巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。

绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。

绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。

绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。

众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。

设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。

一般说来，设f(x)=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜，其中a₁≤a₂≤…≤a n，那么：当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+(a n/2+1-a n/2)=(a n+a n-1+••• a n/2+1)-(a1+a2+•••+a n/2)当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【a n+a n-1+••• a(n+1）/2+1】-【a1+a2+•••+ a(n+1）/2-1】也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。

一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法作者：王联宪来源：《中学教学参考·理科版》2010年第09期近年来,高考和竞赛常出现多个绝对值求和型函数的最值问题,该类型问题常常采用分类分段讨论去绝对值符号的办法来解决,但往往因分段区间太多而难以有效解决.若利用以下命题,则可以化繁为易,迅速解题.命题:设y=︱x-︱+︱x-︱+︱x-︱+…+︱x-︱,求y达到最小值的条件:(1)当n=2k时,x∈值达到最小;(2)当n=2k-1时时,y值达到最小.证明:利用绝对值的几何意义,可以方便的证明.(1)当n=2k时,若︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当x∈-时等号成立,…︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立.因为是以上各区间的公共的子区间,所以当且仅当x∈时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.若时,当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.(2)当n=2k-1时,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,…︱x--︱+︱x-︱--当且仅当x∈-时等号成立;︱x-︱≥0,当且仅当时等号成立.因为是以上各区间唯一公共的元素,所以当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.【例1】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-19︱,求y的最小值.解析:该式共19项,中项为10,由以上定理知,当且仅当x=10时,y值达到最小.即当x=10时【例2】 (第19届“希望杯”高二年级2试)如果对于任意实数x,都有y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-2008︱≥m成立,那么m的最大值是().A.1003×1004B.10042C.1003×1005D.1004×1005解析:m的最大值,即是y的最小值.绝对值和式共2008项,中间两项分别是1004和1005,当且仅当x∈[1004,1005]时,y值能达到最小,取x=1004或x=1005代入2,故选B.【例3】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱︱x-4︱求x的解集.解析:该式共4项,中间两项分别是2和3,当且仅当x∈[2,3]时所以原不等式的解集是{x︱x3｝.【例4】 (2009,上海)某地街道呈现东西和南北方向的网格状,相邻街距都是1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除报刊零售点外)为发行点,使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短,求该发行点的坐标.解析:设格点为(x,y),则该格点到各零售点的距离之和为:︱x+2︱+︱x+2︱+︱x-3︱+︱x-3︱+︱x-4︱+︱x-6︱+︱y-1︱+︱y-2︱+︱y-3︱+︱y-4︱+︱y-5︱+︱y-6︱.x系列共6项,中间两项都为3,当且仅当x=3时,这一部分和值达到最小;y系列共6项,中间两项为3和4,当且仅当y∈[3,4]时,这一部分和值达到最小.所以(x,y)可取点(3,3)或(3,4),由题意舍去(3,4),所以只能选(3,3).【例5】求y=︱-1︱+︱-2︱+︱-3︱+︱-4︱+︱-5︱的最小值.解析:令则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱+︱t-4︱+︱t-5︱,共5项,中间项为3,当t=3即时【例6】求y=︱︱+︱-1︱︱-2︱︱-4︱+︱-6︱的最小值.解析:令则y=︱t+1︱+︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-4︱+︱t-6︱,共5项,中项为2,当且仅当t=2即x=4时【例7】求y=︱x2+2x-1︱+︱x2+2x-2︱+︱x2+2x-3︱的最小值.解析:令t=x2+2x,则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱,共3项,中项为2,当且仅当t=2即x2+2x=2时,y有最小值,对x2+2x=2求解,得x=-1±3,此时练习:(1)求y=︱x+1︱+︱2x-6︱+︱3x-6︱的最小值.(2)求y=︱x-6︱+︱12x-6︱的最小值.分析:(1)y=︱x+1︱+︱x-2︱+︱x-2︱︱x-2︱︱x-3︱+︱x-3︱,共6项,中间两项都为2,代入x=2即可.(2)y=12(︱x-6︱+︱x-6︱+︱x-12︱),中间项为6,代入x=6即可.(责任编辑金铃)。

