绝对值表达式的几何意义

正方形的表达式绝对值
摘要：
1.引言：介绍正方形和绝对值的概念
2.正方形的表达式
3.绝对值的表达式
4.正方形的绝对值表达式
5.结论：总结正方形和绝对值的关系
正文：
1.引言
在几何学中，正方形是一种特殊的四边形，它的四条边长度相等且四个角均为直角。

在代数学中，我们常常需要用表达式来表示正方形的边长、面积等属性。

同时，绝对值也是代数学中的一个重要概念，它表示一个数到0 的距离。

今天我们将探讨正方形和绝对值之间的关系。

2.正方形的表达式
正方形的表达式可以表示为一个边长为a 的正方形，其中a 表示正方形的边长。

因此，我们可以用a 来表示正方形的面积。

3.绝对值的表达式
绝对值的表达式可以表示为一个数x 的绝对值，记作|x|。

它表示x 到0 的距离，因此无论x 是正数还是负数，其绝对值都是非负数。

4.正方形的绝对值表达式
我们可以将正方形的边长表示为绝对值，例如|a| 表示正方形的边长。

这样，我们可以用|a| 来表示正方形的面积。

当a 为正数时，|a| = a；当a 为负数时，|a| = -a。

因此，正方形的绝对值表达式可以表示为：
面积= |a|
5.结论
通过以上分析，我们可以看出正方形和绝对值之间存在密切的关系。

正方形的边长可以用绝对值表示，而正方形的面积则可以用边长的绝对值平方表示。

基础训练题-1当x取何值时，|x-31有最小值？这个最小值是多少-2当x取何值时，5-|+2|有最大值？这 最大值是多-少？-3当x取何值时，16+x-7有最小值？这个最小值是多-答：1=3时值最小，-最小值是0： 2X=-2时值最大，-最大值是5：-3X=7时值最小，-最小值是16。
从实际问题入手：-一个生产流水线上依次排着三个工作台A,B,C,三-个工人分别在工作台上工作，问只有一个检 工-具箱放在何处，才能使工作台上操纵机器的三个-工人每人取一次工具所走的路程之和最短？-放在点B的位置上， 们所走的路程之和最短-如果有五工作台呢？-点c的位置；-有七个工作台呢？-点D的位置-E
含一个绝对值，求最值-例3.当x=2时，x-2有最小值，是0-变式1当x=2时，-x-2有最大值，是0-变 2当x=2时，x-2+1有最小值，是1-变式3当x=2时，一x-2+1有最大值是？-归纳：对于代数式4x一 +c，当-=时-若a>0,则它有最小值，-a<0,则它有最大值，是
含一个绝对值，求最值-问题：当x=-时，|x-21-3有-最小值，最小值是多少？-解：.x一2≥0-..X 2-32-3-.当x=2时，X一2=0-.当X=2时，X一2一3=一3-因此，当x=2时，|x一2|一3有 小值-最小值是一3
绝对值表达式的几何意义
学习目标-1.掌握并理解数轴上的点与数的对应关。-2.掌握绝对值的概念及绝对值的几何意-3.通过数轴与绝对 的学习，体验数形结-合的思想
绝对值的概念：-1绝对值的几何定义：-一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点-与原点的距离；-点A到原点的 离是|a|,点C到原点的距离是「c;-2、a是什么数？最小是多少？-1a是非负数，即|a≥0，最小值是0

内容 基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一：绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例1】 （2级）m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0x -（>，=，<）； ⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则 x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++= ．【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4．【例2】 （4级）已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使点m 到点0，点1和点2的距离之和最小，显然当1m =时，原式的最小值为2【例3】 （4级）已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使m 到点2，点4，点6和点8的距离和最小，显然当点m 在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8【例4】 （6级）设123...n a a a a ，，，是常数（n 是大于1的整数），且123...n a a a a <<<<，m 是任意实数，试探例题精讲中考要求几何意义及经典试题索求123...n m a m a m a m a -+-+-++-的最小值的一般方法【解析】 根据题意，结合数轴，不难得到：⑴当n 为奇数时，即当21n k =+（k 为正整数）时，点m 应取在点1k a +处，原式的值最小，最小值为()()()211222...k k k k a a a a a a ++-+-++-⑵当n 为偶数2k （k 是正整数）时，m 应取点k a 和点1k a +之间的任意位置，原式的值最小，最小值为()()()212121...k k k k a a a a a a -+-+-++-【例5】 （8级）122009x x x -+-++-的最小值为 ．【解析】 当1005x =时，122009x x x -+-++-取到最小值：122009x x x -+-++-100511005210052009=-+-++-1004100310110031004=++++++++(10041)10041009020=+⨯=点评：若1221n a a a +<<<，当1n x a +=时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最小值．若122n a a a <<<，当x 满足1n n a x a +≤≤时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【巩固】 （8级）试求123...2005x x x x -+-+-++-的值【解析】 联想到绝对值的几何意义：n x x -即表示数轴上数x 的对应点与数n x 的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现12x x -+-，当12x ≤≤时，它有最小值1，对于123x x x -+-+-，当2x =时，最小值为2，…猜想当1003x =时，原式有最小值 最小值为123...2005x x x x =-+-+-++-100311003210033...10032005=-+-+-++- 100210011000...21012...1002=++++++++++()10021002122⨯+=⨯1005006=【巩固】 （6级）(2000年郑州市中考题)设a b c <<，求当x 取何值时x a x b x c -+-+-的最小值． 【解析】 x a x b x c -+-+-实际表示x 到a b c ，，三点的距离和，画图可知当x b =时，原式有最小值为c a -．【巩固】 （6级）（2009年全国初中数学联赛四川初赛试卷）若1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记122334455661||||||||||S x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-，则S 的最小值是 ． 【解析】 利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义122334455661||||||||||x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-在数轴上表示出来，从1x 开始又回到1x ，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．【例6】 （6级）（选讲）正数a 使得关于x 的代数式162x x x a ++-+-的最小值是8，那么a 的值为 ． 【解析】 如果6a ≤，那么当x a =时，16216(1)(6)7x x x a a a a a ++-+-=++-=++-=，小于8与已知条件矛盾．所以6a >，那么算式162x x x a ++-+-的几何意义是点x 到1-、6、a 、a 的4个距离之和，当6x a ≤≤时取最小值，因此令6x =可得7268a +-=，解得132a =．【巩固】 （6级）（第七届“走进美妙的数学花园”）182324x x a x x -+-+-+-的最小值为12，则a 的取值范围是 ． 【解析】 最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为142a +、5a +、12、19a +，故12是这四个数中最小的，即14212a +≥且512a +≥且1912a +≥，所以7a ≥．【例7】 （6级）（第18届希望杯培训试题）已知代数式374x x -+-=，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．A ． 1，x ，5B ． 2，x ，5C ． 3，x ，5D ． 3，x ，4【解析】 根据374x x -+-=可得37x ≤≤，所以选择C ．【巩固】 （6级）⑴是否存在有理数x ，使132x x ++-=？⑵是否存在整数x ，使433414x x x x -+-++++=？如果存在，求出所有整数x ，如果不存在，请说明理由 【解析】 ⑴不存在⑵3210x x x x =±=±=±=，，，【巩固】 （6级）（第17届希望杯培训试题）不等式127x x ++-<的整数解有 个．【解析】 可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，127x x ++-<的整数解表示数轴上到1-和2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有2-、1-、0、1、2、3共六个．【例8】 （8级）一共有多少个整数x 适合不等式20009999x x -+≤.【解析】 零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：（1）当2000x ≥时，原不等式变形为：20009999x x -+≤，进而得：5999.5x ≤，即20005999.5x ≤≤，共有4000个整数适合；（2）当02000x <<时，原不等式变形为：20009999x x -+≤，而20009999<恒成立， 所以又有2000个整数适合.