一次函数的应用一次函数的应用一、学习目标：1. 巩固一次函数的知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．2. 熟练掌握一次函数与方程，不等式的关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．二、重点、难点：运用一次函数与正比例函数的图象和性质解决实际问题。
各种数学思想的渗透和应用。
三、考点分析：利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。
一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容。
中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；利用一次函数解决实际问题。
利用一次函数解决实际问题的题型多样，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．典型例题此前我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统学习了一次函数的有关概念及应用，且用函数观点重新认识了方程及不等式，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决相关实际问题时更方便了．例1. 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米的部分每千米收费1.5元．（1）请你求出x≥2时乘车费用y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；（2）按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如计费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围。
思路分析：1）题意分析：本题考查一次函数与不等式的综合运用。
2）解题思路：注意审题。
注意考虑函数的取值范围，能灵活应用所学知识解决问题。
解答过程：（1）根据题意可知：y＝4+1.5（x－2），∴y＝1.5x+1（x≥2）（2）依题意得：7.5≤1.5x+1＜8.5∴≤x＜5解题后的思考：一次函数的性质：当k>0，时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。
2021年中考数学总复习第三章《函数》第三节一次函数的实际应用一、选择题1.［人八下课本 P109，T13 高仿］一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始 4 min 内只进水不出水，在随后的 8 min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（L）与时间 x （min）之间的关系如图所示，则每分钟的进水量与出水量分别是（）A． 5 L，3.75 L B． 2.5 L，5 LC． 5 L，2.5 L D． 3.75 L，5 L（第 1 题图）（第 2 题图）2.［2020·河北模拟］星期天，鹤翔骑电动车从奶奶家出发回家，速度为 20 km/h．当他行驶了 40 km 后发现忘记带课本了，于是给奶奶打电话，同时自己按原速返回．奶奶 30 分钟后骑自行车从家出发，1 h 后与鹤翔相遇．鹤翔与奶奶之间的距离 y（km）与时间x（h）的关系如图所示．则奶奶骑车的速度为（）A． 10 km/h B． 45 km/hC． 40 km/h D． 80 km/h3.［2020·攀枝花］甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离 s（km）与运动时间 t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）A．两人出发 1 h 后相遇B．赵明阳跑步的速度为 8 km/hC．王浩月到达目的地时两人相距 10 kmD．王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地（第 3 题图）二、填空题4.［2020·郴州］小红在练习仰卧起坐，本月 1 日至4 日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 _________．5. ［2020·上海］小明从家步行到学校需走的路程为1 800 米．图中的折线 OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程 s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 ______ 米．（第 5 题图）三、解答题6.［2020·金华］某地区山峰的高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6 ℃，气温 T（℃）和高度 h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为 5 百米时的气温；（2）求 T 关于 h 的函数表达式；（3）测得山顶的气温为 6 ℃，求该山峰的高度．（第 6 题图）日期 x（日） 1 2 3 4成绩 y（个）40 43 46 497.［人八下课本 P109，T15 改编］2020 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共 20 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只；（2）如果公司四月份投入成本不超过 216 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．8.［2020·石家庄四区联合］甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的八五折出售，乙商场只对一次购物中超过 200 元后的价格部分按原价的七五折出售，某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为 x（x＞0）元，让利后的购物金额为 y 元.（1）分别就甲、乙两家商场写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由.9.