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高中数学第2章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质第2课时双曲线方程与性质的应用北师大版选修

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
7/66
知识点二 双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式 下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双 曲线顶点.
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思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在 实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
1/66
学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚 轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
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内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为 答案 解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
37/66
类型四 直线与双曲线位置关系 命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题 例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围； 解答
33/66
跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案 解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14， 所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.

2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线2双曲线的简单几何性质1课件新人教A版选修2

2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线2双曲线的简单几何性质1课件新人教A版选修2

渐近线方程为
y＝±
2 2 x.
典例剖析
一.已知双曲线的方程，研究其几何性质
• 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长 、离心率和渐近线方程，并作出草图．
• [分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依 据各几何量的定义作答．
[解析] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即3x22－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
三.双曲线的离心率
已知 F1、F2 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，求 双曲线的离心率．
• [解析] 设F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|， ∠PF2Q＝90°，
)
B．x42－y52＝1 D．x22－ y25＝1
• [答案] B
[解析] e＝32，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5， 即双曲线的标准方程为x42－y52＝1.
4．已知双曲线ax22－y52＝1 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的
离心率等于( )
A．3 1414
B．3 4 2
C．32
D．43
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
• 1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质 ．
• 2．能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．

双曲线的简单几何性质 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)

双曲线的简单几何性质 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)

2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2

D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.

[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
−
2
(2)设F1，F2是双曲线C：2
2
＝1(a＞
2
−

2)的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为________；
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
2
△
PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ 2.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
2 2
例1.(1)已知双曲线2-2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
3
当1－3k2＝0，即k＝± 3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，

3.2.2双曲线的简单几何性质(第2课时)(教学课件(人教版))

3.2.2双曲线的简单几何性质(第2课时)(教学课件(人教版))

x1－x2
y1 ＋y2
∴所求直线的方程为 y－1＝4(x－2)，即 4x－y－7＝0.
五.达标训练
2.已知双曲线2x2－y2＝2.(1)求以M(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程；(2) 过点N(1，1)能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，且点N是弦P1P2的 中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
将x1,x2分别代入直线AB的方程可得
y1 2
3,y2
23 5
，
∴A(3，
2
3),B( 9， 2 3 ). 55
∴|AB | (3 9)2 (2 3 2 3 )2 16 3 .
5
5
5
四.直线与双曲线的位置关系
设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),则有
x1 x2
6 5
,x1
x2
27 . 5
五.达标训练
3.直线y
2 3
x与双曲线
x2 a2
y2 8
1(a
0)相交于A, B两点,且A, B两点的横坐标
之积为 9,求离心率e.
解:联立
y 2 3
x2 a2
x
y2 8
,消去y可得 72 4a2 9
1
x2
8a2
0.
设A( x1 ,
y1 ), B( x2 ,
y2 ),则
x1 x2
72a 2 4a2 72 .
y
l Hd M
F1 O
F2
x
∴点M的轨迹是焦点在x轴上,实轴长为6、虚轴长为2 7的双曲线.
三、双曲线第二定义
追问： 将例5与椭圆一节中的例6 (113页) 比较, 你有什么发现？

双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a2
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线

1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线第二节双曲线-教学课件全篇

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线第二节双曲线-教学课件全篇

由正弦定理得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝2 2<|AB|．
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的 交点)．
由双曲线的定义知，F 点在以 A，B 为焦点，2 为实轴长的双曲 线的下半支上．
所以点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF1| －|PF2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关 系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程， 其基本步骤为 ①寻求动点 M 与定点 F1，F2 之间的关系； ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)； ③判断：若 2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点 M 的轨迹就是双 曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应 a，b，c； ④根据 F1，F2 所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程 2.2 双曲线的简单几何性质 P51
取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择 其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到 F1、F2 上，F1 到 F2 的长为 2a(a>0)，把笔尖放在 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔 尖就画出一条曲线，如图所示．
(2)双曲线定义的应用： ①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲线． ②若动点 M 在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．

双曲线的简单几何性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件


返
首
页
·
29
·
情
课
景
堂
导
小
学 探
法二：设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，
·
结 提
新
素
知
养
合
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14，
作
课
探 究
释
所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14，即49x2－y42＝1.
时 分 层 作
疑
业
难
返 首 页
·
30
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
[解]
方程 4x2－9y2＝－4 可化为标准方程y42－x2＝1，焦点在 y
·
提 素 养
9
合
作 探 究
轴上，这里 a2＝49，b2＝1，c2＝49＋1＝193.
课 时 分
层
释
作
疑 难
所以顶点坐标为0，23，0，－23.Biblioteka 业返 首 页·
21
·
情
课
景 导 学
焦点坐标为0，
313，0，－
313.
堂 小 结
学 ________.
·
结
探
提
新
素
知 合
5 [∵双曲线的标准方程为ax22－y92＝1(a>0)，
养
作
课
探 究
∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3ax.
时 分 层
释
作
疑 难
又双曲线的一条渐近线方程为 y＝35x，∴a＝5.]

