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3.1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质新知探究“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？问题 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴长、短轴长、离心率分别是什么？提示 椭圆的长轴长2a ＝4，短轴长2b ＝2，离心率e ＝c a ＝32.1.椭圆的几何性质明确a ，b ，c 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，c 是半焦距，且有关系式a 2＝b 2＋c 2x 2y 2y 2x 22.离心率的作用椭圆离心率e 与a ，b 的关系：e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2因为a >c >0，所以0<e <1.e 越接近1，c 越接近a ，b ＝a 2－c 2就越小，因此椭圆越扁平；反之，e 越接近0，c 越接近0，b 越接近a ，这时椭圆就越接近于圆.拓展深化[微判断]1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .(×)提示 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是2a . 2.椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.(×) 提示 椭圆的离心率e 越大，椭圆就越扁.3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.4.设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距).(√) [微训练]1.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A.5，3，45B.10，6，45C.5，3，35 D.10，6，35解析将椭圆方程化为标准方程为x29＋y225＝1，∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝a2－b2＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝4 5.答案B2.已知椭圆的长轴长为8，离心率为14，则椭圆的标准方程为________.解析由题意知，2a＝8，e＝ca＝14，∴a＝4，c＝1，从而b2＝a2－c2＝15.∴椭圆的标准方程为x216＋y215＝1或y216＋x215＝1.答案x216＋y215＝1或y216＋x215＝1[微思考]1.在画椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)时，怎样才能画的更准确些？提示在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).2.椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义是什么？提示在方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义如图所示，即a，b，c正好构成了以对称中心、一个焦点、一个短轴端点为顶点的直角三角形.题型一椭圆的简单几何性质【例1】求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.解把已知方程化成标准方程为y225＋x2＝1，则a＝5，b＝1.所以c＝25－1＝26，因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，两个焦点分别是F1(0，－26)，F2(0，26)，椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).规律方法解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.【训练1】已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.解(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1，可知a＝10，b＝8，c＝a2－b2＝6，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝3 5.(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1.性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝3 5.题型二由椭圆的几何性质求方程【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e＝23，短轴长为8 5.解(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是y264＋x248＝1.(2)由e＝ca＝23得c＝23a，又2b＝85，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为x2144＋y280＝1或x280＋y2144＝1.规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法.【训练2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A.(±13，0) B.(0，±10) C.(0，±13)D.(0，±69)(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________.解析 (1)由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.(2)由已知，得焦点在x 轴上，且⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎨⎧b 2＝4，a 2＝16， ∴所求椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案 (1)D (2)x 216＋y 24＝1 题型三 求椭圆的离心率 角度1 求离心率【例3－1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率.解 由题意知A (a ，0)，B (0，b )，从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，又|F 1F 2|＝2c ， ∴ab a 2＋b 2＝63c .(*)∵b 2＝a 2－c 2，∴(*)式可化简为3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22. 角度2 求离心率的取值范围【例3－2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围. 解 依题意得F 1(－c ，0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )， 则C (0，kc ).因为点B 为CF 1的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，kc 2.因为点B 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kc 22b 2＝1， 即c 24a 2＋k 2c 24（a 2－c 2）＝1.所以e 24＋k 2e 24（1－e 2）＝1.所以k 2＝（4－e 2）（1－e 2）e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即（4－e 2）（1－e 2）e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0＜e ＜1，所以22≤e ＜1.故离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.规律方法 求椭圆离心率的方法：①直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b 2a 2求解.②若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解.【训练3】 已知椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，求它的离心率e 的最大值.解 ∵椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，∴5a >4a 2＋1， ∴14<a <1，∴椭圆的离心率e ＝5a －4a 2－15a＝1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1a ≤1－15×24a ·1a＝55⎝ ⎛当且仅当4a ＝1a ，⎭⎪⎫即a ＝12时取等号，∴椭圆的离心率的最大值为55.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.2.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准方程，应先化成标准方程.3.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距.4.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用. 二、素养训练1.椭圆x 24＋y 29＝1的长轴长为( ) A.2 B.4 C.3D.6解析 由椭圆方程知焦点在y 轴上，故长轴长为2a ＝6.故选D. 答案 D2.如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析 ∵x －2y ＋2＝0，∴y ＝12x ＋1，从而b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12，∴a 2c 2＝54，e ＝c a ＝255.答案 D3.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 24＋y 2＝1解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上， 且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1. 答案 C4.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25D.15解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去). 答案 B5.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________. 解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2，∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12， ∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 答案 32。
《椭圆的几何性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握椭圆的标准方程及其推导过程；2. 通过实践操作，探究椭圆的几何性质；3. 培养学生的观察、思考和表达能力。
二、作业内容1. 实践操作：a. 使用教学工具（如铅笔、纸板、钉子、图钉等）制作简单的椭圆模型，并标明焦点位置；b. 通过测量并记录椭圆的长轴和短轴长度，了解椭圆形状与长轴、短轴的关系；c. 观察并记录椭圆上任意一点到两个焦点之间的距离变化规律，尝试用数学语言表达。
2. 理论学习：a. 复习椭圆的标准方程及其推导过程，完成相关练习题；b. 学习椭圆的几何性质（如离心率、对称性、顶点、焦点弦等）及其推导过程，完成相关笔记；c. 观看教学视频或阅读相关资料，了解椭圆在实际生活中的应用。
三、作业要求1. 实践操作部分：请根据课堂所学知识进行制作，注意保证模型的真实性和准确性；2. 理论学习部分：请认真阅读教材和笔记，确保理解每个知识点的基本概念和推导过程；3. 作业完成后，请提交电子版和纸质版作业，电子版需上传至学习平台，纸质版需认真书写并拍照上传；4. 作业过程中遇到问题，请及时与老师和同学交流，寻求帮助。
四、作业评价1. 评价标准：a. 实践操作是否正确完成，是否符合标准；b. 理论学习中的概念理解和推导过程是否正确；c. 提交的作业是否按时完成，书写是否认真，格式是否符合要求。
2. 分值分配：a. 实践操作（20分）；b. 理论学习（60分）；c. 作业提交（20分）。
3. 评价方式：老师评价为主，同学间也可以互相评价，作为参考。
五、作业反馈1. 请同学们认真完成作业，并根据反馈情况及时调整学习策略；2. 对于作业中存在的问题，请及时与老师和同学交流，寻求帮助；3. 请根据作业评价结果，总结自己的学习成果，为后续学习做好准备。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对椭圆的几何性质的理解和掌握；2. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力；3. 提高学生自主学习和合作探究的能力。
专题26--椭圆中定值和最值问题一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y －y 0＝k (x －x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线的方程；(2)(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＝0表示的是过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆的方程．3．与椭圆有关的参数的定值问题 二、椭圆中的最值问题 1．参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k ，a ，b ，c ，(x ，y )的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．2．长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k 或(x ，y ))的函数，运用函数或基本不等式求最值． 要点热点探究► 探究点一 与椭圆有关的定值问题在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题．例1 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．【解答】 (1)当直线AM 的斜率为1时， 直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.因为此方程有一根为－2，所以x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2. 所以k MP ＝k PN ，M 、P 、N 三点共线， 所以直线MN 过x 轴上的一个定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 例2 椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为：x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝12k 5(k 2＋4)，y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，又A (－2,0)， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝－64(k 2＋1)25(k 2＋4)＋4k 5·12k 5(k 2＋4)＋1625＝0， 即可得∠MAN ＝π2.► 探究点二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于k 的函数；二是关于点(x ，y )的函数．例3 如图26－1，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A ，C ，T 三点共线；(2)如果BF →＝3FC →，四边形APCB 面积的最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和点P 的坐标．【解答】 (1)证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，①AT ：x a 2c＋y b ＝1，② BF ：x c ＋y－b ＝1，③解得AT 与BF 的交点⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得： ⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1， 满足①式，则AT 与BF 的交点在椭圆上，即为点C ，则A ，C ，T 三点共线． (2)过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，则△OBF ∽△ECF .∵BF →＝3FC →，∴CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得： ⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b2＝1，∴a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 设P (x 0，y 0)，则x 20＋2y 20＝2c 2，此时C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c ·4c 3＝43c 2， 直线AC 的方程为：x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c＝x 0＋2y 0－2c 3·c .所以只需求x 0＋2y 0的最大值即可．法一：∵(x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2， ∴x 0＋2y 0≤6c ，当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c . 法二：令x 0＋2y 0＝t ，代入x 20＋2y 20＝2c 2得：(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0. Δ＝(－4t )2－24(t 2－2c 2)≥0， 得－6c ≤t ≤6c ，当t ＝6c 时，代入原方程解得x 0＝y 0＝63c .由法一、法二知四边形APCB 的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23， ∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1.此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫63，63.【点评】 本题所建立的函数与点P 坐标(x 0，y 0)有关．在计算最值时，方法一用的是基本不等式；方法二用的是代入消元和方程有解来计算最值．本题还可以用三角换元的方法或者构造z ＝x 0＋2y 0的几何意义用线性规划的思想来解决问题． ► 探究点三 椭圆和圆的综合问题椭圆和圆的综合问题中，题目中存在多种曲线混合的现象，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值的问题．例4 如图26－2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其右准线l与x 轴的交点为T ，过椭圆的上顶点A 作椭圆的右准线l 的垂线，垂足为D ，四边形AF 1F 2D 为平行四边形．(1)求椭圆的离心率；(2)设线段F 2D 与椭圆交于点M ，是否存在实数λ，使TA →＝λTM →？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；(3)若B 是直线l【解答】 (1)依题意：AD ＝F 1F 2，即a 2c ＝2c ，所以离心率e ＝22.(2)由(1)知：a ＝2c ，b ＝c ，故A (0，c )，D (2c ，c )，F 2(c,0)，T (2c,0)，TA →＝(－2c ，c )，所以椭圆方程是x 22c 2＋y 2c2＝1，即x 2＋2y 2＝2c 2，直线F 2D 的方程是x －y －c ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2y 2＝2c 2，x －y －c ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－c (舍去)或⎩⎨⎧x ＝43c ，y ＝13c ，即M ⎝⎛⎭⎫43c ，13c ，TM →＝⎝⎛⎭⎫－23c ，13c ，所以TA →＝3TM →， 即存在λ＝3使TA →＝3TM →成立．(3)解法一：由题可知圆心N 在直线y ＝x 上，设圆心N 的坐标为(n ，n )， 因圆过准线上一点B ，则圆与准线有公共点， 设圆心N 到准线的距离为d ，则NF 2≥d ，即(n －c )2＋n 2≥|n －2c |，解得n ≤－3c 或n ≥c ，又r 2＝(n －c )2＋n 2＝2⎝⎛⎭⎫n －c 22＋c22∈[c 2，＋∞)， 由题可知，(πr 2)min ＝c 2π＝4π，则c 2＝4， 故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.解法三：设B (2c ，t )，△AF 2B 外接圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 又A (0，c )，F 2(c,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＋cD ＋F ＝0，c 2＋cE ＋F ＝0，4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，D ＝E ＝－c －F c ，r 2＝14(D 2＋E 2－4F )＝12c 2＋F 22c2.由4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，得4c 2＋t 2＋(2c ＋t )⎝⎛⎭⎫－c －Fc ＋F ＝0， 4c 2＋t 2－2c 2－ct －2F －tFc ＋F ＝0,2c 2－ct ＋t 2－(t ＋c )F c ＝0，F ＝c ⎣⎡⎦⎤(t ＋c )＋4c2t ＋c －3c ，所以F ≥c 2或F ≤－7c 2，所以r 2＝12⎝⎛⎭⎫c 2＋F 2c 2≥c 2，所以(πr 2)min ＝c 2π＝4π，所以c 2＝4.所求椭圆方程是x 28＋y 24＝1.【点评】 本题的第三小问从多种角度建立了半径与圆心的坐标之间的关系，无论哪一种方法，本题关键是求出r 2的取值范围，方法一用的是几何法；方法二和方法三用的是代数法．例 [2011·江苏卷] 如图26－3，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意k >0，求证：PA ⊥PB.【解答】 (1)由题设知a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，得线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎫－1，－22，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点， 又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)k ＝2时，直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43. 于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此，d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k2，记μ＝21＋2k 2.则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )，于是C (μ，0)，故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率k PB ＝μk 32＋k2－μkμ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k PB k ＝－1，所以PA ⊥PB .。
3.1.2椭圆的简单几何性质12题型分类一、椭圆的简单几何性质x2y2y2x2离心率e ＝ca∈(0,1)二、直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立{y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<0（一）椭圆的简单几何性质用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．（二）求椭圆的离心率求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．（三）直线与椭圆的位置关系直线y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的位置关系：联立2222,1,y kx m x y a b =+ìïí+=ïî消去y 得一个关于x 的一元二次方程．注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．位置关系解的个数D 的取值相交两解D >0相切一解D =0相离无解D <0（四）求相交弦长问题1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2.求弦长的方法（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：()()2221212121221=1+41+4+-=+-AB k x x x x y y y y k ．（五）椭圆的中点弦问题1、椭圆的中点弦结论：若直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=×.2、椭圆的中点弦问题（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．（六）与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围． （七）1.求解直线或曲线过定点问题的策略2.求定值问题的策略（八）椭圆的实际应用解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系．(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系．(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解． 题型12：椭圆的实际应用12-1．（2024高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（）A．33m B．33m2C．42m D．42m312-2．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，44AB=米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（）A．13B．25C．23D．4512-3．（2024高二下·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线221(0)x ym nm n+=>>，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则m n+=（）A．39B．52C．86D．9712-4．（2024高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点2F 处，灯丝与反射镜的顶点A 的距离22cm F A =，过焦点2F 且垂直于轴的弦6.4cm BC =，在x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．13cm一、单选题1．（2024高三·全国·对口高考）通过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ）A ．B ．3C D ．62．（2024高二上·全国·课前预习）直线1y x =+与椭圆2212y x +=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定3．（2024高二上·全国·课后作业）方程2212516x y +=表示的曲线是（ ）A ．焦点为点()30-，与()30，，离心率为35的椭圆B ．焦点为点()03-，与()03，，离心率为35的椭圆C ．焦点为点()30-，与()30，，离心率为45的椭圆D ．焦点为点()03-，与()03，，离心率为45的椭圆4．（2024·广东广州·模拟预测）已知以()()122,0,2,0F F -为焦点的椭圆与直线40x y ++=有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·广西·一模）已知c 是椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的半焦距，则b c a +取最大值时椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．23C D 6．（2024高二上·江西萍乡·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为30o 时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率e =（ ）A ．23B ．12C D 7．（2024高二上·黑龙江绥化·期中）直线l ：10ax y a +-+=与椭圆22132x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交8．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线y x m =+与椭圆22142x y+=相切，则实数m 的值等于（ ）A ．6±B ．C ．D ．4±9．（2024高二下·山东济南·期末）若直线2y mx =+与焦点在x 轴上的椭圆2219x y n+=总有公共点，则n 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．()4,9C ．[)4,9D ．[)()4,99,¥È+10．（2024·安徽蚌埠·三模）若椭圆22:12x y C m +=C 的长轴长为（ ）A ．6B 或C ．D ．11．（2024高二·全国·课后作业）直线2x y m +=与椭圆2214x y +=只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．±D ．2±12．（2024高二下·广东茂名·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，下顶点为B ，点M 为C 上的任意一点，则MB 的最大值是（ ）A B C D ．2b13．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线y=kx-1与焦点在x 轴上的椭圆C :()222104x y b b +=>总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是（ ）A ．æççèB ．æçèC ．æççèD ．æççè14．（2024高二上·全国·课后作业）已知P 点是椭圆22142x y +=上的动点，A 点坐标为1,02æöç÷èø，则||PA 的最小值为（ ）A ．74B C ．32D ．5215．（2024高二下·云南昆明·期末）已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>分别是C 的左，右焦点，P 为C 上一点，若线段1PF 的中点在y 轴上，12π6PF F Ð=，则C 的离心率为（ ）A B ．23C D ．216．（2024高二·全国·课后作业）若椭圆22194x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．49130x y +-=B ．94130x y +-=C ．230x y +-=D ．340x y +-=17．（2024高二下·广西河池·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，且三角形12AF F 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C D ．2318．（2024高二·全国·课后作业）椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F ，交C 于A ，B 两点，且2ABF △的内切圆的面积是p ，若椭圆C 的离心率的取值范围为，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．B ．[]1,2C ．[]4,8D ．éë19．（2024·重庆万州·模拟预测）已知点()11,M x y ，()()2212,N x y x x ¹为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的两点，点,04æöç÷èøa P 满足PM PN =，则C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．1,14æöç÷èøB ．ö÷÷øC ．1,12æöç÷èøD ．10,2æöç÷èø20．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆2212x y +=与直线y x m =+交于A ，B 两点，且|AB |=数m 的值为（ ）A ．±1B ．±12C D ．21．（2024高二下·贵州遵义·期中）已知F 是椭圆()222210+=>>x y a b a b的右焦点，直线13y b =与椭圆交于B ，C 两点，若π2BFC Ð=，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D 22．（2024高二下·上海浦东新·期中）直线3260x y -+=与曲线2194x xy -=的公共点的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．423．（2024·陕西西安·二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：221(0)1x y a a a +=>+的离心率为13，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）A ．2219x y +=B ．2217x y +=C ．2215x y +=D ．2214x y +=24．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>四个顶点构成的四边形的面积为，直线:260l x y -+=与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()2,2-，则椭圆C 的方程是（ ）A ．221168x y +=B ．221324x y +=C ．2213216x y +=D ．221642x y +=25．（2024高二上·浙江·期中）已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的两个焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）A ．4-B 1C D 126．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆2221541x y a a +=+的焦点在x 轴上，则它的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，15）B ．（15C ．æççèD ．ö÷÷ø27．（2024高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆E ：(222210)x y a b a b +=>>的右焦点为2F ，左顶点为1A ，若E 上的点P 满足2PF x ^轴，121tan 2PA F Ð=，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．25C ．14D ．15二、多选题28．（2024高三下·江苏南京·开学考试）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R 的四边均与椭圆22:163x y C +=相切,则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的离心率为e =B ．椭圆C 的蒙日圆方程为226x y +=C ．椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=D ．长方形R 的面积最大值为1829．（2024高三·全国·专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为,A B ，点A 关于O 的对称点为C .给出下列四个命题其中正确的是（ ）A ．两椭圆的焦距长相等B ．两椭圆的离心率相等C ．PA PB =D ．BC 与小椭圆相切三、填空题30．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知M 是椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的右焦点，过M 作直线b y x c =的垂线，垂足为N ，12MN a =，则该椭圆的离心率为 .31．（2024高三上·江苏泰州·期末）若椭圆2C 的焦点在y 轴上，且与椭圆1C ：22142x y +=的离心率相同，则椭圆2C 的一个标准方程为 .32．（2024高三·全国·专题练习）直线l 与椭圆2214x y +=交于A ，B 两点，已知直线l 的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．33．（2024高三·全国·对口高考）直线10x y +-=截椭圆22143x y +=所得弦的中点M 与椭圆中心连线OM 的斜率为．34．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）若椭圆22:12x y C m +=，则椭圆C 的长轴长为.35．（2024·辽宁·一模）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 、B 在椭圆C上，满足2120AF F F ×=uuuu r uuuu r ，11AF F B l =uuur uuu r ，若椭圆C 的离心率e Î，则实数λ取值范围为 .36．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知P 为圆22:640C x y y +-=上一点，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>焦距为6，点P 关于直线0x y -=的对称点在椭圆M 上，则椭圆离心率的取值范围为．37．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知点F 是椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的右焦点，点F 关于直线y kx=的对称点Q 在C 上，其中1,22k éùÎêúëû，则C 的离心率的取值范围为 .38．（2024高二上·全国·课后作业）过椭圆221259x y +=的左焦点且斜率为1的弦AB 的长是．39．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）直线l 不与x 轴重合，经过点()(),00N n n ¹，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点A 、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为m .若3m n =，则椭圆C 的离心率为 .四、解答题40．（2024高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为12．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)l 经过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于A ，B 两点．已知点()3,0P -，求PA ⋅PB 的值．41．（2024高二上·陕西西安·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点)F，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设B 为椭圆C 的上顶点，直线():1l y x m m =+¹与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若BM BN ^，求直线l 的方程．42．（2024高二下·北京·期中）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>1(1,0)F -.直线1:(2)2l y x =+交椭圆C 于不同的两点,A B .(1)求椭圆C 的方程；(2)求1F AB V 的面积.43．（2024高二上·全国·课后作业）已知经过椭圆22143x y +=的右焦点2F 的直线AB 的倾斜角为π4，交椭圆于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点，求1ABF V 的周长和面积．44．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知1F 、2F 是椭圆()22:2210x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P æççè在椭圆C 上，且112PF F F ^.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A ，B 两点的坐标分别是()0,2，()1,0-，若过点A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过点B ，求出直线l 的所有方程.45．（2024·北京海淀·模拟预测）已知曲线22:(5)(2)8(R)C m x m y m -+-=Î．(1)若曲线C 是椭圆，求m 的取值范围．(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线:4l y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ．设直线AN 与直线BM 相交于点G ．试问点G 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．46．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）已知椭圆C 的焦点分别为F 1()-，F 2()，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A ，B 两点.(1)求线段 AB 的中点坐标；(2)求△OAB 的面积.47．（2024高二下·河南洛阳·期末）已知圆22:4200S x y x ++-=，点P 是圆S 上的动点，T 是抛物线28y x =的焦点，Q 为PT 的中点，过Q 作QG PT ^交PS 于G ，记点G 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过()2,0S -的直线l 交曲线C 于点M 、N ，若MON △（O 为坐标原点），求直线l 的方程．48．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为直线1:(2)2l y x =+交椭圆C 于不同的两点,A B ，(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆左焦点为1F ，求1F AB V 的面积.49．（2024高二下·陕西商洛·期末）已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．(1)求椭圆C 的方程；(2)求APQ △面积的取值范围．50．（2024·江苏南通·模拟预测）已知椭圆22112x C y +=：的左、右顶点是双曲线22222100x y C a b a b -=>>：（，）的顶点，1C 的焦点到2C 直线l y kx t =+：与2C 相交于A ，B 两点，3OA OB ×=-uuu r uuu r .(1)求证：2281k t +=(2)若直线l 与1C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的取值范围.51．（2024高二上·山东滨州·期末）已知椭圆C 的两个焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，并且经过点P æççè．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，当线段AB 的长度最大时，求直线l 的方程．52．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>)F ，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值；(3)在（2）的条件下，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：点M 在定直线上.。
