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椭圆上一点与两顶点斜率之积大家好，今天咱们聊聊一个挺有意思的数学话题——椭圆上的一点和它的两顶点之间的斜率之积。
听上去有点拗口，但别担心，咱们一块儿用轻松的方式搞明白它。
1. 什么是椭圆？1.1 椭圆的基本概念首先，咱们得搞清楚什么是椭圆。
椭圆看起来像个被压扁的圆，是一种非常经典的平面曲线。
咱们常见的橄榄球，尤其是那种传统的形状，就是个椭圆。
椭圆上有两个特别的点，叫做“焦点”，它们就是椭圆的两个“眼睛”。
1.2 椭圆的方程椭圆有个标准的方程，像这样：(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)。
这里的 (a) 和 (b) 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
简单来说，长半轴是椭圆最宽的那部分，短半轴则是最窄的部分。
2. 斜率的基本概念2.1 斜率是什么？斜率这个词，听上去有点儿神秘，实际上，它就表示了直线的倾斜程度。
你可以把它想成一条坡度，坡度越大，斜率也就越大。
比如说，如果你看到一条上坡的路，那斜率肯定不小。
如果是平的路面，那斜率就是零了。
2.2 斜率如何计算？斜率的计算方法其实挺简单的。
就是两点的纵坐标差除以横坐标差。
用公式表示就是 ( m = frac{Delta y}{Delta x} )，其中 ( Delta y ) 是纵坐标的变化量，( Delta x ) 是横坐标的变化量。
3. 椭圆上的一点与焦点的斜率3.1 焦点与椭圆的关系椭圆有两个焦点，我们用 ( F_1 ) 和 ( F_2 ) 来表示。
咱们在椭圆上的任何一个点，比如说 ( P )，和这两个焦点之间的斜率是咱们要研究的重点。
3.2 斜率之积的神奇性质现在，咱们假设椭圆的长半轴在 ( x ) 轴上，短半轴在 ( y ) 轴上。
假如我们在椭圆上的一点是 ( P(x_0, y_0) )，那么这点到两个焦点 ( F_1 ) 和 ( F_2 ) 的斜率分别是 ( m_1 )和 ( m_2 )。
有一个挺有趣的数学结果，就是这些斜率的乘积总是一个固定的值。
椭圆中的斜率和与定点问题由于椭圆是良好的轴对称和中心对称图象，在命题时经常讲与椭圆相交的直线也进行对称处理，由此产生一些定点定值问题。
例如在处理2018年全国一卷理科第19题时发现并不能一眼看出所给的点F 和点M 的关系，但深入研究，美妙自在其中。
本文以2018年理科19题和2017年理科卷20题为背景，进一步研究椭圆中的一些一般化结论。
【例1】设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =或y =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线MB MA ,的斜率之和为121222MA MB y y k k x x +=+--. 由11y kx k =-，22y kx k =-得12121223()4(2)(2)MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以22121222422,2121k k x x x x k k -+==++.则3331212244128423()4021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MB MA ,的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.一般化结论探究【探究】设椭圆方程为)0(1:2222>>=+b a by a x C ，过点))(0,(a t t M >做直线l 交椭圆于B A ,两点，设点A 关于x 轴对称的点为A '，探究直线B A '是否过定点？ 【分析】设),(),,(2211y x B y x A '，直线B A '的方程为m kx y +=联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222，消去y 得0)(2)(22222222=-+++b m a x kma x b k a所以22222221222221)(,2bk a b m a x x b k a kma x x +-=+-=+ （*） 由于直线A M MB ',关于x 轴对称，则0=+'MB A M k k 即02211=-+-tx yt x y ， 代入直线方程化简得02))((22121=-+-+mt x x tk m x kx将（*）式代入得0)(2)(2)(22222222=+----b k a mt tk m kma b m ka 整理得02=+mt ka ，即2amt k -= 所以直线B A '的方程为m x a mty +-=2，恒过定点)0,(2t a【思考】上述的定点问题本质是两直线斜率和为产生的。
微专题：巧解斜率和积为定值，直线过定点问题
正文部分
这次，要好好表扬下数学课代表王同学。
因为直线的斜率和或积为定值，直线过定点这类问题，利用常规方法做，很复杂，主要难点在计算量上。
但是，利用他提供的这种巧设直线的方法，这类问题一下子都变得很简单的。
其实，以前他就提出过这个方法，当时我没有特别留意，今天，遇到一道计算量比较大的同类题，用他的这个方法做，简单了很多很多。
这次，我把这类问题和方法整理出来，成为一个微专题，大家也可以比较下常规方法和巧设直线的方法。
椭圆中的“定”五、一般结论30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一定点，过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、，直线21,l l 的斜率分别为21,k k .（1）若2221a b k k =⋅，直线PQ 的斜率为定值00x y -.反之亦然. （2）若021=+k k ，直线PQ 的斜率为定值0202x a y b .反之亦然. 31.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之积为定值()122≠m m a b ，则直线BC 必定过定点()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之和为定值()02≠n n a b ，则直线BC 必定过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000,y x an b y bn a x N . 33.（1）一条经过点()0,m M 的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于B A ,两点，作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B'过定点2,0a T m ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于,P R 两点，设点20,b Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PQM RQM ∠=∠.34.（1）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为B A ,，则直线AB 必过椭圆的左（右）焦点，反之，当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时，过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线.