ）= a−1x +2ax= 2ax 2+a−1x.① 当a-1≥0时.f′（x ）＞0.故f （x ）在（0.+∞）单调增加； ② 当a≤0时.f′（x ）＜0.故f （x ）在（0.+∞）单调减少； ③ 当0＜a ＜1时.令f′（x ）=0.解得x= √1−a2a . 当x∈（0. √1−a2a ）时.f′（x ）＜0； x∈（ √1−a2a .+∞）时.f′（x ）＞0. 故f （x ）在（0. √1−a 2a ）上单调递减.在（ √1−a2a.+∞）单调递增．【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系.考查分类讨论思想.是一道中档题．16.（问答题.0分）春节期间.受烟花爆竹集中燃放影响.我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升.特别是在大气扩散条件不利的情况下.空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时.国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表（单位：微克/立方米）．（Ⅱ）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市.浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹．从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研.记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X.求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM 2.5浓度的方差分别为s 12和s 22.比较s 12和s 22的大小关系（只需写出结果）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值．（II ）以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原.上海.南京.杭州4个城市. 随机变量X 的所有可能取值为0.1.2.3．利用P （X=k ）= ∁4k ∁43−k∁83 .即可得出分布列.进而得到X 的数学期望EX ．（III ） s 12 ＜ s 22．【解答】：解：（Ⅰ）8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值 x =75+66+89+102+46+16+35+1318=70．（Ⅱ）以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原.上海.南京.杭州4个城市. 随机变量X 的所有可能取值为0.1.2.3．P （X=k ）= ∁4k ∁43−k ∁83 .可得：P （X=0）= 114 .P （X=1）=614 .P （X=k ）= 614. P （X=3）= 114 ． X 的分布列为：X 的数学期望EX=0× 14 +1× 14 +2× 14 +3× 14 = 2 ．（III ） s 12 ＜ s 22．【点评】：本题考查了平均数的计算公式、超几何分布列的概率计算公式与数学期望、方差计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.0分）如图.正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直.AB=2.∠ABC=60°.M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：EM⊥AD ；（Ⅱ）求二面角A-BE-C 的余弦值；（Ⅲ）在线段EC 上是否存在点P.使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45°.若存在.求出 EPEC的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）推导出EM⊥AB .从而EM⊥平面ABCD.由此能证明EM⊥AD ．（Ⅱ）推导出EM⊥MC .MC⊥AB .从而MB 、MC 、ME 两两垂直.建立空间直角坐标系M-xyz.利用向量法能求出二面角A-BE-C 的余弦值．（III ）求出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面ABE 的法向量.利用向量法能示出在线段EC 上存在点P.使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45°.且 EPEC = 23 ．【解答】：证明：（Ⅰ）∵EA=EB .M 是AB 的中点.∴EM⊥AB .（1分） ∵平面ABE⊥平面ABCD.（2分） 平面ABE∩平面ABCD=AB.EA⊂平面ABE. ∴EM⊥平面ABCD.（3分）AD⊂平面ABCD. ∴EM⊥AD ．（4分）解：（Ⅱ）∵EM⊥平面ABCD.∴EM⊥MC .∵△ABC 是正三角形. ∴MC⊥AB ．∴MB 、MC 、ME 两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系M-xyz ．（5分）则M （0.0.0）.A （-1.0.0）.B （1.0.0）.C （0. √3 .0）.E （0.0. √3 ）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1. √3 .0）. BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0. √3 ）. 设 m ⃗⃗ =（x.y.z ）是平面BCE 的一个法向量. 则 {m ⃗⃗ •BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0m ⃗⃗ •BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3z =0.令z=1.得 m ⃗⃗ =（ √3，1，1 ）.（7分）∵y 轴与平面ABE 垂直.∴ n ⃗ =（0.1.0）是平面ABE 的一个法向量．（8分） cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= 1√5×1= √55 .（9分）∴二面角A-BE-C 的余弦值为 √55 ．（10分）（III ）假设在线段EC 上存在点P.使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45°． AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0. √3 ）. EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0. √3，−√3 ）. 