绝对值几何意义知识点经典例题及练习题带答案

绝对值的几何意义
【知识点】
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a 一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0
例：5的绝对值就是数轴上表示5的点与原点的距离
到原点距离为3的点有两个，分别在原点的左边和右边
【练习题】
1.到原点的距离等于2的数是______
2.到原点的距离等于1.6的数是______
3.到原点的距离等于2019的数是______
4.到原点的距离等于6的数是______
5.到原点的距离等于1
的数是______
9
的数是______
6.到原点的距离等于7
3
的数是______，在原点左侧的数是______
7.到原点的距离等于2
3
8.到原点的距离等于a（a>0）的数是______
的数是______，其中在原点右侧的数是______ 9.到原点的距离等于7
8
10.到原点的距离等于0.8的数是______，其中在原点右侧的数是______
答案
1. 2或-2
2. 1.6或-1.6
3. 2019或-2019
4. 6或-6
5. 19±
6. 123±
7. 23±，23-
8. a 或-a 9. 78±；78
10. 0.8或-0.8；0.8。

学生做题前请先回答以下问题问题1：绝对值的几何意义：①表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离．②表示在数轴上____________________________对应点之间的距离．③表示____________________________对应点之间的距离．绝对值应用（绝对值的几何意义）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知，则a，b的值分别为( )A.a=3，b=5B.a=-3，b=5C.a=3，b=-5D.a=-3，b=-5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性2.若，则ab=( )A.0B.3C.-3D.±3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性3.若与互为相反数，则a+b=( )A.-1B.1C.5D.-5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性4.若x为有理数，则的最小值为( )C.3D.5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义5.若x为有理数，则的最小值为( )A.1B.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义6.若x为有理数，则的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义7.若x为有理数，则的最小值为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义8.当x=____时，有最_____值，是_____．( )A.0，小，6B.0，大，6C.0，小，0D.0，大，0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值9.当x=____时，有最_____值，是_____．( )A.4，小，3B.4，大，-3C.4，小，-3D.0，大，3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值10.当x=____时，有最_____值是_____．( )A.0，小，0B.0，小，3C.0，大，0D.0，大，3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值。

绝对值的几何意义【真题精选】1．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是．②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝．④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的是．⑤若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为．2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．3．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点．如图1．|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A，B 两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．请你仿照上例，回答下列问题：①数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；③当﹣3＜x＜2时，|x+3|+|x+2|＝；④当代数式|x﹣2|+|x+1|取最小值时，相应的x的取值范围是；⑤|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|最小值是．4．式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值是（）A．2B．4C．6D．85．当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1999|取得最小值时，实数x的值是（）A．1B．999C．1000D．19996．代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2002|的最小值是．7．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值为．8．|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|的最小值为．9．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：【挑战来袭】11．如果|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则a的取值范围是．12．若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是．13．对于全体实数x，不等式|x﹣1|+2|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m恒成立，求m的最大值．绝对值的几何意义参考答案与试题解析1．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是4，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是5．②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的是﹣1或0或1或2或3．⑤若x表示一个有理数，当x为3，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为6．【分析】①数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；②数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；③根据绝对值几何意义即可得出结论．④分情况讨论计算即可得出结论；⑤|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上某点到表示﹣2、3、4三点的距离之和，【解答】解：①数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5；故答案为：4，5；②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣3）|＝|x+3|，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；故答案为：|x+3|，|x﹣6|；③根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|有最小值5，故答案为：5；④当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，解得：x＝﹣1，此时不符合x＜﹣1，舍去；当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，解得：x＝3，此时不符合x＞3，舍去；故答案为：﹣1或0或1或2或3；⑤：∵可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，∴当x＝3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值．∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．故答案为3，6．【点评】此题是绝对值题目，主要考查的是绝对值的应用，明确|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是解题的关键．2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝6．【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案为：6．【点评】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．3．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点．如图1．|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A，B 两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．请你仿照上例，回答下列问题：①数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3；③当﹣3＜x＜2时，|x+3|+|x+2|＝1或2x+5；④当代数式|x﹣2|+|x+1|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2；⑤|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|最小值是1010025．【分析】①根据（1）中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；②根据（1），即可直接写出结果；③利用﹣3＜x＜﹣2时，当﹣2≤x＜2时，分别求出即可；④代数式|x﹣1|+|x+2|表示数轴上一点到1、﹣2两点的距离的和，根据两点之间线段最短，进而得出答案；⑤利用y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|是数轴上点x与1、2、3、…2010的距离和，进而得出当1005≤x≤1006 时，y最小求出即可．【解答】解：①数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是﹣2﹣（﹣5）＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4；故答案为：3；②数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是|x+1|，|AB|＝2，则|x+1|＝2，故x＝1或﹣3；故答案为：|x+1|，1或﹣3；③当﹣3＜x＜﹣2时，|x+3|+|x+2|＝x+3﹣x﹣2＝1，当﹣2≤x＜2时，|x+3|+|x+2|＝x+3+x+2＝2x+5，故答案为：1或2x+5；④若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点M在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2；故答案为：﹣1≤x≤2；⑤由题意可得：y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|是数轴上点x与1、2、3、…2010的距离和．所以，当1005≤x≤1006 时，y最小＝（2010﹣1）+（2009﹣2）+（2008﹣3）+…+（1006﹣1005）＝2009+2007+2005+…+3+1＝10052＝1010025．故答案为：1010025．【点评】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．4．式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】分x≤2、2＜x≤4、4＜x≤8以及x＞8四种情况考虑，消去绝对值符号，根据一次函数的性质找出每段|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：当x≤2时，原式＝（2﹣x）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝18﹣4x，∵﹣4＜0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≥10；当2＜x≤4时，原式＝（x﹣2）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝14﹣2x，∵﹣2＜0，∴此时6≤|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＜10；当4＜x≤8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（8﹣x）＝2x﹣2，∵2＞0，∴此时6＜|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≤14；当x＞8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（x﹣8）＝4x﹣18，∵4＞0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＞14．综上可知：|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是根据（x﹣2）（x﹣4）（x﹣8）＝0确定将x分四段来考虑．5．当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1999|取得最小值时，实数x的值是（）A．1B．999C．1000D．1999【分析】观察已知条件可以发现，|x﹣a|表示x到a的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．【解答】解：由已知条件可知，|x﹣a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到1999的距离时，式子取得最小值．所以当x＝＝1000时，式子取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了绝对值，做此题需要一定的技巧，要结合绝对值的定义来考虑．另外还要知道，当x与最小数和最大数距离相等时，式子才能取得最小值．6．代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2002|的最小值是1002001．【分析】可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣2002|表示：点x到数轴上的2002个点（1、2、3、…、2002）的距离之和，进而分析得出最小值．【解答】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤2002时，|x﹣1|+|x﹣2002|有最小值2001；当2≤x≤2002时，|x﹣2|+|x﹣2002|有最小值2000；…当x＝1001时，|x﹣1001|有最小值0．综上，当1001＜x＜1002时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣2002|能够取到最小值，最小值为：x﹣1+x﹣2+x﹣3+…+2001﹣x+2002﹣x＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣1001+1002+1003+…+2002＝1001×1001＝1002001．故答案为：1002001．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出1001＜x＜1002时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣2002|能够取到最小值是解题关键．7．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值为2013．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．