高一数学函数单调性2

高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。

单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。

在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。

具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。

1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。

简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。

通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。

如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。

2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。

递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。

二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。

1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。

2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。

根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。

如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。

3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。

如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。

三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。

1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。

这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。

函数的单调性（2）【本课重点】1、进一步理解函数单调性的概念，并学会用函数单调性概念来讨论函数的单调区间；2、掌握复合函数单调性的判定方法；3、培养逆向思维和综合运用知识来分析问题、解决问题的能力【预习导引】1.已知函数2()24(0),f x ax ax a =++>若1212,0,x x x x <+=则 （ ）（A ）12()()f x f x > （B ）12()()f x f x <（C ）12()()f x f x = （D ）1()f x 与2()f x 的大小不能确定2.已知函数()f x 在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程()f x =0在区间[a,b]内 （ ）（A ）至少有一实根 （B ）至多有一实根（C ）没有实根 （D ）必有唯一的实根3、已知定义域为R 的函数在区间(-∞,5)上是单调递减，对任意实数t ，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子成立的是（ ）A. f(-1)<f(9)<f(13);B. f(13)<f(9)<f(-1);C. f(9)<f(-1)<f(13);D. f(13)<f(-1)<f(9);【三基探讨】【典例练讲】例1、 讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.例2.(1）函数f(x)=x 2-(3a-1)x+a 2在[1,+∞）是增函数，求实数a 的取值范围（2）函数f(x)=x 2-(3a-1)x+a 2在[1,5]上是减函数，求f(2)的取值范围（3）函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，求f(a 2-a+1)与f(43)大小关系；例3. 判断下列函数的单调性，并指出其单调区间（1）f(x)=232+-x x （2）f(x)=3212+-x x （3）322+--=x y x例4.（备选题）定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.【课后检测】1、若函数f(x)是区间[a,b]上的增函数，也是区间[b,c]上的增函数，则在区间[a,c]上（）A、必为增函数；B、必为减函数；C、可能为增函数；D、不是增函数；2、若函数f(x)=∣x-a∣在区间(]1，-内为减函数，则a的范围是∞（）A、a≥1;B、a=1;C、a≤1;D、0≤a ≤1;3、已知函数f(x)在R上是增函数，若a+b>o,则有：( )A. f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);B. f(a)+f(b)>f(-a)-f(-b);C. f(a)+f(-a)>f(b)+f(-b);D. f(a)+f(-a)>f(b)-f(-b);4、函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，且f(a-2)-f(4-a2)<0,那么a的取值范围为____________;5、函数y=x∣x-2∣的单调递增区间为___________;6、 证明函数f(x)=x x -+1在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-，43内是单调递减；7、 设二次函数f(x)=x 2-(2a+1)x+3（1） 若函数f(x)的单调增区间为[)∞+，2，求实数a 的值； （2）若函数f(x)在区间[)∞+，2内是增函数，求a 的范围；（选做题）已知定义域为（0，+∞）的函数满足：① x>1时, f(x)<0；②f(21)=1;③对任意x,y ∈R +都有f(xy)=f(x)+f(y); ⑴求证：)()(x f x f -=1;⑵求证:函数f(x)在定义域内是减函数；⑶解不等式:f(x)+f(5-x)≥-2;【感悟札记】。

2.1.3函数的单调性(二)【学习目标】（1） 准确说出函数单调性的定义，会用定义证明函数的单调性 。

（2）会函数的单调性比较大小求参数的取值范围。

【学习重点】证明判断函数的单调性，利用单调性解决问题。

【学习难点】利用单调性求参数范围。

自主学习探究1、设函数y=ƒ（x ）在（0，2）上是增函数，函数图像关于x=2对称，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系是注意：解这类题应利用函数的单调性作图，根据题目中的变量大小关系，寻找其对应函数 值大小的规律即可。

探究2、已知函数1222-+-=a ax x y 在(－∞,1)上是减函数，求a 的取值范围。

探究提升例1、如果5)1()(2+--=x a x x f 在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？注：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。

