久期凸度的定义、表达式以及背后的数学原理

久期、凸度的定义及数学推导
目录
1久期D (1)
1.1久期定义 (1)
1.2久期表达式 (2)
1.3久期作用 (2)
1.3.1 衡量加权平均期限 (2)
1.3.2 测度利率敏感性 (3)
2 凸度C (5)
2.1凸度定义 (5)
2.2表达式 (5)
2.3数学原理 (5)
1久期D
1.1久期定义
久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性
（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏
感度。

（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。

比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。

（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。

1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）
美元久期： D ** =D *P 公式（3）
【CFt ：债券每期现金流】；
【r ：到期收益率或市场利率】；
【t ：债券期数】。

1.3久期作用
1.3.1 衡量加权平均期限
麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；
1.3.1.1 数学原理
从公式（1）t P r t ∑==+=n
t 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；
求证：权重加总求和
∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1
t t =+∑==t r ） =P p
1 =1
1.3.2 测度利率敏感性
当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。

1.3.
2.1数学原理
①债券定价公式 )1/(CF P n
t 1t t ∑==+=t r ，记为P=f （r ），r 是自变量，
P 是因变量，假设其他参数均为已知且不变。

②一阶导数：
f `（r 0）=P`=0r r n
t 1t 1-t -t r)(-t)(1CF ===∑+【注：(1+r)-t 求导为-t(1+r)-t -1】 =0n
t 1
t t r r )1/(CF r 11-=++∑==t r t 【注：-1/(1+r)与t 无关提到前面】 =0n t 1
t t r r )1/(CF r 1P -=++∑==t P r t 【注：乘以P/P ，1/p 与t 无关提到后面】 =Dm r 1P -+ 【注：带入麦考利久期公式Dm )1/(CF n t 1
t t =+∑==t P r t 】 =*PD - 【注：带入修正久期公式*D r)Dm/(1=+】
=**D - 【注：带入美元久期公式***D PD =】
③泰勒估计式及其运用（泰勒一阶估计式）
△P =△f(r)≈f `（r 0）△r=Dm r
1P -
+△r=*PD -△r =**D -△r
从上述推导可知，美元久期（D**）表示，利率增加或减少一个百分点，债券的绝对价格会相应的减少或增加D**。

等式两边同除P 得：P P △=r
1Dm -+△r=*D -△r 故修正久期（D*）表示，利率增加或减少一个百分点，债券的价格相对会相应的降低或增长D*个百分点。

总结：美元久期（D**）衡量的是利率变动对债券绝对价值变动的影响，修正久期（D*）和麦考利久期（Dm ）衡量的是利率变动对债券相对价值变动的影响。

2 凸度 C
2.1凸度定义
凸度（C ）是收益率变化 1%所引起的久期的变化。

用来衡量债券价格收益率曲线的曲度。

凸度越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正久期度量的利率风险所产生的误差越大。

2.2表达式
∑==+++=n t 1t t 2
)1(1)CF t(t )1(p 1C t r r
2.3数学原理 ①债券定价公式 )1/(CF P n
t 1t t ∑==+=t r ，记为P=f （r ），r 是自变量，
P 是因变量，假设其他参数均为已知且不变。

②一阶导数：
f `（r 0）=P r
1Dm -+【由上一节的久期数学原理可知】 ③二阶导数：
f ``（r 0）=[f `（r 0）]`=]`}` )1/(CF {[n
t 1t t
∑==+t r
=0n
t 1
t 1t
]`)1)(-t (CF [r r r t =+∑==-- 【对r 求导第一次】 =0n t 1t 2t
])1)(1)(-t (CF [r r r t t =+--∑==--【对r 求导第二次】 =0n t 1
t t 2])1(CF )1(t )1(1[r r r t r t =+++∑==【负负抵消，1/(1+r)2提到前面去】 =0n t 1
t t 2])1(CF )1(t )1(P 1[P r r r t r t =+++∑==【乘以P p 】 =C P 【带入凸度表达式C )1(1)CF t(t )1(p 1n t 1
t t 2=+++∑==t r r 】 从上述推导可知，凸度C 与债券价格对利率二次求导有关，也就是凸度C 与久期对利率求导有关，故凸度C 也衡量了久期对利率的敏感性。

④泰勒估计式（泰勒二阶估计式）
△P =△f(r)≈200r )r (`` f 2
1r )r (` f △△+ f `（r 0） 20r )r (`` f 2
1r P r 1Dm -△△++= 【带入②中f `（r 0）】 2r C P 2
1r P r 1Dm -△△++=【带入③中f ``（r 0）】 上式两边同除以P 可得：2r C 21r r 1Dm -P P △△△++=
因泰勒二阶估计式（包含凸度C 和久期D ）比泰勒一阶估计式（仅包含凸度）更准确，故凸度C 可以用于修正久期度量
的利率风险所产生的误差。