【解答】方法一：解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝﹣x﹣1﹣x+2﹣x+2012＝﹣3x+2013，则﹣3x+2013≥2016；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝x+1﹣x+2﹣x+2012＝﹣x+2015，则2013≤﹣x+2015＜2014；当2＜x≤2012时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝x+1+x﹣2﹣x+2013＝x+2012，则2014＜x+2012≤4024；当x＞2012时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|＝x+1+x﹣2+x﹣2012＝3x﹣2013，则3x﹣2013＞4023．综上所述|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值为2013．方法二：x为数轴上任意一点，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|表示数轴上表示x的点到表示数﹣1，2，2012三点的距离和，当x＝2是，距离和最小，为3+2010＝2013．故答案为：2013．【点评】本题重点考查了绝对值的知识，化简绝对值是数学的重点也是难点，先明确x的取值范围，才能求得|x+1|+|x﹣2|+|x﹣2012|的最小值．8．|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|的最小值为1014049．【分析】研究|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|的最小值，利用当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|，当x＝﹣1007或﹣1008时取得最小值．【解答】解：由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．因此，对于函数|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2014|，当x＝﹣1007或﹣1008时，取得最小值为：1006+1005+…+0+1+2+1007＝1006×（1+1006）+1007＝1014049．故答案为：1014049．【点评】本小题主要考查带绝对值的函数、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，归纳能力．属于基础题．9．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】依据|x﹣2|+|x+4|＝6，分类讨论即可得到所有整数x即可．【解答】解：①当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；②当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝6，符合题意的所有整数x的值为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，③当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；综上所述，满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的个数是7．故选：D．【点评】此题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．10．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：【分析】运用数形结合思想：图一图二图三图四【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．图形语言：答案：x＝﹣1．（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2．图形语言：答案：x＝．（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离大于4．图形语言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．图形语言：答案：6．【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题．11．如果|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则a的取值范围是a≥2或a≤﹣2．【分析】先将绝对值不等式转化成y1＝和y2＝，要使|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则有y2＞y1没有实数解，借助图象，即可得出结论．【解答】解：∵|x﹣a|+|x|＜2，∴|x﹣a|＜2﹣|x|，设y1＝|x﹣a|，y2＝2﹣|x|，∴y1＝，y2＝，如图，函数y2＝的图象是定的，当y＝0时，x＝2或x＝﹣2，∴A（2，0），B（﹣2，0），∵|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，∴y2＞y1没有实数解，即函数y1的图象不在函数y2的图象的上方，∴a≥2或a≤﹣2，故答案为：a≥2或a≤﹣2．【点评】此题主要考查了绝对值不等式，绝对值函数图象的画法，利用数形结合是解本题的关键．12．若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是a≤5．【分析】先判断出|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|表示x到﹣3，1，2这三个点的距离之和，而x＝1时，距离之和最小，即可得出结论．【解答】解：如图，由数轴知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|表示x到﹣3，1，2这三个点的距离之和．当x＝1时，距离之和最小，此时|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|＝1+4＝5，即不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|≥5对一切数x都成立，∴a≤5，故答案为：a≤5．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．13．对于全体实数x，不等式|x﹣1|+2|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m恒成立，求m的最大值．【分析】先找出零点，再判断出x＝9时，|x﹣1|+|x﹣9|+|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|取最小值，即可得出结论．【解答】解：按顺序排列零点：1，2，9，9，10，11，共六个，∴当x＝9时，|x﹣1|+|x﹣9|+|x﹣9|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|取最小值，最小值为8+0+0+7+1+2＝18，故m的最大值为18．【点评】此题主要考查了绝对值不等式，解决此题问题的关键是找到零点，对于含绝对值的问题一般可采用零点分段法，若有偶数个零点，则最小值在中间两点之间（含端点）取到；若有奇数个零点，则最小值在中间点取到．。

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。

专题03 绝对值的几何意义类型一求两个绝对值和的最小值1．数学实验室：我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点A、B，分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离AB=|a－b|.利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和－5的两点之间的距离是______.（1+1分，注意写出最后结果）（2）式子|x+2|可以看做数轴上表示x和______的两点之间的距离.（3）式子|x+2|＋|x－3|的最小值是______.（4）当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是______.【答案】（1）4，（2）6；（3）-2；（4）5．（5）-2£x£3.【解析】【分析】根据绝对值的定义进行填空即可．【详解】-=4，数轴上表示1和-5的两点之间的距离是解：（1）数轴上表示1和5的两点的距离是15（）6；15--=故答案为4，6；x--，（2）∵|x+2|=()2∴式子|x+2|可以看做数轴上表示x和-2的两点之间的距离;故答案为-2；（3）当x 在数轴上表示-2和3之间时，此时|x +2|＋|x －3|的最小值为5;故答案为5．(4) 当x 在数轴上表示-2和3之间时，此时|x +2|＋|x －3|的最小值为5;即当|x +2|＋|x －3|取得最小值时，数x 的取值范围是-2£x £3.故答案为-2£x £3.2．