（3）当0x <时，原不等式变形为2000()9999x x -+-≤，3999.5x ≥-，即3999.50x -<<，共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式20009999x x -+≤.【例9】 （8级）已知11x y ≤，≤，设1124M x y y x =++++--，求M 的最大值和最小值 【解析】 由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号因为1x ≤，所以11x -≤≤，所以012x +≤≤，同理可得012y +≤≤因为1y ≤，所以11y -≤≤，所以222y -≤≤⑴因为1x ≤，所以11x -≤≤，所以11x --≤≤，所以14414x -----≤≤ 即543x ----≤≤⑵⑴与⑵同向相加得7241y x ----≤≤ 化简M 的表达式：26M x y =-+ 求M 的取值范围：因为11y -≤≤，所以222x -≤≤ 因为11y -≤≤，所以11y --≤≤所以323x y --≤≤ 所以3269x y -+≤≤ 当11x y ==-，时，M 最大值为9 当11x y =-=，时，M 最小值为3【例10】 （8级）(第12届希望杯试题)彼此不等的有理数a b c ，，在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么A ，B ，C 的位置关系是_____．【解析】 由绝对值的几何意义知, a b -表示点A 与点B 之间的距离；b c -表示点B 与点C 之间的距离；表示点A 与点C 之间的距离；当点B 位于点A 与点C 之间（包括A ，C 两点）时,a b b c -+-取得最小值，为a c -．由题设知，a ，b ，c 相等，以A ，B ，C 不重合，故点B 位于点A 与点C 之间(包括A ,C 两点)．【巩固】 （4级）有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大； （2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是 【解析】 R 、X 、Z 、Y .【巩固】 （6级）（第14届希望杯1试）如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【解析】 因为a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，且a b <，当0a b <<时，由3a b =，得原点的坐标在点D 处； 当0a b <<时，由3a b =，得原点的坐标在点C 处； 当0a b <<时，由3a b =，满足条件的点不存在； 综上，知坐标原点在C 或D ．【巩固】 （6级）（05年北京市中学生数学竞赛）（第15届希望杯培训试题）如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【解析】 （法1）：可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发．根据1a b -=，()1b c b c +=--=，()2a c a c +=--=，我们可以得到a 、b 、c -三点在数轴上从左到右依次是c -、b 、a 或a 、b 、c -，我们会发现在这两种情况下，()a c --，()b c --同号，所以2()()()()3a b c a c b c a c b c a c b c ++=--+--=--+--=+++=． （法2）：我们发现112a b b c a b b c a c +=-++=-++=+= 所以a b -、b c +同号，所以有11a b b c -=-⎧⎨+=-⎩（两式相加可得2a c +=-）或11a b b c -=⎧⎨+=⎩（两式相加可得2a c +=）， 综合上述两种情况，我们可以得到23a b c a c b c ++=+++=．【巩固】 （8级）（15希望杯1试）（北京市数学竞赛）已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ． 【解析】 法1：四个非负整数和为2，a d +只可能为0、1或2． 讨论：① 当0a =，0b =，1c =，0d =，满足条件，0a d +=； ② 当1a =，0b =，0c =，0d =，满足条件，1a d +=；③ 若2a d +=，即0a d +≠且0a b +=，0b c +=，0c d +=，∴0a b +=，0b c +=，0c d +=，故()()()0000a b b c c d a d =-+=+-+++=+，这与0a d +≠矛盾．所以，0a b +=或1．法2：我们希望利用绝对值的几何意义出发解答问题，所以需要对题干进行适当变形 ()()()()2a b c b c d a d --+--+--+--=，那么题目相当于：（渗入换元思想）已知a 、c 、m 、n 都是整数，且2a m c m c n a n -+-+-+-=，则a n -= ． 因为a 、c 、m 、n 都是整数，所以a n -可能为2、1、0 （以下过程教师均须借助数轴讲解）若2a n -=，那么a m -、c m -、c n -均为0，但2a n -=，a m -、c m -为0， 得c n -为2，矛盾，所以2a n -≠；若1a n -=，当a 、m 相同，c 、n 相同时，2a m c m c n a n -+-+-+-=成立； 若0a n -=，当a 、c 、n 相同时，2a m c m c n a n -+-+-+-=成立； 所以a d +=0或1．【例11】 （8级）（2006年山东竞赛试题）在数轴上把坐标为123...2006，，，，的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由【解析】 设青蛙依次到达的点为12320061...x x x x x ，，，，，，整个跳过的路径长度为 12233420061...S x x x x x x x x =-+-+-++-()()2210041005...20062123..100321003+++-++++=⨯≤故青蛙跳过的路径的最大长度为221003⨯【例12】 （6级）如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C 、之间，7 个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．【巩固】 （6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？FEDCBPA 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】 每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B C D E F 、、、、）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，这就和题例题6类似了！即车站设在D 点最好．若在P 处再建一个工厂，则车站建在D 处、E 处或它们之间的任何地方都是最佳的．【例13】 （6级）（山东省烟台中考）先阅读下面的材料，然后回答问题：在一条直线上有依次排列的()1n n >台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在1A 和2A 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于1A 到2A 的距离。

