届中考数学复习专题二阅读理解问题试题

专题二 阅读理解问题

类型一 新定义学习型

该类题目一般会构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题，要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．

(2017·临沂)在平面直角坐标系中，如果点P坐标为(m，n)，向量OP→可以用点P的坐标表示为OP→＝(m，n)．

已知：OA→＝(x1，y1)，OB→＝(x2，y2)，如果x1x2＋y1y2＝0，那么OA→与OB→互相垂直，下列四组向量：

①OC→＝(2，1)，OD→＝(－1，2)；

②OE→＝(cos 30°，tan 45°)，OF→＝(1，sin 60°)；

③OG→＝(3－2，－2)，OH→＝(3＋2，12)；

④OM→＝(π0，2)，ON→＝(2，－1)．

其中互相垂直的是_____(填上所有正确答案的序号)．

【分析】 根据向量垂直的定义进行解答．

1．(2017·潍坊)定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝12x2的解为

( )

A．0或2B．0或2

C．1或－2D.2或－2

2．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是______________．

3．(2017·枣庄)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝pq. 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34.

(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；

(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值．

类型二 新运算应用型

该类题目是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些信息和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，不仅要求所运用的数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致，还需要创造条件，准确、规范、灵活地解答．

(2017·邵阳)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝14[a2b2－（a2＋b2－c22）2].现已知△ABC的三边长分别为1，2，5，则△ABC的面积为_____．

【分析】 把三边长代入题目中的面积公式即可得出答案．

4．对于实数a，b，定义一种新运算“★”如下：a★b＝a2b＋a，当a≥b时，ab2＋b，当a

A．8.5 B．4

C．4或－4.5 D．4或－4.5或8.5

5．(2017·湘潭)阅读材料：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a∥b，则x1·y2＝x2·y1.根据该材料填空：已知a＝(2，3)，b＝(4，m)，且a∥b，则m＝____.

6．(2017·日照)阅读材料：

在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.

例如：求点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离．

解：由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，

∴点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离为d＝|4×0＋3×0－3|42＋32＝35.

根据以上材料，解决下列问题：

问题1：点P1(3，4)到直线y＝－34x＋54的距离为_____；

问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝－34x＋b相切，求实数b的值；

问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．

类型三 新方法应用型

该类题目是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．

(2017·毕节)观察下列运算过程：

计算：1＋2＋22＋…＋210.

解：设S＝1＋2＋22＋…＋210， ①

①×2得2S＝2＋22＋23＋…＋211, ②

②－①得S＝211－1.

所以1＋2＋22＋…＋210＝211－1.

运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32 017＝_____．

【分析】 令S＝1＋3＋32＋33＋…＋32 017，然后在等式的两边同时乘3，然后依据材料中的方程进行计算即可．

7．(2016·日照)一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得．如：

6＝2×3，则6的所有正约数之和(1＋3)＋(2＋6)＝(1＋2)×(1＋3)＝12；

12＝22×3，则12的所有正约数之和(1＋3)＋(2＋6)＋(4＋12)＝(1＋2＋22)×(1＋3)＝28；

36＝22×32，则36的所有正约数之和(1＋3＋9)＋(2＋6＋18)＋(4＋12＋36)＝(1＋2＋22)×(1＋3＋32)＝91.

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为( )

A．420 B．434

C．450 D．465

8．(2016·东营)在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：

S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38， ①

然后在①式的两边都乘3，

得3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39， ②

②－①，得3S－S＝39－1，即2S＝39－1.

∴S＝39－12.

得到答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m(m≠0且m≠1)，能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2 016的值？如能求出，其正确答案是________．

参考答案

【例1】 ①∵2×(－1)＋1×2＝0，∴OC→与OD→互相垂直；

②∵cos 30°·1＋tan 45°· sin 60°＝32＋32＝3≠0，

∴OE→与OF→不垂直；③∵(3－2)(3＋2)＋(－2)×12＝3－2－1＝0，∴OG→与OH→互相垂直；④∵π0×2＋2×(－1)＝2－2＝0，∴OM→与ON→互相垂直．

故答案为①③④.

【变式训练】

1．A 2.(1，8)或(－3，－2)或(3，2)

3．(1)证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整数)．

∵|n－n|＝0为最小，∴n×n是m的最佳分解．

∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝nn＝1.

(2)解：设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x.

∵t为“吉祥数”，

∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36，∴y＝x＋4.

∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，

∴满足条件的“吉祥数”有：15，26，37，48，59.

(3)解：F(15)＝35，F(26)＝213，F(37)＝137，

F(48)＝68＝34，F(59)＝159，

∵34>35>213>137>159，

∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是34.

【例2】 由题意得S＝14[12×22－（12＋22－（5）22）2]＝1.故答案为1.

【变式训练】

4．B 5.6

6．解：问题1：4

提示：直线方程整理，得3x＋4y－5＝0，

故A＝3，B＝4，C＝－5，

∴点P1(3，4)到直线y＝－34x＋54的距离为

d＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.

问题2：直线y＝－34x＋b整理，得3x＋4y－4b＝0，

故A＝3，B＝4，C＝－4b.

∵⊙C与直线相切，∴点C到直线的距离等于半径， 即|3×2＋4×1－4b|32＋42＝1，

整理得|10－4b|＝5，解得b＝54或b＝154.

问题3：如图，过点C作CD⊥AB于点D.

∵在3x＋4y＋5＝0中，A＝3，

B＝4，C＝5，

∴圆心C(2，1)到直线AB的距离CD＝|3×2＋4×1＋5|32＋42＝3，

∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3＋1＝4，最小距离为3－1＝2，

∴S△ABP的最大值为12×2×4＝4，最小值为12×2×2＝2.

【例3】 令S＝1＋3＋32＋33＋…＋32 017，

等式两边同时乘3得3S＝3＋32＋33＋…＋32 018，

两式相减得2S＝32 018－1，∴S＝32 018－12.

故答案为32 018－12.

【变式训练】

7．D 8.m2 017－1m－1