［2020·石家庄桥西区模拟］甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段 OA 表示小明与甲地的距离y1（米）与行走的时间 x（分钟）之间的函数关系；折线 BCDA 表示小亮与甲地的距离 y2（米）与行走的时间 x（分钟）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）小明步行的速度是 ______ 米/分钟，小亮骑自行车的速度是 ______ 米/分钟；（2）线段 OA 与 BC 相交于点 E，求点 E 的坐标；（3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值．（第 9 题图）一、选择题1.［2020·遵化一模］某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过 a 件，则每件 3 元，超过 a 件，超过部分每件 b 元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数 x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（）A． a=20B． b=4C．若工人甲一天获得薪金 180元，则他共生产 50 件D．若工人乙一天生产 m件，则他获得薪金 4m 元（第 1 题图）（第 2 题图）2.［2020·连云港］快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程 y（km）型号价格项目（元/只）甲乙成本12 4售价18 6与它们的行驶时间 x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了 0.5 h；②快车速度比慢车速度多 20 km/h；③图中 a=340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③ B．②③C．②④ D．①④二、填空题3.［2020·重庆］A，B 两地相距 240 km，甲货车从 A 地以 40 km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止．两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间 x（h）之间的函数关系如图中的折线 CD-DE-EF 所示．其中点 C 的坐标是（0，240），点 D 的坐标是（2.4，0），则点 E 的坐标是________．（第 3 题图）三、解答题4.［2020·唐山路北区三模］某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午 7：40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林，离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数关系如图 2 所示.（第 4 题图）（1）求第一班车离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式；（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间；（3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则直接写出：①小聪最早能够坐上第几班车？②假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变，如果小聪坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？5.［2020·天水］天水市某商店准备购进 A，B 两种商品，A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多20元，用 2 000 元购进 A 种商品和用 1 200 元购进B种商品的数量相同．商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元．（1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过 1 560 元的资金购进 A，B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 m（10＜m＜20）元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出 m 的不同取值范围内，销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案．1.［2020·原创］如图 1 是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图 2 所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用 x 个如图 1 所示的图形拼出来的总长度 y 会随着 x 的变化而变化，y 与 x 的关系式为 y=________．（第 1 题图）第三节一次函数的实际应用（答案）夯实基础1. A提示：由题意可得，每分钟的进水量为：20÷４＝５（Ｌ），每分钟的出水量为：［５×８－（30－20）］÷８＝3.75（Ｌ）．2. Ａ提示：设奶奶骑车的速度为ｘｋｍ/ｈ，根据题意可得：40=20×1.5+x，解得 x=10，∴奶奶骑车的速度为 10 km/h．3. C 提示：由图象可知，两人出发 1 h 后相遇，故选项 A 正确；赵明阳跑步的速度为24÷3=8（km/h），故选项 B 正确；王浩月的速度为：24÷1-8=16（km/h），王浩月从开始到到达目的地用的时间为：24 ÷16 =1.5（h），故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5=12（km），故选项 C 错误；王浩月比赵明阳提前 3-1.5=1.5（h）到目的地，故选项 D 正确．4. y=3x+375. 350 提示：当 8≤t≤20 时，设 s=kt+b，将（8，960），（20，1 800）代入，得解得∴s=70t+400；当 t=15 时，s=1 450，1 800-1 450=350（米），∴当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 350 米．6. 解：（1）由题意得，高度增加 2 百米，则气温降低 2×0.6=1.2（℃），∴13.2-1.2=12（℃），∴高度为 5 百米时的气温大约是 12 ℃；（2）设 T 关于 h 的函数表达式为 T=kh+b，则解得∴T 关于 h 的函数表达式为 T=-0.6h+15；（3）当 T=6 时，6=-0.6h+15，解得 h=15．