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3.2 金属中的自由电子模型

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固体物理-第三章 金属自由电子论讲解

固体物理-第三章 金属自由电子论讲解
N=I0G(EF)+ I1G’(EF)+ I2G’’(EF)+….. 其中, I0=- (-f/E) dE, I1=-(E-EF)(-f/E)dE,
3.1.量子自由电子理论
I2=(1/2!)-(E-EF)2(-f/E) dE 不难算出, I0=1(d-函数积分), I1=0 (根据d-函数的性质） 为了计算I2, 而令h=(E-EF)/kBT,于是, I2=[(kBT)2/2]-{h2/[(eh+1)(e-h+1)] }dh=(pkBT)2/6
波长)，可见k为电子的波矢, 是3 维空间矢量. r:电 子的位置矢量。
由波函数的归一化性质:vy*(r) y(r)d(r)=1, v:金属体积, 假设为立方体,边长为L，把3.1.1.3式 代入归一化式子, 得: A=L-3/2=V-1/2, 所以
y(r)= V-1/2eik•r 3.1.1.4， 此即自由电子的本征态。 由周期性边界条件, y(x,y,z)= y(x+L,y,z) = y(x,y+L,z) = y(x,y,z+L)
一状态的电子具有确定的动量ħk和能量ħ2k2/(2m)，因而 具有确定的速度,v=ħk/m,故一个k全面反映了自由电子 的一个状态，简称态。
2. k-空间
以kx, ky , kz 为坐标轴建立的 波矢空间叫k-空间。电子的 本征态可以用该空间的一点
来代表。点的坐标由3.1.1.5 式确定。
3.1.量子自由电子理论
T>0K的费米能EF 把3.1.2.2和3.1.3.1代入3.1.3.2, 分步积分, 得:
N= (-2C/3) 0 E3/2(f/E) dE 3.1.3.3 令G(E)= 2C E3/2/3, 3.1.3.3.式化简为 N= 0G(E) (-f/E) dE 3.1.3.4 (-f/E)函数具有类似d函数的特性,仅仅在EF附近kBT范 围内才有显著的值，且为E-EF偶函数. 由于(-f/E)函数 具有这些性质,把G(E)在EF附近展开为泰勒级数, 且积分 下限写成 -,不会影响积分值. 3.1.3.4化为:

金属晶体与离子晶体课件(共44张ppt)

金属晶体与离子晶体课件(共44张ppt)
化学 ·选修 3
3.2 金属晶体与离子晶体
组织建设
组织建设 金属晶体
化学 · 选修 3
图片导学
金属样品
Ti 图片导学
1、金属晶体
01
2、金属键的特征
由于自由电子为整个金属所共有，所
以金属键没有方向性和饱和性
02
3、金属共同的物理性质
知识1、金属晶体 知识解读
容易导电、导热、有延展性、有金属 光泽等。
知识解读
①铯离子和氯离子的位置： Cs+：体心 Cl-：顶点；或反之。 ②每个晶胞含Cs+、Cl-个数： 1 ③与Cs+等距离且最近的Cs+、Cl-
Cs+：6个；Cl-：8个(配位数)
知识1、离子晶体 5、晶胞类型：
CsCl晶体
---
---Cl-
Cs+
知识解读
知识1、离子晶体 5、晶胞类型：
(3)CaF2型晶胞
7、离子晶体的特点：
键性因素 离子键的纯粹因素
⑴无单个分子；无分子式。
⑵熔沸点较高，硬度较大，难挥发难压缩。
⑶一般易溶于水，难溶有机溶剂。
⑷固态不导电，水溶液或熔融状态下导电。
数据导学
知识2、晶格能 一定程度上可以用来衡量离子键的强弱
思考 填空下表并思考：什么因素决定了离子晶体中离子的配位数？ 交流 离子 阴离子 阳离子
知识2、金属晶体的原子堆 积模型
晶胞的形状？
含几个原子？
1、简单立方堆积 [ Po ] 6 52% 每个晶胞含原子数： 配位数：在晶体中，与每个 微粒紧密相邻的微粒个数
空间利用率：
晶体空间被微粒占满的体积 百分数，用来表示紧密堆积 的程度 知识解读 知识2、金属晶体的原子堆积 模型

