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高中数学 一题多变一题多解特训(十二)

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一题多解 一题多变（十二）
一 题 多 解，妙 不 可 言——求动点轨迹方程
2010年江南十校联考（理科）第20题求动点轨迹问题，参考答案仅提供一种方法。

在实际教学过程中，带领学生通过探究讨论发现还有更多巧妙的方法，现总结如下。

问题：如图，过圆42
2
=+y x 与x 轴的两个交点A ，B 作圆的切线AC ，BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线交AC ，BD 于C ，D ，设AD ，BC 的交点为R ，求动点R 的轨迹E 的方程
方法一（参考答案）：
设4),(2
02000
=+∴y x y x H 则:0
0000)02(x y
k x x x y k CD OH -=∴≠±≠=
且 故切线CD 的方程:)(00
0x x x y y y --
=- 切线交AC 于)4
2,
2(0
0y x C +-， 交BD 于)24,
2(0
y x D - 所以AD 方程为)1()2(4240
+-=
x y x y
BC 方程为)2()2(4240
--+=
x y x y
由（1）×（2）得：)3()4(1641622
2
2
---=x y x y 42
020
=+y x 由
得2
0204x y -=代
入（3）式可得)4(4
12
2
--=x y 1422=+∴y x 当00=x 时，R （0，1）也满足方程142
2=+y x ，故R 的轨迹E 的方程是)0(14
22≠=+y y x 方法一比较通用，但在化简计算过程中比较繁琐，能否回避大量的计算呢？下面方法二明显优于方法一。

方法二：设切线CD 方程为b kx y +=，即0=+-b y kx ，)1(41
2222+=⇒+=
=∴k b k b r
)2,2()2,2(k b D k b C +--∴，所以AD 方程为)1()2(4
2++=
x k
b y BC 方程为
)2()
2(4
2---=x k b y ，由（1）×（2）得：)3()4(16
42
2022
---
=x k b y
)1(42
2
+=k b ，代入可得)4(4
12
2
--=x y 即 )0(1422≠=+y y x
上述两法均用交轨法求出R 的轨迹方程，区别仅在于运算量。

有无更巧的方法呢？本题中根据
点H 落在坐标轴上时，可以猜想出方程可能是)0(14
22
≠=+y y x ，而在椭圆性质中，椭圆上任意一点到椭圆长轴上两端点连线的斜率之积为定值，以此为突破口，借助圆的切线性质可以求之。

方法三：设),2()
,2(21y D y C - 不妨设0,021>>y y ，由圆的切线性质可知：
2121y y CD y DH y CH +=∴== 过C 作CE ⊥BD 交BD 于E ，故12DE , 4 CE y y -== ，
由勾股定理知：4)(4)(212
122
2
21=⇒-+=+y y y y y y
而4116442112-=-=-=
=y y y y k k k k BC AD RB RA ，令),(y x R 4
1
22-=-+=x y x y k k RB RA 化简可得：)0(14
22
≠=+y y x 方法三运用平几与解几相结合，回避了求直线方程，简化了计算，真的很巧，但有没有更妙的方法呢？大家都知道椭圆是由圆压缩而成的，此处的椭圆是如何压缩的呢？请看方法四，读者一定会感到此法最妙！
方法四：连接HR 交x 轴于F ，BD HR HD
CH
RB CR DH BD CH AC RB CR BD AC BD AC //,//⇒=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
===⇒
故HF ⊥x 轴。

RH RF BD
RH
BD RF BD RH CD CH AB AF BD RF =⇒=⇒===∴
故R 为HF 的中点，设),(y x R ，42)
,(2
0200000
=+⎩⎨
⎧==∴y x y
y x
x y x H
442
2
=+∴y x ，故R 的轨迹E 的方程是)0(14
22
≠=+y y x
此法运用了相似比巧妙地求出了R 是H 点沿纵向压缩一半而得，从而便捷地求出了R 的轨迹方程。

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2025高中数学拔尖,一题多解经常练：14个模块,91个例题第12讲 几何坐标真给力(含解析)

