总第01 课时——§1.1.1 等腰三角形(第1 课时：全等三角形)

1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1. 理解并掌握两个三角形全等的判别方法（AAS）以及 等腰三角形的概念及性质；（重点） 2. 能运用等腰三角形的性质解决相关问题.（难点）
复习导入 观察图中的等腰三角形ABC，分别指出它的腰、底边、顶角和 底角.
A
腰 顶角 腰
B 底角 底角 C
随堂检测 1.在△ABC中，AB=AC， AD垂直于BC ，垂足为D ， ∠BAC=108°， 则 ∠BAD= __5_4_°_.
2.在等腰三角形中，有一个角是 50°，它的一条腰上的高与
底边的夹角是( B )
A.25°
B40°
随堂检测 3.如图，在△ABC 中， D为 AC 边上一点，以点 A 为圆心，AD为 半径画弧，交 BA 的延长线于点E ，连接 ED .若∠C=50°， ∠ B= 60°，则∠CDE 的度数为( A) .
A.145° C.135°
B.140° D.130°
随堂检测
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD， AD=DE=BE，则∠A= 45°.
【解析】如图，设某个较小的角为 x，其他的角 度分别用含有 x 的式子表示. 利用外角与三角形内角和， 列方程：2x+3x+3x=180，即8x=180，求得 ∠A=2x=45°.
底边
思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的
两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和学习过的定 理证明它吗？
A
D
B
C
E
F
合作探究 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，
BC=EF.

).


方法二：作顶角的平分线

证明


方法二：作顶角的平分线
证明

作顶角的平分线 ，则 ∠ = ∠.
在△ 和△ 中，
= (已知)，
∠ = ∠ (已作)，
= (公共边)，
∴△ ≌△ (SS).

∴ ∠ = ∠ (全等三角形的对应角相等).



例题讲解
3 观察∠与∠、∠ 的关系.
∠ = ∠ + ∠ = 2∠ = 2∠，

∠ = ∠ = 2∠，
∠ = ∠ = 2∠.



例题讲解
3 观察∠与∠、∠ 的关系.
∠ = ∠ + ∠ = 2∠ = 2∠，

∠ = ∠ = 2∠，

∠ = ∠ = 2∠.

4 设∠ = °.
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴ + 2 + 2 = 180.


2
2

例题讲解
解：∵ = ， = = ，

∴ ∠ = ∠ = ∠，∠ = ∠.
合一）.
等腰三角形性质
性质 ：等腰三角形的两个底角相等

（简写成：等边对等角）.
应用格式：
∵ =
∴ ∠ = ∠ (等边对等角)


等腰三角形性质
性质 2： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的
中线及底边上的高线互相重合（简写

成：三线合一）.
应用格式：
高线
∵ = ， ⊥ ,

分析
1 指出图中有几个等腰三角形？

1.1 等腰三角形
第1课时 全等三角形与等腰三角形的性质
学习目标： 1.探索并证明等腰三角形性质． 2.会应用等腰三角形的性质
8条基本事实
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行．（同位角相等，两直线平行）
有两边相等的三角形 概念 腰、底、顶角、底角 等腰三角形 性质 等边对等角
三线合一
(2)等腰三角形中常作的辅助线:
作顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线
E 分别在 BC，AC 上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠
BAC＝145°，则∠EDC 的度数为( )
A．17.5° B．12.5°
C．12°
D．10°
课堂导练
【点拨】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴∠B＋∠C＋∠BAC＝2∠C＋∠BAC＝180°. 又∵∠C＋∠BAC＝145°，∴∠C＝35°. ∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠AED＝45°. ∴∠EDC＝∠AED－∠C＝10°. 【答案】D
2. 判断下列语句是否正确.
(1)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.( × )
(2)有一个角是60°的等腰三角形， 其它两个内角也为60°. （ ）
(3)等腰三角形的底角都是锐角.
（）
(4)钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ × ）
课堂导练
6．(2018·包头)如图，在△ABC 中，AB＝AC，△ADE 的顶点 D，
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,

的边也相等（简写成“等角对等边”）. 符号语言： ∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴ AB = AC.
再见
B
E
A
1 2
D
C
三、运用新知
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC.
求证：AB =AC.
E
证明：∵ AD∥BC ， ∴ ∠1 =∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2 =∠C（两直线平行，内错角相等）．
A
1 2
D
∵ ∠1 =∠2，
∴ ∠B =∠C．
∴ AB =AC（等边对等角）.
解得 x = 36°
D
在△ ABC中， ∠ A = 36°，ABC = ∠ C = 72°
B
C
三、运用新知
等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等. 结论：这两条边所对的角相等. 性质定理证明方法是什么？ 作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化 为两个全等三角形来证明两个角相等.
A
DB
N
四、归纳小结
1. 等腰三角形的特征: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合. 2. 等腰三角形的性质: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
四、归纳小结
3. 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形 第 1 课时
一、提出问题，思考引入
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把 它展开，得到的△ABC 有什么特点？