航空金属材料

航空金属材料

组织：

α相，含有α相稳定元素(Al)及一些中性强化元 素(Zr, Sn)。 当加入少量 β相稳定元素时，可以得到近 α-钛 合金，显微组织上除 α 相基体外，还有少量 β 相。典型的钛合金有Ti-8Al-1Mo-lV等。

用途
航空工业中最常用的一种α-Ti合金，多以 板、棒材等制造在350℃以下工作的零件， 用于飞机、船舶、化工以及海水淡化装置等。 TA4-TA6： 作钛合金的焊丝材料； TA7 ： 500℃以下长期工作零件，如飞机 蒙皮、航空模锻件。 TA8 ：室温与高温强度较 TA7 高，可作发 动机压气机盘、叶片等。



钛的低温性能很好 ; 可焊性好；具有良好的冲压性能；但耐磨性较差； 弹性模量较低(120GPa)，约为铁的54% ; 导热系数及线胀系数均较低。其导热系数比铁低4.5倍，使 用时易产生温度梯度及热应力。 钛的导磁率近乎为1.0，非磁性(严格说为顺磁性)。制成的 潜艇，既能抗海水腐蚀，又能抗深层压力，其下潜深度比 不锈钢潜艇增加80%。同时，由于钛无磁性，不会被水雷 发现，具有很好的反监护作用。
结构：原子在空间有规律排列的形式(原子
集合体中各原子的具体组合状态)。 例如：石墨和金刚石。 结构不同，性能不同。
组织：用肉眼和借助于不同放大倍数的显微
镜观察到的金属材料内部各种相的晶粒大小、 形态和分布。 不同成分具有不同的组织； 同种成分不同的加工、处理工艺可获得不同 的组织。 组织不同，性能也不同。
第八章
航空材料
航空材料的分类：
按化学组成(或基本组成)分类
(1)金属材料：由金属元素或以金属元素为主
体组成的具有金属特性的材料。 (2)无机非金属材料：无机非金属材料是由硅 酸盐、铝酸盐、硼酸盐、磷酸盐、锗酸盐等原 料和(或)氧化物、氮化物、碳化物、硼化物、 硫化物、硅化物、卤化物等原料经一定的工艺 制备而成的材料。它与广义的陶瓷材料有等同 的含义。

固体物理的特征和模型

固体物理的特征和模型
传导电子：可在整个固体中非定域地运动，不再局限于个别原子， 例如金属钠中的价电子。传导电子决定了金属的大多数特性。
定域电子：定域电子并不传导电流，例如金属Na的离子实电子， 即处于格点的各核周围的电子，对电流没有任何贡献。固体中这 些离子实电子的态与其在自由原子中的态差别很小。
– 当自由原子形成金属时，所有价电子变成了传导电子，并且它们的状态被大大 地改变了，而离子实电子仍是局域的，其特性基本上保持不变；
固体物理的特征和 模型
3.1 引言
金属的一般物理特征：强度高、密度大、电和热导性 能好以及由于光学反射性好而外表光洁等。
自由电子模型：假定金属中含有非常多的可在整个晶 体中运动而基本上自由的电子，就能解释上述特征。
本章基本内容：
– 自由电子模型的概念 – 在电场中电子怎样传导电流 – 电子比热 – 费米能级和费米面 – 金属电导和热导的精确描述 – 磁场对自由电子运动的影响（回旋共振、霍尔效应） – 金属的热电子发射
RL A
1
J E
（微观）
– 电流是传导电子在电场作用下运动的结果。离子均被系于格点并在其附近振动，对 电流没有贡献。
电导率与传导电子的微观特性之间的关系
考虑一个典型的电子
– 场给电子一个作用力： e E – 电子与介质其余部分发生碰撞所产生的阻力： m *
– 应用牛顿第二定律，得到：
m deEm*
– 由于离子为其它电子所屏蔽，所以当电子 相离较远时，其作用力是很弱的，这意味 着相互作用形式为短程屏蔽势，而不是长 程纯库仑势。
速度
x
离子 势能
电子在离子附近的速度变化
问题2：为什么传导电子之间的相互作用很微弱？
回答： （I）根据泡利不相容原理，自旋平行的电子往往会彼此远离； （II）即使自旋相反，彼此也倾向于远离，以便使系统能量最低。

电子工程物理基础v1.0(3)

