2金属自由电子气的Drude模型

Drude模型简介•最简单的金属模型–只考虑到电子的运动学特性•最成功的金属模型之一–为什么这么简单的模型会获得巨大的成功？•在量子力学与原子物理学诞生之前–1897年，J.J. Thomson发现电子–1900年，Drude提出金属的电导和热导理论,Annalen de Physik1, 566 (1900), ibid. 3, 369 (1900).电导率电子气模型虽然金属中至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假定参与导电作的仅是其中的一种。

传导电子的来源：价电子与芯电子。

Drude模型的基本假设忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似），忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似），电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与杂质原子之间的散射；电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫时间（relaxation time / life time）；电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。

=frequency) (cyclotron 为回旋频率令mceHc ω1nec仅依赖于载流子密度和电荷电导的实部和虚部？Drude模型的推广•经典力学→量子力学：Sommerfeld模型•自由电子近似→考虑电子-离子的相互作用：能带理论•独立电子近似→电子-电子相互作用：金属的Fermi-Liquid理论•电子气的局域热平衡（local thermal equilibrium）→小尺度、非平衡特性：介观物理（mesoscopic physics）。

金属中电子动力学方程,推导金属的相对介电常数
Drude模型
很有意思的问题。

因为目前常见的电磁学和电动力学的书中，基本都是对绝缘体的介电常数予以介绍，而对金属的介电常数很少提到。

事实上，金属的介电常数与外界环境的电磁波频率有关，我们一般需要用到金属介电常数时也基本都和电磁波课题相关。

金属的介电常数在低频和高频状态下会有显著的区别。

就我目前为止读过的文献，有关金属介电常数的选取基本都是引用前人发过的实验数据，但是不同的文章，可能得到的数据也是不同的，当然大体上还是相似的。

金属的介电常数，应该叫复介电常数，实部表示对电磁波的色散，虚部表示对电磁波的吸收。

通常我们使用金属的自由电子气体模型(Drude模型) 推导出金属介电常数的表达式:
关于Drude模型题主可以去了解一下，包括为什么使用这个模
型进行金属介电常数的计算。

但是,这个模型在低频状态下可以很好
地吻合实验数据，在高频时误差极大。

在进行近可见光波段及以上波长的研究中，可以使用该模型简化计算,但是在进行紫外波段研究时，需要引入Lorentz-Drude模型进行修正，原因是金属在高频时，金属内部的自由电子会发生禁带跃迁，需要考虑该因素的影响。

简要的
模型修正是将上述公式中的1换成E∞o，进行针对某-特定狭窄波段
的修正，也只适用于相差+几nm的波段研究。

Drude模型与介电常数引言在固体物理学中，介电常数是描述物质对电场响应的重要物理量之一。

它反映了物质中电荷的运动特性以及物质对电磁波的传播和吸收能力。

Drude模型是一种常用的理论模型，用于描述金属中自由电子的行为，可以解释介电常数的一些基本特性。

Drude模型的基本原理Drude模型是由德国物理学家Paul Drude在1900年提出的，它基于以下几个假设：1. 金属中存在大量的自由电子，它们与原子核之间几乎没有相互作用。

2. 自由电子在金属中的运动类似于气体分子在容器中的运动，遵循统计力学的规律。

3. 自由电子在外加电场下受到电场力的作用，但受到原子核和其他自由电子的碰撞而受到散射。

根据这些假设，Drude模型可以用经典力学和统计力学的方法推导出金属中自由电子的行为。

在外加电场下，自由电子受到电场力的作用，加速度与电场强度成正比。

然而，由于碰撞散射的存在，自由电子在短时间内无法保持加速状态，因此它们在金属中呈现出一种平均速度。

介电常数的定义介电常数是描述物质对电场响应的物理量。

它定义了电场中的电荷与外加电场之间的关系。

在理想情况下，介电常数可以通过下式计算：ϵ=D E其中，ϵ是介电常数，D是电场中的电位移，E是外加电场强度。

介电常数的单位是法拉/米（F/m）。

Drude模型与介电常数的关系在Drude模型中，自由电子受到外加电场的作用，从而导致电子的加速度。

这些加速度会导致电子与原子核和其他自由电子之间发生碰撞散射，使电子无法保持加速状态。

因此，自由电子在金属中呈现出一种平均速度。

根据Maxwell方程组，电位移D与电场强度E之间的关系可以表示为：D=ϵ0E+P其中，ϵ0是真空中的介电常数，P是极化电荷的贡献。

在Drude模型中，极化电荷的贡献可以通过自由电子的平均速度来描述。

自由电子在外加电场下受到电场力的作用，导致电子呈现出一种平均速度v d。

根据电流密度的定义，电流密度J可以表示为：J=nev d其中，n是自由电子的密度，e是电子的电荷量。

一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。

2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。

外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。

）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。

4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。

每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。

特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。

202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。

1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。

D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。

在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。

因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。

1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。

二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。

2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。

电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。

每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。

4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。

三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计?欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。

○传导电子的来源：价电子与芯电子。

◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。

电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。

D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。

在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。

因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。

1900年受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。

二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。

2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。

电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。

每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。

4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。

三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。

○传导电子的来源：价电子与芯电子。

◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。

电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。

金属自由电子气理论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。

2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。

外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。

）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。

4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。

每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。

特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。

202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。

4.2 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。