（2）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为A ，则以NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即090NFA ∠=.35.过点()00,P x y 作直线交12222=+by a x C ：()0>>b a 于,A B 两点，点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上，若A P Q B A Q P B =，则点Q 在定直线00221x x y y a b+=上.36.已知()00,P x y 是椭圆 2222:1x y E a b+=外一点，过点P 作椭圆的切线，切点为,A B ，再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ，交AB 于点Q ，令111,,s t u PM PN PQ===，则,,s t u 的关系是2s t u +=.37.自()00,P x y 点作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线，切点分别为12,P P ，则切点弦12PP 的方程为00221x x y y a b+=：.38.过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()000,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.39. （1）过圆2222x y a b +=+上任意一点作椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的两条切线，则这两条切线相互垂直.反之，作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条相互垂直的切线，则切线交点一定在圆2222x y a b +=+上.（2）过圆2222x y a b +=+上任意一点P 作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线,PA PB ,,A B 为切点，中心O 至切点弦的距离为1d ，P 点至切点弦的距离为2d ，则221222a b d d a b =+.40.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。
椭圆内接三角形外心与斜率乘积定值椭圆是一种特殊的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状。
内接三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于椭圆上的情况。
在这样的椭圆内接三角形中，我们可以发现一个有趣的性质，即外心与斜率的乘积是一个定值。
我们来了解一下什么是椭圆。
椭圆是一个平面上的几何图形，它由一个点集构成，满足到两个给定点的距离之和恒定。
这两个给定点称为焦点，而恒定的距离之和称为椭圆的长轴。
椭圆还有一个重要的性质，即椭圆的内切角等于两个焦点之间的连线与椭圆切线的夹角，这个性质在后面的推导中将会用到。
接下来，我们考虑一个椭圆内接三角形。
假设这个椭圆的长轴为2a，短轴为2b，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
根据椭圆的内切角等于两个焦点之间的连线与椭圆切线的夹角的性质，我们可以得到三角形ABC的三个内角分别为α、β、γ。
现在，我们来考察三角形ABC的外心O。
外心O是三角形ABC三条外角平分线的交点，它与三个顶点的连线长度相等。
假设O与A、B、C的距离分别为r1、r2、r3。
我们可以通过一些几何推导得到外心O与椭圆焦点之间的连线与椭圆切线的夹角等于三角形ABC 的对应内角的一半。
设外心O与焦点F1、F2的连线分别与椭圆切线的夹角为θ1、θ2，则有θ1=α/2，θ2=β/2。
根据三角函数的定义，我们可以得到r1/a=tan(θ1)，r2/b=tan(θ2)。
接下来，我们来考察椭圆内接三角形的斜率。
设三角形ABC的边AB、AC的斜率分别为k1、k2，我们可以通过计算两点的坐标之差的比值得到斜率的表达式。
假设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则k1=(y2-y1)/(x2-x1)。
同理，k2=(y3-y1)/(x3-x1)。
我们可以通过一些几何推导得到斜率k1、k2与椭圆焦点之间的连线与椭圆切线的夹角等于三角形ABC的对应内角的一半。
设斜率k1与焦点F1的连线与椭圆切线的夹角为θ3，则有θ3=α/2。
椭圆三点斜率之积为定值
椭圆是一种非常特殊的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
其中一个非常重要的性质就是椭圆三点斜率之积为定值。
这个定值是多少呢？我们来看一下。
我们需要知道什么是椭圆。
椭圆是一个平面上的几何图形，它由两个焦点和所有到这两个焦点距离之和等于定值的点构成。
椭圆的形状是非常特殊的，它既不是圆形也不是矩形，而是一种类似于椭球的形状。
接下来，我们来看一下椭圆三点斜率之积为定值的性质。
这个性质是指，如果我们在椭圆上任取三个点，然后连接这三个点，得到的三条直线的斜率之积是一个定值。
这个定值是多少呢？它等于椭圆的离心率的平方减去1。
这个性质的证明比较复杂，需要用到一些高等数学知识。
但是，我们可以通过一些简单的例子来理解这个性质。
比如，我们可以取椭圆上的三个点A、B、C，然后连接它们得到的三条直线的斜率之积为k。
然后，我们再取椭圆上的另外三个点D、E、F，连接它们得到的三条直线的斜率之积也为k。
这说明，无论我们在椭圆上取哪三个点，得到的三条直线的斜率之积都是相同的。
这个性质在实际应用中非常有用。
比如，在计算机图形学中，我们经常需要绘制椭圆和椭圆弧。
如果我们知道了椭圆的三个点，就可
以利用这个性质来计算出椭圆的离心率和其他重要参数，从而更加准确地绘制椭圆和椭圆弧。
椭圆三点斜率之积为定值是椭圆的一个非常重要的性质。
它不仅有理论意义，还有实际应用价值。
如果你对椭圆和数学感兴趣，不妨深入学习一下这个性质，相信会对你的数学知识和实际应用能力有很大的帮助。
第12讲 齐次化巧解双斜率问题知识与方法1. 齐次式: 一个多项式中，如果各项的次数都相同, 则称这个多项式为齐次式. 例如： 2x y +, 为一次齐次式, " 2223x xy y --, 为二次齐次式, 等等.2. 齐次方程：一个方程中, 如果所有非零项的次数都相同, 则称这个方程为齐次方程. 例如: “ 20x y += "是一次齐次方程; “ 22230x xy y --= "是二次齐次方程, 等等.特别地，二次齐次方程的一般形式为: 220Ax Bxy Cy ++= (其中 ,,A B C 不同时为 0 ), 当 0x ≠ 时，两边同时除以 2x , 可得 20y y C B A x x ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭, 设 y k x =, 则20Ck B k A +⋅+=, 当 0C ≠ 时，即为关于 k 的二次方程.3. 直接构造齐次式的步骤:对于圆锥曲线中的双斜率问题, 常规方法是联立方程结合韦达定理求解; 也可以通过齐次化处理, 利用齐次式解决更加方便快捷，可简化运算, 降低运算难度.