我们知道，在数轴上，|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几 何意义，进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a 和b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为AB ＝|a ﹣b|利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示3 和7 的两点之间的距离是，数轴上表示﹣3 和﹣7 的两 点之间的距离是 ，数轴上表示2 和﹣3 的两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示x 和﹣5 的两点A 、B 之间的距离是，如果|AB|＝3，那 么x 的值为 ；(3)当代数式|x ﹣1|+|x ﹣3|取最小值时，相应的x 的取值范围是多少？最小值是多少？(4)已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a+4|+(b ﹣1)2＝0，设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x 的值．【答案】(1)4；4；5；(2)5x +；-8或-2；(3)x 的范围是31x -££；最小值是4；(4)x 的值为12-.【解析】【分析】（1）（2）直接根据数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |=|a ﹣b |．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据|x ﹣a |表示数轴上x 与a 之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1和3距离的和，当x 在1和3之间时有最小值．（4）应考虑到A 、B 、P 三点之间的位置关系的多种可能解题．【详解】（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是|7﹣3|=4，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离是|﹣7﹣（﹣3）|=4．数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5．（2）数轴上表示x 和﹣5的两点A 和B 之间的距离是|x ﹣（﹣5）|=|x +5|，如果|AB |=3，那么x 为﹣8或﹣2．（3）代数式|x ﹣1|+|x +3|表示在数轴上到1和﹣3两点的距离的和，当x 在﹣3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3和1之间的距离4．故当﹣3≤x ≤1时，代数式取得最小值，最小值是4．（4）①当P 在点A 左侧时，|PA |﹣|PB |=﹣（|PB |﹣|PA |）=﹣|AB |=﹣5≠2．②当P 在点B 右侧时，|PA |﹣|PB |=|AB |=5≠2，∴上述两种情况的点P 不存在．③当P 在A 、B 之间时，|PA |=|x ﹣（﹣4）|=x +4，|PB |=|x ﹣1|=1﹣x ．∵|PA |﹣|PB |=2，∴x +4﹣（1﹣x ）=2，∴x 12=-，即x 的值为12-．故答案为（1）4；4；5．（2）|x +5|；﹣8或﹣2．（3）x 的范围是﹣3≤x ≤1；最小值是4．（4）x 的值为-12.【点睛】本题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．3．“数形结合”是重要的数学思想．如：()32--表示3与2-差的绝对值，实际上也可以理解为3与2-在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A ，B ，所对应的数分别用a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离表示为AB a b =-．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2-和5两点之间的距离是__________．（2）若13x -=，则x =______．（3）若x 表示一个有理数，142x x ++-的最小值为_________．（4）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为2-，8，现在点A 、点B 分别以3个单位长度/秒和2单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A 与点B 之间的距离为2个单位长度时，求点A 所对应的数是多少？【答案】（1）7；（2）4或2-；（3）142；（4）22或34.【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式：AB a b =-，代入计算即可得到答案；（2）由3=3,± 可得13x -=或13,x -=- 再解方程即可得到答案；（3）先画好数轴，如图，A 表示1,2- B 表示4, 当x 对应的点B 在线段AC 上时，则此时111444,222AC AB BC x x æö=+=++-=--=ç÷èø而且利用两点之间线段最短，可得此时可得最小值；（4）如图，A 向右移动后对应的数为：23,t -+ B 向右移动后对应的数为：8+2,t 再利用两点之间的距离公式表示,AB 再利用2,AB = 建立绝对值方程，解方程可得答案.【详解】解：（1）数轴上表示2-和5两点之间的距离是：()52527,--=+=故答案为：7（2）Q 13x -=13x \-=或13,x -=-解得：4x =或 2.x =-故答案为：4或2-（3）如图，A 表示1,2- B 表示4, 当x 对应的点B 在线段AC 上时，则11,4,22AB x x BC x æö=--=+=-ç÷èø 111444,222AC AB BC x x æö\=+=++-=--=ç÷èø此时：142x x ++-的值最小，为14.2故答案为：14.2（4）如图，A 向右移动后对应的数为：23,t -+ B 向右移动后对应的数为：8+2,t而移动后：2,AB =()8+2232,t t \--+=102,t \-=102t \-=或102,t -=-解得：8t =或12.t =当8t =时，A 向右移动后对应的数为：2322422,t -+=-+=当12t =时，A 向右移动后对应的数为：2323634.t -+=-+=【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，建立绝对值方程，一元一次方程的解法，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键.4．认真阅读下面的材料，完成问题．在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5的点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5－0|，即5到0点的距离．又如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知道|5－（－3）|=|5+3|=8．即5与－3相距8个单位长度．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为|a －b |．（1）利用上面的知识回答：点A 、B 在数轴上分别表示有理数－5、1，那么A 到B 的距离可表示为 ，这个距离的计算结果是 ；（2）利用上面的知识回答：若|x －1|=2，则x = ；（3）利用上面的知识回答：|x －2|+|x +1|的最小值是 ．【答案】（1）|1-（-5）|，6；（2）-1或3；（3）3．【解析】【分析】（1）根据数轴上两点距离公式表示和计算即可；（2）根据点到1的距离等于2，即可找出x =-1或3即可；（3）根据条件化去绝对值当x ≥2时，|x －2|+|x +1|= 2x -1≥3，-1≤x ＜2时，|x －2|+|x +1|=3，当x ＜-1时，|x －2|+|x +1|=1-2x ＞3即可．【详解】解：（1）|1-（-5）|=|1+5|=6；故答案为：|1-（-5）|，6；（2）∵| 3－1|=2，∴x =3，∵|-1-1|=2，∴x=－1，∴|x －1|=2，x =-1或3，故答案为-1或3；（3）当x ≥2时，|x －2|+|x +1|=x -2+x +1=2x -1≥3，-1≤x ＜2时，|x －2|+|x +1|=2-x +x +1=3，当x ＜-1时，|x －2|+|x +1|=2-x -x -1=1-2x ＞3，|x －2|+|x +1|的最小值是3．故答案为：3．【点睛】本题考查数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项，掌握数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项是解题关键．