电子工程物理基础v1.0(3)
k E 2m 2 2 2 2 kx k y kz 2m
2 2


2 2 2 2 nx n y nz 2m L
2
2

2n y 2nx 2nz kx , ky , kz L L L
考虑了边界条件的 限制,波矢k是由一组量
子数(nx,ny,nz)给定的.
在k-空间,每个许可
的k可由一个点代表.这
些点是均匀分布的.
二. 电子的统计分布
1. 能态密度
2k 2 E 2m 2 2 2 kx k y k z2 2m


2 2 2 2 2 nx n y nz 2m L
唐洁影
东南大学电子科学与工程学院
第3章 晶体中的电子状态
3.1 金属中的电子 3.2 晶体中的电子-普遍解 3.3 晶体中的电子-具体解
3.4 外界作用下的电子
3.1 金属中的电子
一. 金属电子气
基本思想：假设金属中的电子是不受任何外力、
彼此之间也无相互作用的自由电子。于是，可用 三维无限深势阱模型来描述。
3.1 金属中的电子 3.2 晶体中的电子-普遍解 3.3 晶体中的电子-具体解
3.4 外界作用下的电子
3.2 晶体中的电子-普遍解
一. 全模型
考虑了实际晶体中电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间的相互作用后， 晶体电子的运动可用多粒子薛定谔方程描述，在此称为全模型。
ˆ H(r, R)r，R Er , R
2

1
2

E Tn 1 Vn 4T
2
2 2 n
E Tn 1 Vn 4Tn2 2

第三章_某些定态体系薛定谔方程的解

第三章_某些定态体系薛定谔方程的解

决
定
轨道角动量
大
小 轨道磁矩
uB 9.2741024 J T 1 玻尔磁子
例:Li2+激发态2p1,l =1,电子轨道角动量大小为
。
③ m — 磁量子数
电子所在的轨道
m = 0, 1, 2, l
(2 l+1个可能的取值 )
决
定
轨道角动量在z 轴的分量 M lz m
轨道磁矩在z轴的分量 ulz mu B
有关，故每项只有分别为常数才能成立。
设三项分别为 Ex , Ey , Ez , 则:
(1)
(2)
(3)(1),(2)Fra bibliotek(3) 形式类似，有类似的解 . 方程(1)有如下通解:
结合边界条件， 以及归一化条件
可得:
综上，方盒中的自由质点的运动状态及其能量为：
1.一维势箱的自由质点
其解为：
Ψ0，n 0
2

3. R(r)方程的解
n l 1 整数 E 13.6 Z 2 (eV )
n2
联属拉盖尔方程
2Zr
na0
拉盖尔函数
显然，Rn,l ( r )为实函数, 具有指数函数的形式。
R(r) 函数中
项决定 n 值.
R1,0
(r)

2(
Z a0
)
3 2

e
Zr a0
R2,0 (r)

中，10个电子的体系的多重度。
解：在该势场中，能级如下，
Enx ,ny

nx2h2 8ma2

n 2y h 2 8mb2

nx2h2 32mb2

n 2y h 2 8mb2

3.2.2过渡型晶体和混合晶体课件高二下学期化学人教版选择性必修2

sp2杂化
石墨层状结构
石墨晶体中的二维平面结构
二、混合型晶体——石墨晶体 ②层与层之间以 范德华力相结合。
每个碳原子还有1个未参与杂化的2p 电子，它的原子轨道垂直于碳原子平面。 由于所有的2p轨道相互平行，所以2p电 子相互重叠，p轨道中的电子可在整个碳 原子平面中运动。这些网状的平面结构 以范德华力结合形成层状结构，层与层 之间的距离较大。
的作用力，兼具共价晶体、分子晶体、金属晶体的特征，因此石墨晶体 是一种典型的混合型晶体。
二、混合型晶体——石墨晶体
2、结构特点——层状结构 ①同层内，碳原子采用 sp2 杂化，形成三个sp2杂化轨道，分别与相邻的 三个碳原子的sp2杂化轨道重叠形成σ键。六个碳原子在同一平面内形成 正六边形的环，伸展形成无限的平面网状结构。 平面六元并环
形成的化学键往往是介于典型模型之间的过渡状态，由于微粒间的作用 存在键型过渡，即使组成简单的的晶体，也可能介于离子晶体、共价晶 体、分子晶体和金属晶体之间的过渡状态，形成过渡晶体。 2、过渡晶体要点： ①四种典型晶体类型都存在过渡晶体。 ②离子晶体和共价晶体的过渡标准是化学键中离子键成分的百分数。离 子键成分的百分数大，作为离子晶体处理，离子键成分的百分数小，作 为共价晶体处理。
三、晶体类型的比较
晶体类型的判断方法 (3)依据晶体的熔点判断
离子晶体：熔点较高，常在数百至几千摄氏度； 共价晶体：熔点高，常在一千至几千摄氏度； 分子晶体：熔点较低，常在数百摄氏度以下或很低温度； 金属晶体：多数熔点高，但也有熔点相当低的。
三、晶体类型的比较
晶体类型的判断方法
(4)依据导电性判断 离子晶体：水溶液中和熔融状态下都导电； 共价晶体：一般为非导体，但晶体硅能导电； 分子晶体：非导体，而部分分子晶体 (酸)溶于水，形成自由离子，也能导电； 金属晶体：电的良导体。