齐次化方法一般适用于两直线斜率之和（或积）为常数的题型，可以解决与斜率之和（或积）有关的定点、 定值或轨迹等问题：使用齐次化方法时，可以有两种处理方法:方法 1: 先平移坐标系, 将原点平移至给定的点，转化为两直线过原点的类型; 方法 2: 不进行坐标平移, 直线方程须化为 ()()001m x x n y y -+-= 的形式, 其中()00,x y 是题目中的给定的点, 此时圆锥曲线的方程也要跟着变形; 其中斜率的和或者积决定了直线方程中 ,m n 的一个关系式.以椭圆为例, 已知 PAB ∆ 为椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> 的内接三角形, 其中 ()00,P x y 为定点,,A B 为两动点,可以直接构造两根为 ,A P pB k k 的二次方程，步骤如下:(1)将椭圆方程变形:()()222222222222220000221, x y b x a y a b b x x x a y y y a b a b⎡⎤⎡⎤+=⇒+=⇒-++-+=⎣⎦⎣⎦} 化简整理得: ()()()()2222220000220(*)b x x b x x a y y a y y -+-+-+-=; (2)设直线 AB 的方程为: ()()001m x x n y y -+-=;(3)联立, 齐次化:（*）式化为()()()()()()()()22222200000000220b x x b x x m x x n y y a y y a y y m x x n y y ⎡⎤⎡⎤-+--+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦化简整理得: ()()()()()22222200(12)22(12)0m b x x nb ma x x y y n a y y +-++--++-=(4)上式两边除以 ()20x x -, 得:()222220000(12)22(12)0y y y y n a nb ma m b x x x x ⎛⎫--+++⋅++= ⎪--⎝⎭， 此方程两根即为 ,PA PB k k . 由韦达定理，可得：2222222(12),(12)(12)PA PBPA PB nb ma m b k k k k n a n a+++=-=++. 据此，可以简便地解决与双斜率有关的定点或定值问题. 另一方面，我们得到了一个重要的定点定值模型: 两直线斜率之和（或积）为定值，则第三边过定点. （其中斜率之和不为 0 )典型例题类型 1 过原点的两直线斜率和与积问题【例1】 已知 ,A B 为抛物线 2:2(0)C y px p => 上异于顶点的两动点, 且以 AB 为直径的圆过顶点. 求证：直线AB 过定点. 【答案】见解析.【证明】设直线 AB 的方程为 1mx ny +=, 联立 212mx ny y px +=⎧⎨=⎩可得 22()y px mx ny =+,两边同时除以 2x , 得 2220y y pn pm x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,由 OA OB ⊥, 可得1A BA By y x x ⋅=-, 所以 21pm -=-, 即 12m p=, 所以 1:12AB x ny p+=, 过定点 (2,0)p . 【注】方程 1mx ny += 不能表示过原点的直线.【例2】 已知椭圆的中心为 O , 长轴、短轴分别为 2,2(0),,a b a b P Q >> 分别在椭圆上, 且 OP OQ ⊥,求证:2211OP OQ + 为定值. 【答案】见解析.【证明】由于 OP OQ ⊥, 因此由勾股定理可得 222OP OQ PQ +=, 所以 222211()PQ OP OQ OP OQ +=⋅. 设 OPQ ∆ 的面积为 ,S O 到 PQ 的距离为 d , 则有 1122S PQ d OP OQ =⋅=⋅, 因此 PQ d OP OQ=⋅, 所以, 要证明 2211OP OQ + 为常数, 则只需证明 d 为定值. 设直线 PQ 方程为 1mx ny +=, 联立 222211x y a b mx ny ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩, 齐次化并整理可得:222221120y y n mn m b x x a ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 方程两根为 1212 ,y y x x , 由韦达定理得: 2212212211m y ya x x n b-⋅=-.因为 OP OQ ⊥, 所以 2222111m a n b-=--, 化简即得 222211m n a b +=+.由点到直线距离公式, 得d ==所以 22222222211()PQ a b d OP OQ OP OQ a b+===⋅+ 为定值.【例3】 已知圆 1C 的方程为 22(2)24x y ++=, 点 2C 的坐标为 (2,0). 点 P 为圆 1C 上的任意一点，线段 2PC 的垂直平分线与 1PC 交于点 D . (1) 求点 D 的轨迹 E 的方程;(2)点 Q 是圆 222(0)x y r r +=> 上异于点 (,0)A r - 和 (,0)B r 的任一点, 直线 AQ 与轨迹 E 交于 ,M N 直线 BQ 与轨迹 E 交于点 ,S T . 设 O 为坐标原点, 直线 ,,,OM ON OS OT , 的斜率分别为 N ,,,OM o os oT k k k k , 问:是否存在常数 r , 使得 OM ON os oT k k k k +=+ 恒成立 ? 若存在, 求 r的值; 若不存在, 请说明理由.【答案】 (1) 22162x y +=; (2) 2r =. 【解析】 (1) 22162x y += (过程略）; (2)设直线 :AQ x my r =-, 联立 22162x my r x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩, 齐次化得 22262x y x my r -⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理可得: ()()222226312630m r y mxy r x --+-=,即 ()22226312630y y m r m r x x ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 方程两根为 ,OM ON k k ,则 2222124632OM ON m mk k m r m r +==--, 同理可得： 2222144212os oTm m k k m r r m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 由条件知： OM ON os oT k k k k +=+, 所以 22224422m mm r m r =--, 整理得 ()()22120m r +-=, 故 2r =.【例 4】在直角坐标系 xOy 中, 曲线 2:4x C y = 与直线 :(0)l y kx a a =+> 交于 ,M N 两点.(1) 当时 0k = 时, 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;(2) y 轴上是否存在点 P , 使得当 k 变动时, 总有 OPM OPN ∠=∠? 说明理由.【答案】 (1) 0ax y a ++= 或 0ax y a --=; (2) 见解析【解析】 (1)0ax y a ++= 或 0;ax y a --= (过程略）（2）假设 y 轴上存在点 (0,)()P t t a ≠, 满足当 k 变动时, 总有 OPM OPN ∠=∠ 成立. 