2.5 第1课时 全等三角形及其性质

《全等三角形及其性质》教学设计【教学目标】1．知识与能力（1）使学生理解全等形和三角形全等的概念与性质，感受生活中的全等形。

（2）能够准确地辨认全等三角形中的对应元素,提高学生的识图能力。

经历图形的平移、翻折、旋转、轴反射等变换的过程，体会探索问题的方法。

3．情感、态度与价值观培养学生的识图能力、归纳总结能力；通过合作交流,增强团队意识,体验成功的喜悦。

【教学重点】全等三角形相关概念、性质及全等三角形对应元素的寻找.【教学难点】能够准确地辨认全等三角形中的对应元素【教学过程】一、创设情境，设疑引入活动1手指游戏啊，手指们迫不及待的想进入课堂一显身手了，你准备好了吗？让我们带着自信和智慧进入课堂。

活动2我有两个一模一样的图形，可是其中一个被我不小心弄坏了，我还想再做一个一模一样的图形，怎么做呢？谁能帮帮我，告诉我制作方法？这样做出来的图形与我原来的图形重叠在一起时会怎么样？（完全重合）像这样，能够完全重合的两个图形叫做全等形．（怎样的两个图形才能完全重合？——形状相同，大小相同。

）请大家观察周围，再想想平时的生活中，全等形常见吗？你能举例吗？让我们来欣赏几组美丽的全等形的图片。

活动3上课前，我送给每个同学一个三角形，举起来，请快速在你周围找朋友，谁手中的三角形能与你的完全重合，谁就是你的好朋友。

找到了吗？像这样，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．这节课，我们一起来研究《全等三角形及其性质》。

二、尝试探索，揭示新知1、理解对应关系我们做游戏时，双手重叠在一起，两个大拇指，两个食指，两个中指……分别是对应的。

当我们把两个全等三角形重叠在一起时，他们会有哪些对应元素？分别叫什么名称比较好？——对应顶点、对应边、对应角。

什么叫对应顶点？什么叫对应边？什么叫对应角？你能从全等三角形的定义受到启发，把对应顶点、对应边、对应角的定义说一说吗？（当两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边就叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。

全等三角形的判定第一课时：SSS教学目标知识与能力：（1）经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等的“边边边”条件并初步学会运用，了解三角形的稳定性及其应用。

过程与方法：在探索三角形全等条件的过程中，让学生学会有条理地思考、分析、解决问题的能力，培养学生推理意识和能力，发展学生的空间观念。

情感态度与价值观：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

教学重点：经历探索三角形全等条件的过程。

教学难点：对三角形全等条件的分析和探索。

教学过程引入：三角形全等的判定是中学数学重要内容之一，是证明线段相等、角相等的重要方法，是今后几何学习的基础。

本节课是探索三角形全等条件的第一课时，学好了将为下节课探索三角形全等的其他条件打下坚实的基础；同时为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好模式和方法，因此本节课占有相当重要的地位和作用。

复习回顾1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？2．创设情景，提出问题大家知道:一个三角形有三个角与三条边,那么两个三角形全等是否一定要三个角与三条边都对应相等,即这六个条件都成立。

如果满足这六个条件中的一个或两个，那么两个三角形会全等吗?小组合作完成课本第六页探究1。

通过探究可以发现满足上述条件中的一个和两个两个三角形不一定全等。

满足上述六个条件中的三个，能保证两个三角形全等吗？需分境况来讨论。

探究2：先画出一个三角形△ABC，你能画一个△A′B′C′，使AB= A′B′，AC= A′C′，BC= B′C′吗？教师介绍尺规作图。

师生一起完成：A B C D EF并△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 拼一拼，他们是否全等？4．归纳总结，得出新知三边对应相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS ”用符号语言表达为： 在∆ABC 和∆DEF 中AB=DE∵AC=DFBC=EF∴∆ABC ≌∆DEF5．应用新知，体验成功要证明这两个三角形的三条边是否对应相等，从题目中得知，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，所以有BD=DC ，而AD=DA 是公共边，这样根据“SSS ”，所以题目所求证的这两个三角形就全等了。