共价键与金属键的区别与实际应用

共价键与金属键的区别与实际应用共价键与金属键是化学中两种常见的化学键形式，它们在分子和化合物的稳定性、性质及应用方面有着显著的差异。

本文将对共价键与金属键的区别进行探讨，并分析它们在实际应用中的不同作用。

1. 共价键的定义和特点共价键是指通过原子间的电子共享而形成的化学键。

在共价键中，原子通过共享外层电子，使得每个原子的电子外层都得以填满，从而达到较稳定的电子排布。

共价键的性质具有以下特点：1.1 共用电子：共价键中的电子是由两个或多个原子共同拥有的，它们同时属于每个原子。

1.2 方向性：共价键具有一定的方向性，原子之间的共享电子云会在不同原子之间形成一定的几何构型，如直线型、三角形等。

1.3 具有局域性：共价键是通过共享电子形成的，只存在于相应的两个原子之间，而不会对整个物质产生影响。

2. 金属键的定义和特点金属键是由金属元素形成的化学键，在金属结构中，金属原子之间通过共享所有外层电子形成金属键。

金属键的特点如下：2.1 自由电子：金属键中的电子不受限制地在整个金属晶体中流动，形成电子海模型，即所有金属原子共享外层电子。

2.2 无方向性：金属键不具有明确的方向性，金属原子在金属晶体中以紧密排列的方式存在。

2.3 高导电性和高热导性：由于金属键中的自由电子可以自由流动，在外加电场或温度梯度下能高效地传递电和热。

2.4 可塑性和延展性：金属键的无方向性使得金属具有良好的可塑性和延展性，可以被轻松地锻造、拉伸和压制成各种形状。

3. 共价键与金属键的区别共价键和金属键在形成原理、物理性质和化学性质上存在明显差异，具体区别如下：3.1 形成原理：共价键是通过电子的共享形成的，原子间的电子云密度较高；而金属键则是通过金属中的自由电子形成的，原子间的电子云密度较低。

3.2 电子的运动方式：共价键的电子存在于形成它们的两个原子之间，受限于原子间的电子云空间；金属键的电子在整个金属结构中自由流动。

3.3 方向性：共价键具有明确的方向性，原子间的共享电子云形成一定的几何构型；金属键则无方向性，金属原子以紧密排列的方式存在。

《材料化学》课程教学大纲

《材料化学》课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：本科层次，应用化学、化学课程代码：18E00615学时分配：36赋予学分：2先修课程：无机化学、有机化学、分析化学、物理化学后续课程：二、课程性质与任务《材料化学》是应用化学的专业选修课程。

应用化学是一门以化学为基础的专门学科，因此对于该学科的本科学生来讲开设化学基础课尤显重要。

本课程的作用和任务在于指导学生切实地了解和掌握材料（主要是无机材料）化学所涉及的基本原理和一些基本概念，初步了解材料化学基本概念和原理，有利于学生今后从事相关工作。

三、教学目的与要求通过材料化学课程的学习，使学生了解当代材料科学的新概念、新理论、新技术、新工艺，掌握金属材料、无机非金属材料、高分子材料的基本知识，以及物理化学、电化学、光化学等化学基础知识在材料科学研究中的应用。