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一题多解第12讲圆锥曲线离心率几何坐标真给力典型例题【例1】设椭圆2222:1x y C a b (0)a b 的左焦点为F ，直线l ：y kx (0)k 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AF BF ，π0,12FAB，则椭圆C 的离心率的取值范围是【例2】设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为A ,交另一条渐近线于点B .若2AF FB,则C 的离心率是（）B.2C.233D.143【例3】已知双曲线22221(0)x y a b a b的两个焦点为12,F F ,若P 为双曲线上一点,且122PF PF ,则双曲线离心率的取值范围为（）A.1,3 B. 1,3.C. 3,D.3, 【例4】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的左焦点为F ,若双曲线右支上存在点P ,使得线段PF 的中点Q 仍在双曲线上,则双曲线离心率的取值范围是________.【例5】设P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b上的一点,12,F F 分别为C 的左、右焦点,若12PF F 的内切圆的直径为a ,则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A.5,2B.C.52D.【例6】已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12,F F ,曲线12,C C 的一个交点为P ,且1PF 2PF ,则1C 的离心率1e 与2C 的离心率2e 一定满足的关系是（）A.122e e B.12112e e C.22122e e D.2212112e e强化训练1.如图12128,,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若212,MF F F 则C 的离心率是（）A.3B.22.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123F PF,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）43A.323B.3.3C .2D 3.如图129 ,已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的左、右焦点分别为1212,,8,F F F F P是双曲线右支上的一点,直线2F P 与y 轴交于点1,A APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ,若2PQ ,则该双曲线的离心率为（）C.2D.34.已知点P 在y 轴上,点2,A F 分别为双曲线22221x y a b的右顶点及右焦点,且PA 与2PF 的夹角为6,则此双曲线离心率e 的最小值为________.5.设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于点N ,若3MF FN,则双曲线C 的离心率是________.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点,若5,,1212AF BF FAB,则椭圆C 的离心率的取值范围是________.7.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b 的左、右焦点分别 12,0,,0,F c F c P 为椭圆M上任意一点,且12PF PF 的最大值的取值范围是22,3c c,其中c ,则该椭圆的离心率的取值范围为________.8.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,过椭圆左焦点的直线交椭圆于,P Q 两点,且OP OQ ,则椭圆离心率的取值范围是________.9.如图1210,,A F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左顶点、右焦点,过点F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y 轴分别交于,P Q 两点.若AP AQ ,则C 的离心率是（）C.1134D.117410.已知点 ,0F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b的右焦点,P 为双曲线左支上一点,线段PF 与圆22239c b x y相切于点Q ,.且2PQ QF ,则双曲线的离心率等于（）D.211.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左、右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且2121,PF F F PF 与y 轴交于点Q ,点M 满足213F M MF,且1MQ PF ,则双曲线C 的离心率为（）C.2D.212.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b和圆222:O x y b ,若C 上存在点P ,过点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,且满足60APB ,则椭圆的离心率的取值范围是________.一题多解第12讲圆锥曲线离心率几何坐标真给力典型例题【例1】设椭圆2222:1x y C a b (0)a b 的左焦点为F ，直线l ：y kx (0)k 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AF BF ，π0,12FAB，则椭圆C 的离心率的取值范围是【解析】【解法1】如图121 ，设右焦点为F ，易知四边形AFBF 是矩形，令||AF m ，||BF n ，所以2cos m c ，2sin n c ，π0,12，2cos 2sin 2m n c c a，所以11πsin cos 4c e a.因为π0,12，所以πππ,443 ，π23sin ,422 .所以π1,42，所以1,1π34e.【点拨】利用椭圆定义以及椭圆的对称性得到离心率的表达式，再由三角函数的有界性求解.【点拨】先由直角三角形的性质求出A 点的坐标，代入椭圆方程得到 与e 之间的关系，利用余弦函数的有界性得到关于e 的不等式.【解法2】如图121 ，易得AFO ，(,0)F c ，则有2AOF ，所以(cos 2,sin 2)A c c .又因为点A 在椭圆上，所以2222(cos 2)(sin 2)1c c a b ，整理得2242424221cos 2a c a c e e ，因为π0,12，所以3cos 2,12，所以242134e e ，且24211e e ，化简后解得2223e ，又因为1e ，所以613e .【解法3】以AB 为直径的圆的方程为222x y c ，所以222x y c y kx，222222211c x k k cy k，所以2222222111c k c a k b k 422222b k a c a b ，因为tan 2k ，所以210,3k，所以42222103b a c a b ，又因为222a b c ，ce a且01e ，所以上式整理后解得13e .又因为点A 在椭圆上，所以2222(cos 2)(sin 2)1c c a b，整理得2242424221cos 2a c a c e e ，因为π0,12，所以cos 2,12，所以242134e e ，且24211e e ，化简后解得2223e ，又因为1e，所以13e .【点拨】设直线AB 的方程为y kx ，由已知可得A ，A 在以O 为圆心，c 为半径的圆上，联立方程组消去x ，y 后得到k 与a ，b ，c 的关系式，利用倾斜角范围求出k 的范围，得到不等式求解.【解法4】设椭圆的右焦点为F ，易知四边形AFBF 是矩形，令||AF m ，||BF n .如图12-1，2cos m c ，2sin n c ，π0,12，由椭圆定义知:2cos 2sin 2m n c c a ，又因为tan n m，π0,12，tan (0,2 ，所以1sin cos c e a，其中2212tan tan 22311111tan 2tan 2tan，所以13e .【点拨】同【解法1】得到离心率e 与 的关系，把表达式平方后，，利用对勾函数求解.【解法5】因为,AF BF O 是AB 的中点,所以,0,12OF OA FAB.所以0,6AOx,当6AOx 时,此时点A 记为0A .由2222,1x y y x a b 得222220221141,33x OA x y x ab .由题意得0OA OA c ,所以220OA c ,所以22241.1133c a b所以423840e e .又因为01e ,所以13e .【点拨】利用椭圆上点到原点距离的变化趋势,结合极端情况,得到离心率的不等式巧解.【解法6】因为AF AF ,所以四边形AF BF 为矩形,又因为2AB c ,所以212cos 2sin sin22FAB S c c c,因为22tan45AFF S b b,所以222221sin2,sin21b c b c e,因为012,所以10sin22 ,所以211012e ,所以2213e ,又因为01e ,所以13e .【点拨】利用矩形面积转化成两个焦点三角形面积后确定参数范围.【赏析】【解法1】利用橢圆的对称性,将BF 转化为AF ,将AF 与AF 用角 表示,再利用椭圆的定义将离心率e 表示为 的函数,进而求出离心率e 的取值范围。

