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中考数学专题复习——阅读理解问题(经典题型)

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1 中考数学专题复习——阅读理解问题（经典题型）

【专题点拨】

阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容，思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题，对于这类题求解步骤是“阅读—分析—理解—创新应用”，其关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材，因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力。

【典例赏析】

【例题1】（2017•乐山）对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常数）．

例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．

已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．

（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为 ；

（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为 且 ．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．

【专题】23 ：新定义．

【分析】根据新定义得到y′=x3+（m﹣1）x2+m2=x2﹣2（m﹣1）x+m2，

（1）由判别式等于0，解方程即可；

（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．

【解答】解：根据题意得y′=x2﹣2（m﹣1）x+m2，

（1）∵方程x2﹣2（m﹣1）x+m2=0有两个相等实数根，

∴△=[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2=0，

解得：m=，

故答案为：；

（2）y′=m﹣，即x2+2（m﹣1）x+m2=m﹣，

化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+=0， 2 ∵方程有两个正数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．

【例题2】（2017湖北随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等． （1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…

请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；

（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．

3 【考点】SO：相似形综合题．

【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；

证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到==1，所以DM=EM；

（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；

（4）由于==+=k，则=，然后表示出==•+1，再把=代入计算即可．

【解答】解：（1）如图1，

证法一：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵四边形ABEF为平行四边形，

∴AB=EF，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，

∴∠CDM=∠FEM，

在△CDM和△FEM中

，

∴△CDM≌△FEM，

∴DM=EM，

即点M是DE的中点；

证法二：∵四边形ABCD为菱形，

∴DH=BH，

∵四边形ABEF为平行四边形，

∴AF∥BE， 4 ∵HM∥BE， ∴==1，

∴DM=EM，

即点M是DE的中点；

（2）∵△CDM≌△FEM，

∴CM=FM，

设AD=a，CM=b，

∵∠ABE=135°，

∴∠BAF=45°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠NAF=45°，

∴四边形ABCD为正方形，

∴AC=AD=a，

∵AB∥EF，

∴∠AFN=∠BAF=45°，

∴△ANF为等腰直角三角形，

∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，

∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b， ∴===；

（4）∵==+=k， ∴=k﹣， ∴=， ∴==•+1=•+1=．

【例题3】（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”． 5

已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为

y=﹣x+ ，点A的坐标为 （﹣2，2） ，点B的坐标为 （1，0） ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；

（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；

（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．

【解答】解：

（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2， 6 ∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+， 联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，

∴A（﹣2，2），B（1，0），

故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，

在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），

∴AC==，

由翻折的性质可知AN=AC=，

∵△AMN为梦想三角形，

∴N点在y轴上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，

∵OD=2，

∴ON=2﹣3或ON=2+3，

∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K， 7

则有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），

∴FH=CK=1，HE=AK=2，

∵抛物线对称轴为x=﹣1，

∴F点的横坐标为0或﹣2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，

∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，

∴E（﹣1，﹣）；

当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），

∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），

设E（﹣1，t），F（x，y），

则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，

∴x=﹣4，y=2﹣t，

代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣， 8 ∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．

【能力检测】 1. ．（2017湖南株洲）

如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard

1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）

A．5 B．4 C． D．

【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．

【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．

【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，

∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，

∴△DQF∽△FQE， 9 ∴===，

∵DQ=1，

∴FQ=，EQ=2，

∴EQ+FQ=2+，

故选D

2. （2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）

A．12S B．10S C．9S D．8S

【考点】KR：勾股定理的证明．

【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．

【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2

由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，

∵AM=2EF，

∴2a=2b，

∴a=b，

∵正方形EFGH的面积为S，

∴b2=S，

∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，

故选C．

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中考数学第一轮复习资料试卷及答案

中考数学第一轮复习资料试卷及答案

第1页 共37页 步步为赢：中考数学第一轮复习资料

目 录

第一章 实数

课时1．实数的有关概念…………………………………………( 1 )

课时2．实数的运算与大小比较……………………………( 4 )

第二章 代数式

课时3．整式及运算 ……………………………………………( 7 )