注重培养学生综合运用化学知识解决问题的能力；树立“多学科知识交叉与渗透”的观念。

四、教学内容与安排第一章晶体学基础1.1 晶体结构的周期性1.1.1 晶体结构的周期性与点阵1.1.2 晶体结构参数1.1.3 晶体缺陷1.2 晶体结构的对称性1.2.1 对称性基本概念1.2.2 晶体的宏观对称性1.2.3 晶体的微观对称性1.3 晶体的X射线衍射1.3.1 晶体X射线衍射基本原理1.3.2 衍射方向1.3.3 衍射强度1.3.4 常用晶体X射线衍射实验方法1.4 晶体结构的描述第二章晶态和非晶态材料的特性2.1 晶体特征的结构基础2.2晶体学点群和晶体的性质2.2.1 晶体学点群的分类2.2.2 晶体的点群和晶体的物理性质2.3 非正比化合物材料2.4液晶材料2.4.1 液晶和塑晶2.4.2 液晶的特性2.4.3 液晶材料2.4.4 液晶显示技术2.5 玻璃和陶瓷2.5.1 晶态材料与非晶态材料的异同2.5.2 玻璃2.5.3 陶瓷第三章金属材料3.1 金属特性与金属键3.1.1 自由电子理论3.1.2 能带理论3.2 金属单质结构3.2.1 金属单质结构的近似模型——等径圆球密堆积3.2.2 三维密堆积的三种典型型式3.2.3 金属单质结构概况3.2.4 金属原子半径3.3 合金结构3.3.1 金属固溶体3.3.2 金属化合物3.3.3 合金结构与性能3.4 金属材料3.4.1 轻质金属材料3.4.2 钢铁的结构与性能3.4.3 非晶态金属材料3.4.4 形状记忆合金第四章无机非金属材料4.1 离子晶体4.1.1 几种二元离子晶体的典型结构形式4.1.2 离子键与晶格能4.1.3 离子半径4.1.4 Goldschmidt结晶化学定律4.1.5 关于多元复杂离子晶体结构的规则——Pauling规则4.2 分子间做用力与超分子化学4.2.1 分子间作用力4.2.2 超分子化学4.2.3 晶体工程4.3 无机非金属材料4.3.1 无机非金属材料分类4.3.2 碳素材料4.3.3 单质硅4.3.4 无机化合物材料4.3.5 硅酸盐材料第五章高分子材料5.1 高分子材料的发展5.2 高分子材料的结构特点和性能5.2.1 高分子链的结构5.2.2 高聚物分子间的作用力5.2.3 晶态高分子的结构特点5.2.4 高聚物的物理状态转变5.2.5 高分子材料的性能5.3 高分子的聚合方法5.3.1 聚合机理5.3.2 加聚5.3.3 缩聚5.4 塑料5.4.1 塑料的分类5.4.2 塑料的应用5.4.3 塑料的加工5.5 橡胶5.5.1 天然橡胶5.5.2 合成橡胶5.5.3 橡胶的加工5.6 纤维5.6.1 纤维的分类5.6.2 合成纤维5.6.3 纤维加工成型5.7 复合材料5.7.1 复合材料的特性5.7.2 木质材料5.8 医用高分子材料5.8.1 概况5.8.2 生物医用高分子材料5.8.3 人造硬组织材料5.8.4 人工器官及其关键材料5.8.5 高分子药物5.9 导电高分子材料5.9.1 导电高分子材料的分类5.9.2 高分子导电机理5.9.3 共轭导电高分子材料5.9.4 新型导电聚合物体系5.9.5 导电高分子材料的应用5.10 高吸水性高分子材料5.10.1 发展概况5.10.2 超强吸水高分子材料的种类和特征5.10.3 超强吸水高分子材料的制备方法5.10.4 吸水高分子材料的应用第六章纳米材料6.1 纳米技术及纳米材料应用进展6.1.1 纳米科技进展6.1.2 纳米材料的种类6.1.3 纳米材料的特异性能6.2 纳米材料的制备6.2.1 纳米粉体的合成6.2.2 纳米复合材料的制备6.2.3 碳纳米管的制备6.3 纳米结构测试技术6.3.1 基本原理6.3.2 常用仪器6.3.3 检测技术的应用研究6.4 纳米材料的应用6.4.1 纳米材料在高科技中的地位6.4.2 磁学应用6.4.3 纳米催化6.4.4 陶瓷增韧6.4.5 光学应用6.4.6 医学应用6.4.7 环保应用第七章新型功能材料7.1 光学功能材料7.1.1 激光材料7.1.2 红外材料7.1.3 发光材料7.2 半导体材料7.2.1 半导体的导电机理7.2.2 半导体的分类7.2.3 半导体材料7.3 超导材料7.3.1 超导体的基本物理性质7.3.2 超导体的临界参数7.3.3 超导机理7.3.4 超导材料的种类7.3.5 超导材料的性能7.3.6 超导材料的应用7.4 热电压电和铁电材料7.4.1 热电材料7.4.2 压电材料7.4.3 铁电材料7.5 功能转换材料7.5.1 光电转化材料7.5.2 磁光材料7.5.3 声光材料教学安排及方式材料化学是一门理论性较强的基础理论课，其教学主要为课内讲授。

