不等式与不等式组

不等式和不等式组的认识与解法知识梳理一、不等式1、概念：利用不等符号连接的式子叫不等式。

不等符号有：>、<、≥、≤、≠注：1、有些不等式中不含有未知数，有些不等式中含有未知数。

要与方程加以区别。

含有未知数的等式叫方程。

比如2x+5=0 是方程，而2x+5>0是不等式。

2、一些常见关键词的隐含条件：“不大于、最多”就表示“小于等于”,不要把等于忘记了 ,符号：≤“不超过”也表示“小于等于”符号：≤“不小于、至少”表示“大于等于”符号：≥“不是正数、非正数”表示“0和负数”符号：≤0“非负数、不是负数”表示“0和正数”符号：≥0二、一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。

不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫这个不等式的解的集合，简称解集。

而求不等式解集的过程叫做解不等式。

三、不等式的性质：【重点】性质①、不等式左右两边加（减）同一个数（式），不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质②、不等式左右两边乘以（除以）同一个正数，不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质③、不等式左右两边乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。

注：不等式左右两边同乘或同除以一个数或已知符号的式子时，这个数或式子的值绝对不能是零，否则无意义；注意：要与等式的性质相区别：最大区别就是不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向。

不等式组知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；1 耐心细心责任心。

《不等式与不等式组》全章教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质；（2）掌握不等式组的解法，能解决实际问题中的不等式组问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等活动，培养学生的抽象思维能力；（2）学会用不等式表示实际问题，提高解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生勇于探索、积极向上的科学精神；（2）培养学生合作交流、尊重他人的团队意识。

二、教学内容1. 不等式的概念与性质（1）不等式的概念：用“>”、“<”、“≥”、“≤”等不等号表示两个数之间的大小关系；（2）不等式的基本性质：不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（除）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（除）同一个负数，不等号的方向改变。

2. 不等式的解法（1）同大取大；（2）同小取小；（3）大小小大中间找；（4）大大小小找不到。

3. 不等式组的概念与解法（1）不等式组：由多个不等式组成的集合；（2）不等式组的解法：分别求出每个不等式的解集，根据大小关系确定不等式组的解集。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）不等式的概念与性质；（2）不等式的解法；（3）不等式组的解法。

2. 教学难点：（1）不等式组的解法；（2）解决实际问题中的不等式组问题。

四、教学方法1. 情境教学法：通过生活实例引入不等式概念，激发学生兴趣；2. 探究教学法：引导学生通过实验、观察、讨论等方式，发现不等式的性质；3. 案例教学法：分析实际问题，引导学生学会用不等式表示问题，并解决实际问题。

五、教学安排1. 第1-2课时：不等式的概念与性质；2. 第3-4课时：不等式的解法；3. 第5-6课时：不等式组的解法；4. 第7-8课时：不等式组在实际问题中的应用；六、教学评价1. 课堂评价：通过提问、回答、讨论等方式，了解学生对不等式与不等式组的基本概念、性质和解法的掌握情况；2. 作业评价：通过布置练习题，检验学生对不等式与不等式组知识的运用能力；3. 实践评价：通过解决实际问题，评价学生运用不等式与不等式组解决实际问题的能力。

不等式与不等式组全章教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质；（2）理解不等式组的概念，掌握不等式组的解法；（3）能够运用不等式和不等式组解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等活动，培养学生的抽象思维能力；（2）利用不等式和不等式组模型解决实际问题，提高学生的应用能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作交流的精神，提高学生的综合素质。

二、教学内容1. 不等式的概念与性质（1）不等式的定义；（2）不等式的基本性质（同向相加、反向相减、同向相乘、反向相除）。

2. 不等式的解法（1）口诀法解一元一次不等式；（2）图像法解线性不等式组；（3）代数法解不等式。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）不等式的概念与性质；（2）不等式的解法；（3）不等式组的解法。

