利用an与sn的关系解题

等差数列中S n 与a n 间的 重要关系及其应用“设S n、a n分别是等差数列｛a n｝的前n 和与通项，则它们之间有如下的重要关系：S n =（kn ）a n ，其中k 是非零实数，n 是正整数。

”我们知道，等差数列｛a n ｝的前n 和S n 、通项a n 分别有如下的表达式：⑴ S n =na 1- n(n-1)2 d ，其可等价变形为S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ，它是关于n 的二次函数且不含常数项，一般形式是：S n =An 2+Bn ，其中A 、B 是非零待定系数；⑵ a n = a 1 +（n-1）d ，其可等价变形为a n =dn+（a 1 -d ），它是关于n 的一次函数，一般形式是：a n =an+b ，其中a 、b 是非零待定系数；通过对等差数列｛a n ｝前n 和S n 的一般形式S n =An 2+Bn 与其通项a n 的一般形式a n =an+b 的观察分析，不难得出S n 与a n 之间有这样的重要关系式：S n =（kn ）a n 。

S n 与a n 相互关系的应用举例：［例1］在等差数列｛a n ｝中，a 4=0.8,a 11=2.2,求a 51+a 52+…+a 80.【解】 由等差数列的通项公式得⎩⎨⎧=+=+2.2108.0311d a d a ,解得a 1=0.2,d =0.2.∴a 51＋a 52+…+a 80=S 80－S 50 =80a 1+d a d 2495050279801⨯--⨯=30a 1+1935d =30×0.2+1935×0.2=393. 【点评】 本题求解分两个层次，首先由已知求出a 1和d ，再将所求转化为S 80－S 50，这是解题的关键.［例2］根据数列｛a n ｝的前n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列. (1)S n ＝2n 2－n (2)S n ＝2n 2－n ＋1【解】 (1)a 1＝S 1＝1 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－n )－［2(n －1)2－(n －1)］＝2(2n －1)－1＝4n －3∵n =1 时也成立，∴a n ＝4n －3 a n ＋1－a n ＝［4(n ＋1)－3］－［4n －3］＝4∴｛a n ｝成等差数列(2)a 1＝S 1＝2 a 2＝S 2－S 1＝5 a 3＝S 3－S 2＝9 ∵a 2－a 1≠a 3－a 2 ∴｛a n ｝不是等差数列.【点评】 已知S n ，求a n ，要注意a 1＝S 1，当n ≥2时a n ＝S n －S n －1， 因此a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2( )1(11n S S n S n n.练习: 已知等差数列{a n }的前项和S n 满足条件：S n =2n 2+3n ，求此等差数列的通项a n解: 根据等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数且不含常数项,即S n = d 2n 2+(a 1-d 2 )n,并结合已知条件等差数列{a n }的前项和S n =2n 2+3n 立有, d2 =2且a 1-d2=3, 解之得 a 1=5，d=4，于是便得所求等差数列的通项a n =4n+1. ［例3］已知等差数列｛a n ｝满足：S p ＝q ，S q ＝p ，求S p ＋q (其中p ≠q ). 【解】 由已知S p ＝q ，S q ＝p 得 pa 1＋q d p p =-2)1( ① qa 1＋p d q q =-2)1( ② ①－②整理得2)1(21dq p a -++＝－1∴d q p q p a q p S q p 2)1)(()(1-++++=+＝(p ＋q )2)1(21d q p a -++＝－(p ＋q ) 【点评】 本问题即是在a 1、d 、n 、a n 、S n 中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；也可考虑设S n ＝An 2＋Bn 去求解. 例4 有两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，其前n 和分别为S n 、 T n ，并且n n T S =7n+2n+3 ,求:⑴ 55b a 的值；⑵115b a的值分析:由等差数列可知,其前n 项和是关于n 的二次函数且不含常数项；根据已知条件,两个等差数列前n 项和的比的结果是关于n 的一次因式,说明它们在相比的过程中约去了一个共同的因式kn ，于是，我们只要将其还原，即可得到两个等差数列的前n 项和，再对照等差数列前n 项和的二次函数形式：S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ，很快便可得到其首项、公差与通项，进而由等差数列通项公式求出数列中的任意一项。