如图, 新建坐标系 xPy , 直线 MN 的方程为 y kx a t =+-, 即1()1y kx a t-=-. 抛物线 C 的方程为 24x y t =-. 立化齐次式得 222()()4()y y kx x t y kx a t a t -=----,整理得 222()()04y y a t a k t a k t x x -⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭.因为 OPM OPN ∠=∠, 所以 ()0PM PN k t a k k a++==, 即 t a =-. 所以点 P 在原坐标系中的坐标为 (0,)a -.类型 2 不过原点的两直线斜率和与积问题【例 5】已知椭圆 2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>, 四点 1233(1,1),(0,1),1,2P P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 431,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 中恰有三点在椭圆 C 上. (1) 求 C 的方程;(2) 设直线 l 不经过点 2P 且与 C 相交于 ,A B 两点，若直线 2P A 与直线 2P B 的斜率的和为 1-, 证明： l 过定 点.【解析】（1）椭圆 C 的方程为 2214x y += (过程略 ); (2) 解法 1: 联立方程, 结合韦达定理设直线 2P A 与直线 2P B 的斜率分别为 12,k k , 依题意知直线 l 斜率存在,设 :(1)l y kx b b =+≠, 联立 2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去 y 得()222418440kx kbx b +++-=,由题设可知 ()2216410k b ∆=-+>.设 ()()1122,,,A x y B x y , 则 2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-=++而 ()12121212121212122(1)1111kx x b x x y y kx b kx b k k x x x x x x +-+--+-+-+=+=+=由题设 121k k +=-,故 ()1212(21)(1)0k x x b x x ++-+=,即 222448(21)(1)04141b kb k b k k --+⋅+-⋅=++, 得 12b k +=-. 当且仅当 1b >- 时, 0∆>.直线 l 可化为 11(2)2b y x ++=--, 显然 l 过定点 (2,1)-. 解法 2: 直接构造关于斜率的齐次式椭圆 C 的方程 224(11)4x y +-+=, 即 224(1)8(1)0x y y +-+-=.设直线 l 方程为 (1)1mx n y +-=, 联立 224(1)8(1)0(1)1x y y mx n y ⎧+-+-=⎨+-=⎩, 齐次化得224(1)8(1)[(1)]0x y y mx n y +-+-+-=, 整理得 22(48)(1)8(1)0x n y mx y ++-+-=,整理得 211(48)810y y n m x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭, 由韦达定理得 121212118148y y mk k x x n--+=+=-=-+, 从而 221m n -=, 与 (1)1mx n y +-= 对照可知, 直线 l 过定点 (2,1)-.【注】使用齐次化方法时, 可直接将直线方程设为 ()()001m x x n y y -+-= 的形式, 其中 ()00,x y 是题目中给定的定点，同时也要将椭圆方程变形为()()220000221x x x y y y a b ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦+= 的形式.解法 3: 坐标平移之后构造齐次式如图, 以 2P 为原点新建坐标系 2xP y , 则椭圆方程变为 22(1)14x y ++=, 即 22204x y y ++=.设直线 AB 为 1mx ny +=, 联立椭圆方程, 化齐次式得 222()04x y y mx ny +++=, 整理得 21(21)204y y n m x x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 因为 221p A p B k k +=-, 所以 2121m n -=-+.即 221m n -=, 所以直线 AB 过定点 (2,2)-. 所以, 在原坐标系中, 直线 AB 过定点 (2,1)-.【注 1】（1）本题第 (2) 问的解法 1 为通性通法，即设直线方程, 联立方程组，结合韦达定理，不难得出正确答案，通性通法务必要熟练掌握！解法 2 运算量较小, 构造齐次式2110y y A B C x x --⎛⎫++= ⎪⎝⎭，再由书达定理 可轻松得到问题答案; 解法 3 通过坐标平移，使得平移后两直线都过新坐标系的原点，化为类型 1 处理, 和解法2 由异曲同工之妙！需要注意的是：最后还要平移回去, 才能得到正确答案. 【注2】掌握四个步骤即可，不必记忆最后的结果【例 6】如图, 过椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>> 上的定点 ()00,P x y 作倾斜角互补的两直线, 设其分别交椭圆 C 于 ,A B 两点, 求证：直线 AB 的斜率是定值.【分析】设 ,A B 坐标分别为 ()()1122,,,x y x y , 由条件可得 0AP BP k k += ， 即102010200y y y y x x x x --+=--,我们需要构造如下齐次式: ()()()()2200000,0A y y B x x y y C x x A -+--+-=≠. 【解析】设直线 AB 方程为 ()()001m x x n y y -+-=,因为 ()()222200002222x x x y y y x y a b a b -+-++=+ ()()()()220000002222221x x y y x x x y y y a b a b----=++++, 所以椭圆方程可化为: ()()()()220000002222220x x y y x x x y y y a b a b ----+++=, 联立 ()()()()()()220000002222002201x x y y x x x y y y a b a b m x x n y y ⎧----⎪+++=⎨⎪-+-=⎩, 齐次化且整理可得 2000000222200212120ny y y nx my y y mx b x x a b x x a ⎛⎫⎛⎫+--+⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由韦达定理可得 00221020010202221nx my y y y y ab ny x x x x b +--+=-+--.又因为 1020002210200,0y y y y nx myx x x x a b--+=∴+=--,∴2020ABb x m k n a y =-=【注】设点 P 关于轴的对称点为 Q , 则 Q 处的切线斜率即为本题答案.【例7】 已知椭圆 22:143x y C += 的左顶点为 ,,A P Q 为 C 上的两个动点, 记直线 ,AP AQ 斜率分别为 12,k k ,若122k k =, 试判断直线 PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标, 若不过定点，请说明理由.