2. 教学难点：（1）不等式组的解法；（2）利用不等式和不等式组解决实际问题。

四、教学策略与方法1. 教学策略：（1）采用问题驱动法，引导学生探索不等式的性质；（2）利用数形结合法，帮助学生理解不等式组的解法；（3）设计实际问题，培养学生运用不等式和不等式组解决问题的能力。

2. 教学方法：（1）讲解法：讲解不等式的概念、性质和解法；（2）实践法：让学生动手解不等式和不等式组；（3）讨论法：分组讨论，合作解决问题。

五、教学评价1. 过程性评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生对不等式和不等式组的理解程度；2. 终结性评价：布置课后练习题，检查学生对不等式和不等式组知识的掌握情况；3. 综合性评价：通过解决实际问题，评价学生运用不等式和不等式组解决问题的能力。

六、教学计划与安排1. 课时分配：（1）不等式的概念与性质：2课时；（2）不等式的解法：3课时；（3）不等式组的解法：3课时；（4）实际问题与不等式（不等式组）：2课时。

一元一次不等式和一元一次不等式组知识点整合1、不等式基本概念与性质：（1）定义：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。

（2）不等式的三个基本性质①性质1：如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c. 即不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.②性质2：如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc.即不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.③性质3：如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc. 即不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.2、不等式的解集：用数轴表示不等式的方法：大于往右拐，小于往左拐，有等画实心，无等画空心。

3、解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设a>b）不等式组的解集数轴表示1.（同大型，同大取大）x>a2.（同小型，同小取小）x<b3.（一大一小型，小大之间）b<x<a4.（比大的大，比小的小空集）无解考点精析考点一 不等式的基本概念和基本性质例题1：已知a ＞b ，若c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）A ．a +c ＜b +cB ．a ﹣c ＞b ﹣cC ．ac ＜bcD ．ac ＞bc变式训练11.若a ＞b ，则（ ） A ．a ＞﹣b B ．a ＜﹣b C ．﹣2a ＞﹣2b D ．﹣2a ＜﹣2b2.若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a ﹣1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1＜a≤7 B ．a≤7 C ．a ＜1或a≥7 D ．a=73.如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A 、a+c ＞b+cB 、c-a ＞c-bC 、ac ＞bcD 、4.下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得ac bc >B ．由a b >，得－2a ＞－2bC ．由a b >，得a b ->-D ．由a b >，得22a b -<-考点二 一元一次不等式的解法例题2：已知不等式x ﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．变式训练21．不等式x ﹣1≤10的解集是________. 2．不等式3x ﹣9＞0的解集是________.．3．如图，a ，b ，c 三种物体的质量的大小关系是__________．4．在数轴上表示不等式x ﹣1＜0的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点三 一元一次不等式的应用例题3：有一根长40mm 的金属棒，欲将其截成x 根7mm 长的小段和y 根9mm 长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x ，y 应分别为（ ） A . 1x =，3y = B . 3x =，2y = C . 4x =，1y = D . 2x =，3y = :变式训练3小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x 份，纯收入为y 元．（1）求y 与x 之间的函数关系式（要求写出自变量x 的取值范围）；（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？考点四 一元一次不等式组的概念及特殊解例题4：若关于x 的不等式组{23335x x x a >-->有实数解，则a 的取值范围是_______.变式训练41、请你写出一个满足不等式612<-x 的正整数．．．x 的值：____________。

《不等式与不等式组》教材分析一．《初中数学课程标准解读与分解》有关不等式的要求。

课程标准内容分析单元目标具体表现水平标准（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式基本性质（2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题（1）结合具体问题的了解是归纳“总结”概念，探索不是认知水平，探索的过程中需要类比等式的基本性质，从而得到不等式的基本性质，其实质仍是归纳。