设 EP ⃗⃗⃗⃗⃗ = λEC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0 √3λ .- √3λ ）.（00≤λ≤1）. 则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3λ，√3−√3λ) .（11分） ∵直线AP 与平面ABE 所成的角为45°.∴sin45°=|cos ＜ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|= |AP ⃗⃗⃗⃗⃗，n⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= |√3λ|√1+3λ2+3−6λ+3λ2×1= √22 .由0≤λ≤1.解得 λ=23 .（13分）∴在线段EC 上存在点P.使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45°.且 EPEC = 23 ．（14分）【点评】：本题考查线线垂直的证明.考查二面角的余弦值的求法.考查满足条件的点是否存在的判断与求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想.考查创新意识、应用意识.是中档题．18.（问答题.0分）设函数f （x ）=xlnx ．（1）求曲线y=f （x ）在点（1.f （1））处的切线方程；（2）若 f (x )≥ax 2+2a (a ≠0) 在区间（0.+∞）上恒成立.求a 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）表示出切线方程.求出切点坐标.代入切线方程整理即可；（2）问题转化为lnx≥ax+2ax 在（0.+∞）恒成立.令ℎ(x)=lnx−ax−2ax≥0在（0.+∞）恒成立.根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】：解：（1）设切线的斜率为k.f'（x）=lnx+1.k=f'（1）=ln1+1=1. 因为f（1）=1•ln1=0.切点为（1.0）．切线方程为y-0=1•（x-1）.化简得：y=x-1．（2）要使：xlnx≥ax2+2a在区间（0.+∞）恒成立.等价于：lnx≥ax+2ax在（0.+∞）恒成立.等价于：ℎ(x)=lnx−ax−2ax≥0在（0.+∞）恒成立.因为ℎ′(x)=1x −a+2ax2=−a2x2+ax+2ax2=−a2(x+1a)(x−2a)ax2.① 当a＞0时. ℎ(1)=ln1−a−2a＜0 .a＞0不满足题意.② 当a＜0时.令h'（x）=0.则x=−1a 或x=2a（舍）．所以x∈(0，−1a )时h'（x）＜0.h（x）在(0，−1a)上单调递减；x∈(−1a ，+∞)时h'（x）＞0.h（x）在(−1a，+∞)上单调递增；当x=−1a 时ℎ(x)min=ℎ(−1a)=ln(−1a)+1+2 .当ln(−1a)+3≥0时.满足题意.所以-e3≤a＜0.得到a的最小值为-e3【点评】：本题考查了切线方程问题.考查函数的单调性以及函数求最值问题.考查导数的应用.分类讨论思想.转化思想.是一道综合题．19.（问答题.0分）已知椭圆M：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63.焦距为2 √2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A.B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1.求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（-2.0）.直线PA与椭圆M的另一个交点为C.直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C.D和点Q（- 74 . 14）共线.求k．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求得a 的值.即可求得b 的值.求得椭圆方程； （Ⅱ）当k=1时.设直线AB 的方程.代入椭圆方程.根据弦长公式即可求得|AB|的最大值； （Ⅲ）求得直线PA 的方程.代入椭圆方程.即可根据韦达定理即可求得C 点坐标.同理求得D 点坐标.即可求得 QC⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .根据向量的共线定理.即可求得直线AB 的斜率．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2 √2 .则c= √2 .椭圆的离心率e= c a = √63 .则a= √3 . b 2=a 2-c 2=1.∴椭圆的标准方程： x 23+y 2=1 ；（Ⅱ）设直线AB 的方程为：y=x+m.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.联立 {y =x +mx 23+y 2=1 .整理得：4x 2+6mx+3m 2-3=0.△=（6m ）2-4×4×3（m 2-1）＞0.整理得：m 2＜4.x 1+x 2=- 3m 2 .x 1x 2= 3(m 2−1)4 .∴|AB|= √1+k 2 √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √62 √4−m 2 .∴当m=0时.|AB|取最大值.最大值为 √6 ；（Ⅲ）设直线PA 的斜率k PA = y 1x1+2 .直线PA 的方程为：y= y 1x 1+2 （x+2）. 联立 {y =y 1x 1+2(x +2)x 23+y 2=1 .消去y 整理得：（x 12+4x 1+4+3y 12）x 2+12y 12x+（12y 12-3x 12-12x 1-12）=0.由 x 123+y 12=1 代入上式得.整理得：（4x 1+7）x 2+（12-4x 12）x-（7x 12+12x 1）=0.x 1•x C =-(7x 12+12x 1)4x 1+7 .x C =- 7x 1+124x 1+7 .则y C = y 1x 1+2 （- 7x 1+124x 1+7 +2）= y 14x 1+7 . 则C （- 7x 1+124x 1+7 . y 14x 1+7 ）.同理可得：D （- 7x 2+124x 2+7 . y 24x 2+7）. 由Q （- 74 . 14 ）.则 QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 14(4x 1+7) . 