多个绝对值相加求最小值的方法标题：如何求多个绝对值相加的最小值？在日常生活或数学问题中，我们经常会遇到需要求多个绝对值相加的最小值的情况。

当我们需要确定一组数中距离零点最近的数时，或者需要在一组数中找到和最接近某个特定值的数时。

本文将介绍一些方法和技巧，帮助你轻松求解多个绝对值相加的最小值。

1. 定义问题让我们从最基本的开始，明确问题的定义。

我们要求解的是如何求多个数的绝对值相加的最小值。

具体来说，就是给定n个数a1, a2, ..., an，我们要找到一组数x1, x2, ..., xn，使得表达式|x1-a1| + |x2-a2| + ... + |xn-an|的值最小。

这个问题其实可以抽象为一个优化问题，在一定约束条件下找到使目标函数最小化的解。

2. 穷举法一种直观的方法是利用穷举法，列举出所有可能的情况，然后逐一计算出最小值。

但是当n较大时，这个方法的时间复杂度会呈指数级增长，不太适用于大规模问题求解。

3. 贪心算法贪心算法是一种高效的方法，它通常适用于求解最优化问题。

在本问题中，我们可以利用贪心算法来求解多个绝对值相加的最小值。

具体来说，我们可以按照一定规则依次确定每个xi，使得每一步都是对整体最优的选择。

对于求解两个数a和b的绝对值相加的最小值，我们可以根据a和b的大小关系来确定x，使得|x-a|+|x-b|的值最小。

4. 动态规划动态规划是另一种常用的优化算法，它可以帮助我们高效地求解多个数的绝对值相加的最小值。

在本问题中，我们可以借助动态规划的思想，利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数中选取j个数，使得其绝对值相加的和最小。

然后根据动态规划的状态转移方程逐步求解dp数组的值，最终得到最小值。

5. 个人观点和总结在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解多个绝对值相加的最小值。

贪心算法适用于一些特殊情况，而动态规划则更适用于一般情况下的求解。

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题例1求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值,并指出y为最小值时,x的值为多少初一引进绝对值的概念,但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止;绝对值有两个方面的意义,一个是代数意义,另一个几何意义,但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义;绝对值的代数意义：｜a｜=a, a≥0；｜a｜=－a, a＜0;绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离;众所周知,如果数轴上有两点A,B,它们表示的数分别为a, ba≤b, 则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜如图1;设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜,由图2可以看出,如果X在A,B两点之间,那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜,即：当a≤x≤b时,｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样,设点C在数轴上表示的点为c,a≤b≤c,则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜,由图3可以看出,如果X落在B点,那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜,即：当x=b时,｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜;一般说来,设fx=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜,其中a₁≤a₂≤…≤a n,那么：当n为偶数时,f min x=fa,其中a n/2≤a≤a n/2+1；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n/2+1-a n/2=a n+a n-1+••• a n/2+1-a1+a2+•••+a n/2当n为奇数时,f min x=fa n+1/2；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n+1/2+1-a n+1/2-1=a n+a n-1+••• a n+1/2+1-a1+a2+•••+ a n+1/2-1也就是说,偶数个绝对值相加,当x处于最中间的两个点所表示的数之间时,其值为最小,x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加,当x等于最中间那个点所表示的数时,其值为最小,x只有一个取值;利用这个原理来解决例1的问题将非常容易地得到结论：y=｜x--3｜+｜x--2｜+｜x--1｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜,所以x=0时y最小,最小值为12;下面我们利用这一原理解决更多的问题;例2已知y=⅔｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜,求y的最小值;解y=⅓2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜=⅓｜x--1｜+｜x--1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜∵有11个绝对值相加,11为奇数,∴当x=a5,即x=1时,y最小为：⅓2｜1+1｜+3｜1-2｜=⅓4+3=7/3例3已知｜a+3｜+｜a-5｜=8,求a的取值范围;解∵当-3≤a≤5时,｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8,∴a的取值范围是-3≤a≤5例4已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9,求a b的值;解∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜,当a=-1时,最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜,当b=5时,最小值为6,∴2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜≥9,只有当a=-1,b=5时,原式=9,∴a b=-15=-1例5如图4,一条公路旁有6个村庄,分别为A,B,C,D,E,F,现在政府要在公路边建一个公交站,请问建在哪一段比较合理分析所建公交站应该到各村的距离之和最小,以公路为数轴,设A,B,C,D,E,F在数轴上表示的数分别为：a,a,c,d,e,f,则a≤a≤c≤d≤e≤f,故当所建公交站到各村的距离之和最小时,公交站应该处于C村和D村之间;。