【解析】将坐标系左移 2 个单位（即椭圆右移）, 则椭圆方程变为22(2)143x y -+=, 即 2234120x y x +-=,设 PQ 为直线 l , 平移后方程 :1l mx ny '+=, 联立 22341201x y x mx ny ⎧+-=⎨+=⎩, 齐次化得223412()0x y x mx ny +-+=,整理可得 2224123120y nxy x mx -+-=, 两边同除以 2x , 得 24123120k nk m -+-= 因为 122k k ⋅=, 所以31224m -=, 得 512m -=, 把 m 代入直线 l ' 中, 5112x ny -+=. 当 0y = 时, 125x =-, ∴l ' 过定点 12,05⎛⎫-⎪⎝⎭, 则 l 过定点 22,05⎛⎫- ⎪⎝⎭类型 3 齐次化处理与斜率和与积有关的轨迹问题【例 8】 12,Q Q 为椭圆 222212x y b b+= 上两个动点, 且 12OQ OQ ⊥, 过原点 O 作直线 12Q Q 的垂线 OD , 求 D 的轨迹方程.【解析】解法 1: 常规方法设 ()()()11122200,,,,,Q x y Q x y D x y , 设直线 12Q Q 方程为 y kx m =+,立立 222212y kx m x y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简可得: ()()222222222420b k b x kmb x b m b +++-=, 所以 ()()2222222121222222222,22b m b b m b k x x y yb k b b k b +-==++ ，因为 12OQ OQ ⊥, 所以()()()22222222222212122222222222220222121b m b b mb k mb mb k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+=++++,∴()222321(*)m b k =+又因为直线 12Q Q 方程等价于为 ()0000x y y x x y -=--, 即 200000x x y x y y y =-++,对比于 y kx m =+, 则 00200x ky x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 代入 (*) 中, 化简可得: 2220023x y b +=.故 D 的轨迹方程为 2220023x y b +=. 解法 2: 齐次化 设直线 12Q Q 方程为 1mx ny +=, 联立22222222110212mx ny x y x y bb bb +=⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩, 22222()02x y mx ny b b +-+=, 化简可得: 22222222202x y m x n y mnxy b b+---=, 整理成关于 ,x y 的齐次式: ()()2222222221240b n y m b x mnb xy -+--=,进而两边同时除以 2x , 则 ()2222222212221222412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=-因为 12OQ OQ ⊥, 所以 ()222221222121,1,3222m b k k b m n b n-=-=-∴=+- (*) 又因为直线 12Q Q 方程等价于为 ()0000x y y x x y -=--, 即 200000x x y x y y y =-++,对比于 1mx ny +=, 则 0220002200x mx y y nx y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩, 代入 (*) 中, 化简可得: 2220023x y b +=.故 D 的轨迹方程为 2220023x y b +=. 强化训练1. 设椭圆 22:12x C y += 的右焦点为 F , 过 F 的直线 l 与 C 交于 ,A B 两点, 点 M 的坐标为 (2,0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时, 求直线 AM 的方程; (2) 设 O 为坐标原点, 证明： OMA OMB ∠=∠. 【答案】(1) y x =+或y x =; (2) 见解析. 【解析】(1) 1,(1,0)c F ==∴,∵l 与 x 轴垂直, ∴1x =, ∴ 直线 AM 的方程为2y x =-+或2y x =. (2) 证明: 将椭圆左移 2 个单位, 得22(2)12x y ++=, 即 224220x x y +++= 平移后的直线 :1l mx ny '+= 过 (1,0)-, 即 1m -=, 所以 1m =-联立 2242201x x y mx ny ⎧+++=⎨+=⎩, 齐次化得 2224()22()0x x mx ny y mx ny +++++=, 即()()222222(44)1420n yn mn xy m m x ++++++=,两边同除以 2x , 得 ()22222(44)1420n k n mn k m m ++++++=,则 ()122440,22n mnk k OMA OMB n ++==∴∠=∠-+. 2. 如图, 椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 经过点(0,1)A -, 且离心率为.(1) 求椭圆 E 的方程;(2) 经过点 (1,1), 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 ,P Q (均异于点 A ) , 证明: 直线AP 与AQ 斜率之和为 2.【答案】 (1) 22 12x y +=; (2) 见解析. 【解析】（1）由题设得22211b bc a a a b c =⎧⎪=⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎩所以椭圆 E 的方程为 2212x y +=; (2) 设 PQ 的方程为 ()()1122(1)1,,,,mx n y P x y Q x y ++=, 则 121211,AP AQ y y k k x x ++== 直线 PQ 过点 (1,1)A , 则 2112m n m n +=⇒=-, 椭圆方程为 2222x y +=, 改写成 222[(1)1]2x y ++-=, 即222(1)4(1)0x y y ++-+=,所以 222(1)4(1)[(1)]0x y y mx n y ++-+++=, 即22(24)(1)4(1)0n y mx y x -+-++=,令1y k x+=, 则 2(24)410n k mk --+=, 方程两根为,AP AQ k k , 所以44(12)22424AP AQ m n k k n n-+===-- (定值）.3. 如图, 已知 ,E F 是椭圆 22143x y += 上的两个动点, 31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆上的定点, 如果直线 AE 与 AF 关于直.线 1x = 对称, 证明：直线 EF 的斜率为定值.【答案】见解析.