第一讲含绝对值的不等式一、知识梳理知识点一：绝对值的几何意义1、绝对值的意义⑴意义：在数轴上a表示a对应的点到原点的距离，a b-表示a与b之间的距离.代数表达式为：(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩它的一个重要性质是：a b a b a b-≤±≤+⑵(0)x a a<>：(0)x a a>>：2、基本绝对值不等式的解法(0)x a a<>的解集为：{}x a x a-<<x a>的解集为：{|x x a<-或}x a>巧记方法为“小于找中间，大于找两边”知识点二、绝对值不等式的基本解法类型一：ax>()0>a；ax<()0>a；cbax>+()0>c；cbax<+()0>c；()0,><+<dcdbaxc例1、⑴258x-≤⑵237x->⑶325x<-+⑷652x+≤例2、⑴329x≤-<⑵2227x≤--<类型二：含有多个绝对值的不等式（平方法、零点分段法、几何意义法）例3、142x--<例4、⑴12+>-xx⑵xx≥+2例5、⑴2133x x-++<⑵125x x-++<类型三：()()x gxf>和()()x gxf<型不等式例6、（1）143-<-xx；（2）3215+>-xx；类型四：含有参数的不等式例7、()Raax∈<-+132例8、已知关于x的不等式2(3)2ax a x+>--；若a R∈，求不等式的解集A；设不等式212x +<的解集为B ，使得A B ⋂ 1|12x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值课后练习1、不等式32-5>x 的解集是（ ）。

A ．{}|4x x >B . {|1x x <或}4x >C . {}|14x x <<D . {|1x x <-或}4x >2、不等式210x -+<的解集是（ ）A ．{}|13x x <<B . {|1x x <或}3x >C . RD . ∅3、已知集合{}|13A x x =-<，B ={}|13x x ->，则A B = （ ）A ．{}|24x x -<<B . {}20x -<<C . {|20x x -<<或24}x <<D . {|0x x <或}4x >4、已知集合{||2|5},{|A x x B x =+>=|3|2}x -<，则A B = （ ）A ．{|7x x ≤或1}x >B . {|17}x x -≤<C . {}|x x R ∈D . {|7x x ≤-或3}x ≥5、集合{|0|1|3}x N x ∈<-<的真子集个数为（ ）A ．16B . 15C . 8D . 76、实数,a b 满足0ab >，那么（ ）A ．||||||a b a b -<+B . ||||a b a b +>-C . ||||a b a b +<-D . ||||||||a b a b -<+7、已知{||1|2},{||M x x N x x =-<=+2|4}≥，则下列结论正确的是（ ）A ．M N R =B . {|23}M N x x =≤<C . M N R =D . {|6}M N x x =<-。