吉林省长春外国语学校2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
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吉林省长春外国语学校2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）
A． {﹣1， 0，1} B． {0，1，2} C． {0，1} D．{1，2]
2．（5分）“a=0是f（x）=为奇函数“的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．（5分）p：∀x∈R，log2x＞0，q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列为真的是（）
A． p∨q B． p∧q C． （￢p）∧q D．p∨（￢q）
4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）
A． B． y=x﹣1 C． y=x3 D．y=2x
5．（5分）已知a=30.5，b=log3，c=log32，则（）
A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞a＞b D．b＞a＞c
6．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的零点个数为（）
A． 0 B． 1 C． 2 D．以上都不对
7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）
A． B． 2 C． 4 D．8
8．（5分）函数f（x）=的定义域为（）
A． （0，3） B． （0，3] C． （3，+∞） D．[3，+∞）
9．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且f（x+1）=f（1﹣x），若f（1）=5，则f=（）
A． 5 B． ﹣5 C． 0 D．3
10．（5分）函数y=4x+2x+1+1的值域为（）
A． （0，+∞） B． （1，+∞） C． [1，+∞） D．（﹣∞，+∞）
11．（5分）若f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2+1，则当 x∈[3，5]时，f（x）=（）
A． （x+3）2+1 B． （x﹣3）2+1 C． （x﹣4）2+1 D．（x﹣5）2+1
12．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）
A． （﹣2，0） B． （﹣2，﹣1） C． （0，1） D．（0，2）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.
13．（5分）f（x）=的单调递增区间为．
14．（5分）已知函数f（x）=+3（a＞0且a≠1），若f（1）=4，则f（﹣1）=．
15．（5分）直线ρcosθ﹣ρsinθ+a=0与圆（θ为参数）有公共点，则实数a的取值范围是．
16．（5分）函数f（x）=的零点个数为．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=，Sn是数列{bn}的前n项和，求证：Sn＜．
18．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：
观众年龄 支持A 支持B 支持C
20岁以下 200 400 800
20岁以上（含20岁） 100 100 400
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．
（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．
19．（12分）如图，在几何体ABCD﹣A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．
（1）求证：BD1⊥A1C1．
（2）求该几何体的体积．
20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若直线l过F2，且倾斜角为45°，交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）求△ABF1的周长与面积．
21．（12分）已知函数
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
22．（10分）已知曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，直线l的参数方程（t为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；
（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程．
（2）若M、N分别为曲线C与直线l上的两个动点，求|MN|的最小值．
吉林省长春外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）
A． {﹣1，0，1} B． {0，1，2} C． {0，1} D．{1，2]
考点： 交集及其运算．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 本题可先对集合B进行化简，再利用交集运算的法则求出集合A、B的交集，得本题结论．
解答： 解：∵集合B={x|1≤2x＜4}，
∴B={x|0≤x＜2}，
∵集合A={﹣1，0，1，2}，
∴A∩B={0，1}．
故选C．
点评： 本题考查了集合的交集运算，本题难度不大，属于基础题．
2．（5分）“a=0是f（x）=为奇函数“的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．
分析： 先求f（x）的定义域，然后a=0时求出f（x），并容易判断此时f（x）的奇偶性；而由f（x）是奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），所以能够求出a=0，这样便可得到“a=0”是“f（x）=为奇函数”的什么条件．
解答： 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠±1}，若a=0，f（x）=；
∴f（﹣x）=；
∴f（x）是奇函数；
a=0是f（x）=为奇函数的充分条件；
（2）若f（x）=是奇函数，则：
f（﹣x）==；
∴a=﹣a；
∴a=0；
∴“a=0”是“f（x）=为奇函数”的必要条件；
综合（1）（2）得“a=0“是“f（x）=为奇函数“的充要条件．
故选C．
点评： 考查奇函数的定义，判断一个函数是否为奇函数的方法，以及充分条件、必要条件、充要条件的概念．
3．（5分）p：∀x∈R，log2x＞0，q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列为真的是（）
A． p∨q B． p∧q C． （￢p）∧q D．p∨（￢q）
考点： 复合的真假；特称．
专题： 简易逻辑．
分析： 判断P与q的真假，然后判断选项的正误．
解答： 解：p：∀x∈R，log2x＞0，是假；￢p是真；
q：∃x0∈R，2x0＜0，是假；￢q是真；
所以p∨q是假；p∧q是假；（￢p）∧q是假；p∨（￢q）是真．
故选：D．
点评： 本题考查的真假的判断与应用，基本知识的考查．
4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）
A． B． y=x﹣1 C． y=x3 D．y=2x
考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 常规题型；计算题．
分析： 定义域为[0，+∞）不关于原点对称，；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数；又f（﹣x）=f（x）．
解答： 解：定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数，不具有奇偶性；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数；又f（﹣x）=f（x）所以是奇函数．
故选C
点评： 本题主要考查一些基本函数的单调性和奇偶性，要作为结论记牢并灵活运用．
5．（5分）已知a=30.5，b=log3，c=log32，则（）
A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞a＞b D．b＞a＞c
考点： 对数值大小的比较．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用对数函数的单调性即可得出．
解答： 解：∵a=30.5＞1，b=log3＜0，0＜c=log32＜1，
∴a＞c＞b．
故选：A．
点评： 本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．
6．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的零点个数为（）
A． 0 B． 1 C． 2 D．以上都不对
考点： 等比数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等比中项的性质得b2=ac＞0，再判断出方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0，即可得到结论．
解答： 解：因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac＞0，
则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0，
所以此方程没有实数根，
即函数y=ax2+bx+c的零点个数为0个，
故选：A．
点评： 本题考查等比中项的性质，函数的零点与方程的根的关系，注意判断式子的符号．
7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）
A． B． 2 C． 4 D．8
考点： 对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据对数的运算法则可求出f[f（）]的值，从而可将f（f（4））从内向外去除括号，求出所求．
解答： 解：由题意可得：函数f（x）=，
所以f（）=log2=﹣1
∴f（﹣1）=2﹣1=，
故选A．
点评： 本题主要考查了函数求值，解决此类问题的关键是熟练掌握对数的有关公式，并且加以正确的运算，属于基础题．
8．（5分）函数f（x）=的定义域为（）
A． （0，3） B． （0，3] C． （3，+∞） D．[3，+∞）
考点： 对数函数的单调性与特殊点．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由条件利用对数函数的单调性和特殊点，解对数不等式求的x的范围．
