2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课件

所以
B=60°.所以
cos
B=
������2+������2-������2 2������������
=
12.
所以 a2+c2-b2=ac.所以原式成立.
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题型一
题型二
题型三
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重难聚焦
证法二:(综合法) 因为△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,
所以B=60°.由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°, 所以c2+a2=ac+b2. 两边同时加上ab+bc,得
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典例透析
证法一:(分析法)
要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,
即证
1 ������+������
+
1 ������+������
=
������+3������+������,
只需证
������+������+������ ������+������
A.综合法 B.类比法 C.分析法 D.归纳法
解析:从要证明的不等式不易发现证明的出发点,类比法、归纳
法更不可行,故应选择分析法,选C.
答案:C
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典例透析
1.怎样理解分析法? 剖析(1)分析法是由结论到条件的逆推证法,它的思维特点是从 “未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻求它的充 分条件.分析法是“执果索因”,一步步寻求使上一步成立的充分条件, 因此分析法又叫做逆推证法或执果索因法. (2)当不知从何入手时,有时可以运用分析法去获得解析,特别是 对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效的方法.另外, 对于恒等式的证明,也同样可以运用分析法. (3)分析法的书写形式一般为“因为……,所以证明……,只需 证……,即证……,因此,只需证明…….因为……成立,所以……成 立”.

(
)
答案：C
3．欲证 2－ 3＜ 6－ 7成立，只需证 A．( 2－ 3)2＜( 6－ 7)2 B．( 2－ 6)2＜( 3－ 7)2 C．( 2＋ 7)2＜( 3＋ 6)2 D．( 2－ 3－ 6)2＜(－ 7)2
(
)
答案：C
4．如果 a a＞b b，则实数 a，b 应满足的条件是________．
综合法的解题步骤
[活学活用]
1．已知 a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2 ≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
1 1 2．设数列{an}满足 a1＝0， － ＝1. 1－an＋1 1－an (1)求{an}的通项公式； 1－ an＋1 (2)设 bn＝ ，Sn＝b1＋b2＋„＋bn，证明：Sn＜1. n
件 __，直至最后，把要证明的
结论归结为判定一个明显 成 立 的 条 件 ( 已 知 条
公理等) 件、 定理 、 定义、
为止． 这种证明方法叫做分 析法
得到一个明显成立的条件 果索 因法
3．综合法、分析法的区别
综合法 推理方向 解题思路 顺推，由因导果 探路较难，易生
分析法 倒溯，执果索因 容易探路，利于思考
直接证明与间接证明
2．2.1 综合法和分析法
预习课本 P36～41，思考并完成下列问题
(1)综合法的定义是什么？有什么特点？ (2)综合法的推证过程是什么？ (3)分析法的定义是什么？有什么特点？ (4)分析法与综合法有什么区别和联系？
[新知初探]
1．综合法

只需证11－ ＋ccssooiinnss2222xxxx＝211－＋cscsoioinsns2222yyyy，
即证ccooss22xx－ ＋ssiinn22xx＝2（ccooss22yy－＋ssiinn22yy），
栏 目
即证 cos2x－sin2x＝12(cos2y－sin2y),
链 接
∵BB1∩AB＝B，∴CB⊥平面AA1B1B.
又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴CB⊥AB1.
∵四边形A1ABB1为菱形，
∴AB1⊥A1B.
栏
∵CB∩A1B＝B，
目 链
∴AB1⊥平面A1BC.
接
(2) 若
x，y≠kπ
＋
π 2
(k∈Z)
，
试
用
分
析
法
证
明
：
1－tan2x 1＋tan2x
＝
1－tan2y 2（1＋tan2y）.
证明：(1)∵ sin θ与 cos θ的等差中项是 sin x，等比中项是 sin
y，
∴ sin θ＋cos θ＝2sin x，①
sin θcos θ＝sin2y，②
①2－②×2，可得
栏 目
(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝4sin2x－2sin2y，
链
即 4sin2x－2sin2y＝1.
接
∴ 4×1－c2os 2x－2×1－c2os 2y＝1,
即 2－2cos 2x－(1－cos 2y)＝1.
故证得 2cos 2x＝cos 2y.
(2)要证11＋ －ttaann22xx＝2（11－＋ttaann22yy），
只需证 cos 2x＝21cos 2y.
由(1)的结论可知，cos 2x＝12cos 2y 显然成立．

满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
第七页，共三十页。
证明 ： (zhèn由gmAín，g) B，C成等差数列(děnɡ chā shù 2B=A+C. ①
l因iè)为，A有，B，C为△ＡＢC的内角(nèi jiǎo),所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
由① ②，得 B = π . ③ 3
由a，b，c成等比数列，有 b 2 = ac. 由余弦定理及③，可得 b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c c o s B = a 2 + c 2 - a c . ④ 再由④，得 a2 +c2 -ac=ac, 即（a-c）2 =0.
= 1 6 sin α (1 + c o sα ) • sin α (1 - c o sα )
co sα
co sα
sin 2α (1 - c o s 2α )
sin 2α sin 2α
= 16
co s 2α
= 1 6 co s 2α
= 1 6 sin 2α ta n 2α ，
从 而 (a 2 - b 2 )2 = 1 6 sin 2α ta n 2α . 所以，命题成立.
因此 a=c.
从而 A=C. ⑤
由 ② ③ ⑤ ,得A = B = C = π . 所以△ＡＢC为等边三角形.
第八页，共三十页。
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转换， 如把文字(wénzì)语言转换成符号语言，或把符号语 言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其 中的隐含条件明确表示出来.
用综合法比较困难.
第十七页，共三十页。
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自
(gèzì)的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两 种证明方法的新认识.