妙用绝对值的几何意义解最小值问题∣m-n ∣的几何意义是：数轴上表示数m,n,的两点之间的距离。

利用绝对值的几何意义思考有关绝对值的问题，可使某些利用绝对值的代数定义难以解决的问题，简明直观地获得妙解。

例1 求∣x-1∣+∣x-2∣的最小值。

析解：由绝对值的几何意义知∣x-1∣表示x 到1的距离，∣x-2∣表示x 到2的距离。

例2 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值。

例3 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣的最小值。

已知a,b,c 都是有理数，且满足a a ||+b b ||+c c ||=1，求||abc abc 的值已知a<b<0<c ，化简式子：|a-b|+|a+b|-|c-a|+|b-c|得已知│x │=2003，│y │=2002,且x ＞0，y ＜0，求x+y 的值。

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初中数学：绝对式和的最⼩值，掌握⽅法，秒出答案初中⽣学了绝对值后，会经常遇到⼀个类型题，求⼀个式⼦绝对值的最⼩值。

形如│x-a│，因当x⽆限⼤时，式⼦的绝对值也⽆限⼤，⽽绝对值是⼀个⾮负数，所以式⼦的绝对值最⼩为0，此时，x=a。

所以，绝对值的最⼩值是经常考察的⼀个知识点。

接下我们就总结⼀下绝对值最⼩值的类型题。

⼀、求绝对式和的最⼩值⾸先我们要了解绝对值的⼏何含义。

⼀个数的绝对值表⽰这个数在数轴上到原点的距离。

两个数差的绝对值表⽰两个数在数轴上间的距离。

计算⽅法是⼤数减⼩数。

绝对值的⼏何含义若a<0, b>0,且│a│<│ b│,有:│a│=0-a =-a, │ b│=b-0=b，│b-a│=b-a, │a-b│=b-a。

形如│a+b│，我们可以看作为│a+b│=│a-(-b)│=a-(-b)=a+b。

即遇到相加的形式，写成减的形式,构造绝对值的⼏何意义。

1、两个绝对式的和形如│x-a│+│x-b│，（a>b）求它的最⼩值。

（1）当x在b的左边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

（2）当x在b上时，│x-a│+│x-b│=0+线段ab长=线段ab长。

（3）当x在a,b之间时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段ax长=ab长。

（4）当x在a上时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+0=线段ab长。

（5）当x在a的右边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

通过上⾯分析，可知当b≤x≤a时，│x-a│+│x-b│有最⼩值，为线段ab长=a-b。

练习│x-3│+│x-8│=8-3=5 │x-3│+│x+8│=3-（-8）=112、三个绝对式的和形如│x-a│+│x-b│+│x-c│，（a>b>c）,求它的最⼩值。

上⾯分析，我们已经知道│x-a│+│x-c│有最⼩值，为a-c，那么只需确定│x-b│的最⼩值就可以了，当且仅当x=b时，│x-b│最⼩为0。

多个绝对值之和求最小值的规律方法
嘿，朋友们！今天咱要来唠一唠多个绝对值之和求最小值的这个神奇规律方法！
想象一下啊，绝对值就像是一个个小精灵，它们有正有负，但我们要把它们加在一起找到一个最小值，是不是感觉挺有意思的？就好像你要在一群调皮的小精灵中找到那个最安静的家伙。

比如说，｜2-3x｜+｜3+4x｜，
这就是有两个小精灵嘛！
那怎么找这个最小值呢？哈哈，别急，我来告诉你绝招！当每个绝对值里面的式子等于 0 的时候，就是找到最小值的关键啦！比如说上面那个例子，当 2-3x=0 时，x=2/3，当 3+4x=0 时，x=-3/4，然后在这两个点之间找
到一个最合适的位置。

哎呀呀，是不是有点像在迷雾中找到了方向一样兴奋！
再给你举个例子吧，｜x-1｜+｜x+2｜。

那这时候 x-1=0 时，x=1，
x+2=0 时，x=-2。

然后你就试着在数轴上找找，嘿，不难发现当 x 在-2 和1 之间的时候，这个和最小呀！你说神奇不神奇？
这就好像走迷宫，你得找到那条最正确的路，才能顺利走出去呀！不然
就会在迷宫里晕头转向。

咱们找这个最小值的规律方法就是那把打开迷宫大门的钥匙！它能让你轻松搞定那些看似复杂的多个绝对值之和的问题。

所以啊，大家以后遇到多个绝对值之和求最小值的问题，可千万别害怕，要像勇士一样勇敢去探索，用咱这绝招，肯定能找到答案！相信我，这方法超级实用，绝对能让你在数学的海洋里畅游无阻！。

多个绝对值和的最小值问题
上期我们谈到含有绝对值函数的图象的画法问题，今天我们再来谈谈一类函数的最小值问题，这类函数的特点是含有多个绝对值，且绝对值的系数为正，显然这类函数存在最小值，无最大值，接下来我们逐步分析。

一、含一个绝对值且系数为1的问题
二、含两个连续自然数绝对值且系数为1的问题
三、含多个连续自然数绝对值且系数为1的问题
推广到一般形式，
四、含多个绝对值且系数为1的问题
对于以上结论，如果出现系数不为1，怎么办？我们先来研究系数为正整数的情况：
五、含多个绝对值且系数为正整数的问题
【注】：实际上，我们在解决问题中，如果可以写成奇数个绝对值的和，我们只需看中间数是什么，如果可以写成偶数个绝对值的和，我们只需找中间两个数之间的数就可以，减少我们的运算。

六、含多个绝对值且系数为正有理数的问题
七、含多个绝对值且系数为正实数的问题
这一终极理论使用于上述各个形式，当然，有简单我们还是要简单地处理。

--------------------------------------------------------“培养核心素养，渗透数学美育”系列研究案例（十)•研•课題2020年第12期 中学数学教学参考（中旬）巧解多个绝对值之和的最小值％ A谢祥（四川省成都市金牛区教育科学研究院）摘要：利用绝对值的几何意义，将H个绝对值之和的问题转化为“在数轴上有《个已知点，动点到这7J 个已知点的距离之和的问题”，有利于培养学生逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养，渗透数学规律的 简单美、统一美。

关键词：多个绝对值之和的最小值问题；数形结合；数学美文章编号：1002-2171 (2020) 12-005 卜 031知识背景本案例涉及绝对值、正负数运算及不等式相关知识，涉及的数学思想方法有“由特殊到一般”“分类讨 论”“数形结合”“化归与转化思想”，适合七年级学生 学习相关知识之后使用。

2 问题初探，感受数学方法美问题1 : 1 = _______时，代数式I X — 1丨+| x —2 | + | x —3 | -f ---h|>r —2019| 取最小值？最小值为多少？分析：如果按零点分段讨论，则要分2020段讨论，太复杂。

将复杂问题退回到初始的元问题.常常 是解决问题的有效方法。

到表达。

在解题教学时，教师总是让个别优秀的学生 上台展示解答过程，用极个别优秀学生的思考代替其 他学生的思考。

其实，在这种情形之下，教师应该做 的是:等一等，多聆听学生不同的声音！学生一味按照教师铺设的思路去想，总是按教师 的“套路”出牌，这原本就不是一件好事情。

很多学生 在这个过程中失去了自主选择、自主参与的机会和途 径，只是“听教师讲”“听其他同学讲”，长期下去，必然 形成思维的惰性。

是的，学生完全可能“答非所问”，也完全可以与 教师期望的回答相差很远，甚至有时还会让教学横生(1) j ： =_____时，丨j ：—11取最小值？最小值为多少？巧解:x =l 时，丨:C —1|取最小值，最小值为0。