【证明】以点 A 为坐标原点，重新建立平面直角坐标系, 则椭圆方程为 223(1)2143y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=整理得: 22346120x y x y +++=, 令直线 EF 方程: y kx b =+, 则 1y kxb-=, 所以 22346120y kx y kxx y x y b b--++⋅+⋅= ， 整理得: 22(36)(412)(612)0b k x b y k xy -+++-=,所以: 2(412)(612)(36)0y y b k b k x x ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题意: 0AE AF k k +=, 即:12126120412y y k x x b -+=-=+, 则 12k =, 即直线 EF 的斜率为定值.4. 设抛物线 22(0)y px p => 上有两个动点 ()()()()111222,0,,0A x y y B x y y ><, 若 OA OB ⊥, 求线段AB 的中点的轨迹方程. 【答案】见解析.【解析】先证明直线 AB 过定点:设直线 AB 方程为 1mx ny +=, 联立 221y px mx ny ⎧=⎨+=⎩,齐次化可得 22()y px mx ny =+, 即 2220y y pm mp x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭.由韦达定理可得 又12121,21y y pm x x ⋅=-∴=-, 即 12m p=,所以直线 AB 恒过定点 (2,0)p .下面求 AB 中点的轨迹方程, 设 AB 中点为 ()00,M x y , 对直线 AB 的斜率分两种情形讨论: 情形一：若直线 AB 的斜率存在, 则 12121202AB y y p pk y y x x y -===+-, 又因为 002BM y k x p =-, 为 AB BM k k =,所以 0002y p y x p=-, 即 ()2002y p x p =- ： 情形二：若直线 AB . 斜率不存在, 此时 M 的坐标为 (2,0)p , 它显然满足 ()2002y p x p =-.综上所述： AB 中点的轨迹方程为 2(2)y p x p =-.5. 在直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为 12, 点 31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆 C上.(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若斜率存在, 纵截距为 2- 的直线 l 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点, 若直线 ,AP BP 的斜率均存在, 求证：直线 ,,AP OP BP 的斜率依次成等差数列.【答案】 (1) 221;43x y += (2) 见解析. 【解析】 (1) 22143x y +=; (过程略） (2) 根据条件可设直线 l 的方程为 3(1)12m x n y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭, 由直线 l 过点 (0,2)-, 可得 722n m +=-. 椭圆方程 223412x y +=, 即 22333(11)41222x y ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭,22333(1)46(1)12022x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立 223(1)12333(1)46(1)12022m x n y x y x y ⎧⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+-+-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩, 并且齐次化整理可得 2233(36)(1)(412)(126)(1)022m x n y m n x y ⎛⎫⎛⎫+-++-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 23322(412)(126)36011y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+++++= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由韦达定理可得 6326AP BP m n k k n ++=-+. 由于 722n m +=-,所以 3AP BP k k +=, 即 2AP BP OP k k k +=, 得证.6. 已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为 12, 过椭圆 C 右焦点并垂直于 x 轴的直线PM 交椭圆 C 于 ,P M （点 P 位于 x 轴上方）两点，且 ( ?¡OPM O ∆ 为坐标原点）的面积为32. (1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 若直线 l 交椭圆 C 于 (,,A B A B 异于点 P ) 两点, 且直线 PA 与 PB 的斜率之积为 94-, 求点 P 到直线 l 距离的最大值.【答案】(1) 2243x y += 【解析】 (1) 由题意可得 222212123.22c a bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩. 解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所椭圆 C 的标准方程为 22143x y +=. （2）解法 1: 韦达定理暴算设点 ()()1122,,,A x y B x y , 由(1)易求得 31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线 l 的斜率不存在时, 设其方程为 (0022x x x =-<< 且 01x ≠ ),所以 121233922114A p PBy y k k x x --⋅=⋅=---, 即 2002310x x -+=. 当直线 l 的斜率存在时, 设其方程为 y kx m =+,联做 2214y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去 y 并整理得 ()2223484120k x kmx m +++-=. 则 ()()22221212228412(8)4344120,,3434km m km km x x x x k k-∆=-+⋅->+=-⋅=++.所以 121233922114P p PBy y k k x x --⋅=⋅=---, 即 ()()121233911224y y x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以 ()()121233911224kx m kx m x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅+-=--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()22121293939042424k x x k m x x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+--++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 整理得 229243602k m m km +-+-=. 