全等三角形的性质1. 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2. 全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．3.全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应． 4. 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等 （2）全等三角形的对应角相等（3）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等 （4）全等三角形的周长相等，面积相等 5. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角．CBA B'A'(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．类型一、全等图形的概念【例1】全等图形是指两个图形()A．大小相等B．形状相同C．完全重合D．以上都不对【变式1】下列说法中，正确的是()A．全等图形是形状相同的两个图形B．全等三角形是指面积相同的两个三角形C．等边三角形都是全等三角形D．全等图形的周长、面积都相等【变式2】下列说法正确的是()A．形状相同的两个图形一定全等B．两个长方形是全等图形C．两个全等图形面积一定相等D．两个正方形一定是全等图形【例2】下列各组图案中，不是全等形的是()A． B．C． D．【变式1】下列各组的两个图形属于全等图形的是()A．B．C．D．【变式2】在下列各组图形中，是全等的图形是（）A B C D 【例3】如图（1）~(12)中全等的图形是和；和；和；和；和；和；（填图形的序号）【变式1】如图是淮口工业集中发展区中某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有组．【变式2】观察如图图形的特点：有几组全等图形？请一一指出：．类型二、全等三角形的性质：对应角相等【例4】如图，ABC DEF∠的度数是()B∠=︒，则FA∆≅∆，50∠=︒，100A．30︒B．50︒C．60︒D．100︒【变式1】已知ABC DEF∠的度数为()∠=︒，则FE∆≅∆，80∠=︒，50AA．30︒B．50︒C．80︒D．100︒【变式2】如图，已知ABC EFG∠等于()∆≅∆，则αA．72︒B．60︒C．58︒D．50︒【例5】已知图中的两个三角形全等，则1∠等于()A．70︒B．50︒C．60︒D．120︒【变式1】如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则α∠的度数为( )A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．62︒【变式2】已知图中的两个三角形全等，则x ∠的度数是( )A ．38︒B ．82︒C ．60︒D ．62︒【例6】如图，ABC ADE ∆≅∆，25B ∠=︒，105E ∠=︒，10EAB ∠=︒，则BAD ∠为()A ．50︒B ．60︒C ．80︒D ．120︒11. 如图，ACB ∆≅△A CB '，点A 和点A '，点B 和点B '是对应点，30BCB ∠'=︒，则ACA ∠'的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒12. 如图，ABC ADC ∆≅∆，40BCA ∠=︒，80B ∠=︒，则BAD ∠的度数为 ．类型三、全等三角形的性质：对应边相等【例7】如图，ABC DCB ∆≅∆，点A 和点D 是对应点，若6AB cm =，8BC cm =，7AC cm =，则DB 的长为( )A ．6cmB ．8cmC ．7cmD ．5cm【变式1】如图，ABC CDA ∆≅∆，7AC cm =，5AB cm =，8BC cm =，则AD 的长是( )A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【例8】如图，已知ABC DAE ∆≅∆，2BC =，5DE =，则CE 的长为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【变式1】如图，ABC BDE ∆≅∆，若12AB =，5ED =，则CD 的长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【变式2】如图，OCA OBD ∆≅∆，3AO =，2CO =，则AB 的长为( )A ．1B ．3C ．4D ．5【例9】已知，ABC DEF ∆≅∆，且ABC ∆的周长为20，8AB =，3BC =，则DF 等于( ) A ．3B ．5C ．9D ．11【变式1】已知ABC DEF ∆≅∆，2AB =，4AC =，DEF ∆的周长为10，则BC 的值为 ．【变式2】已知ABC DEF ∆≅∆，ABC ∆的周长为100cm ，30DE cm =，25DF cm =，那么BC = cm ．【例10】已知ABC ∆三边长分别为3，5，7，DEF ∆三边长分别为3，32x -，21x -，若这两个三角形全等，则x 为 ．【变式1】已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3、5、7，另一个三角形三边的长分别为3、32a b -、2a b +，则a b += ．类型四、全等三角形性质定理的综合运用【例11】如图，ACF ADE ∆≅∆，12AD =，5AE =，求DF 的长．【变式1】如图，ADE BCF ∆≅∆，8AD cm =，5CD cm =，试求BD 的长．【变式2】如图，ABC DEF ∆≅∆，3BF =，2EF =． 求FC 的长 ．【例12】如图，已知ABC DEC ∆≅∆，120∠=︒，求2∠的度数．【变式1】如图，ABC ADE ∆≅∆，88BAE ∠=︒，26CAD ∠=︒，求DAE ∠的度数．【变式2】如图，已知ADE ABC∠的度数．D∠=︒，求C∆≅∆，110DAE∠=︒，20【例13】已知，如图，ABC DEFAC DF．∆≅∆，求证：//【变式1】如图，A、B、C、D在同一直线上，且ABF DCE∆≅∆，那么AF DE、AC BD=吗？为什么？//【变式2】已知ABF DCE∆≅∆，E与F是对应顶点．证明//AF DE．【例14】如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且BAD ACE ∆≅∆，求证：BD CE DE =+．【变式1】如图，E 为线段AB 上一点，AC AB ⊥，DB AB ⊥，ACE BED ∆≅∆． （1）试猜想线段CE 与DE 的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：AB AC BD =+．【变式2】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，ABC DFC ∆≅∆，你能判断DE 与AB 是否互相垂直吗？为什么？【例15】如图，已知ABC DEFEH=．AB=，2∆≅∆，80∠=︒，9B∠=︒，60A（1）求F∠的度数；（2）求DH的长．【变式1】如图，ACF DBE∆≅∆，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE AD∠的大小；⊥，62F∠=︒，求A（2）若9=，求AB的长．BC cm=，5AD cm【变式2】如图，CD AB∠=︒，C⊥于点D，BE AC∆≅∆，42⊥于点E，ABE ACDAB=，6AD=，G为AB延长线上一点．9（1）求EBG∠的度数．（2）求CE的长．【例16】如图，已知ABF CDE∆≅∆．（1）若30∠的度数；∠=︒，求EFCB∠=︒，40DCF（2）若10EF=，求BF的长．BD=，2【变式1】如图，已知ABC DEB∆≅∆，点E在AB上，AC与BD交于点F，C∠=︒．D∠=︒，256AB=，3BC=，55（1）求AE的长度；（2）求AED∠的度数．【变式2】如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD DE⊥于D，CE DE⊥于E，且ABD CAE=，求=，4BD cm∆≅∆，2AD cm（1）DE的长；（2）BAC∠的度数．知识模块一全等图形【演练1】如果两个图形全等，那么这两个图形必定是()A．形状大小均相同B．形状相同，但大小不同C．大小相同，但形状不同D．形状大小均不相同【演练2】如图所示的图形是全等图形的是()A． B．C． D．【演练3】下列图形中全等图形是（填标号）．【演练4】从同一张底片上冲出来的两张五寸照片全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片全等图形（填“是”或“不是”)．知识模块二全等三角形的性质【演练1】如图，ABC DEF∠=︒．∠=︒，则DFB∆≅∆，120∠=︒，20【演练2】若ABC DEF∆≅∆，则根据图中提供的信息，可得出x的值为()A．30 B．27 C．35 D．40【演练3】如图，ABC DEC∠=︒，则BCE∠的度数为(DCB∠=︒，20∆≅∆，90ACB)A ．20︒B ．40︒C ．70︒D ．90︒【演练4】如图，若ABC DEF ∆≅∆，四个点B 、E 、C 、F 在同一直线上，7BC =，5EC =，则CF 的长是( )A ．2B ．3C ．5D ．7【演练5】已知ABC ∆≅△A B C '''，△A B C '''的周长为32cm ，9A B cm ''=，12B C cm ''=，则AC = ．【演练6】已知ABC ∆的三边分别是6，8，10，DEF ∆的三边分别是6，64x -，42x +，若两个三角形全等，则x 的值为 ．【演练7】如图，已知EFG NMH ∆≅∆，F ∠与M ∠是对应角，若 2.1EF cm =，1.1FH cm =， 3.3HM cm =，求MN 和HG 的长度．【演练8】如图，已知ABC DBE ∆≅∆，点D 在AC 上，BC 与DE 交于点P ，若160ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CBE ∠的度数；【演练9】如图，点A，O，B在同一直线上，且ACO BDO∆≅∆．证明：（1）点C，O，D在同一直线上；（2）//AC BD．【演练10】如图，已知ABC DEC-=．BD AE EC∆≅∆，求证：2【演练11】如图，已知ABC DEB∆≅∆，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若C∠=︒D∠=︒，607DE=，4BC=，35（1）求线段AE的长．（2）求DFA∠的度数．【演练12】如图，已知在四边形中ABCD，//⊥于点AD BC，过点A作AE BC∆≅∆．E，连接DE，46∠=︒，且ABE EDABAE（1）求ADE∠的度数；（2）若EDA DEC∆≅∆，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由．。

第1课时全等三角形第2课时三角形全等的判定（1）第3课时三角形全等的判定（2）只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。

问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。

，∠EOC=∠DOC，即OC平的平分线OC，在于怎样第4课时三角形全等的判定（3）第5课时三角形全等的判定（4）第6课时三角形全等的判定（5）综合探究）两直线平行，同位角或内错角相等；）等腰三角形两底角相等根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条第7课时三角形全等的判定（6）为半径画弧，交射线C′N于点【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF ，也就是∠ABC+∠DEF=90°．第8课时角的平分线的性质（1）即为所求．．在上面作法的第二步中，去掉“大于1MN的长”这个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样交AC于D，有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线第9课时角的平分线的性质（2）【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，第10-11课时《全等三角形》小结与复习ED CB A，请你从下面三个条件中，再选出两GF。

1第一课时《全等三角形》（1）———全等三角形的定义及其性质【课前热身】1、如图，△ABD ≌△CDB ，若AB ＝4，AD ＝5，BD ＝6，则BC ＝______，CD ＝______．2、如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，则∠DFE ＝ °，EC ＝ ．3、如图所示，△ABD ≌△CDB ，下面四个结论中，不正确的是（ ） A.△ABD 和△CDB 的面积相等 B.△ABD 和△CDB 的周长相等 C.∠A +∠ABD ＝∠C +∠CBD D.AD ∥BC ，且AD ＝BC4、在△ABC 中，∠A ＝∠C ，若与△ABC 全等的三角形有一个角等于96°，那么这个角在△ABC 中对应的角是( )A ．∠AB ．∠BC ．∠CD ．∠A 或∠C【考点链接】 一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

注意：（1）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

（2）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。

2、全等三角形的符号表示、读法△ABC 与△A ′B ′C ′全等记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，“≌”读作“全等于”。

注意：（1）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。

（2）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。

（3）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。

3、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

【教材解读】DCBA 第1题第2题DACB第3题2一、选择题1、下列说法中不正确的是（ ）A.全等三角形一定能重合B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等 2、下列说法正确的个数有( )①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC ≌△DEF ， △DEF ≌△MNP ， 则△ABC ≌△MNP ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、下列说法中不正确的是( )A ．一个直角三角形与一个锐角三角形一定不会全等B ．两个等边三角形是全等三角形C ．斜边相等的两个等腰直角三角形是全等三角形D ．若两个钝角三角形全等， 则钝角所对的边是对应边4、下列图形中， ①平行四边形； ②正方形； ③等边三角形； ④等腰三角形． 能用两个全等的直角三角形拼成的图形是( )A ． ①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①④5、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C ＝( )． A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°6、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°7、如图，把△ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )．A ．∠A ＝∠1+∠2B ．∠A 与∠1+∠2C ．∠A 与∠1+∠2D ．∠A 与∠1+∠28、如图，已知△ABC ≌△CDA ，下列结论：(1)AB ＝CD ，BC ＝DA ；(2)∠BAC ＝∠DCA ，∠ACB ＝∠CAD ；(3)AB//CD ，BC//DA ．其中正确的结论有( ) 个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第5题B CD第6题第7题D CAB第10题第8题第9题39、如图，△ABC ≌△BAD ， AC 与BD 是对应边，AC ＝8cm ，AD ＝10cm ，DE ＝CE ＝2cm ，那么AE 的长是( )A ．8cmB ．10cmC ．2cmD ．不能确定10、如图，△ABC ≌△BAD ，点A 点B ，点C 和点D 是对应点。