课时4．因式分解…………………………………………………( 10 )

课时5．分式 ……………………………………………………( 13 )

课时6．二次根式…………………………………………………( 16 )

第三章 方程（组）与不等式

课时7．一元一次方程及其应用 ……………………………( 19 )

课时8．二元一次方程及其应用 ……………………………( 22 )

课时9．一元二次方程及其应用………………………………( 25 )

课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 …( 28 )

课时11．分式方程及其应用……………………………………( 31 )

课时12．一元一次不等式（组）………………………………( 34 )

课时13．一元一次不等式（组）及其应用……………………( 37 )

第四章 函数

课时14．平面直角坐标系与函数的概念……………………( 40 )

课时15．一次函数…………………………………………………( 43 )

课时16．一次函数的应用 ………………………………………( 46 )

课时17．反比例函数 ……………………………………………( 49 )

课时18．二次函数及其图像 …………………………………( 52 )

课时19．二次函数的应用 ……………………………………( 55 )

课时20．函数的综合应用（1） ………………………………( 58 )

课时21．函数的综合应用（2） ………………………………( 61 )

第五章 统计与概率

数学阅读理解型问题(专题4)

数学阅读理解型问题(专题4)

阅读理解型问题（专题4）

——合情推理

【考点透视】

阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．

在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，

【典型例题】

例1．已知正数a和b，有下列命题：

（1）a＋b＝2，ab≤1；

（2）a＋b＝3，ab≤23；

（3）a＋b＝6，ab≤3．

根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a＋b＝9，ab≤ ．

（2000年北京市东城区中考试题）

分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．

解：ab≤29．

说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论．

例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．

①322322（ ）；

②833833（ ）；

③15441544（ ）；

④24552455（ ）．

（2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围： ．

图4—1

A

Dn

B C D1

D2

D3 E1

E2

E3

En

图4—2 （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．

（2000年江苏省常州市中考试题）

专题08 新定义问题(1)(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题08 新定义问题(1)(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题08 新定义问题（1）

【规律总结】

※知识精要

新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题

目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义

的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【典例分析】

例1．（2020·湖南广益实验中学七年级月考）规定：用{}m表示大于m的最小整数，例如5{}32，{4}5，{1.5}1等；用[]m表示不大于m的最大整数，例如7[]32，[2]2，[3.2]4，如果整数x满足关系式：2{}3[]32xx，则x的值为（ ）

A．3 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】

根据题意，可将2x＋3[x]＝32变形为2x＋2＋3x＝32，解方程后即可得出结论．

【详解】

解：∵x为整数， ∵{x}＝x＋1， [x]＝x，

∵2{x}＋3[x]＝32可化为：2（x＋1）＋3x＝32

去括号，得 2x＋2＋3x＝32，

移项合并，得5x＝30，

系数化为1，得x＝6．

故选：C．

【点睛】

本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规则是解题的关键．

例2．（2021·河南安阳市·八年级期末）对于有理数a，b，定义min,ab：当ab时，min,abb；当ab时，min,aba．若22min40,12440mnmn，则nm的值为______．

中考数学：专题(5)阅读理解问题(含答案)

中考数学：专题(5)阅读理解问题(含答案)

专题五 阅读理解问题

错误!

A组 全国中考题组

一、填空题

1．(2015·湖南株洲，16，4分)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S＝a＋b2－1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是_____，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是_____．

解析 如题图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1＋82－1；

矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2＋102－1；

∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；

题图2中，a＝15，b＝7，故S＝15＋72－1＝17.5.

答案 a 17.5

2．(2015·四川资阳，16，4分)已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为________．

解析 ∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，

∴A点坐标为(－1，0)，

解方程组y＝x2＋2x＋1，y＝2x＋2得x＝－1，y＝0或x＝1，y＝4，

∴点C′的坐标为(1，4)，

∵点C和点C′关于x轴对称，

∴C(1，－4)，

设原抛物线解析式为y＝a(x－1)2－4，

把A(－1，0)代入得4a－4＝0，解得a＝1，

∴原抛物线解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.

答案 y＝x2－2x－3

二、解答题