即 3(243)02k m k m ⎛⎫+-⋅++= ⎪⎝⎭, 所以 302k m +-= 或 2430k m ++= 若 302k m +-=, 则直线 l 的方程为 3(1)2y k x -=-. 所以直线 l 过定点 31,2N ⎛⎫⎪⎝⎭, 不合题意... 若2430k m ++=则直线 l 的方程为3142y k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以直线l 过定点13,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭又因为221324143⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<, 所以点Q 在椭圆C 内.设点P 到直线l 的距离为d ,所以max12d PQ =>.所以点P 到直线l解法2：点乘双根法当直线l 的斜率存在时, 设其方程为y kx m =+,联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 并整理得()2223484120k x kmx m +++-=.则()()()()22221234841234k x kmx m k x x xx +++-=+-- (*)121233922114pA pgy y k k x x --⋅=⋅=---, 即()()121233911224y y x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()()()2121212123333992211,112244m m kx m kx m x x k x x x x k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫+-⋅+-=--⋅-+⋅+=--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(*)式令()()()()22212134********x k km m k x x=⇒+++-=+--,所以()()2212248491134k km m x x k ++---=+.(*) 式令()()222212333332222234841234m m m m m x k km m k x x k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-⇒+-+-+-=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以221223334121222234m m m m m x x k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪-++⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()222222241212394849234434k mm k km m m k k -+++-⎛⎫--=-⋅⎪++⎝⎭整理得224861290k m m km +-+-=, 即()()2232430k m k m +-⋅++=, 下同方法一.解法3：齐次式法易求得31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭, 设点()()1122,,,A x y B x y , 则121233922114PA PBy y k k x x --⋅=⋅=--- 椭圆C 的方程223412x y +=, 即22333(11)41222x y ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭,即()22333(1)61412022x x y y ⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设直线AB 方程为()3112m x n y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭, 联立并齐次化, 得()()()2233333(1)611412102222x x m x n y y y m x n y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+-+--+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦整理得()()()()223336(1)4126121022m x n y n m x y ⎛⎫⎛⎫+-++-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得()()()2332241261236011y y n n m m x x ⎛⎫-- ⎪+++++= ⎪-- ⎪⎝⎭, 方程两根为,PA PBk k 由韦达定理得3694124PA Ps m k k n +==-+, 从而9124m n --=, 与()3112m x n y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭对照,只需11122393244x x y y ⎧⎧-=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=-=-⎪⎪⎩⎩, 故直线l过定点13,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 显然, 点P 到直线l距离的最大値为PQ .解法4: 点差法设点()()1122,,,A x y B x y , 则直线AB 的方程为()211121y y y y x x x x --=--, 即()()()21212112x x y y y x x y x y -=-+-由题意可知：121233922114PA pgy y k k x x --⋅=⋅=---① 由,P A 在椭圆上, 得221122143312143x y ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩, 两式相减可得111133322114y y x x -+⋅=--+ ② 同理, 由,P B 在椭圆上，可得222233322114y y x x -+⋅=--+ ③ 由①÷②, 得21213123312y x x y -+⋅=-+, 即211212219336226x x y y x y x y +-=++- ④ 由①÷③, 得12123123312y x x y -+⋅=-+, 即122121129366226x x y y x y x y +-=++- ⑤ 由⑤-④, 得()()()12212112648x x y y x y x y -=-+-, 即()()()212121123142x x y y x y x y --=-+-与直线AB 方程()()()21212112x x y y y x x y x y -=-+-对照可知 : 直线AB 恒过定点13,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
椭圆中的定值、定点问题说我之前说的:什么是硬件解码的定理？这个计算太多太多了，刺激！现在更新很慢，不过我在笔记本里整理了一些模型，准备有空就发。