对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用S表示时，记作S= a i+ a2+・・・+禺，此时通项公S，n= 1,式a n= .Si—S T, n》2而对于不同的题目中的a n与S的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用◎= S— S-1 (n》2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n与S相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的S，求a n；角度二：客观运用a n= S—S—1 (n》2)，求与如S有关的结论；角度三：a n与S的延伸应用.方法：已知 $求a n的三个步骤(此时S为关于n的代数式)：(1) 先利用a i= S求出a i ；(2) 用n—1替换S中的n得到一个新的关系，利用a n = S—S—1 (n》2)便可求出当n》2时a n的表达式；(3) 对n= 1时的结果进行检验，看是否符合n》2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n = 1与n》2两段来写.同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S求解.女口：a+ 2a2+ 3a s+ — + na n= 2n—1，其中a+ 2比+ 3a s+^+ na n表示数列｛na n｝的前n 项和.1.已知数列｛a n｝的前n项和S= n2—2n+2,则数列｛a()n｝的通项公式为A. a n = 2n —3 B . a n= 2n+ 31, n= 11, n= 1C. a n = D . a n =2n —3, n》22n+ 3, n》2【解析】当n》2时，a n = S n —S n—1 = 2n—3 .当n = 1时，a1= S = 1,不满足上式.【答案】C2. (2015 •河北石家庄一中月考)数列｛a n｝满足：a1+ 3a2+ 5&+…+ (2 n—1) • a n= ( n—1) • 3n+1+ 3( n € M)，则数列的通项公式a n= _____________ .【解析】当n》2时，a1 + 3a2 + 5a3+-+ (2n —3) • a n—1= (n —2) • 3n+ 3；则用已知等式减去上式得(2 n—1) • a n = (2n—1) • 3,得a n= 3 ；当n = 1 时，a i = 3,满足上式；故a n = 3.【答案】a n= 3n3. ____________________________________________________________________________________ (2015 •天津一中月考)已知｛a n｝的前n项和为S,且满足log2(S+1) = n +1，贝U a n= ______________________________ .【解析】由已知得S+ 1= 2n+1,贝U S= 2n+1—1;当n》2 时，a n= S—S—1= 2n+1—1 —2n+ 1 = 2n;当n3, n= 1=1时，a1 = S1 = 3，不满足上式；故a n= n.2 , n》23, n= 1【答案】a n= n2 , n》24. (2015 •四川成都树德期中)已知｛a n｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5= 45, a2 + a6= 14.(1) 求｛a n｝的通项公式；b b2 b n(2) 若数列｛b n｝满足：空+ 尹…+ 2 = a n+ 1(n€ M)，求｛b n｝的前n项和.【解】(1)设等差数列｛a n｝的公差为d,则d>0,由a2+ a6= 14,可得a4= 7由a3a5= 45,得(7 —d)(7 + d) = 45,解得d= 2 或d=—2(舍)a n= a4+ ( n—4) d= 7+ 2( n —4)，即a n= 2n—1.b n(2) 令6=尹贝U C1+ C2+ C3+ — + C n= a n+ 1 = 2n ①当n》2 时，d+ C2+ C3+・・・+ C n-1= 2( n—1) ②由①一②得，C n= 2,当n= 1时，C1= 2，满足上式；b n n 亠 1贝U C n= 2(n€ N*)，即戸=2, . b n= 2 + ,故数列｛b n｝是首项为4，公比为2得等比数列，4(1 —2n) n+2•••数列｛b n｝的前n项和S n= = 2 +—4.1 —2此类题目中，已知条件往往是一个关于a n与S n的等式，问题则是求解与a n, S有关联的结论.那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留a n,还是S.那么，主要从两个方向利用a n= S n—S n- 1( n》2):方向一：若所求问题是与a n相关的结论，那么用S—S—1 = a n ( n》2)消去等式中所有S与S n—1，保留项数a n,在进行整理求解；1. (2015 •广州潮州月考)数列｛a n｝的前n项和记为S, ai = 1, a n+1= 2S+ 1(n》1, n€ N*)，则数列的通项公式是.【解析】当 n 》2 时，a n = 2S — i +1,两式相减得 a n +i — a n = 2( S — S —J ,即 a n +1 — a n = 2a n ,得 a n +1 = 3a n ；当n = 1时，a 2= 3，则a 2= 3a i ,满足上式；故｛a n ｝是首项为1,公比为3得等比数列，二a n = 3 I . 【答案】a n = 3n — 12.数列｛a n ｝的前 n 项和为 S,若 a n +1 = — 4S +1, a 1= 1. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 设b n = na n ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .【解】(1)当 n 》2 时，a n = — 4S —1 + 1,又 a n +1 = — 4S + 1,又 a 2 = — 4a 1 + 1 = — 3, a 1 = 1,•••数列｛a n ｝是首项为a 1= 1,公比为q =— 3的等比数列,⑵由(1)可得b n = n • ( — 3)T n = 1 • ( — 3)0+ 2 • ( — 3)1 + 3 • ( — 3)2 +•••+ (n — 1) • ( — 3)n —2 + n • ( — 3)n —1,—3T n = 1 • ( — 3)1 + 2 • ( — 3)2+…+ (n — 2) • ( — 3)n —2 + (n — 1) • ( — 3)n —1+ n ( — 3)n ,1 2 n — 1n.•4 T n = 1 + ( — 3) + ( — 3) +…+ ( — 3)— n ，( — 3),16方向二：若所求问题是与 S 相关的结论，那么用 &= S — S —1 (n 》2)消去等式中所有项数 a n ,保留S 与$-1，在进行整理求解.11. 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S 且满足a n + 2S • S-1 = 0( n 》2) , a 1=玄1(1) 求证：—是等差数列； (2) 求a n 的表达式.【解】(1)证明：••• a n = S — S-1( n 》2)，又 a n =— 2S • S-1,• S n - 1 — Si = 2S n • Si - 1 , S n M 0 .11因此疋―W= 2( n 》2).S 1 S 1— 111 1故由等差数列的定义知$是以&=一=2为首项，2为公差的等差数列.Si S 1 a 11 1 1(2)由(1)知S = S + (n — 1)d = 2 + (n — 1) x 2= 2n ,即 S =亦.1当 n 》2 时，a n =— 2S • Si —1 =—2n (n — 1)I又T a 1 = ，不适合上式.a n= ( — 3)n — 11 — (4n + 1)( — 3)所以, T n =--a n +1 — a n = —4a即—3(n 》2),12， n = 1,2. (2015 •江西名校联盟调考)已知正项数列｛a n ｝的前n 项和为S ,且a 2— 2S a n + 1 = 0. (1) 求数列｛S ｝的通项公式；1 1 1 一 1 2(2) 求证：$+疋+…+Q >2(S+I — 1).(提示： 一 > ------------------------ )o ! S2 Sn寸 n 寸 n +1+寸 n【解】(1) T a n = S1— Si -1 (n 》2)，由 a n — 2S n a n +1 = 0,得(S — S —1)2— 2S n (S n — S —1) + 1= 0,整理得 S 2— S 2— 1= 1 . 当 n = 1 时，a 1 — 2Sa 1 + 1 = 0,且 a 1 >0，解得 a = 1, 故由等差数列的定义知｛S n ｝是以1为首项，1为公差的等差数列. • S n = n ,则 S n = n . 亠 & 1 1 22 ,—— 厂⑵由⑴知十=丽>$+讦=2("—回，• S + S +…+ S >2( .2 — 1) + 2( 3 — 2) +…+ 2( n + 1— , n) = 2( n + 1 — 1) 即 1 + 2+…+ 1 > 2(S n + 1— 1)【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握.S , n = 1, 解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义，还需要对a n =关S n — S n - 1 , n系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换.当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向. 方向一：关于双重前n 项和此类题目中一般出现“数列 ｛a n ｝的前n 项和为S,数列｛S ｝的前n 项和为T n ”的条件，在解答时需要 确定清楚求的是与 a n , S n , T n 中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向.但一般是求解最底层的/ .1. (2015 •湖北武汉质检)设数列｛a n ｝的前n 现和为S ，数列｛S ｝的前n 项和为T n ,满足T n = 2S — n 2,n € N*.(1) 求a 1的值；(2) 求数列｛a n ｝的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时，T 1= 2S — 1,且 T 1 = S = a 1,解得 a 1= 1,(2)当 n 》2 时，S n = T n — T n -1= 2S — n — [2 S -1 — (n — 1) ] = 2S — 2S n -1 — 2n + 1a n =1 2n (n — 1)n 》2.i +1 i歹(1 -尹)n + 1_3尹=2n + 3 3盯v 2--S n = 2Si -1 + 2n — 1①则 S+1 = 2S + 2n +1②由②一①，得 a n +i = 2a n + 2,••• a n + 2 = 3 - 2n -1，贝y a n = 3 • 2n -1-2(n € N*).2• (2015 •安徽滁州期末联考)设数列｛a n ｝的前n 项和为S,数列｛S n ｝的前n 项和为T n ,且2T n = 4S n -2(n + n ), n € N*.(1) 证明：数列｛a n + 1｝为等比数列；n +1(2) 设 b n =■ ~-，证明：b 1 + b 2+^+ b n v 3.a n + 1【解】(1)当 n = 1 时，2T 1 = 4S - 2，且 T 1 = S= a 1,解得 a= 1,当 n = 2 时，212= 2(a + ◎ + a ?) = 4(a+ a ?) — 6,解得 a ?= 3, 当 n >2 时，2T n -1= 4S n -1-[( n — 1) + (n - 1)]• 2S = 2T n - 2T n -1 = 4S — (n + n ) — 4S -1 + [( n — 1) + ( n — 1)] 整理得s= 2S n -1 + n ① 则 S n +1 = 2S + n + 1②由②一①，得 a n +1 = 2a n + 1 ,a n + 1 + 1• a n +1 +1= 2(a n + 1)，即——=2(n 》2),a n + 1•数列｛a n +1｝是首项为2,公比为2的等比数列,(2)由(1)知，a n + 1 = 2n ,贝 y b n =号1则 b 1+ b 2+-+ b n = |+ 22 + 壬…+2 2 2令T n = 2 +斗芬+专，① 则扣=|+1+寺…+ 7+齐，②,—+ 1 1 1 1 1 n +1由①一②，得2几=1+戸+戸+尹••+歹一I ^+Ta n +1 + 2K+I=E 2),易求得， a i + 2= 3, a 2 + 2= 6,贝U=2 ,显然a ?+ 1 a 1 + 1n + 12 ，a n + 1 + 2= 2( a n + 2), 即•••数列｛a n + 2｝是首项为3,公比为2的等比数列,1 则 T n V 3，即 b i + b 2+…+ b n v 3.方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解求数列｛a n ｝的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时，「= 2S — 1;又 T 1 = S = a 1,__22(2)当 n 》2 时，S n = T n — T n — 1 = (2 S n — n ) — [2 S n —1 — (n — 1) ] = 2S n — 2 Si — 1 — 2n + 1,整理得s= 2$-1 + 2n — 1①•- S n + 1 = 2S n + 2n + 1②由②一①，得 a n +1 = 2a n + 2又 T 2= 20— 4;得 a 2= 4a 1 + 2当 n = 1 时，a1+ 2 = 3,比+ 2= 6,则市=2,•••数列｛a n + 2｝是以3为首项，2为公比的等比数列. 则 a n + 2 = 3 ・2“ 1,所以 a n = 3 ・2“ 1 — 2. 已知数列｛ a n ｝的各项均为正数，前n 项和为$,且S= a （a J ° , n € N*.1设 b n = 2S ， T n = b + b 2+…+ b n ,求 T n .a 1 (a 1 + 1)【解】(1)由已知得，当n = 1时，a 1 = S =2 ( &> 0) , - a 1= 1.22S a n + a n ,当n 》2时，由cc 22Si —1 = a n — 1 + a n — 1得 2a n = a n + ai — a n - 1 — a n —1 . 即(a n + a n -1)( a n — a n — 1 — 1) = 0,a n + a n —1 >0, • a n — a n — 1 = 1( n 》2).所以数列｛a n ｝是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)可得 a n = n , $= n(ri+ ° , b n = 2 =1——=-—^^22S n (n + 1) nn +1此类问题大多数时候会伴随"各项均为正数的数列｛a n ｝ ”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍.（2015 •山东青岛一模）各项均为正数的数列2｛a n ｝满足 a n = 4S — 2a n —1( n € N*)，其中 S 为｛a n ｝的n 项和. (1) 求a i , a 2的值;则 a 1= 2a — 1，解得 a 1= 1 ；...a n + 1 + 2= 2( a n + 2)，即 a n + 1 + 2K =2(n > 2)(1) 求证：数列｛a n ｝是等差数列;方向三：需对已知等式变形后，再求解1. (2015 •江西五校联考)已知正项数列｛&｝中，其前n 项和为S ,且a n = 2西一1. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；1(2) 设 b n =, T n = b 1 + b 2+ b 3+…+ b n ,求 T n .a n • a n+1【解】(1)由已知得，4S = (a n + 1)2.当 n 》2 时，4S —1= (a n -1+ 1)2,2222则 4S1 — 4S n - 1 = (a n + 1) — ( a n - 1 + 1)，整理得(a n — 1) — ( a n - 1 +1) = 0 ,..(a n — a n — 1 — 2)( a n + a n — 1) = 0 又 a n > 0，贝U a n — a n — 1 = 2,2当 n = 1 时，4S = (a 1 +1)，得 a 1 = 1 ； 故数列｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列;--a n = 2n — 1.1 111 1 12 1 —3 + 3 — 5 +…+ 2n — 1 — 2n + 1 1 1 n 2 1 — 2n + 1 = 2n + 12. (2015 •浙江温州中学月考)设数列｛a n ｝的前n 项和为S,已知a 1 = 2, a 2= 8, $+1 + 4S -1= 5$(n 》2) , T n 是数列｛log 2a n ｝的前n 项和.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求 T n .【解】(1)当n 》2时，S+1+ 4S —1= 5S ,..S n + 1 — Si = 4( S n — S n — 1)，即 N n + 1 = 43n , 当 n = 1 时，a 2= 4a 1；故数列｛a n ｝是以2为首项，4为公比的等比数列.n —12n —1a n = 2 • 4 = 2.2n 一 1(2)由(1)可知 log 2a n = log 22 = 2n — 1,111 1 ...T n = b 1 + b 2+ b 3+ …+ b n = 1—石 + 石一厅+…+ - 2 2 3 n1 1 nn =1—nnn n T! •1 1 1⑵由(1)可得"=K =犷* — 1 1 2 2n —11 2n + 1，T n =+ £ + £ +…+ b 1 b 2 b 31b n•- A n =1 — q n1 — q ，4. (2015 •辽宁沈阳诊断考试)设数列｛a n ｝的前n 项和为S, a 1= 10, a n +1 = 9S + 10. (1)求证：｛lg a n ｝是等差数列；⑵设Tn 是数列(lg a n )(lg a n +!)的前n 项和，求Tn ；1 2⑶ 求使T n >4(m i — 5m )对所有的n € N*恒成立的整数 m 的取值集合.【解】(1)证明：当n 》2时，&= 9S — 1+ 10,/• T n = log 2a i + log 2a ?+ log 2a 3+・・・+ log 2a n=1 + 3+ 5+…+ 2n — 1n (1 + 2n —1) 23. (2015 •江西三县联考)已知数列｛a n ｝的各项均为正数， 记A (n ) = a i + a 2+-+ a n , B ( n )=a 2 + a 3+…+ a n +1, C ( n )= a 3 + a 4 +…+ a n +2,其中 n € N .