高中数学一题多解例题

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒〞的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？〞成了学子们问得最多的问题。而怎样答复这个问题便成了老师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就纯熟了，成绩就进步了！于是，“题海战术〞便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧〞，当然，多做体肯定对学生数学成绩的进步有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从进步学生的数学思维才能和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来进步学生的学习兴趣和才能。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进展比照、联想，采取一题多解与一题多变的形式进展教学。这对培养学生思维的广阔性、深化性、探究性、灵敏性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，才能进步的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。

一、在公式的推导中运用一题多解

数学的公式在数学的解题中的作用是非常宏大的。并且，要学好数学，就必须纯熟的运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。我们假如在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。例如：在学习等差数列通项公式an=a1+(n-1)d时，

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。

一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。

一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。

在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一 要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。同时，教师要注重引导和讨论，鼓励学生分享自己的解题思路和方法，从而促进学生之间的交流和合作。

高中数学经典例题100道(共44页)

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 例1 判定以下关系是否正确

(1){a}{a}

(2){1，2，3}＝{3，2，1}

(3){0}≠

(4)0∈{0}

(5){0}(6){0}∈＝

分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．

说明：含元素0的集合非空．

例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．

分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．

解含有个元素的子集有：； 0

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；

含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．AA

例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {ab}A{abcd}A

________．

分析 A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．

答 共3个．

说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．

例设为全集，集合、，且，则≠4 UMNUNM

[ ]

分析 作出4图形．

答 选C．

说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． - 3 -

点击思维

例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是

[ ]

AAB BABCAB DAB．＝．．．≠≠

分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上

x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，

y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．

[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

杨水长

摘 要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。 关键词:一题多变 一题多解 创新思维 数学效果

很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很

多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。 而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，

高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生

数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙:

,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们法三 tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题:

43,3sin?= sin,,cos4cos,法一 根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α +

cos2α =1。 ?= = ?

16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，43334

34555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。 55分析:上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接34求解就简洁些: