绝对值几何意义的应用

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。

基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例9】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；【例11】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ；⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【课堂检测1】1. 若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥14. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4【课堂检测2】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜03. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．7. 若3230x y -++=，则x的值是多少？模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】 1、化简12x x +++ 2、化简12m m m +-+-的值3、化简523x x ++-．。

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题例1求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值,并指出y为最小值时,x的值为多少初一引进绝对值的概念,但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止;绝对值有两个方面的意义,一个是代数意义,另一个几何意义,但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义;绝对值的代数意义：｜a｜=a, a≥0；｜a｜=－a, a＜0;绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离;众所周知,如果数轴上有两点A,B,它们表示的数分别为a, ba≤b, 则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜如图1;设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜,由图2可以看出,如果X在A,B两点之间,那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜,即：当a≤x≤b时,｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样,设点C在数轴上表示的点为c,a≤b≤c,则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜,由图3可以看出,如果X落在B点,那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜,即：当x=b时,｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜;一般说来,设fx=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜,其中a₁≤a₂≤…≤a n,那么：当n为偶数时,f min x=fa,其中a n/2≤a≤a n/2+1；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n/2+1-a n/2=a n+a n-1+••• a n/2+1-a1+a2+•••+a n/2当n为奇数时,f min x=fa n+1/2；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n+1/2+1-a n+1/2-1=a n+a n-1+••• a n+1/2+1-a1+a2+•••+ a n+1/2-1也就是说,偶数个绝对值相加,当x处于最中间的两个点所表示的数之间时,其值为最小,x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加,当x等于最中间那个点所表示的数时,其值为最小,x只有一个取值;利用这个原理来解决例1的问题将非常容易地得到结论：y=｜x--3｜+｜x--2｜+｜x--1｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜,所以x=0时y最小,最小值为12;下面我们利用这一原理解决更多的问题;例2已知y=⅔｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜,求y的最小值;解y=⅓2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜=⅓｜x--1｜+｜x--1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜∵有11个绝对值相加,11为奇数,∴当x=a5,即x=1时,y最小为：⅓2｜1+1｜+3｜1-2｜=⅓4+3=7/3例3已知｜a+3｜+｜a-5｜=8,求a的取值范围;解∵当-3≤a≤5时,｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8,∴a的取值范围是-3≤a≤5例4已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9,求a b的值;解∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜,当a=-1时,最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜,当b=5时,最小值为6,∴2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜≥9,只有当a=-1,b=5时,原式=9,∴a b=-15=-1例5如图4,一条公路旁有6个村庄,分别为A,B,C,D,E,F,现在政府要在公路边建一个公交站,请问建在哪一段比较合理分析所建公交站应该到各村的距离之和最小,以公路为数轴,设A,B,C,D,E,F在数轴上表示的数分别为：a,a,c,d,e,f,则a≤a≤c≤d≤e≤f,故当所建公交站到各村的距离之和最小时,公交站应该处于C村和D村之间;。

绝对值几何意义的应用探究(一)成都石室冉云一、教学内容解析《绝对值》是七年级第二章《有理数及其运算》中第3节的内容，前面所学数轴是数学中数形结合的起点，绝对值概念的生成过程中更是在渗透数形结合的思想方法；同时，本节结合绝对值概念的几何意义，运用数形结合，将绝对值相关问题转化为绝对值几何意义来解决，从而还渗透了建模、化归的数学思想。

最值问题是阶段学生学习解决的一个难点问题，大多数学生理解起来都有难度。

于是很多教师在处理这节内容时候往往避难就易，很快带过。

而要解决以上问题，关键是要将绝对值的定义即几何意义理解吃透，利用“数形结合〞解决以上问题比拟方便！而本节内容对于最值问题的思考和探索，将为后面的有关学习打下根底。

二、学生学情分析x 的几何学生在新课阶段已经学习了绝对值的几何意义，知道了x，推广到a意义，以及两点间距离公式，多数学生能够解决含有一个绝对值的最小值问题，为这节课的学习奠定了知识根底。