(1)若a 1= 1, a 2 = 5,且对任意n € N ，三个数A (n ),巳n ) , C (n )依次组成等差数列，求数列｛a n ｝的通项公式;⑵ a 1 = 1,对任意n € N*，三个数A (n ),耳n ) , C (n )依次组成公比为 q 的等比数列，求数列｛a n ｝的前n 项和A.【解】(1) •••任意n € N*，三个数A (n ) , B ( n ) , C (n )依次组成等差数列，••• B ( n ) — A ( n ) = C ( n ) — B ( n ),贝V a n +1 — a 1 = a n + 2— a 2，即卩 a n + 2— a n +1 = a 2— a 1 = 4, 故数列｛ a n ｝是首项为1，公差为4的等差数列；•- a n = 1 + (n — 1) x 4 = 4n — 3.(2)若对任意n € N*，三个数A (n ),B ( n ),C (n )依次组成公比为q 的等比数列,• B (n ) = qA (n ), C ( n ) = qB (n ), 则 C (n ) — Rn ) = q [Bn ) — A ( n )],得 a n + 2— a 2= q (a n +1 — a 1)，即 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa 1 , 当 n = 1 时，由 耳1) = qA (1),可得 a 2= qa ； a n +2 a 2 则 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa = 0，又 a n >0，则—==q ,a n +1 a 1故数列｛a n ｝是以1为首项，q 为公比的等比数列.a n + 1 a n + 1 — a n = 9( S n — S n _1)，贝U a ・+ 1= 10a n ,即 =10,a n当 n = 1 时，a 2= 9a 1+ 10= 100，则竺=10, a 1故数列｛a n ｝是以10为首项，10为公比的等比数列.a n = 10：贝y ig a n = n ,--lg a n +1 — Ig a n = n + 1 — n = 1,故数列｛Ig a n ｝是首项为1,公差为1的等差数列.- 3 11⑵解：由(1)知 --=——=3 -—(Ig a n ) (lg a n +1)n n +1 n1 1 1 1 1 1• Tn =31 —1+1—3+…+ n —市=31—市3n3⑶Tn =市=3—市，3•••当n = 1时，T n 取最小值2-依题意有|>治—5n ），解得一1v m< 6, 故整数m 的取值集合为｛0,1,2,3,4,5｝1. （2015 •江苏扬州外国语中学模拟 ）已知数列｛a n ｝的前n 项和S = 2n — 3,则数列｛a n ｝的通项公式为 __________ .【解析】当n 》2时，a n = Si — Si -1 = I — 3— I 1 + 3 = I 1.当n = 1时，a 1= S = — 1,不满足上式.—1, n =1【答案】a n = n — !2, n 》2a 2a n 2n2. （2015 •辽宁沈阳二中月考）已知数列｛a n ｝满足a 1 + - +…+ -= a — 1，求数列｛a n ｝的通项公式. 【解】当n 》2时，a 1 +号+…十-^7 = a 2n —2 — 12 n — 1an2n 2n — 2 2 2n —2由已知等式减去上式，得 -=a — 1 — a + 1 = （a — 1）a ,n —2…a n = n （a — 1） a ,3 （2015 •安徽江淮十校联考）已知函数f （x ）是定义在（0,+^ ）上的单调函数，且对任意的正数x .y 都有 f (x • y )= f (x ) + f (y )，若数列｛a n ｝的前 n 项和为 S,且满足 f(S + 2) — f (a n )= f (3)( n € M)，则 a n3nn +^.当n = 1时，a 1= a 2— 1,满足上式；.2八 2n—2• a n = n （a — 1） a .n — 1A. 2C. 2n—1【解析】由f(x • y)= f (x) + f(y) , f (S+ 2) —f(a n)= f (3)，得S+ 2 = 3a n, S—1+ 2= 3a n—1 (n》2),3 两式相减得2a n= 3a n—1 ；当n= 1时，S + 2= 3a1= a1 + 2，则a1= 1 .所以数列｛a n｝是首项为1,公比为q的等比数列.3 n 1 【答案】a n= 2 n—134. （2015 •辽宁鞍山二中期中）设数列｛a n｝是等差数列，数列｛b n｝的前n项和S满足S=^（b n—1），且a2 = b1, a5= b2.(1) 求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2) 设C n= a n • b n, T n 为｛C n｝的前Fl 项和，求T n .3【解】(1)当n >2 时，S n— 1 = 2(b n—1—1),3 3 亠则b n= S n—S n—1= ^( b n—1) —?(b n —1- 1)，整理得b n = 3b n—13当n= 1 时，b1 = ^（匕一1），解得b1= 3 ；故数列｛b n｝是以3为首项，3为公比的等比数列.b n= 3,设等差数列｛a n｝的公差为d,由a2= b1= 3, a5= b2= 9,a1 + d = 3,则解得d= 2, a1 = 1，—a n= 2n—1,a1 + 4d= 3,a n= 2n—1,b n= 3.(2)由(1)知C n= a n • b n= (2n —1) • 3n,• T n= 3 + 3 • 32+ 5 • 33+…+ (2 n—1) • 3n，①3T n= 3 2+ 3 • 33+ 5 • 34+…+ (2 n —3) • 3n+ (2n—1) • 3n+1,②由①一②，得—2T n= 3+ 2(3 2+ 33+…+ 3n ) —(2 n—1) • 3n+1【解析】由已知1 n》2时，a n= 2S1-1①当n》3时,①—②整理得a n1,n= 1,=3 ( n》3), • a n = n- 2a n—12X3 ,n》2.1,n= 1,【答a n =n 22X3 ,n》2.(2015 •广东桂城摸底6.a n- 1 = 2S1 -2 ②B. nD.=3+ 2X2 n —1、3 (1 —3 )—(2n—1) 3n+1(2 —2n) • 3n+1—6,)已知各项均为正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S,且a ：+ a n = 2S .(1) 求a i ；求数列｛a n ｝的通项公式; ⑶若b n=-5n € N*) , T n = b 1+ b 2+・・・+ b n ,求证：T n < -.提示:31 1n "< 2 2n — 1 2n +12【解】(1)当 n = 1 时，a i + a i = 2S ，且 a n > 0，得 a i = 1 ；(2) 当 n 》2 时，a n -1 + a n —1 = 2S -1 ①；且 ai + a n = 2S n ②;由②一①，得(a n +a n — 1)( a n — a n — 1— 1) = 0, 又 a n > 0，贝U a n — a n -1= 1,故数列｛a n ｝是首项为1，公差为1的等差数列;1 1⑶证明：由⑵知，b n = 2=「a n2,5当n = 1时，b 1= 1 <3，不等式成立; 11 41当 n 》2 时，孑< Yl = 4n 2— 1 = 2 乔 12n + 1，n —41 1 12 5• Tn =b1+b+・・+ bn =1+尹尹•••+ 冷v 1 + 2 3—才5—7^+ 冇—市 <1 +3=3, 3 555• Tn < 32 *7. (2015 •大连双基测试)已知数列｛a n ｝的前n 项和S = n +2n +1(n € N)，贝U a n= ______________________________ .4, n = 1, 【解析】当 n 》2 时，a n = Si — S n -1 = 2n + 1,当 n = 1 时，a 1 = S = 4去2x 1 + 1,因此 a n =2n +1, n 》2.4, n = 1【答案】2n + 1, n 》21& (2014 •烟台一模)已知数列｛a n ｝前n 项和为S n ,首项为a 1,且刁a n , $成等差数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；11 1【解】(1) T 2， a n , S 成等差数列，二2a n = S n + 2,t丄11 当 n = 1 时，2a 1 = S + 2，二已1= 2，t丄1 1当 n 》2 时，S n = 2a n — 2， S n - 1 = 2a n — 1 — 2，a n 两式相减得：a n = Si — S —1 = 2a n — 2 a n — 1,「. —= 2,a n — 11 1所以数列｛a n ｝是首项为2，公比为2的等比数列，即a n = 2"n —1 = 2n —2.(2) T b n = (log 2a 2n +1)x (I og 2a 2n + 3)= (log 222n +1—2) x (log 222n +3—2) = (2 n —1)(2 n +1),1 1 1 1 1 1/.——= x =— ,b n 2n — 12n + 12 2n — 1 2n + 11数列 的前n 项和b n1 11 11 111 1111 n1b 1 +b 2+b 3+ +b n 213 + 3 5 ++2n — 12n +12 12n +12n +19. __________________________________________________________________________ (2014 •山西四校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S , S= 2a n — n ,贝U a n = ____________________________________________________________ .【解析】当 n 》2 时，a n = S n — S n —1 = 2a n — n — 2an —1 + (n — 1)，即 a n = 2a n — 1 + 1, • a n +1 = 2( a n —1 + 1), •数列｛a n +1｝是首项为a 1+ 1 = 2,公比为2的等比数列，• a n +1 = 2・2 n —1= 2n ,「. a n = 2n — 1.【答案】2n — 1n 2 + n *10. (2014 •湖南卷)已知数列｛a n ｝的前n 项和S= —, n € N .(1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵ 设b n = 2a n + ( — 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和.【解】(1)当n = 1时， a 1 = S 1 = 1 ；当n 》2时， 22小 cn + n n — 1 + n — 1a n Si Si-12 2 n .又a 1= 1满足上式，故数列｛a n ｝的通项公式为a n = n .(2)由(1)知，b n = 2n + ( — 1)n n ,记数列｛b n ｝的前2n 项和为Tm ,_122n则 T 2n = (2 + 2 +…+ 2 ) + ( — 1 + 2— 3+ 4—…+ 2n ).B= ( — 1 + 2) + ( — 3+ 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n ] = n .故数列｛b n ｝的前 2n 项和 T 2n = A + B= 22n +1 + n — 2.11.已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， a 3= 4, ｛a n ｝的前3项和为7.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；记 A = 21+ 22 +…+ 22n ,B=— 1 + 2 — 3+ 4-…+ 2n ,则 A =-2n1 —2 1 — 2=22n +1n1111 ⑵ 若ab + a 2b 2 + ・・・+ a n b n = (2 n — 3)2 n + 3,设数列｛ b n ｝的前n 项和为 S,求证：+…+2—- .S 1 S 2Si na*1 q 4,a*1 1,【解】 ⑴ 设数列｛a n ｝的公比为q ,由已知得q >0,且/•a 1 + ag + 4= 7,q = 2.•••数列｛a n ｝的通项公式为a n = 2n —1.(2)【证明】当n = 1时，a1b = 1,且a 1 = 1,解得b 1 = 1.当 n 》2 时，a n b n = (2n — 3)2 n + 3 — (2 n — 2 — 3)2 n — 1 — 3 = (2n — 1)・2 n — 1. a n = 2 1 ,•当 n 》2 时，b n = 2n — 1.■/ b 1= 1 = 2x 1 — 1 满足 b n = 2n — 1,•数列｛b n ｝的通项公式为 b n = 2n —1(n € N *). •数列｛b n ｝是首项为1，公差为2的等差数列.•- S n = nl1 1 •••当 n = 1 时，S = 1 =2 — 1t」1 1 1 1 当 n 》2 时，S = n 2< n (n — 1) =n —1 1 1 1 1 1 1 1 1• ◎+S 2+…+ 亍2—1+厂 2+…+ n — - n =2—n 12.设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S , a 1 = 1, a n = + 2 (n — 1) ( n € N). n(1)求证：数列｛a n ｝为等差数列，并分别写出 a n 和S 关于n 的表达式；请说明理由.*【解】(1)由 a n = n + 2( n — 1)，得 S = na n — 2n ( n — 1) ( n € N).当 n 》2 时，a n S n — S n — 1 na n — (n — 1) a n — 1 — 4( n — 1)，艮卩 a n — a n —1 4, 故数列｛a n ｝是以1为首项，以4为公差的等差数列.a 1 + a n n 2*a n =4n — 3, S = = 2n — n ( n € N).(2)由 S n = na n — 2n ( n — 1)，得—=2n — 1 ( n € N),$ S 3 S 1 2 2 2 2又 s+ 2 + 3 +…+ n — (n — 1) = 1 + 3 + 5 + 7+-+ (2n — 1) — (n — 1) = n —(n — 1) = 2n — 1.令2n — 1 = 2 013，得n = 1 007，即存在满足条件的自然数n = 1 007 .(2)是否存在自然数n ,S ? S 3Si…使得S+ 2+ 3+…+ -—(n — 1)2= 2 013?若存在，求出n 的值；若不存在,于是,1. 已知$为正项数列｛a n ｝的前n 项和，且满足 S = 2a n + ?a n (n € N *).⑴求a i , a 2, a 3, a 4的值;⑵求数列｛a n ｝的通项公式.1 2 1 1 2 1【解】(1)由$=，a n + 2a n ,可得a 1 = 2^+空31，解得◎= 1 ；1 2 1S= a + a 2= 2a 2 + g a ?，解得 a 2 = 2；同理,1 2 1当 n 》2 时，S n - 1= 2 a n -1 + ^a n - 1,②①一②得(a n — a n -1 — 1)( a n + a n -1)= 0 .由于 a n + a n -1 工 0，所以 a n — a n -1 = 1, 又由(1)知a 1= 1, 故数列｛a n ｝是首项为1，公差为1的等差数列，故 a n = n .2. 在数列｛a n ｝中，a 1=- 5, a 2=- 2，记 A (n ) = a 1 + 比+…十 a n , B (n ) = a 2 + a 3+・・・+ a n +1, qn ) =a 3+ a 4 + •••+ a n +2(n €N *)，若对于任意 n € N *, A (n ) , B ( n ), q n)成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛| a n |｝的前n 项和.【解】(1)根据题意A (n ) ,B (n ),C ( n )成等差数列，二A ( n ) + C ( n ) = 2B ( n ),整理得 a n +2— a n +1 = a 2— a 1 = — 2+ 5 = 3,•••数列｛a n ｝是首项为—5，公差为3的等差数列，a n = — 5 + 3( n — 1) = 3n — 8.—3n + 8, n W 2,(2)| a n | =记数列｛| a n |｝的前n 项和为S.3n — 8, n 》3,2当 n W2 时，S n =n 5+ 2— 3n = — + 务3 2 13—尹 + 厂,n w 2,3. (2014 •广东卷)设各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S ，且S 满足S n — (n 2+ n -3)S n — 3( n 2 + n ) = 0, n€ N .(1) 求a 1的值；(2) 求数列｛a n ｝的通项公式；a 3 = 3, a 4= 4.当n 》3时，S n = 7 +n -2 1 + 3n — 8 2普-岭+ 14,2 2综上，S n =|n 2 —爭+ 14, n 》3.1(3)证明：对一切正整数亠 1 1 11n， a 1 a+1 + a 2 a ?+1 + + a n a n +1 <3'【解】(1)由题意知，U — (n 2+ n — 3)S h -3(n 2+ n ) = 0, n € N*. 令 n = 1，有 S — (1 2+ 1— 3) S — 3X (1 2+ 1) = 0,可得 S 1+ S — 6 = 0，解得 S =— 3或 2, 即卩 a 1 =— 3 或 2, 又a n 为正数，所以a 1 = 2.222* __(2)由 S>— ( n + n — 3) Si — 3( n + n ) = 0, n € N 可得，2 2(S + 3)( S — n — n ) = 0,贝U S = n +n 或 $=— 3,又数列｛a n ｝的各项均为正数，2 2S= n + n , S -1 = (n — 1) + (n — 1),当 n 》2 时，a n = S n — S n — 1 = n + n — [( n — 1)2+ (n — 1)] = 2n . 又 a 1= 2 = 2x 1,所以 a n = 2n .1a a+ 1111 111当n ^2时， a na n + 1= 2n 2n + 1 v 2n —12n + 12 2n — 1 —2n + 1 , 1 111 1 1 111 …a 1 a 1+ 1+a 2a 2 + 1 + -••+ a na n + 1+ ■ 6 +2 3 5 + •' '• 2n — 12n + 11 1 11 1 1 1=一 + — —v —+ _ =6 2 3 2n + 1 6 6 3(3)证明：当n = 1时,11+a 2a 2 + 1+…+aT^+所以对一切正整数n，有07葛+• T n= (n—1) 3 n+1+ 3.5.在数列｛a n｝中，已知a1 =1, a n= 2(a n —1 + a n—2 + — + a2+ a" ( 2, n€N*)，则数列的通项公式是_________ .1。