数形结合与绝对值最值问题的整合及应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2021年第07期[摘要]絕对值最值问题是需要学生结合绝对值的几何意义和代数意义进行运算、推理、迁移的一种题型.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.解绝对值问题要从绝对值的几何意义与代数意义两方面去寻找着力点，重点是掌握求几个绝对值之和的最小值的方法.文章立足绝对值的代数意义与几何意义通过数形结合解决绝对值最值问题，以培养学生的创新思维，提高学生分析问题和解决问题的能力.[关键词]绝对值;最值问题;数形给合[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）20-0029-03数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.当解决数学问题时，通常会将抽象的数学问题与直观的图形结合起来.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.基于此，教师可引导学生通过数形结合理解绝对值的代数意义和几何意义，从而破解绝对值最值问题难点，有效掌握数形结合、分类讨论、建模、转化等数学思想.本文通过实例探究来分析数形结合与绝对值最值问题的整合及应用.绝对值之和求最小值分两类：1.未知数[x]系数为1，形如[x+2+x-1];2.未知数[x]系数不为1，形如[x+2+2x-1].探究一未知数x系数为1 的情况1.求[x+2+x+1]的最小值解法一：利用绝对值的代数意义.当[x≥0]时，[x=x];当[x<0]时，[x=-x].当[x<-2]时，[x+2+x+1=-x-2-x-1=-2x-3>1]（如图1）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-44.tif>图1当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1=x+2-x-1=1]（如图2）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-45.tif>图2当[x≥-1]时，[x+2+x+1= x+2+x+1=2x+3≥1]（如图3）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-46.tif>图3∴[x+2+x+1≥1]，即[x+2+x+1]的最小值为1.解法二：[x+2+x+1]的几何意义是在数轴上找一点x，使它到-2和-1的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-47.tif>图4由图4可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤-1]时，[x]到-2和-1的距离之和最短，即[x+2+x+1]有最小值，最小值为1.2.求[x+2+x+1+x-1]的最小值解法一：当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1=-x-2-x-1-x+1=-3x-2>4]（如图5）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-48.tif>图5当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2-x-1-x+1=-x+2]，∴[3<-x+2≤4]（如图6）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-49.tif>图6当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1-x+1=x+4]，∴[3≤x+4<5]（如图7）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-50.tif>图7当[x≥1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1+x-1=3x+2≥5]（如图8）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-51.tif>图8∴[x+2+x+1+x-1≥3]，当[x=-1]时，有最小值3.解法二：[x+2+x+1+x-1]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1和1三个点的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-52.tif>图9由图9可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤1]时， [x]到-2和1的距离之和最短（即[x+2+x-1]有最小值3）;当[x=-1]时，x到-1的距离最短（即[x+1]有最小值0），所以当[x=-1]时，[x+2+x+1+x-1]有最小值，最小值为3.3.求[x+2+x+1+x-1+x-2]的最小值解法一：利用绝对值的代数意义求解.定义：使得[ax+b=0]的变量[x]的值为[ax+b]的“零点”，即[ax+b]的零点为[-ba].[x-2]的零点为2.[x+1]的零点为-1.[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]的零点分别是[-2]，[-1]，1，2，（1）当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=-x-2-x-1-x+1-x+2=-4x]，∵[x<-2]，∴[-4x>8]，即原式[>8].（2）当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2-x-1-x+1-x+2=-2x+4].∵[-2≤x<-1]，∴[6<-2x+4≤8]，即 [6<]原式[≤8].（3）当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1-x+1-x+2=6].