∴该山峰的高度大约为 15 百米．7. 解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 x 万只和 y 万只，由题意可得解得答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 15 万只和 5 万只；（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 a 万只和（20-a）万只，利润为 w 万元，由题意可得 12a+4（20-a）≤216，解得 a≤17，∵w=（18-12）a+（6-4）（20-a）=4a+40，∵k=4＞0，∴w 随 a 的增大而增大，∴a=17 时，w 有最大值为 108 万元.答：安排生产甲种型号的防疫口罩 17 万只，乙种型号的防疫口罩 3 万只，最大利润为 108 万元．8. 解：（1）甲商场 y1关于 x 的函数解析式为y1=0.85x，乙商场 y2关于 x 的函数解析式为 y2=200+（x-200）×0.75=0.75x+50（x＞200），y2=x（0＜x≤200）；（2）当 x≤200 时，到甲商场购物更省钱；当 x＞200 时，由 y1＞y2，得 0.85x＞0.75x+50，x＞500，当 x＞500 时，到乙商场购物会更省钱；由 y1=y2，得 0.85x=0.75x+50，x=500 时，到两家商场购物花费一样；由 y1＜y2，得 0.85x＜0.75x+500，x＜500，当200＜x＜500 时，到甲商场购物会更省钱；综上所述，x＞500 时，到乙商场购物会更省钱，x=500 时，到两家商场购物花费一样，当0＜x＜500 时，到甲商场购物会更省钱.9. 解：（1）50，150；（2）点 E 的横坐标为：1 500÷（50+150）=7.5，纵坐标为：50×7.5=375，即点 E 的坐标为（7.5，375）；（3）小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14．理由：两人相遇前，（50+150）x+100=1 500，得 x=7，两人相遇后，（50+150）x-100=1 500，得x=8，小亮从甲地到追上小明前，50x -100 =150（x-10），得 x=14，即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14．能力提升1. D提示：由题意和图象可得， a =60 ÷3=20，故选项 A 正确；b=（140-60）÷（40-20）=80÷20=4，故选项 B 正确；若工人甲一天获得薪金 180 元，则他共生产：20+=20+30=50（件），故选项 C 正确；若工人乙一天生产 m 件，当 m≤20 时，他获得的薪金为 3m 元；当 m＞20 时，他获得的薪金为 60+（m-20）×4=（4m-20）元，故选项 D 错误．2. B提示：根据题意可知，两车的速度和为 360÷2=180（km/h），相遇后慢车停留了 0.5 h，快车停留了 1.6 h，此时两车距离为 88 km，故①结论错误；慢车的速度为：88÷（3.6-2.5）=80（km/h），则快车的速度为 180-80=100（km/h），所以快车速度比慢车速度多 20 km/h，故②结论正确；88+180×（5-3.6）=340（km），所以图中 a=340，故③结论正确；（360-2×80）÷80+2.5=5（h），所以慢车先到达目的地，故④结论错误，所以正确的是②③．3.（4，160）提示：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4-40=60（km/h），∴乙货车从 B 地到A 地所用时间为：240÷60=4（小时），当乙货车到达A 地时，甲货车行驶的路程为：40×4=160（千米），∴点 E 的坐标是（4，160）．4. 解：（1）由题意得，可设函数表达式为 y=kx+b（k≠0）.把（20，0），（38，2 700）代入 y=kx+b 得，解得∴第一班车离入口处的路程 y（米）与时间x（分）的函数表达式为 y=150x-3 000（20≤x≤38）；（2）把 y=1 500 代入 y=150x-3 000 中，解得 x=30，则 30-20=10（分），∴第一班车到达塔林所需时间为 10 分钟；（3）①第 5 班车②7 分钟提示：设小聪坐上第 n 班车，25-20+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，∴小聪最早坐上第 5 班车.等班车时间为 5 分钟，坐班车所需时间：1 200÷150=8（分），步行所需时间：1 200÷（1 500÷25）=20（分），20-（8+5）=7（分）.∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早了 7 分钟.5. 解：（1）设 A 种商品每件的进价是 x 元，则 B 种商品每件的进价是（x-20）元，由题意得：，解得 x=50，经检验，x=50 是原方程的解，且符合题意，50-20=30（元）.答：A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元；（2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 商品（40-a）件，由题意得：解得，∵a 为正整数，∴a=14，15，16，17，18，∴ 商店共有 5 种进货方案；（3）设销售 A，B 两种商品共获利 y 元，由题意得：y=（80-50-m）a+（45-30）（40-a）=（15-m）a+600，①当 10＜m＜15 时，15-m＞0，y 随 a 的增大而增大，∴ 当 a=18 时，获利最大，即购进 18 件 A商品，22 件 B 商品；②当 m=15 时，15-m=0，y 与 a 的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同；③当 15＜m＜20 时，15-m＜0，y 随 a 的增大而减小，∴ 当 a=14 时，获利最大，即购进 14 件 A商品，26 件 B 商品．核心素养1. 5x+2提示：观察图形可知：当两个图 1 拼接时，总长度为：7+5=12；当三个图 1 拼接时，总长度为：7+2×5；以此类推，可知：用 x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：7+5×（x-1）=5x+2，∴y 与 x 的关系式为 y=5x+2．。
