教 学 内 容 （教 学 时 数：2 ）
一 、再论曲边梯形面积计算
设
f x ()在区间[,]a b 上连续，且f x ()≥0，求以曲线y f x =()为曲边，底为[,]a b 的曲边梯形的面积A 。
1、化整为零 用任意一组分点
011n n a x x x x b -=<<<=L 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1，
其长度为1--=∆i i i x x x ,
),,2,1(n i Λ=
记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆=Λλ
相应地，曲边梯形被划分成n 个窄曲
边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积记为),,2,1(n i A i Λ=∆。
于是 A
A i i n
=∑=∆1
2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ∆∆A f x x x i n i
i i
i i i ≈∀∈=-()[,](,,,)ξξ112
3、积零为整，给出“整”的近似值
A f x i i i n
≈∑=()ξ∆1
小结：元素法的提出、思想、步骤 （注意微元法的本质）
4、取极限，使近似值向精确值转化
A f x f x dx i i i n
a
b
=∑=⎰→=lim ()()λξ01
∆
上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：(一)、若将[,]a b 分成部分区间
[,](,,,)
x x i n i i -=112 ，则
A
相应地分成部分量
∆A i n i (,,,)=12 ，而A A i i n
=∑=∆1
这表明：所求量A 对于区间[,]a b 具有可加性。
(二)、用f x i i ()ξ∆近似∆A i ，误差应是∆x i 的高阶无穷小。
只有这样，和式f x i i i n
()ξ∆=∑1
的极限方才是精确值A 。
备注：
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确定 ))()(()(i i i i i i i
x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ是关键。
上述做法可进一步简化为
略去下标i ，用A ∆表示任一小区间[,]x x dx +上窄曲边梯形的面积， 这样 A A =∑∆一般地称()f x dx 为面积元素
记作 ()dA f x dx =
窄曲边梯形A ∆叫典型面积元素。 于是 ()A f x dx dA ≈∑=∑
lim ()()b
a
A f x dx f x dx =∑=⎰
通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法
1、能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件
(1)、U 与变量x 的变化区间[,]a b 有关； (2)、U 对于区间[,]a b 具有可加性； (3)、U 部分量∆U i 可近似地表示成
f x i i ()ξ⋅∆。
2、写出计算U 的定积分表达式步骤 (1)、根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ； (2)、设想将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间
[,]x x dx +，
求出它所对应的部分量∆U 的近似值
∆U f x dx ≈() ( f x ()为[,]a b 上一连续函数) 则称f x dx ()为量U 的元素，且记作dU f x dx =()。
(3)、以U 的元素dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得
()b
a U f x dx =⎰
这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式
dU f x dx a x b =≤≤()()
因此，也称此法为微元法。 【例1】已知闸门上水的压强
p (单位面积上压力的大小)是水深h 的函数，且
3(/)p h =吨米。若闸门高3米，宽2米，求水面与闸门顶相齐时闸门所承受
的水压力P 。
备注：
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解：选择h 为积分变量，则 03≤
≤h 位于水深h 与 h dh +之间的闸门所承受的水压力近似地为
dP h dh hdh =⋅=()22
故 (
3
320
29()P hdh h
=
==⎰
吨
( 注：这里，dP
hdh =2是水压力元素 )
备注：
作业、讨论题、思考题：