但是涉及到绝对值的最值问题及动点问题时，都出现了“用字母表示数〞比拟抽象，局部学生理解起来有难度。

基于学生在阶段对线段有初步感知，本节课借助数轴将绝对值最值问题转化为线段问题解题直观形象，学生容易上手容易理解。

另一方面，我学生对于平板电脑的使用已经比拟熟练，所以整堂课借助平板、互动课堂、交互式白板等现代信息学技术手段辅助教学！三、教学目标设置1．能灵活的运用绝对值的几何意义解决绝对值的有关最值问题，初步体会转化和化归的数学思想；2．初步学会思考，逐步学会探究，训练学生思维的深度及有效性，体验数学活动的探究性和创造性；3. 借助数轴解决问题，开展学生图形思维，渗透“数形结合〞思想.4. 在教师的引导下学生层层深入探究，经历建立数学模型和提炼、归纳数学结论“建构知识〞的过程.教学重点：运用绝对值几何意义借助数轴解决绝对值和最小、差最大的问题。

教学难点:探究三个以上的绝对值和的最小及两个绝对值差最大问题四、教学方法〔1〕采用探究式为主的教学方法，通过问题引导，学生合作探究、小组交流，悟方法，得结论。

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。

知识导航知识导航1求代数式2计算34数轴上是否存在数在数轴上对应的点到原点的距离，解决下面问题：的距离为．（包括）到（包括）之间时，则的最小值等然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。

它的画法如下：1．画一个等边三角形；2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。

显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。

请你亲自动手做个实验。

把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。

如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3）。

实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。

用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。

这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。

在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。

我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。

由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。

画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。

下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度为b。

开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。

绝对值几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5，代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．如：|－2|读作－2的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，,绝对值是非负数≥0。

特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0|3|=3 |-3|=3（相反数绝对值互为倒数）两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若|2(x—1）—3+|2y—4）|=0，则x=___,y=____。

（|是绝对值）答案:2(X-1)-3=0X=5/22Y-4=0Y=2一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等) 绝对值的几何意义和代数意义：几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

（在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数）代数定义：|a|={a>0 a=a{a<0 a=-a{a=o a=0关于绝对值的题目：已知|x|=3，|y|=1/2,且|x-y|=y-x,求y-x解：因为|x-y|>0 或=0，且|x-y|=y-x，所以x<0，x只能等于-3。

y=-1/2 或=1/2。

设y=1/2，则原式=1/2-（-3）= 3又1/2。

设y=-1/2，则原式=（-1/2）—（-3）=2又1/2。

答：y-x等于3又1/2或2又1/2。

|x-1|+|x-2|+|x-3|.....|x-5|的最小值为多少，可以用几何意义来做，要想最小就要取中间的也就是x-3=0即x=3原式=6，为最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|则取2，3中间任意一点，得4公式|m-n|-|n-m|=0m/n可以是任何数2. 绝对值的有关性质无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。

绝对值几何意义及动点问题(一)绝对值几何意义及动点问题在几何学中，绝对值是一个常见的概念，它表示一个数到零的距离。

在这篇文章中，我们将探讨绝对值的几何意义以及与动点相关的问题。

绝对值的几何意义绝对值可以用几何的方式来解释。

首先，我们可以将绝对值看作一个点到零点的距离。

例如，对于实数x，绝对值|x|表示点x到零点的距离。

如果x是负数，则绝对值表示x在数轴上的投影到零点的距离。

绝对值的性质绝对值具有以下性质： - |x| >= 0：绝对值永远大于等于零。

- |x| = 0 当且仅当 x = 0：只有当x等于零时，绝对值才等于零。

- |x * y| = |x| * |y|：绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。

绝对值的动点问题在几何学中，动点问题是一类常见的问题，它涉及到点在运动中的位置、轨迹等特性。

绝对值可以应用在动点问题中，通过求解动点到其他点的距离。

以下是一些与绝对值和动点相关的问题： 1. 给定一个动点A和两个固定点B、C，求动点A到点B和点C的距离之和的最小值。

2. 已知动点A在直线L上运动，点B为直线L上的固定点，求动点A到点B的距离的最大值。

3. 给定一个动点A和一个固定点B，在直线L 上构建一个点C，使得动点A到点B和点C的距离之和最小。

这些问题都可以通过绝对值的几何意义来解决。

我们可以使用点到点的距离公式，通过求解绝对值来得到问题的答案。

绝对值在几何学中具有重要的意义，它可以帮助我们解决许多与动点相关的问题。

通过理解绝对值的几何意义，我们可以更好地应用它来解决各种几何问题。

希望通过这篇文章，你对绝对值的几何意义及动点问题有更深入的理解。

绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。

在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。

代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。

绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。

无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。

例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。

绝对值在代数中有多种应用。

首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。

例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。

其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。

如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。

几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。

数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。

绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。

通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。

假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。

如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。

无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。

除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。

在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。

例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。

由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。

绝对值的代数意义和几何意义
绝对值是数学中使用最广泛的概念之一，在代数中，它被定义为数值或表达式的绝对值，容易被视为一种量度，它可以衡量一个数的大小，而不必考虑它的符号。