金属导电的微观解释

金属导电的微观解释涉及到金属的电子结构和电子运动。

金属的导电性质主要归因于其特殊的电子排布和电子运动方式。

1. 自由电子模型：金属的电子结构可以通过自由电子模型来描述。

在金属晶格中，金属原子的外层电子几乎是自由移动的，形成了被称为“电子海”的电子云。

这些自由电子不受特定原子核束缚，可以在整个金属结构中自由移动。

2. 电子的漂移：当外部电场施加在金属上时，自由电子将受到电场的作用力。

根据牛顿的第二定律，受力的电子将产生加速度。

然而，由于金属中电子的质量非常小，所以在实际情况下，电子受到的阻尼较小，加速度较大。

3. 电子的碰撞：自由电子在金属晶格中会与金属离子和其他自由电子发生碰撞。

这些碰撞会导致电子的散射，但由于电子海中有大量自由电子，导致整体上电流的流动方向保持不变。

4. 导电性的来源：由于自由电子的高度流动性，它们可以在电场作用下形成电流。

这就是金属的导电性质的基本来源。

而金属晶格中的离子网络对电子的碰撞提供了一些阻力，但这种阻力相对较小，不会阻止电流的形成。

综合来看，金属导电的微观解释可以概括为：在金属中，存在大量自由移动的电子，它们受到外部电场的作用，形成电流，而金属晶格中的离子提供了一些散射阻力，但整体上电子仍能在金属中自由传导，从而表现出良好的导电性。

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• 上式可用分离变量法求解，令
( x , y , z ) u1 ( x ) u 2 ( y ) u 3 ( z )
再令
E k 2m
2 2


2
2m
(k x k y k z )
2 2 2
d u1 ( x ) dx
2
2
2
k u1 ( x ) 0
2 x
u 1 ( x ) A 1 sin k x x
2 2 2
E
(n n n )
2 x 2 y 2 z
2 mL
结 论
• 上面的结果说明，晶体中自由电子 的本征态波函数和能量都由一组量 子数(nx,ny,nz)来确定。由于nx、ny 和nz都是取正整数，因此能量的许 可值是分立的，形成能级。当晶体 的线度L很大时，能级成为准连续 的。
E
2 2 2
(n n n )
2 x 2 y 2 z
2 mL
能级密度
金属自由电子的能级密度为
dz dE 4 V ( 2m h
2
)
3/2
E
§3.2 金属中的自由电子模型
一般情况下金属内部的自由电 子为什么不会逸出体外 ？ 金属内部电子的能量比在金属 外部电子的能量要低一些，要 使金属内部的自由电子逸出体 外，必须对它作一定的功
三维无限深势阱 模型
0 V ( x, y, z ) 当 0 x, y, z L 当 x, y, z 0, 或 x, y, z L
d u2 ( y) dy
2
2
k y u2 ( y) 0
2
u 2 ( y ) A 2 sin k y y
d u3 (z) dz
2
k z u3 (z) 0
2
u 3 ( z ) A 3 sin k z z
其中A1、A2、A3是归一化常数
波失分量的解
kx
ky
kz
n x L
式中nx、ny、nz是任意的正整数。
n y L
n z L


2ห้องสมุดไป่ตู้
(
x
2 2

y
2 2

z
2 2
) ( x , y , z ) E ( x , y , z )
2m
方程的解
( x , y , z ) A sin k x x sin k y y sin k z z

[


2


2
2
V ( r )] ( r ) E ( r )
y
2 2
2m
2

2 m x
(
2


z
2 2
) ( x , y , z ) E ( x , y , z )


2
(

2
2m
x 2


2
y 2


2
z 2
) ( x , y , z ) E ( x , y , z )