高中数学-人教A版-必修第一册-第三章(圆锥曲线的方程)3.2双曲线


b＞0)
＞0，b＞0)
曲线
椭圆
双曲线
图形特征
封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续
根据标准方 程确定 a，b
以大小分 a，b(如x42＋y92 以正负分 a，b (如x92－y42＝ ＝1 中，9＞4，则,a2
的方法 ＝9，b2＝4)
1 中，a2＝9，b2＝4)
a，b，c 的 a2＝b2＋c2(a 最大)
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴9A＋21265B＝1， 2596A＋25B＝1，
解得A＝－116， B＝19.
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
规律方法 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下， 确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定 a2，b2 的数值，常由条件列方程组求解．
由双曲线的定义知， 点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为ax22－by22＝1(x>a)， ∵a＝ 2，c＝2 2，∴b2＝c2－a2＝6. 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x> 2)．
规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意： (1)双曲线的焦点所在的坐标轴； (2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
B＝
2R 10
＝|BC|1－0|AC|.
2R
又∵|BC|－|AC|＝±8，∴sin
A－sin sin C
B＝±180＝±45.

双曲线的简单几何性质(第2课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线的方程 3.2.2.2 双曲线的简单几何性质
导入
一、知识回顾
双曲线的简单几何性质：
标准方程
范围 对称性 顶点坐标
渐近线
x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
y2 - x2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
x≤-a或x≥a，y∈R
y≤-a或y≥a，x∈R
一个
一解
△=0
相离
0个
无解
△<0
探究新知
1.判断点与双曲线的位置关系
已知平面内任一点P(
x0，y0
)，双曲线 x a
2 2
y2 b2
1(a，b
0)
P在双曲线上:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口内:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口外:
x02 a2
y02 b2
1
y
O
x
观看动画演示，请说出直线与双曲线有几种位置关系？如何判断 直线与双曲线的位置关系？
Δ<0⇒直线与双曲线 没有 公共点，此时称直线与双曲线相离 ．
相交于一点 ．
例题巩固
例例11、3 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何值时，直线 l 与双曲线 C：
(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ y＝kx＋(1－k)，
解 设直线 l：y－1＝k(x－1)，即 y＝kx＋(1－k)． 由 x2－y2＝1，
(1)当 b2－a2k2＝0,即 k＝±ba时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，