一、代数意义
1. 绝对值是数值和表达式的数学量度，衡量数值的大小，不受它的符号（正负）的影响。

即|x| = x,如果x>0；|x| = -x,当x<0时。

2. 绝对值函数y=|x|是一个凸函数，它的图象关于y轴对称，当x变化时，y曲线上各点的变化率一定为正。

3. 两个相等负数的绝对值相等，因此绝对值函数不满足函数的单值定理。

4. 当x ≠ 0时，|x|不能表示为0，因为如果这样的话，将会发生抵消，而它的本来
意义就是衡量数值大小。

二、几何意义
1. 在几何中，它表示一点到原点的距离，也表示函数的最大值或最小值。

2. 对于向量的绝对值，表示的是向量的模长或长度，它是一个实数。

3. 绝对值用来描述点(x，y)到原点(0，0)之间的距离，即|(x，y)|=根号[x2 +y2]。

4. 对于复平面中点(z)，其绝对值|z| = 根号[(a+bi)2] = 根号[a2+b2]。

以上可以看出，绝对值在代数和几何中都有着各自独特而重要的意义，它们在理解数学概念中都具有十分重要的作用。

绝对值的几何意义与数轴理解的重要性绝对值的几何意义在帮助我们理解数轴方面起着至关重要的作用。

以下是几个关键点，说明绝对值如何辅助我们深入理解数轴：一、明确数的位置1.距离表示：绝对值在数轴上的直接体现就是一个数到原点的距离。

这使我们能够直观地理解一个数在数轴上的位置，特别是它与原点的相对位置关系。

2.正负性：通过绝对值，我们可以清晰地识别一个数是正数、负数还是零。

正数的绝对值等于它本身，表示它在数轴上位于原点的右侧；负数的绝对值等于它的相反数，表示它在数轴上位于原点的左侧；而零的绝对值是零，即它就在原点上。

二、理解数与数之间的关系1.两点间距离：绝对值的几何意义还可以扩展到表示数轴上任意两点之间的距离。

例如，|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

这种表示方法使我们能够更直观地理解两个数之间的相对位置关系。

2.比较大小：通过比较两个数的绝对值，我们可以间接地比较它们在数轴上的位置关系。

例如，如果|a| > |b|，那么在忽略符号的情况下，a在数轴上的位置比b更远离原点。

三、辅助解题1.去绝对值符号：在解决包含绝对值的方程或不等式时，我们需要根据绝对值的定义和性质去绝对值符号。

这通常涉及到对未知数进行分类讨论（如分为正数、负数、零三种情况），然后分别求解。

而绝对值的几何意义为我们提供了这种分类讨论的直观依据。

2.应用三角不等式：绝对值的三角不等式（|a+b| ≤ |a| + |b|）在解决许多问题时都非常有用。

它揭示了数轴上两点间距离与它们各自到某一点距离之和之间的关系。

通过这种关系，我们可以得到一些有用的不等式或等式，从而帮助我们解决问题。

四、提升数学直觉1.可视化思维：绝对值的几何意义使我们能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题。

这种可视化思维不仅有助于我们更好地理解数学概念和定理，还能够提高我们的解题能力和数学直觉。

2.深入理解数轴：通过绝对值的几何意义，我们可以更深入地理解数轴的结构和性质。

绝对值的几何意义，绝对值求最值一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，|a-b|就表示点a与点b的距离。