第2课时a n与S n的关系及裂项求和法课后篇巩固探究A组1.已知数列{a n}的前n项和S n=,则a5的值等于()A. B.- C. D.-解析:a5=S5-S4==-.答案:B2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()A. B. C. D.解析:∵S5==15,∴a1=1,∴d==1,∴a n=1+(n-1)×1=n,∴.设的前n项和为T n,则T100=+…+=1-+…+=1-.答案:A3.设{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值解析:由S5<S6得a1+a2+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0.又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;同理由S7>S8,得a8<0,又d=a7-a6<0,故A正确;由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0.而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为S n的最大值,故D正确.故选C.答案:C4.数列的前n项和S n为()A.B.C.D.解析:,于是S n=.答案:C5.设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为()A.95B.97C.105D.192解析:∵f(n+1)=f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=.∴f(2)-f(1)=,f(3)-f(2)=,……f(20)-f(19)=,∴f(20)-f(1)==95.又f(1)=2,∴f(20)=97.答案:B6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k=.解析:a n=S n-S n-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10(n≥2),又a1=S1=-8符合上式,所以a n=2n-10.令5<2k-10<8,解得<k<9.又k∈N+,所以k=8.答案:87.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=,且a4=54,则a1=.解析:因为a4=S4-S3==27a1,所以27a1=54,解得a1=2.答案:28.数列1,,…,,…的前n项和S n=.解析:因为==2,所以S n=1++…+=2=2.答案:9.正项数列{a n}满足-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0,即a n=2n或a n=-1,由于{a n}是正项数列,故a n=2n.(2)由(1)知a n=2n,所以b n=,故T n=.10.导学号33194014已知等差数列{a n}的前n项和为S n,n∈N+,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求a n;(2)若T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|,求T5的值和T n的表达式.解(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,易由a3+a6=4,S5=-5得出a1=-5,d=2.∴a n=2n-7.(2)当n≥4时,a n=2n-7>0;当n≤3时,a n=2n-7<0,∴T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13.当1≤n≤3时,T n=-(a1+a2+…+a n)=-n2+6n;当n≥4时,T n=-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+a n=n2-6n+18.综上所述,T n=B组1.若等差数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,则由b n=所确定的数列{b n}的前n项之和是()A.n(n+2)B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+6)解析:由题意知a1+a2+…+a n==n(n+2),∴b n==n+2.于是数列{b n}的前n项和S n=n(n+5).答案:C2.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.25D.28解析:设该等差数列为{a n},由题意,得a1+a2+a3+a4=21,a n+a n-1+a n-2+a n-3=67,又a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3,∴4(a1+a n)=21+67=88,∴a1+a n=22.∴S n==11n=286,∴n=26.答案:B3.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+2n(n≥2),则a7=()A.53B.54C.55D.109解析:∵a n=a n-1+2n,∴a n-a n-1=2n.∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,a n-a n-1=2n(n≥2).∴a n=1+4+6+…+2n=1+=n2+n-1.∴a7=72+7-1=55.答案:C4.已知数列{a n}为,…,+…+,…,如果b n=,那么数列{b n}的前n项和S n为()A. B. C. D.解析:∵a n=,∴b n==4,∴S n=4=4.答案:B5.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n+1,则a n=.解析:当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此时,当n=1时,2n=2≠3.所以a n=答案:6.导学号33194015设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知S6=36,S n=324,若S n-6=144(n>6),则数列的项数n为.解析:由题意可知由①+②,得(a1+a n)+(a2+a n-1)+…+(a6+a n-5)=216,∴6(a1+a n)=216,∴a1+a n=36.∴S n==18n=324,∴n=18.答案:187.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=+2(n-1)(n∈N+).(1)求证:数列{a n}为等差数列,并求a n与S n;(2)是否存在自然数n,使得S1++…+-(n-1)2=2 019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由. (1)证明由a n=+2(n-1),得S n=na n-2n(n-1)(n∈N+).当n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-(n-1)a n-1-4(n-1),即a n-a n-1=4,故数列{a n}是以1为首项,4为公差的等差数列.于是,a n=4n-3,S n==2n2-n.(2)解存在自然数n使得S1++…+-(n-1)2=2 019成立.理由如下:由(1),得=2n-1(n∈N+),所以S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2 019,得n=1 010,所以存在满足条件的自然数n为1 010.8.导学号33194016数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N+).(1)求证{a n}是等差数列;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和.(1)证明a n=S n-S n-1=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n(n≥2).∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,∴数列{a n}的通项公式为a n=101-2n(n∈N+).又a n+1-a n=-2为常数,∴数列{a n}是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.(2)解令a n=101-2n≥0,得n≤50.5.∵n∈N+,∴n≤50(n∈N+).①当1≤n≤50时a n>0,此时b n=|a n|=a n,∴{b n}的前n项和S n'=100n-n2;②当n≥51时a n<0,此时b n=|a n|=-a n,由b51+b52+…+b n=-(a51+a52+…+a n)=-(S n-S50)=S50-S n,得数列{b n}的前n项和为S n'=S50+(S50-S n)=2S50-S n=2×2 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2.由①②得数列{b n}的前n项和为S n'=。