（2）解数字系数的一元一次不等式是“执行”在数轴上表示也是执行，会用数轴确定不等式组的解集是一种方法，会就是能执行这种方法。

（3）简单的问题也有不同的情景，所以列一元一次不等式解简单的问题应该是“实施”。

（1）能总结不等式的意义，能从具体问题中归纳总结不等式的基本性质。

（2）执行解数字系数的一元一次不等式，能对不等式的解集转换成数轴表示，能执行用数轴确定不等式组的解集的方法。

（3）能在具体的问题中实施一元一次不等式解决简单的问题。

水平A能举出恰当的例子说明不等式的意义，能从具体问题中准确总结不等式的基本性质，能准确熟练执行数字系数的一元一次不等式的解法，能准确执行用数轴表示不等式的解集，能准确执行用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，能准确执行用一元一次不等式解决简单问题。

二．本章重要的数学思想1、类比的数学思想解一元一次不等式和解一元一次方程类比学习。

教学建议：可以通过活动引导学生自主生成表格。

（1）等式与不等式概念和性质的类比：等式不等式定义含有等号（=）的式子，叫等式.含有不等号（>，<，≥，≤，≠）的式子叫不等式.性质性质1文字表述等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍然相等.不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变.符号表示如果ba=，那么cbca±=±.如果ba>，那么cbca±>±.性质2文字表述等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.文字表述不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.符号表示如果ba>，0>c，那么bcac>；cbca>.符号表示如果ba=，那么bcac=；)0(≠=ccbca文字表述不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.符号表示如果ba>，0<c，那么bcac<；cbca<.反身性若a=b，则b=a若a＞b，则b＜a传递性若a=b，b=c，则a=c若a＞b，b＞c，则a＞c（2）一元一次方程与一元一次不等式概念与求解过程的类比：一元一次方程一元一次不等式定义含有一个未知数，未知数的次数是1的方程，叫一元一次方程.含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式.解使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫一元一次方程的解.使不等式成立的未知数的值，叫一元一次不等式的解.解集由不等式的所有解组成的集合，叫一元一次不等式的解集.求解利用等式的两个基本性质化简变形方程直到得出：x=a的过程叫解方程.找出所有满足方程的x的值利用不等式的基本性质化简变形不等式直到得出：x>a（或x<a）的过程叫解不等式.找出所有满足不等式的x的值.成组方程组方程组的解是两个方程的公共解可以拓展到多元不等式组不等式组的解集应是几个不等式的解集的公共部分现阶段我们只关注于一元2数形结合的思想：本章中的数形结合运用可分为三个层次：（1）利用数轴表示一元一次不等式的解集设计例题可以从两个角度出发，一是解出一元一次不等式后，在数轴上表示解集；二是给出数轴上表示的解集，选择符合条件的一元一次不等式。

不等式与不等式组1定义：用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

2性质：①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。

②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

3 分类：① 一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

②一元一次不等式组：a ，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

b ，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

4 考点：①解一元一次不等式（组）②根据具体问题中的数量关系列不等式（组）并解决简单实际问题③用数轴表示一元一次不等式（组）的解集1.命题：①0<+⇒>-b a b a ，②b a b a >⇒-<，③0,00>>⇒>b a ab ，④bc ac c b a >⇒≠>0,。

中正确个数是 ；2.a 、b 、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列正确的是（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b3.不等式组23124x x -->-⎧⎨-+⎩≤的解集在数轴上可表示为（ ）A B C D4． 解下列不等式组，并用数轴把解集表示出来：5.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 ( )A.1B.2C.3D.46.一商家进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润不低于15%，则该商品的售价应不低于 元。

7.某试卷共有20道选择题，若选对了得10分，选错了或不选的都扣5分，那么至少要选对…………② …………① 30121123-⎧⎪--⎨->⎪⎩x x x ≤道题，其得分才能不少于150分。

8．用字母x 表示下图公共部分的范围是9.已知不等式5（x －2）+8<6（x －1）+7的最小整数解是方程2x －ax=4-2a 的解，则a 的值是____________________。