2020北京人大附中高二(上)阶段检测数学

2020北京人大附中高二（上）阶段检测

数 学

2020年9月25日

说明：本试卷21道题，共150分，考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将答案写在答题纸的相应位置上.

1.已知i 是虚数单位，复数z =(i +a )i ，且z z =，那么实数a 的值为（ ）

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

2.已知i 是虚数单位，复数121i i

--的虚部为（ ） A. 12- B. 32 C. 1

2i - D. 32

i 3.已知三条不同的直线l ,m ,n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）

A. 若l ∥α,l ⊥β则α⊥β

B. 若,l m m α⊂∥，则l ∥α

C. 若l ∥α,l ∥β则α∥β

D. 若m ∥α,n ∥α则m ∥n

4.已知平面向量a 和b ，则“b a b =-”是“1()02

b a a -⋅=”的（ ） A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.已知直线m ,n 不共面，则过n 且与m 垂直的平面（ ）

A. 有且只有一个

B. 有一个或不存在

C. 有一个或无数个

D. 不存在

6.已知向量a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是（ ）

A. a ⊥c , b ⊥c

B. a ∥b , a ⊥c

C. a ∥c , a ⊥b

D.以上都不对

7.在△ABC 中，2cos ,4,33

C AC BC ===，则cos B =（ ） A. 19 B. 13 C. 12 D. 23

9.在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP xAB y AC =+，AQ s AB t AC u AD =++，若x s y t

=，则下面表述中，线段AQ 与DP 的关系是（ ） A. AQ 与DP 所在直线是异面直线 B. AQ 与DP 所在的直线平行

C. 线段AQ 与DP 必相交

D. 线段AQ 与DP 延长后相交 9.在三棱锥T -ABC 中，TA ，TB ，TC 两两垂直，点T 在平面ABC 上的射影为D ，O 为三棱锥T -ABC 内任意一点，

连接OA ，OB ，OC ，OT 并延长，交对面于点A ’，B ’，C ’，T ’，

则：①TA ⊥BC ，TB ⊥AC ，TC ⊥AB ；

②△ABC 是锐角三角形； ③2

2

2

21()3

ABC TAB TAC TBC S S S S =++； ④''''1''''OA OB OC OT AA BB CC TT +++=； ⑤

22221111TD TA TB TC =++ 以上结论中正确结论有（ ）个

A. 2

B. 3

C. 4

D.5

10.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动

点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）

A. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题纸中相应横线上.

11.已知i 是虚数单位，若z =1+i ，则22z z -=

12.在平行六面体ABCD -A ’B ’C ’D ’中，∠BAD =∠A ’AB =∠A ’AD =60°，AB =3，AD =4，AA ’=5,则AC ’=

13.在△ABC 中，三边长分别为a =4,b =5,c =6,则△ABC 的最大内角的余弦值为

, △ABC 的面积为

14.如图，在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底

面ABC 内的动点，且1A P ∥平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为

15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD

（I ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为

（II ）线段AP 长度的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸中相

应位置上.

16.（本小题13分）

已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=，

（1）求14z i +-的最小值与最大值；

（2）若4z z

+为实数，求z 的值 17.（本小题13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,45a c B ===

（1）求sin C 的值；

（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5

ADC ∠=-，求tan ∠DAC 的值 18.（本小题14分）

在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222cos()sin cos b a c A C ac A A

--+= （1）求角A ；

（2）若a =bc 的取值范围

19.（本小题15分）

如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ，M 分别为线段AD ，DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE =DE ，AE ⊥DE

（1）求证：CM ∥平面ABE ；

（2）求直线CM 与BD 所成角的余弦值；

（3）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长