第二讲 由S n 和a n 的关系求通项公式题型一 已知n S 的表达式，求n an S 与n a 的关系：(1)已知n a 求n S . n n a a a S +++= 21 (2)已知n S 求n a . 即n a ＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n 。

特别要注意的是，若1a 适合由1n --=n n S S a （n ≥2）可得到的表达式，则n a 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

规律：如果bn an S n +=2，则}{n a 不用分段，是等差数列如果A Aq S nn -=, 则}{n a 不用分段，是等比数列另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用.（1）n a 的表达式不分段例1 (2014·湖南)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式；解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . （2）n a 的表达式分段例2 (2020·山东青岛模拟)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式是______． 【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n ＋1)－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，又a 1＝3≠2×1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.题型二 由n S 和n a 的混合关系式求通项公式 （1）变形转化成n a 的递推关系例1（2020福建高三模拟）各项均为正数的数列{}n a 的首项11a λ=，前n 项和为n S ，且211n n n S S a λ+++=．求数列{}n a 的通项公式. 【解析】 因为211n n n S S a λ+++=，①所以当2n ≥时，21n n nS S a λ-+=， ②-①②得：2211n n n n a a a a λλ+++=-，即111()()n n n n n n a a a a a a λ++++=+-，因为{}n a 的各项均为正数，所以10n n a a ++>，且0λ>，所以11n n a a λ+-=．由①知，2212S S a λ+=，即21222a a a λ+=，又因为11a λ=，所以22a λ=．所以211a a λ-=．（2）变形转化成n S 的递推关系例2 （2019•钟祥市一模）已知正数数列{}n a 满足11()2n n nS a a =+，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项的和，求数列}{n a 的通项公式n a ．解：由11()2n n nS a a =+，令1n =，得11111()2a a a =+，0n a >，得11a =．当2n 时，1111()2n n n n n S S S S S --=-+-，即2211n n S S --=．因此，数列2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，∴2n S n =，即n S =．⎩⎨⎧≥--==2,11n 1n n n a n ，变式：对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 大整数，已知正数数列n a 满足：1111,()2n n na S a a ==+，其中n S 为数列n a 的前n 项的和，则12121111[]S S S ++⋯+= ． 解：由11()2n n nS a a =+，令1n =，得11111()2a a a =+，0n a >，得11a =．当2n 时，1111()2n n n n n S S S S S --=-+-，即2211n n S S --=．因此，数列2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，∴2n S n =，即n S =．得-=<<=，令12121111S S S S =++⋯+，1n S =，1)20S ∴>+⋯+=>．12121111()111)21S S S S =++⋯+<++⋯+=+=． 12121111[][]20S S S S ∴++⋯+==．故答案为：20． （3）由n s 与1+n a 的递推关系,由于n 的限制，n a 需分段表示例3.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，13nn n a s +=+，*n ∈N .求数列{}n a 的通项公式. 【解析】因为13n n n a s +=+，*n ∈N ，当2n ≥时，113n n n a s --=+，所以11223n n n a a -+=+⨯，变形为11232(23)n n n n a a -+-⨯=-⨯，21237,61a a a =+=-=.所以数列1{23}n n a --⨯从第二项开始是等比数列，公比为2.所以122312n n n a ---⨯=⨯ ，即12232n n n a --=⨯+，所以124, 1.232, 2.n n n n a n --=⎧=⎨⨯+≥⎩课后练习：一 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . 1.S n ＝n 2－10n ， 求n a 2. S n ＝2n ＋1 ，求n a3.（2015新课标II 改） 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，求n S 的表达式.4. 已知21=a ，1-=n n n S S a ,求n a5. 已知21=a ，n n S a 31=+,求n a 二 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . 1.S n ＝n 2－10n ，解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11.（2）S n ＝2n ＋1解：(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.3.（2015新课标II 改） 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，求n S 的表达式. 【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=，两边同时除以1n n S S +得，1111n n S S +-=， 即1111n n S S +-=-.又111S =-，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1-，公差为1-的等差数列， 4. 已知21=a ，1-=n n n S S a ,求n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅-==225223212n nn n a n 5. 已知21=a ，n n S a 31=+,求n a ⎩⎨⎧≥⋅==-246122n n a n n 6．数列{}n a 满足*12211125,222n n a a a n n N ++⋯+=+∈，则n a = .【答案】114,12,2n n n +=⎧⎨≥⎩【解析】这类问题类似于()n n S f a =的问题处理方法，在122111 (25222)n n a a a n +++=+中用1n -代换n 得12121111...2(1)5222n n a a a n --+++=-+（2n ≥），两式相减得122n n a =，12n n a +=，又1172a =，即114a =，故114,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =______________ 【答案】132n【解析】由题意，122n n n S S S +=-，所以132n n S S +=，11S =，所以132n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭． 8．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13n n a S n N +=∈，则n S =______.【答案】4n【解析】1113,3,4n n n n n n n a S S S S S S +++=∴-==，11140,0,4n n nS S a S S +==≠∴≠∴=, {}n S ∴是以4为首项,公比为4的等比数列, 4n n S ∴=.故答案为:4n。

数列n s 与n a 关系知识点1.等差数列前n 项和公式:n da n d d n n na a a n S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2. 等比数列前n 项和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111)1(1111q q q a a q q a q na S n n n3.数列{}n a 是等差数列⇔q p n q pn a n ,),1(≥+=为常数b a n bn an S n ,),1(2≥+=⇔为常数(没有常数项的二次函数)数列{}na 是等比数列⇔n a =m ap (a ≠0)⇔n ns ap r =+(a+r=0) 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n a n S )12(12-=-5. 数列n s 与n a关系:⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21,11n S S n S a S n n n n训练题A 组1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( A ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n32⋅3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，2211=S 则=6a ( B ) A.1 B.2 C.3 D.44.数列6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若102,a a 是方程08122=-+x x 的两个根， 那么11S 的值为 ( D )A.44B.-44C.66D.-665.若两个等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3233+-=n n B A n n , 则=66b a ( C ) A.23 B.1 C.56 D.23276.（2010辽宁文数）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( B )A.3B.4C.5D.67.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a ( A ) A.1 B.-1 C.2 D.21 8.{}n a 的前n 项和为n S ，)1(12≥+=n n S n ，则=n a ⎩⎨⎧≥-=21211n n n9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a n )21(- 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是1)41(43--n 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S121-n12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，147=S 则=4a 2 13.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,r S n n +=3,则=r -114.数列}{n a 的前n 项和为n S ,且,1≥n 时22nn S n +=(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求992199111S S S T +⋅⋅⋅++=的值. (1))1(≥=∴n n a n(2) 22n n S n +=,)111(2)1(21+-=+=∴n n n n S n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=∴)1001991()3121()211(2111992199S S S T 5099)10011(2=-=15.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn16.数列{}n a 满足条件11131,1--⎪⎭⎫⎝⎛+==n n n a a a ),3,2( =n(1)求;n a(2)求.321n a a a a ++++解:（1）∑∑=--=+=-+=nk k k k nk n a a a a 21121)31(1)(11)31(2123311])31(1[311---=--+=n n(2)43)31(4323])31(4343[23311)31(212123.321-+=--=-⋅--=++++n n n n n n n a a a a17．（2012广东文）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈． （1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分训练题B 组1.数列}{n a 的前n 项和为n S ,当,1≥n 32-=n n a S 则n a = 123-⋅n2.等差数列{}n a 中，已知74a =，则13s= 523.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 241494.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,14n n S r -=+,则=r 14- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1114S =，则61411a =22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1+S n )=n+1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n+1,∴1+S n =2n+1,∴S n =2n+1-1.∴1=n 时,311==S a ,2≥n 时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn8.数列{}n a 的前n 项和为)()1(*2N n n n a n S n n ∈+++= （1）求通项n a ; （2）设),1111(321nn S S S S T +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-=求证：1<n T 解:(1) n a n 2-=∴(2)nn n n n n S n n S n a n n n 111)111()1(11),1(,2-+=+--=+-=∴+-=∴-= 1111+-=-∴n n S n )11111(1321nn n S S S S S T ++⋅⋅⋅+++-=∴-n T ∴=1111)111()111()3121()211(<+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n n *N n ∈ ∴1<n T9.已知等差数列{}n a 中,11=a ,前n 项和nS 满足条件12412+-=-n n SS nn ,( n=1,2,3,┅) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设nn S b 1=，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,求λ的取值范围. 解：（1） 等差数列{}n a 中11=a ，12412+-=-n n SS nn 对于任意正整数都成立， 所以，当n=2时，有21222423=+-⨯=SS ，设数列{}n a 的公差为d ，则d d a S 333313+=+=，d d a S +=+=22212，所以)2(233d d +=+，解得公差1=d ，所以n n a n=-+=)1(11（2）因为()22121nn d n n na S n +=-+=，n n b n +=∴223）由n n b n+=22=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ，得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=114313212112n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n 121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,即)1(12+<+n n n λ，∙∈N n 恒成立， 所以2)1(2+>n nλ，而212122212)1(22=+≤++=+nn n n ， （当且仅当n=1时取等号） 所以，λ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21.10.已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． （1）12n n a -=,21n b n =-． （2）数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-． 11.已知数列{}n a 满足21=a ,241+=-n n a S (n=2,3,4,...). (1)证明数列{}n n a a 21-+成等比数列;(2)证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n a 2成等差数列;(3)求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S .（1）{}n n a a 21-+是首项为4，公比为2的等比数列， （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为1，公差为1的等差数列. （3）n n n a 2⋅=,12)1(2+⋅-+=n n n S12.已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

数列n s 与n a 关系知识点1.等差数列前n 项和公式:n da n d d n n na a a n S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2. 等比数列前n 项和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111)1(1111q q q a a q q a q na S n n n3.数列{}n a 是等差数列⇔q p n q pn a n ,),1(≥+=为常数b a n bn an S n ,),1(2≥+=⇔为常数(没有常数项的二次函数)数列{}na 是等比数列⇔n a =m ap (a ≠0)⇔n ns ap r =+(a+r=0) 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n a n S )12(12-=-5. 数列n s 与n a关系:⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21,11n S S n S a S n n n n训练题A 组1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( A ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n32⋅3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，2211=S 则=6a ( B ) A.1 B.2 C.3 D.44.数列6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若102,a a 是方程08122=-+x x 的两个根， 那么11S 的值为 ( D )A.44B.-44C.66D.-665.若两个等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3233+-=n n B A n n , 则=66b a ( C ) A.23 B.1 C.56 D.23276.（2010辽宁文数）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( B )A.3B.4C.5D.67.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a ( A ) A.1 B.-1 C.2 D.21 8.{}n a 的前n 项和为n S ，)1(12≥+=n n S n ，则=n a ⎩⎨⎧≥-=21211n n n9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a n )21(- 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是1)41(43--n 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S121-n12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，147=S 则=4a 2 13.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,r S n n +=3,则=r -114.数列}{n a 的前n 项和为n S ,且,1≥n 时22nn S n +=(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求992199111S S S T +⋅⋅⋅++=的值. (1))1(≥=∴n n a n(2) 22n n S n +=,)111(2)1(21+-=+=∴n n n n S n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=∴)1001991()3121()211(2111992199S S S T 5099)10011(2=-=15.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn16.数列{}n a 满足条件11131,1--⎪⎭⎫⎝⎛+==n n n a a a ),3,2( =n(1)求;n a(2)求.321n a a a a ++++解:（1）∑∑=--=+=-+=nk k k k nk n a a a a 21121)31(1)(11)31(2123311])31(1[311---=--+=n n(2)43)31(4323])31(4343[23311)31(212123.321-+=--=-⋅--=++++n n n n n n n a a a a17．（2012广东文）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈． （1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分训练题B 组1.数列}{n a 的前n 项和为n S ,当,1≥n 32-=n n a S 则n a = 123-⋅n2.等差数列{}n a 中，已知74a =，则13s= 523.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 241494.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,14n n S r -=+,则=r 14- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1114S =，则61411a =22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1+S n )=n+1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n+1,∴1+S n =2n+1,∴S n =2n+1-1.∴1=n 时,311==S a ,2≥n 时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn8.数列{}n a 的前n 项和为)()1(*2N n n n a n S n n ∈+++= （1）求通项n a ; （2）设),1111(321nn S S S S T +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-=求证：1<n T 解:(1) n a n 2-=∴(2)nn n n n n S n n S n a n n n 111)111()1(11),1(,2-+=+--=+-=∴+-=∴-= 1111+-=-∴n n S n )11111(1321nn n S S S S S T ++⋅⋅⋅+++-=∴-n T ∴=1111)111()111()3121()211(<+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n n *N n ∈ ∴1<n T9.已知等差数列{}n a 中,11=a ,前n 项和nS 满足条件12412+-=-n n SS nn ,( n=1,2,3,┅) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设nn S b 1=，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,求λ的取值范围. 解：（1） 等差数列{}n a 中11=a ，12412+-=-n n SS nn 对于任意正整数都成立， 所以，当n=2时，有21222423=+-⨯=SS ，设数列{}n a 的公差为d ，则d d a S 333313+=+=，d d a S +=+=22212，所以)2(233d d +=+，解得公差1=d ，所以n n a n=-+=)1(11（2）因为()22121nn d n n na S n +=-+=，n n b n +=∴223）由n n b n+=22=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ，得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=114313212112n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n 121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,即)1(12+<+n n n λ，∙∈N n 恒成立， 所以2)1(2+>n nλ，而212122212)1(22=+≤++=+nn n n ， （当且仅当n=1时取等号） 所以，λ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21.10.已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． （1）12n n a -=,21n b n =-． （2）数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-． 11.已知数列{}n a 满足21=a ,241+=-n n a S (n=2,3,4,...). (1)证明数列{}n n a a 21-+成等比数列;(2)证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n a 2成等差数列;(3)求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S .（1）{}n n a a 21-+是首项为4，公比为2的等比数列， （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为1，公差为1的等差数列. （3）n n n a 2⋅=,12)1(2+⋅-+=n n n S12.已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

Sn 与an 的关系典型题1 .数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项.分析：本题主要考查求数列的通项、等差等比数列的概念和性质、不等式、函数的单调性，综合运送知识分析问题和解决问题的能力.转化（化归）的思想答案：（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立∴ （n ≥ 2）②①--②得∴∵均为正数，∴ （n ≥ 2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，， 解得=1 ∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n ，总有≤. ∴ (Ⅲ)解：由已知 ， {}n a n S n *N n ∈2,,n n n a S a {}n a {}n b n n T 2ln n n n a x b =(]e x ,1∈e e ⋅⋅⋅n n T <{}n c ())(,*11N n c a n n n ∈=++{}n c *N n ∈22n n n S a a =+21112n n n S a a ---=+21122----+=n n n n n a a a a a ()()111----+=+n n n n n n a a a a a a 1,-n n a a 11=--n n a a {}n a 21112S a a =+1a n a n =*N n ∈(]e x ,1∈2ln n n n a xb =21n()n n n T n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤ 21211131212111<-=--++-+-+=nn n 221212=⇒==c c a 54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得猜想 n≥2 时，是递减数列.令 ∵当 ∴在内为单调递减函数.由. ∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , ∴数列中的最大项为.2．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证： .分析：本小题主要考查数列、不等式、数学归纳法、二项式定理等基本知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.转化（化归）思想，分类讨论的思想（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因此.又由，得，即或.因，故不成立，舍去. 因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为.（Ⅱ）证法一：由可解得 从而. 12234,...c c c c c <>>>{}n c ()()22ln 1ln 1,ln x x x x x x x f x x x f -=-⋅='=则().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，[)+∞,3()x f ()11ln ln 11++==++n n c c a n n n n 知{}n c ln {}n c 12c c <{}n c 323=c }{n a n n S 11>S +∈++=N n a a S n n n ),2)(1(6}{n a }{n b 1)12(=-n b n a n T }{n b n +∈+>+N n a T n n ),3(log 132)2)(1(611111++==a a S a 11=a 21=a 111>=S a 21=a )2)(1(61)2)(1(611111++-++=-=++++n n n n n n n a a a a S S a 0)3)((11=--+++n n n n a a a a 031=--+n n a a n n a a -=+10>n a n n a a -=+131=-+n n a a }{n a }{n a 13-=n a n 1)12(=-n b n a 133log )11(log 22-=+=n n a b n n )1335623(log 2215-⋅⋅⋅=+++=n n b b b T n n因此. 令，则 .因，故. 特别地，从而，即.证法二：同证法一求得及.由二项式定理知，当时，不等式成立. 由此不等式有 . 证法三：同证法一求得及.下面用数学归纳法证明：.当时，，因此，结论成立.假设结论当时成立，即，则当时，. 因，故.从而.这就是说当时结论也成立. 综上对任何成立.]232)1335623[(log )3(log 13322+⋅-⋅⋅⋅=+-+n n n a T n n 232)1335623()(3+⋅-⋅⋅⋅=n n n n f 233)23)(53()33()2333(5323)()1(+++=++⋅++=+n n n n n n n n f n f 079)23)(53()33(23>+=++-+n n n n )()1(n f n f >+12027)1()(>=≥f n f 0)(log )3(log 1322>=+-+n f a T n n )3(log 132+>+n n a T n b n T 0>c c c 31)1(3+>+3332)1311()511()211(2log 13-+++=+n T n )3(log )23(log )132358252(log )1311()531)(231(2log 2222+=+=-+⋅⋅⋅⋅=-+++>n a n n n n n b n T )3(log 132+>+n n a T 1=n 5log )3(log ,427log 1321221=+=+a T )3(log 132+>+n n a T k n =)3(log 132+>+k k a T 1+=k n )3(log 313)3(log 13121121+-++=+-+++++k k k k k a b T a T 2321122)23)(53()33(log 3)3(log )3(log +++=++-+>++k k k b a a k k k 079)23)(53()33(23>+=++-+k k k k 0)23)(53()33(log 232>+++k k k )3(log 13121+>+++k n a T 1+=k n )3(log 132+>+n n a T +∈N n。