所以绝对值可以转化成数轴上点与点间的距离，可以利用数形结合快速解决绝对值的最值问题。

首先我们先理解数轴(线段)上点间距离的最值问题。

如果小学奥数学过这种线段上找距离和最短的问题，可能会更容易理解。

例题:在数轴上找一点，使这点到所有点的距离和最小。

①先看两个点的，想要找一个点，使到1和3的距离和最短，应该选在1与3(包括点1,3)之间。

这个最短距离和是2。

即当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|有最小值2。

②接着看三个点的，想要找一个点，使到1,2和3的距离和最短，应该选2这个点。

这个最短距离和是2。

即当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值2。

③再看下四个点的，想要找一个点，使到1,2,3,4的距离和最短，应该选在2与3(包括点2,3)之间。

这个最短距离和是4。

即当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值4。

可以得出以下结论:如果有偶数个点，那么这个点取在正中间的两点之间(包括这两点)就可以。

如果有奇数个点，那么这个点取在正中间的点就可以。

掌握了这个最基本的方法后，我们再研究有重复的点(即x的系数不是1)例如:求|x-1|+ 2|x-2|的最小值。

为了便于理解，我们可以把它写成|x-1|+ |x-2|+ |x-2|所以是三个点，这个点应该选在最中间的x=2。

所以最小值是1。

下面看一道少儿初中部的一道练习题:题目:设x是有理数，p=|3x+6|+ |x-3|+|2x-6|+ |x-9|，试求p的最小值。

先把x的系数提出来，看一看这些点都有哪些，如果这些点不是从小到大的，注意要按顺序排好！！！。

p=3|x+2|+ |x-3|+2|x-3|+ |x-9|共7个点即-2,-2,-2,3,3,3,9，所以选最中间的(第4个点)x=3，最小值是21。

我们知道数轴上的点包括有理数和无理数，那么对于无理数也是成立的，比如我们学过无理数之后，像下面这种题应该自然就会做了。

绝对值几何意义及动点问题
在数学中，绝对值有一个几何意义。

绝对值表示一个数距离原点的距离，既可以是正数，也可以是零。

在数轴上，绝对值表示一个点到原点的距离。

如果一个数的绝对值为3，则表示它在数轴上距离原点为3的位置。

绝对值也可以用来解决动点问题。

在动点问题中，通常涉及到一个或多个变化的变量，而我们需要找到满足特定条件的变量的取值。

利用绝对值可以将这些条件转化为等式或不等式，从而解决问题。

例如，假设有一个点P(x,y)，我们希望找到离原点(0,0)的距离为5的点。

可以将这个条件表达为|x|+|y|=5。

这个等式代表了所有满足条件的点的集合。

我们可以将这个等式进一步简化为两个不等式|x|≤5和|y|≤5，来确定满足条件的点的位置。

另一个例子是求两个点之间的距离。

假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们希望找到它们之间的距离。

可以使用绝对值表达式来表示：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

这个公式将两个点的坐标差的平方和开方，得到它们之间的距离。

综上所述，绝对值在几何中具有重要的意义，并且可以应用于解决动点问题。

初一上绝对值的几何意义及应用
初一上绝对值的几何意义及应用如下：
1. 绝对值的几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。

2. 绝对值在数学上的意义是：绝对值表示的是一个数的点到原点的距离，所以在几何意义上绝对值可以看作是长度。

3. 绝对值的代换应用：代数式中出现的绝对值，其运算规律为：取绝对值后通常先去括号，再合并同类项；而方程中出现的绝对值，一般会使方程更简单。

综上，绝对值在数轴上表示点到原点的距离，几何意义中长度为绝对值代换后的结果。

在数学运算中绝对值具有便捷性，是解决某些方程式和代数问题的重要工具。

绝对值的性质及运用绝对值的性质及运用知识精讲绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质绝对值【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m |＞m ，则m ＜0；（4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例14】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________c b a 0-11【例15】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例16】计算111111 (23220072006)-+-++-= ．【例17】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）c a 0b【巩固】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c ++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简12x x +++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1.若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2.若|x|=-x，则x一定是（）A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥14.若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或45.若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________6.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________7.如图所示，a．b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________ba0-118.已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为_________9.化简代数式24x x++-【家庭作业】1.-19的绝对值是________2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜03.绝对值大于1且不大于5的整数有__________个．4.绝对值最小的有理数是_________．绝对值等于本身的数是________．5.当x __________时，|2-x|=x-2．6.如图，有理数x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________y x-1217.若3230x y-++=，则yx的值是多少？。