圆的一题多解一题多变

圆的一题多解一题多变

亲爱的同学们：数学常常一题多解，在多解的探索过程中，犹如一次历险记，本期我们将通过答案的展示再次一起去感受题目的构造美、图形美、因果美、推理美、创造美、对称美！已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且AB=BC,E为弧BC上的一点，求AE=BE+CE．【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利用截长补短的解题方法．1.一题多解（1）利用截长方法的方法解题解析：在AE上取点F，使得AF=BE,(AFC BECAF BEFAC EBCAC BC∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中作法可得）（同弧所对的圆周角相等）（等边三角形边相等）AFC∆≌BEC∆(SAS)∴CF=CE60AEC ABC∠=∠=︒∴ECF∆是等边三角形∴EF=ECAE=AF+EF∴AE=BE+CE（2）利用补短的方法解题解析：延长EB至点F,使BF=EC,BF ACEB C(ABF ACE ABEB AAF EA C∆∆=⎧⎪∠=∠∠⎨⎪=⎩在和中作法可得）（同角的补角相等）（等边三角形边相等）ABF∆≌ACE∆(SAS)FE∴BAF=CAE ∠∠ AE=AFCAE+EAB=60∠∠︒∴+EAB=60BAF ∠∠︒ ∴AFE ∆是等边三角形 ∴AE=EF=BE+BF 即AE=BE+CE（3）利用旋转的方法解题解析：将ACE ∆顺时针旋转60︒，则ABF ∆≌ACE ∆∴AEF ∆是等边三角形，ACE ABF ∠=∠+ABE=180ACE ∠∠︒(圆内接四边形对角互补)∴BF+ABE=180A ∠∠︒ 即点F 、B 、E 三点共线 ∴AE=EB+BF 即：AE=EB+EC（4）利用平行的方法解题解析：过点C 作AE 的平行线CF 交圆于点F ，连接AF.（5）利用托勒密定理解题解析：利用托勒密定理可得+EC AB=AE BC BE AC ⋅⋅⋅ ABC ∆是等边三角形∴AB=AC=BC ∴BE+EC=AE九年级版ECF//AEFCE+18060+CFB=180CE//FGCEGF BEG AFG BE=EG,CF=GF=AG BF+CF=GE+AG=AECEA BFC CEA FCE ∴∠∠=︒∠==︒∴∠∠︒∴∴∆∆∴∴即四边形是平行四边形和是等边三角形F。

“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用

“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用

探索篇誗方法展示在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。

培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。

“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。

数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。

一、“一题多解与一题多变”的教学价值1.“一题多解”的教学价值“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。

这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。

教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。

2.“一题多变”的教学价值“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。

采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。

它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。

“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。

二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用1.培养开放性思维方式数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。

高考数学一题多解一题多变测试3

高考数学一题多解一题多变测试3

一题多解、一题多变（课本P102）证明：2 22221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(xfxfxxfbaxxxfxfxfxxfbaxxf++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示，),,,)((4321=ixfi是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的21xx,，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f xλλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ A ）A、)(),(31xfxf B、)(2xf C、)(),(32xfxf D、)(4xf变题2、定义在R上的函数)(xf满足：如果对于任意Rxx∈21,都有222121)()(≤)(xfxfxxf++则称函数)(xf是R上的凹函数。

已知二次函数),()(02≠∈+=aRaxaxxf（1）求证：当0>a时，函数)(xf是凹函数；（2）如果],[1∈x时，1≤|)(|xf，试求实数a的取值范围。

（1）证明：略（2）实数a的取值范围是[2,0)-二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52 =523552222lg lg lg lg lg -lg ++=5522222lg lg lg lg ++=1522=+)lg (lg 解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+-=1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+=1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++ =1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg =)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++ =352)lg (lg +=1。