《数列中an和sn的关系》教学准备学情分析1、知识前的储备：学生已经学习了等差数列和等比数列的定义，通项公式，及其前n项和的求法。

从这两大数列的角度，对于项式an和Sn 之间的关系，已经具备了知识的储备，对进一步掌握两者的关系，学生有了容易接受的心理以及深入探究的兴趣。

2、学生的普遍特征：高中学生的逻辑思维能力日益加强，数学理解能力加强，接受新知识也很快。

学生的整体水平尽管有差异，但探究知识的能力都已经趋向成熟，也能够持之以恒地深入思考，但学生整体上还是具备的由浅入深学习数学的习惯，由特殊到一般学习法是学生的显著特征。

3、本节课知识结构：本节课知识是在等差数列和等比数列已经学完的基础上继续巩固项式与和式之间的关系的一堂课，主要目的是让学生加深数列的理解和应用。

所以本节课的知识学习是有目的性的，课堂设计尽量突出知识结构，使课堂生动吸人、使学生对知识的理解浅显易懂，掌握上变化有序，学习上有深度有广度。

教学工具1、电脑及其投影：投影ppt课件。

2、实物投影仪：投影学生的解题过程。

3、手机及希沃授课助手：拍摄学生解题步骤，投影出来及时点评正确或错误的细节之处。

教案设计教学目标1、知识与技能：（1）加强等差数列，等比数列的定义理解和通项公式的求法；（2）加强对数列项式a n和和式S n的关系进一步掌握；（3）方程消元的思想，迭代的思想，构造新数列的数学方法的应用。

2、过程与方法：本节课通过学生独立思考、小组交流讨论等方式的学习，培养学生的团队合作精神，培养学生的创新意识，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。