接下来要给出的结论，可以说是“非常一般”。
在这里先给出结论，可以自己用几何画板验证：结论给定椭圆 \Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 与椭圆上的定点 P(x_0,y_0) ，过 P 点作两条射线 PA 和PB ，与椭圆 \Gamma 交于 A 和 B 两点，记直线 PA 和 PB 的斜率分别为 k_1 和 k_2 ，则有：（1）若 k_1+k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点 (x_0-\frac{2y_0}{\lambda},-y_0-\frac{2b^2x_0}{a^2\lambda}) 。
（2）若 k_1\cdot k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点(\frac{2b^2x_0}{\lambda a^2-b^2}+x_0,\frac{-2a^2\lambda y_0}{\lambda a^2-b^2}+y_0) 。
这也是各个地区高考、模拟题出题常见的题型，当然，最重要的是，它说明了一个规律：只要直线过椭圆上的定点，并且斜率有关系，那么就一定有“定点”的出现。
例如以下题目：例1 （2017年全国1卷）已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ，四点P_1(1,1) ， P_2(0,1) ， P_3(-1,\frac{\sqrt3}{2}) ，P_4(1,\frac{\sqrt3}{2}) 中恰有三点在椭圆 C 上。
(1) 求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过点且与 C 相交于 A ， B 两点。
若直线P_2A 与直线 P_2B 的斜率的和为 -1 ，证明： l 过定点。
例2 （例1变式）在例1中，若直线 P_2A 与直线 P_2B 互相垂直，证明： l 过定点。
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了例题：过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．变式1若将上述试题中“椭圆C 的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN 是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？变式2过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于M ，N 两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．串讲1(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ，设过点T(t ，m)的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．串讲2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(2018·九章密卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，右准线l ：x＝2，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下方)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于C ，D 两点，若CD ＝6，求圆H 的方程；(3)若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．如图，已知椭圆E1方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，圆E2方程为x2＋y2＝a2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B ，C.设D 为圆E2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k2，当k1k2＝b2a2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，4分因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a)＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.6分由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a)2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，8分同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D＝2ak 21＋k 22，10分 当k 1k 2＝b 2a2时，x B ＝a （b 2－b 4a 2k 22）b 2＋b 4a2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，13分所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0).14分。
2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。
关键词：斜率之积定值数学运算一、斜率之积问题的课本溯源：普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修 2-1) 人教 A版的探究题：点的坐标分别是直线相交于点 , 且它们的斜率之积是 , 试求点的轨迹方程, 并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。
思考1 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？思考2 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？思考3 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。
斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。
下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。
二、模拟题中的问题呈现及变式探究（2020年青岛二模节选）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为 .1.求椭圆的标准方程；2.若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为证明： .解析：（1）椭圆方程为，过程略。
（2）设 ,则．设由点在椭圆上，得:① ，②两式相减并整理，得即模拟题的解题溯源：椭圆 (a＞b＞0)上任一动点 P( x，y)到椭圆任意一条直径(过椭圆中心的弦)的两个端点的斜率乘积等于多少?解：设椭圆 (a＞b＞0)的任意一条直径为 ,∵是直径∴点关于原点称．设 ,则．由点在椭圆上，得:① ②两式相减并整理，得即点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。
