高中数学多题一解 一箭双雕 学法指导
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高中数学多题一解 一箭双雕
谌祖辉
人教版高中数学新教材第二册（上）第八章有这样三道习题：
（1）（P133B 组第3题）过抛物线)0p (px 2y 2>=的焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B 两点向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，求证：∠CFD ＝90°。
（2）（P199习题第7题）过抛物线px 2y 2=的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为21y ,y ，求证：.p y y 221-=
（3）（P123习题第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于A 、B 两点，经过点A 和抛物线顶点的直线交于准线于点M ，求证：直线BM 平行于抛物线的对称轴。
这三道习题都与过焦点的直线有关，因此它们必有必然的联系。
现就说明如下：
（1）证明：如图1，准线与x 轴相交于点E ，
由抛物线的定义，可知AF ＝AC ，BF ＝BD ，
∴∠ACF ＝∠AFC ，
∠BDF ＝∠BFD ，
∵∠CFE ＝∠ACF ，∠DFE ＝∠BDF （两直线平行，内错角相等）
∴∠CFE ＝∠AFC ，∠DFE ＝∠BFD
∴∠CFE ＋∠DFE ＝∠AFC ＋∠BFD
又∵∠AFC ＋∠CFE ＋∠DEF ＋∠BFD ＝180°
∴∠CFD ＝∠CFE ＋∠DFE ＝90°
（2）证明：如图1，设A 、B 两交点的纵坐标分别为,y ,y 21
则21y |DE |,y |CE |,p |EF |-===
∵∠CFD ＝90°，EF ⊥CD
∴212y y |DE ||CD ||EF |-==（射影定理）
即221p y y -=
（3）证明：不妨设抛物线为,px 2y 2=则问题转为证BM 平行于x 轴，也即须证B 、M 两点的纵坐标相同。
如图2
因为A ，B 在抛物线上，所以可设),y ,p 2y (B ),y ,p 2y (A 222121 则直线AO 的方程为：,x y p 2y 1=准线方程为：2
p x -= 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==2p
x x y p 2y 1得交点M 的纵坐标为：12M y p y -= ∵由（2）知,p y y 221-=∴21
2M y y p y =-= ∴BM 平行于x 轴。
其实上述三题的证法可归纳为同一证法，而且这三题之间还有这一关系，只要证出其中任一题的结论，都可在此基础上证出其它两题的结论。
由此可见，如果我们平时在解题时多注意挖掘题目的条件，搜寻各题之间存在的关系，那么在今后解题时就可以做到举一反三，触类旁通，达到一箭双雕之功效。
上述三题都是关于过抛物线焦点的直线的问题，我们把过抛物线的焦点，且端点在抛物线上的线段称为抛物线的焦点弦。
由（3）容易得如下结论：过抛物线px 2y 2=的焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B 两点向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，由A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点也共线，其中O 为坐标原点。
关于抛物线的焦点弦在此基础上还容易得出以下一些性质：
（4）在（1）中，如果A ，B 两点的横坐标分别为,x ,x 21则4p x x ,p x x |AB |2
2121=++= 证明：求抛物线的定义知，
p
x x 2
p x 2p x |BF ||AF ||AB |.2
p x |BD ||BF |,2p x |AC ||AF |212121++=+++=+=+==+== 由（2）知4p p
4)y y (p 2y p 2y x x 22221222121=== （5）若AB 的倾斜角为α，则α
=2sin p 2|AB |
如图3，作BH ⊥AC 于H ，则,sin |AB ||BH |α=
α
=-+∴α=-∴-=2
2212221222
2121sin |AB |y y 2y y sin |AB ||y y ||
y y ||BH |
由（2）知,p y y 221-=
①α=++∴2
222221sin |AB |p 2y y
又由（4）可知p x x |AB |21++=
p p 2y
p 2y 2
2
21++=
②2
2221p 2|AB |p 2y y -=+∴
由①②得：22p 2p 2|AB |p 2+-
α=22sin |AB |
即α=22sin |AB ||AB |p 2
α=∴≠2sin p
2|AB |,0|AB |
（6）过抛物线px 2y 2=焦点的所有弦中，最短的弦长是2p 。
证明：由（5）知，抛物线的焦点弦长,sin p
2|AB |2α=
∵,1sin 0≤α<∴当1sin =α时，焦点弦长最短，最小值为2p 。