使学生学会理解数学，分析数学知识的方法，提高学生的逻辑思维能力。

3、情感、态度和价值观：本节课通过数学的实际应用例子，利用数学建模的思想，激发学生的探究兴趣，科学的创新精神。

让学生形成积极的学习态度，健康向上的人生理想、以及科学精神和正确的人生观、世界观和价值观。

教学重难点重点为利用数列a n与S n的关系，求出a n或者S n难点是间接转化法，是将S n转化为a n还是将a n转化为S n。

可编辑修改精选全文完整版母题十八 数列的通项公式及前n 项和【母题原题1】【2018天津，文18】设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*Nn S n ∈；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*N nT n ∈．已知132435546,,,122b b b b a a b a a ==+=+=+．（Ⅰ）求n S 和n T ； （Ⅱ）若()124n n n n S T T T a b ++++=+，求正整数n 的值．【考点分析】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．【答案】(Ⅰ)()12n n n S +=，21nn T =-；(Ⅱ)4． 【解析】试题分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得2q =，则122112nn n T -==--．结合设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316a d +=，从而11,1a d ==，故n a n =，()12n n n S +∴=．（II ）由（I ），有()()131122122222212n n n n T T T n n n +-+++=+++-=-=---．由()124n n n n S T T T a b ++++=+可得()1112222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =，n ∴的值为4【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力． 【母题原题2】【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-．2n n b =．（2）2(34)216n n T n +=-+．由此可得32n a n =-．1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+，所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．【母题原题3】【2016天津，文18】已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n *∈N ，且6123112,63S a a a -==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,n n b *∈N 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）12-=n n a ；（Ⅱ）22n ．设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-．【考点】等差数列、等比数列及其前n 项和公式【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和． （2）通项公式为,,n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【母题原题4】【2015天津，文18】已知n a 是各项均为正数的等比数列，n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ，5237a b ．（I ）求n a 和n b 的通项公式； （II ）设*,nn n c a b n N ，求数列n c 的前n 项和．【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ，21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323nn S n =-+ 【解析】试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组，通过解方程组求出q ，d ，即可确定通项；（II ）用错位相减法求和．试题解析：（I ）设n a 的公比为q ，n b 的公差为d ，由题意0q > ，由已知，有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d得42280,q q --= 解得2,2q d == ，所以n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ， n b 的通项公式【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和，考查基本运算能力．【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现，尤其对等差、等比数列的通项考查较多，解决此类 问题要重视方程思想的应用．错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法，从历年考试情况来看，这类问题，运算失误较多，应引起考生重视．【命题意图】 高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题． 【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．【理科】【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列{}n b 的通项公式：本题从等比数列{}n b 入手，由于12b =，设公比为q ，表达出2b 和3b ，利用2312b b +=列方程求出q ，写出{}n b 的通项公式；第二步：求数列{}n a 的通项公式：借助第一步的结果，由于数列{}n a 成等差数列，设公差为d ，结合3411142,11b a a S b =-=，解方程组求出1a 和d ，写出数列{}n a 的通项公式．第三步：利用错位相减法求和： 列出数列221{}n n a b -的前n 项和n T ，两边同乘以4，两式相减后求和． 【文科】【答题模板】 解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列的通项公式 求数列}{2n n b a 的通项公式 第二步：选用恰当的方法求和 错位相减求和 第三步：下结论． 【方法总结】1．数列{}n a 中n a 与n S 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2． 等差数列（1）等差数列的有关概念①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为*1(,n n a a d n N d +-=∈为常数)．②等差中项：数列,,a A b 成等差数列的充要条件是2a bA +=，其中A 叫做,a b 的等差中项． （2）等差数列的有关公式①通项公式：1(1)n a a n d =+-． ②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． （3）等差数列的性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．①通项公式的推广：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈．②若*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a +=+．③若{}n a 的公差为d ，则{}n a 也是等差数列，公差为2d ． ④若{}n b 是等差数列，则{}n n pa qb +也是等差数列． ⑤数列232,,n n n n n S S S S S --，…构成等差数列．（4）． 妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． （5）等差数列的四种判断方法①定义法：*1(,n n a a d n N d +-=∈为常数⇔{}n a 是等差数列．②等差中项法：122n n n a a a ++=+ (n ∈N *)⇔{}n a 是等差数列． ③通项公式：n a pn q =+ (,p q 为常数)⇔ {}n a 是等差数列．④前n 项和公式：2n S An bn =+（A B 、 为常数)⇔ {}n a 是等差数列．3．等比数列（1）等比数列的有关概念 ①定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为*1(0,)n na q q n N a +=≠∈． ②等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． （2）等比数列的有关公式①通项公式：11n n a a q -=．②前n 项和公式：111,1,(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩；（3）等比数列的性质已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) ①若2m n p q r +=+=，则2m n p q r a a a a a ==； ②数列23,,,,m m k m k m k a a a a +++…仍是等比数列；③数列232,,n n n n n S S S S S --，…仍是等比数列(此时{a n }的公比1q ≠-)． （4）等比数列的三种判定方法 （1）定义：*1(0,)n na q q n N a +=≠∈⇔{}n a 是等比数列． （2）通项公式：1(n n a cq c q -=、均是不为零的常数，*)n N ∈ ⇔{}n a 是等比数列． (3)等比中项法：2*1212(0,)n n n n n n a a a a a a n N ++++=⋅⋅≠∈⇔{}n a 是等比数列．（5）求解等比数列的基本量常用的思想方法①方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：1,,,,n n a q n a S ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．②分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-；在判断等比数列单调性时，也必须对1a 与q 分类讨论．5．数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －12d ； 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q，q ≠1. （2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． （5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721(10099)(9897)(21)5050n S =-+-++-=++++++=．1．【2018天津南开中学模拟】已知数列是首项的等差数列，设．（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）11．【解析】分析：（1）运用等差数列的通项公式，可得公差，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；（2）利用裂项相消法求和即可；（3）根据题意，求得，设，判断其为单调递增，求得最小值，再（3）因为，则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立．设，则．所以，故的最小值是/．由，得整数可取最大值为11．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解．2．【2018天津河西区模拟】已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）（2）由等比数列的前项和公式可得结论．详解：（1）解：由题意得：，当时，，时，对上式也成立，∴．（2）解：，【名师点睛】已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式，在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况．3．【2018天津部分区二模】已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：（I）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，，可得，为奇数时，，为偶数时，；（II）由（1）知．为偶数时，，为奇数时，．详解：（1）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，得．∵，∴，解得为奇数时，，．【名师点睛】本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．4．【2018天津部分区二模】已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意得：1+d=1+q，q2=2（1+2d）﹣6，解得：d=q=2，即可．（2）证明：因为c n===，T n=．即可得．详解：（1）设数列的公比为，数列的公差为．由题意得，，解得，所以（2）证明：因为，所以【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．5．【2018天津河东区二模】已知等比数列满足条件，，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求的前项和．【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问首先利用等比数列的通项公式得到数列的首项和公比所满足的条件，从而求得相关的值，得到该数列的通项公式；第二问利用和与项的关系，得到，，再将时的情况进行验证，得到，，之后应用错位相减法对数列求和即可得结果．详解：（1）设的通项公式为，由已知，，由已知，，，综上，①②由①-②得到，【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式与求和的问题，在求解的过程中，注意对等比数列的通项公式的应用，得到题中的数列的首项和公比所满足的条件，从而求得结果；再者就是利用和与项的关系求通项的时候，需要对首项进行验证，在应用错位相减法求和时，需要明确步骤应该怎么写．6．【2018天津河北区二模】已知等差数列{}中，=1，且，，成等比数列．（I）求数列{}的通项公式及前n项和；（II）设，求数列{}的前2n项和．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d，由题意可求得，故可得数列的通项公式和前n项和公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故选用分组求和的方法将数列{}的项分为计数项和偶数项两部分后再求和．详解：（I）设等差数列{}的公差为d，∵，且，，成等比数列，∴，即，解得或．∴数列{}的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．∴数列{}的前2n项的和．【名师点睛】（1）等差、等比数列的运算中，要注意五个量之间的关系，根据条件得到方程（或方程组），通过解方程（方程组）达到求解的目的．（2）数列求和应从通项入手，若通项符合等差数列或等比数列，则直接用公式求和；若通项不符合等差或等比数列，需要通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列求解．当数列的通项中含有或的字样时，一般要分为n为奇数和n为偶数两种情况求解．7．【2018天津十二校二模】已知数列的前项和满足：，（为常数，，）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，．若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．详解：（1）且数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由得，因为数列为等比数列，所以，解得．（3）由（2）知【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： （1）；（2）； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．8．【2018天津滨海新区七校模拟】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =- (*n N ∈)，数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+ (*n N ∈)，且11b =（1）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()()()()122141132log 32log n n n n n c a a -++=-++，求数列{}n c 的前n 项和2n T ；（3）若n n n d a b =⋅，数列{}n d 的前n 项和为n D ，对任意的*n N ∈，都有n n D nS a ≤-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12n n a -=， 2n b n =；（2）11343n -+；（3）0a ≤ 【解析】试题分析：（1）()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +，得111n nb b n n+-=+，可求得n b ．用公式11,2{,1n n n S S n a S n --≥==，统一成n a ，可求得n a ．（2）由（1）12n n a -=，代入得n c ()11112123n n n -⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，由并项求和可得2n T ．（3）由（1）12n n n n d a b n -==由错位相减法可求得n D ，代入可求．当2n ≥时， 21n n S a =-， -1-121n n S a =-， 两式相减得12n n a a -=，又1=1a ，所以12nn a a -=， 从而数列{}n a 为首项1=1a ，公比=2q 的等比数列，从而数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2） ()()()41(2123n n c n n -⎛⎫+=⎪ ⎪++⎝⎭()11112123n n n -⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭ 2123212n n n T c c c c c -=++++=1111111135574143343n n n +--+--=-+++（3）由（1）得12n n n n d a b n -==，()221112232122n n n D n n --=⨯+⨯+⨯+-+()()2311212223212122n n n n D n n n --=⨯+⨯+⨯+-+-+，所以21n a n ≤--恒成立，记21nn d n =--，所以()min n a d ≤，因为()()1+121121n nn n d d n n +⎡⎤-=-+----⎣⎦210n =->，从而数列{}n d 为递增数列 所以当=1n 时， n d 取最小值1=0d ，于是0a ≤．【名师点睛】本题考查知识较多，有递推公式求通项公式，及通项公式与前n 项和关系，裂项求和，并项求和，等差数列求和，错位相减法，数列与不等式交汇等，需要对数列基本知识，基本方法掌握非常好．9．【2018天津十二模拟一】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4212a a -=，423+2S 3S S =，数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+， *n N ∈，且11b =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()22log 212{22nn n na n k n n cb n k=-+==，， n T 为{}n c 的前n 项和，求2n T ．【答案】（1）2n n a ∴=， 2n b n =；（2）21166899221n n nn -+-+⨯+． 【解析】试题分析：（1）由423+2S 3S S =，可推出432a a =， 2q =，结合4212a a -=，即可求出数列{}n a 的通项公式，再将()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +得111n n b b n n +-=+，可推出数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）知()22log 2,212{2,22nn n n k n n c nn k =-+==，利用分组求和，裂项相消法及错位相减法即可求出2n T ．1d =的等差数列∴=nb n n，从而数列{}n b 的通项公式为2n b n =． （2）由（1）知()()2211log 2,21,2122{{2,2,222nn n n n n k n k n n n n c c nnn k n k -=-=-++=⇒===∴21232n nT c c c c =++++135211*********22133521212222n n n n -⎛⎫⎡⎤=-+-++-+++++⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦【名师点睛】（1）分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,{ 2,n n n n a n =为奇数为偶数），符号型（如()21nn a n =- ），周期型 （如πsin 3n n a = ）；（2）用错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10．【2018天津十二模拟二】已知正项等比数列，等差数列满足，且是与的等比中项． （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据，是与的等比中项列出关于公比 、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列与的的通项公式；（2）由（1）可知，所以，对分奇数、偶数两种情况讨论，分别利用分组求和法，错位相减求和法，结合等差数列求和公式与等比数列求和公式求解即可． 试题解析：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为由是与的等比中项可得：又，则：，解得或因为中各项均为正数，所以，进而．故．（2）设则②，由①-②得：，，因此， 综上：．11．【2018天津部分区期末考】已知{}n a 为等差数列，且24a =，其前8项和为52， {}n b 是各项均为正数的等比数列，且满足124b b a +=， 36b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令22log log n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n λ-<成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n a n =+， 2nn b =；（2）3λ≥【解析】试题分析：（1）结合题意可求得等差数列的公差和等比数列的公比，由此可得数列的通项公式．（2）由（1）可得22224422n n n n n c n n n n +++=+=++ 11222n n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和可得1123212n T n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，因此由题中的恒成立可得113212n n λ⎛⎫>-+ ⎪++⎝⎭对任意正整数n 恒成立，然后根据1132312n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭可得结果． 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得114{82852a d a d +=+=，即1134{2713a d a d +=+=，解得13{1a d ==，所以()312n a n n =+-=+．1111111221324112n n n n n ⎛⎫=+⨯-+-++-+- ⎪-++⎝⎭1123212n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭．所以1123212n T n n n ⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭， 因为对任意正整数n ，都有2n T n λ-<成立， 即113212n n λ⎛⎫>-+⎪++⎝⎭对任意正整数n 恒成立， 又1132312n n ⎛⎫-+<⎪++⎝⎭， 所以3λ≥．故实数λ的取值范围为[)3,+∞．12．【2018天津一中期中考】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--， *n N ∈ ，且13a =．（Ⅰ）求2a 、3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式【答案】（Ⅰ）25a =， 37a =； （Ⅱ）见解析．【解析】分析：（Ⅰ）分别令1,2n n ==就可以求得25a =， 37a =． （Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测21n a n =+，利用数学归纳可证明该猜测．②当1n k =+时，有()()123322232112222k k k k S kk a k k k k ++=++=++=+=++， 这说明当1n k =+时，猜想也成立，结合①②，由归纳原理知，对任意*n N ∈， 21n a n =+．【名师点睛】与自然数有关的问题，可以用数学归纳法，在归纳假设中，我们一般设当n k =时，命题()P k 成立，也可以假设0n n k ≤≤时，命题()P n 成立，然后再证明1n k =+， ()1P k +也成立．13．【2018天津滨海新区模拟】已知数列{}n a 的首项15a =前n 项和为n S ，且()*15n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令()212.....nn f x a x a x a x =+++ 求函数()f x 在点1x =处的导数()1f '并比较()21f ' 与22313n n -的大小【答案】（1）见解析；（2）()21f ' > 22313n n -．【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项递推关系，再根据题意变形为()1121n n a a ++=+，最后根据等比数列定义给以证明（2）先求导数得()1f '，根据分组求和法以及错位相消法化简()1f '，最后作差并利用二项式定理比较大小因为()212n n f x a x a x a x =+++所以()1122n n f x a a x na x -'=+++从而()1212n f a a na '=+++=()()()23212321321n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()()1131262n n n n ++-⋅-+由上()()()22123131212n f n n n --=-⋅'-()21221n n --=()()()121212121n n n n -⋅--+=12()()1221nn n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以()2212313f n n ='-； 当2n =时，①式=-120<所以()2212313f n n <'- 当3n ≥时， 10n ->又()011211nn n nn n n nC C C C -=+=++++ ≥ 2221n n +>+ 所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而()21f ' > 22313n n -． 14．【2018天津一中月考五】已知数列中，，．（1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和，并求满足的所有正整数．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．【解析】分析：（1）设，推导出，由此能证明数列是等比数列；（2）推导出，由，得，，从而由此能求出满足S n ＞0的所有正整数n 的值．由，得，所以，同理，当且仅当时，，综上，满足的所有正整数为和．【名师点睛】本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n项和的正整数的最大值的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．【2018天津耀华中学】等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且，．（）求与．（）求数列的前项和．（）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（），（）（）【解析】试题分析：（1）由条件得，解方程即可；（2）利用错位相减即可得解；（3）由，利用裂项相消求和，只需即可．试题解析：（）设公差为，公比为．．．．（），∴，∴．∴，即恒成立，∴，则，∴．【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．。