（4）当[1≤x<2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1-x+2=2x+4].∵[1≤x<2]，∴[6≤2x+4<8]，即[6<]原式[≤8].（5）当[2≤x]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1+x-2=4x]，∵[2≤x]，∴[8≤4x]，即原式[≥8].∴[x+2+x+1+x-1+x-2≥6]，当[-1≤x≤1]时，有最小值6.解法二：利用绝对值的几何意义求解.[x+2+x+1+x-1+x-2]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1，1和2四个点的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-52.tif>图10由图10可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤2]时， [x]到-2和2的距离之和最短（即[x+2+x+2]有最小值4）;当[-1≤x≤1]时，[x]到-1和1的距离之和最短（即[x+1+x-1]有最小值2），所以当[-1≤x≤1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2]有最小值，最小值为6.4.求[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的最小值解法一：[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]、[x-3]的零点分别为[-2]， [-1]， [1]， [2]， [3].（1）当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=-x-2-x-1-x+1-x+2-x+3=-5x+3]，∵[x<-2]，∴[-5x+3>13]，即原式[>13].（2）当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2-x-1-x+1-x+2-x+3=-3x+7]，∵[-2≤x<-1]，∴[10<-3x+7≤13]，即[10<]原式[≤13].（3）当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1-x+1-x+2-x+3=-x+9]，∵[-1≤x<1]，∴[8<-x+9≤10]，即[8<]原式[≤10].（4）当[1≤x<2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1-x+2-x+3=x+7]，∵[1≤x<2]，∴[8≤x+7<9]，即[8≤]原式[<9].（5）当[2≤x<3]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2-x+3=3x+3]，∵[2≤x<3]，∴[9≤3x+3<12]，即[9≤]原式[<12].（6）当[3≤x]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=5x-3]，∵[3≤x]，∴[12≤5x-3]，即原式[≥12].∴[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3≥8]，当[x=1]时，有最小值8.解法二：利用绝对值的几何意义求解.[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1，1，2和3五个点的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-53.tif>图11由图11可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤3]时， [x]到-2和3的距离之和最短（即[x+2+x-3]有最小值5）;当[-1≤x≤2]时，[x]到-1和2的距离之和最短（即[x+1+x-2]有最小值3）;当[x=1]时，[x]到1的距离最短（即[x-1]有最小值0），所以当[x=1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]有最小值，最小值为8.总结规律：1.代数解法——零点分段法思路：①找出绝对值的所有零点，把数轴分成若干部分进行分类讨论.②根据绝对值的代数意义，把所有的绝对值号去掉并化简.③根据所讨论的x的范围，求出化简后的式子的范围.④综合所有情况，得到原式的范围，从而得出其最值.（注意：求零点值时，必须先把零点值按大小排序）2.几何解法——数形结合法[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]的最小值（[a1≤a2≤a3≤…≤an]）.当n为奇数时，[x=an+12]处取最小值，即在n个点的中心点处;当[n]为偶数时，在区域[an2≤x≤an2+1]处取最小值，即数轴被n个点分成n+1段的中心区域.口诀：奇数点取中间点，偶數点取中间段.（零点值按大小顺序排序，处于最中间的零点值或区域即为代数式的值取最小值.）探究二未知数x系数不为1 的情况遇到形如[x-2+2x-1+x+2] 的情况，又将如何求解？对于代数式[b1x-a1+b2x-a2+b3x-a3+…+bn-1x-an-1+bnx-an]的最值问题，我们先将代数式转化为一般形式：[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]（[a1≤a2≤a3≤…≤an]），然后通过上述方法求解.如[x-2+2x-1=x-2+2x-12=x-2+x-12+x-12=x-12+x-12+x-2]，当[x=12]时，[x-2+2x-1]有最小值[32].解绝对值的最值问题要从绝对值的几何意义与代数意义两方面去寻找着力点，重点是掌握求几个绝对值之和的最小值的方法.绝对值几何意义的导出是难点，在课堂上教师要留给学生充足的思考时间，以暴露学生的知识缺陷，通过问题引导学生联想、猜想，拓宽学生的知识面，加深学生对知识的理解，培养学生的创新意识和发散性思维。