高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修1_1


ac＝
5 2
即双曲线方程为x42－y2＝1.
，解得ab＝＝21 .
(3)设双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)， 因|F1F2|＝2c，而 e＝ac＝2， 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c. 由余弦定理得 (2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos 60°)． 化简，得 4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
Δ＝4k2＋81－k2>0 ∴x1＋x2＝1－2kk2<0
x1x2＝1－－2k2>0
，∴1<k< 2.
设 M(x0，y0)，则xy00＝＝kxx1＋02＋x12＝＝11－－k1kk22
，
由 P(－2,0)，M(1－kk2，1－1 k2)，Q(0，b)三点共线，不难得出，b＝－2k2＋2 k＋2.
设 φ(k)＝－2k2＋k＋2＝－2(k－14)2＋187. ∴φ(k)在(1， 2)上为减函数，φ( 2)<φ(k)<φ(1)且 φ(k)≠0. ∴－(2－ 2)<φ(k)<0 或 0<φ(k)<1， ∴b<－2－ 2或 b>2. 即 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为(－∞，－2－ 2)∪(2，＋∞)．
答案：B
4．(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，实轴长与虚轴长之比为 2∶3，且经过 P( 6，2)， 求双曲线方程； (2)求焦点在 x 轴上，离心率为53，且经过点 M(－3，2 3)的双曲线方程． 解析：(1)设双曲线方程为ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
依题意可得ab＝23， a42－b62＝1
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双曲线的实际应用问题
(12 分 )2010 年 4 月，青海玉树发生了里氏7.1级地震，为了援救 灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救 灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB送到矩 形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝ 150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾 民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿 道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药 较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求 出其方程．
[ 思 路 导 引 ] 分析轨迹特点 ―→ 建立直角坐标系 ―→
求出a，b，c ―→ 求方程 ―→ 确定变量范围 [规范解答] 设 M 点是分界线上任意一点，则|PA|＋|MA|
＝|PB|＋|MB|，所以|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值).2 分 故所求分界线是以 A，B 为焦点的双曲线的一支． 若以直线 AB 为 x 轴， 线段 AB 中点 O 为坐标原点， 建立直角坐标系，如图所示，4 分
解答此类问题要建立恰当的坐标 系并设出相应点的坐标，然后将相应曲线的轨迹方程求出．特 别要注意定义在确定轨迹上的应用，最后将实际问题转化成轨 迹间的关系，用轨迹方程的运算解决．
3．“神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时 将航天员安全救出，地面指挥中心在返回航预计到达区域安排 三 个 救 援 中 心 ( 记 为 A ， B ， C) ， A 在 B 的 正 东 方 向 ， 相 距 6 千 米 ， C 在 B 的 北 偏 西 30° 方 向 ， 相 距 4 千 米 ， P 为 航 天 员 着 陆 点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P 远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信 号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A处发现P的方位 角．
―→
可求出|PF1|·|PF2|
―→
求出△PF1F2的面积
[边听边记] ∵||PF1|－|PF2||＝8， 又|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ3＝100， ∴|PF1|·|PF2|＝36， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinπ3＝9 3. 所以△PF1F2 的面积为 9 3.
第二课时 双曲线方程与性质的应用
讲课堂互动讲义
双曲线的焦点三角形问题
双曲线1x62 －y92＝1 上有一点 P，F1、F2 是双曲线的焦
点，且∠F1PF2＝π3，求△PF1F2 的面积．
[思路导引]
利用定义||PF1|－|PF2||＝2a ―→
解△PF1F2得|PF1|2＋|PF2|2 －2|PF1|·|PF2|·cos θ＝4c2
利用双曲线的定义解决与焦点有 关 的 问 题 ， 一 是 要 注 意 定 义 条 件 ||PF1| － |PF2|| ＝ 2a 的 变 形 使 用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系，二是要与三 角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时 要注意整体运算思想的应用．
已知斜率为 2 的直线被双曲线x32－y22＝1 所截得的弦
长为 4，求直线 l 的方程．
[思路导引]
设直线y＝2x＋b ―→
解方程组x32－y22＝1 y＝2x＋b
―→ 两点间距离公式 决方法就是联立方程，运用韦达定理求解，但要注意求得的 参数值是否满足条件(即Δ＞0成立)．
1．若 F1、F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点，P 在双曲线 上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
解析： 由双曲线的对称性，可设点 P 在第一象限，F1、 F2 为左、右焦点，由双曲线的方程，知 a＝3，b＝4.
∴c＝5. 由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 x1、x2 是方程(*)的两个不等实根， ∴Δ＝4k2(8－k)2－4(k2－4)[(8－k)2－4]＞0. ① ∵弦 AB 的中点是 P(1,8)， ∴由中点坐标公式与韦达定理，得－kk82－－4k＝1. ② 由①②得 k＝12. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
设所求双曲线方程为ax22－by22＝1，其中 a＝25，由余弦定理 可求得 2c＝|AB|＝50 7，所以 c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750.8 分
B 点坐标为(25 7，0)，将 x＝25 7代入6x225－3 y7250＝1 中 得 y＝150(负值舍去)10 分
因此，所求的曲线方程为6x225－3 y7250＝1(x≥25,0≤y≤60)， 它是双曲线右支的一部分.12 分
方法二：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 y21－4x21＝4，y22－4x22＝4， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1＋x2)(x1－x2)． ∵线段 AB 的中点是 P(1,8)， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝16. ∴16(y1－y2)＝4×2(x1－x2)． ∴直线 AB 的斜率为yx11－－yx22＝21. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64 ＝100.
由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0. ∴∠F1PF2＝90°.
直线与双曲线的位置关系
2．以P(1,8)为中点作双曲线y2－4x2＝4的一条弦AB，求直 线AB的方程．
解析： 方法一：当过点 P 的直线和 x 轴垂直时，直线被 双曲线截得的弦的中点不是点 P.
当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设其斜率为 k，则直线 AB 的 方程为 y－8＝k(x－1)．
由yy－2－84＝x2k＝x4－1 ，得(k2－4)x2＋2k(8－k)x＋(8－k)2－4＝ 0(k2－4≠0)．(*)