例2：已知：f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x －1)<f(x2－1), 求x 的取值范围。

注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。

保证实施的是等价转化 巩固练习的取值范围。

求实数上是减函数，在区间（已知函数a x a x x f ]5,2)1(2)(.12∞-+++=课后练习与提高1、函数2xy-=的单调增区间为（）A.]0,(-∞ B.),0[+∞ C.),(+∞-∞ D.),1(+∞-2、函数32)(2+-=mxxxf，当),2[+∞-∈x时是增函数，当]2,(--∞∈x时是减函数，则)1(f等于（）A.-3B.13C.7D.由m而定的常数3、函数||)(xxf=的减区间是____________________.4、若函数nxmxf+-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m的取值范围是______.5、.若)(xfy=在R上是减函数,且)1()2(mfmf+<，,求实数m的取值范围.的取值范围。

高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。

如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。

(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。

函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。

⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。

(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。

实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。

(1)定义法:利用增减函数的定义证明。

在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。

⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。

求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。

高一数学函数知识点总结函数的单调性1、单调函数对于函数f（x）定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f（x1）>（或<）f（x2）成立，称f（x）在[a，b]上单调递增（或递减）;增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.（4）注意定义的两种等价形式：设x1、x2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））连线的斜率都大于（或小于）零.（5）由于定义都是充要性命题，因此由f（x）是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g（x）]的单调性若u=g（x）在区间[a，b]上的单调性，与y=f（u）在[g（a），g （b）]（或g（b），g（a））上的单调性相同，则复合函数y=f[g （x）]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。

因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.6、证明函数的单调性的方法（1）依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1（或<）f（x2）;③根据定义，得出结论.（2）设函数y=f（x）在某区间内可导.如果f′（x）>0，则f（x）为增函数;如果f′（x）<0，则f （x）为减函数.高一数学函数知识点总结（二）函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）.正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件;（2）f（x）=-f（x）或f（-x）=f（x）是定义域上的恒等式.（奇偶性是函数定义域上的整体性质）.2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。

高一函数的单调性的知识点函数是数学中的重要概念之一，而在高一阶段学习的数学中，函数的单调性是一个重要的知识点。

下面我们将详细介绍高一函数的单调性的相关知识。

一、函数的单调性定义函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

具体来说，若对于定义域上的任意两个数x₁和x₂，当x₁<x₂时，函数f(x₁)的值与函数f(x₂)的值之间的关系。

如果函数在定义域上满足这种关系，我们称之为函数的单调性。

二、单调递增与单调递减函数的单调性可分为单调递增和单调递减两种情况。

1. 单调递增函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≤f(x₂)，则函数f(x)是单调递增的。

例如，对于函数f(x)=x²，在整个实数范围上，无论取哪两个不相等的实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立。

因此，函数f(x)=x²是单调递增的。

2. 单调递减函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≥f(x₂)，则函数f(x)是单调递减的。

例如，对于函数f(x)=1/x，在定义域(0，+∞)上，当x₁<x₂时，f(x₁)≥f(x₂)恒成立。

因此，函数f(x)=1/x是单调递减的。

三、判断函数的单调性的方法我们可以通过函数图像、导数和函数的增减性来判断函数的单调性。

1. 函数图像法通过画出函数的图像，观察图像随x的变化趋势，判断函数的单调性。

例如，对于函数f(x)=x³，我们可以绘制出函数的图像。

通过观察图像可知，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立，因此函数f(x)=x³是单调递增的。

2. 导数法对于一元函数f(x)，如果其导数f'(x)的值恒大于0（或小于0），则函数f(x)是单调递增的（或递减的）。

例如，对于函数f(x)=2x²-3x，我们首先求出其导数f'(x)=4x-3。

通过观察导数的值可知，f'(x)在整个实数范围上恒大于0，也就是说函数f(x)是单调递增的。