4y 1−4x 1−74(4x 1+7) ）. QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 14(4x 2+7) . 4y 2−4x 2−74(4x 2+7)）. 由 QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.则 14(4x 1+7) × 4y 2−4x 2−74(4x 2+7) = 14(4x 2+7) × 4y 1−4x 1−74(4x 1+7). 整理得：y 2-x 2=y 1-x 1.则直线AB 的斜率k= y 1−y2x 1−x 2 =1.∴k 的值为1．【点评】：本题考查椭圆的标准方程及性质.直线与椭圆的位置关系.考查韦达定理.弦长公式.向量的共线定理.考查转化思想.属于中档题．20.（问答题.0分）对于自然数数组（a.b.c）.如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差．如果（a.b.c）的极差d≥1.可实施如下操作f：若a.b.c中最大的数唯一.则把最大数减2.其余两个数各增加1；若a.b.c中最大的数有两个.则把最大数各减1.第三个数加2.此为一次操作.操作结果记为f1（a.b.c）.其级差为d1．若d1≥1.则继续对f1（a.b.c）实施操作f.….实施n 次操作后的结果记为f n（a.b.c）.其极差记为d n．例如：f1（1.3.3）=（3.2.2）.f2（1.3.3）=（1.3.3）．（Ⅰ）若（a.b.c）=（1.3.14）.求d1.d2和d2014的值；（Ⅱ）已知（a.b.c）的极差为d且a＜b＜c.若n=1.2.3.…时.恒有d n=d.求d的所有可能取值；（Ⅲ）若a.b.c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项.求证：存在n满足d n=0．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据极差的定义.结合（a.b.c）=（1.3.14）.可求d1.d2和d2014的值；（Ⅱ）分类讨论.由操作规则.尽快求出d n=d时.d的所有可能取值；（Ⅲ）先证明（a.b.c）的极差d0是3的倍数.依据操作f的规则.当在三元数组f i（a.b.c）（i=1.2.3.…x.x∈N）中.总满足c i是唯一最大数.a i是最小数时.一定有a+x＜b+x＜c-2x.解得x＜c−b 3；依据操作f的规则.当在三元数组f i（a.b.c）（i= c−b3. c−b3+1.… c−b3+y.y∈N）中.总满足c i=b i是最大数.a i是最小数时.一定有3a+c−b3 +2y＜c+2b3-y.解得y＜b−a3.即可得出结论．【解答】：（Ⅰ）解：由题意.d1=10.d2=7.d2014=2---------------------------（3分）（Ⅱ）解：① 当d=2时.则（a.b.c）=（a.a+1.a+2）所以f1（a.a+1.a+2）=（a+1.a+2.a）.d1=a+2-a=2.由操作规则可知.每次操作.数组中的最大数a+2变为最小数a.最小数a和次小数a+1分别变为次小数a+1和最大数a+2.所以数组的极差不会改变．所以.当d=2时.d n=d（n=1.2.3.…）恒成立．② 当d≥3时.则f1（a.b.c）=（a+1.b+1.c-2）所以d1=b+1-（a+1）=b-a＜c-a=d或d1=c-2-（a+1）=d-3所以总有d1≠d．综上讨论.满足d n=d（n=1.2.3.…）的d的取值仅能是2．---------------------（8分）（Ⅲ）证明：因为a.b.c是以4为公比的正整数等比数列的三项.所以a.b.c是形如m•4k（其中m∈N*）的数.又因为4k=（3+1）k=3k+ C k1•3k−1+…+1所以a.b.c中每两个数的差都是3的倍数．所以（a.b.c）的极差d0是3的倍数．------------------------------------------------（9分）设f i（a.b.c）=（a i.b i.c i）.不妨设a＜b＜c.依据操作f的规则.当在三元数组f i（a.b.c）（i=1.2.3.…x.x∈N）中.总满足c i是唯一最大数.a i是最小数时.一定有a+x＜b+x＜c-2x.解得x＜c−b3．所以.当i=1.2.3.… c−b3-1时.d i=c i-a i=（c i-1-2）-（a i-1+1）=d i-1-3．f c−b3（a.b.c）=（3a+c−b3. c+2b3. c+2b3）. d c−b3=b-a依据操作f的规则.当在三元数组f i（a.b.c）（i= c−b3 . c−b3+1.… c−b3+y.y∈N）中.总满足c i=b i是最大数.a i是最小数时.一定有3a+c−b3 +2y＜c+2b3-y.解得y＜b−a3．所以.当i= c−b3 . c−b3+1.…. c−a3-1时.d i=c i-a i=（c i-1-1）-（a i-1+2）=d i-1-3．f c−a3（a.b.c）=（a+b+c3. a+b+c3. a+b+c3）. d c−a3=0所以存在n= c−a3.满足f n（a.b.c）的极差d n=0．----------------------------（13分）【点评】：本题考查数列的应用.考查新定义.考查学生分析解决问题的能力.考查分类讨论的数学思想.难度大．。

北京市海淀区2019届高三上学期期中数学试卷（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|ln x|，f（﹣x）=ln|﹣x|=ln x=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sin x，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．3.函数满足，则的值是（）A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b即可得出．函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A. 7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】数列{a n }单调递增⇔a n +1＞a n ，可得：n +1+＞n +，化简解出即可得出．数列{a n }单调递增⇔a n +1＞a n ，可得：n +1+＞n +，化为：a ＜n 2+n ．∴a ＜2． 故选：C ． 8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ）A.B.C.D. 不能确定的【答案】A【解析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。