5．我们知道，||a 可以理解为|0|a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点,A B ，分别用数,a b 表示，那么,A B 两点之间的距离为||||AB a b =-，反过来，式子||-a b 的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是__________．（2）数轴上点A 用数a 表示，若||5a =，那么a 的值为_________．（3）数轴上点A 用数a 表示：①若|3|5a -=，那么a 的值是________．②当|2||3|5a a ++-=时，数a 的取值范围是________，这样的整数a 有________个．③|3||2017|a a -++有最小值，最小值是___________．【答案】（1）5；2；（2）5或5-；（3）①2-或8；②23a -££，6；③2020．【解析】【分析】（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可；（2）根据绝对值的定义求解即可；（3）①利用绝对值的定义可知35a -=或5-，然后进一步计算即可；②|2||3|5a a ++-=的意义是表示数轴上到表示2-和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可；③|3||2017|a a -++是表示数轴上表示3与表示2017-的点的距离之和，然后进一步求解即可.【详解】（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：83=5-；数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是：()13=2---，故答案为：5，2；（2）若||5a =，则5a =或5-，故答案为：5或5-；（3）①若|3|5a -=，则35a -=或5-，∴8a =或2-，故答案为：2-或8；②∵|2||3|5a a ++-=的意义是表示数轴上到表示2-和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，∴23a -££，其中整数有2-、1-、0、1、2、3共6个，故答案为：23a -££，6；③∵|3||2017|a a -++是表示数轴上表示3与表示2017-的点的距离之和，∴当20173a -££时，|3||2017|a a -++有最小值，此时最小值为：3(2017)=2020--，故答案为：2020.【点睛】本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.类型二 求多个绝对值和的最小值6．我们知道，a 表示数a 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B 分别表示数a 、b ，那么AB a b =-．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是____；（2）数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是____，如果AB =2，那么x 的值为_____；（3）写出13x x +++表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；（4）123x x x +++++的最小值_____．【答案】（1）3，3，4；（2）1x +，1或-3；（3）点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和，2；（4）2【解析】【分析】（1）结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；（2）根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；（3）根据数轴、绝对值的性质，对x 的取值分类计算，即可完成求解；（4）结合（3）的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：2533-=-=；数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是：()()25253---=-+=；数轴上表示1和3-的两点之间的距离是：()13134--=+=；故答案是：3，3，4；（2）数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是：()11--=+x x ；∵AB =2∴()112x x --=+=∴1x =或3-故答案为：1x +，1或-3（3）13x x +++表示的几何意义：点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和；当3x <-时，132x x +++>当31x -££-时，13132x x x x +++=--++=当1x >-时，132x x +++>∴13x x +++的最小值为：2故答案为：点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和，2；（4）结合（3）的结论，当31x -££-时， 13x x +++的最小值为：2∴12322x x x x +++++=++当2x =-时，2x +取最小值，即20x +=∴123202x x x +++++=+=∴123x x x +++++的最小值为：2故答案为：2．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解．7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4||40|=-，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|73|-，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A 表示的数记为a ，点B 表示的数记为b ，则A ，B 两点间的距离就可记作||-a b ．回答下列问题：(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数3-的点之间的距离的式子是________；式子|5|+a 的几何意义是_______________________；(2)根据绝对值的几何意义，当|2|3-=m 时，m =________；(3)探究：|1||9|++-m m 的最小值为_________，此时m 满足的条件是________；(4)|1||9||16|++-+-m m m 的最小值为________，此时m 满足的条件是__________．【答案】(1)23+或2(3)--；数轴上表示数a 的点与数2的点之间的距离．(2)1-或5(3)10，19m -££(4)17，9m =【解析】【分析】（1）根据距离公式及定义表示即可；（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．(1)解：①在数轴上的意义是表示数2的点与表示数3-的点之间的距离的式子是()23-- ，故答案为：()2323--=+；②∵5a +=|a -(-5)|，∴5a +在数轴上的意义是表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．故答案为：表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．(2)解：∵2m -表示数m 到2的距离，画数轴如下：当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；故答案为：-1或5；(3)解：∵19m m ++-表示数m 与-1，9的距离之和，画数轴如下：根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，此时动点m 在-1表示点与9表示点构成的线段上，∴19m -££ ；故答案为：10、19m -££；(4)解：根据题意，画图如下，根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，此时动点m 在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，∴9m = ；故答案为：17、 9m =．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．8．我们知道，在数轴上，|a |表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为：AB ＝|a ﹣b |．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．（2）数轴上表示x 和﹣1的两点A ，B 之间的距离是 ．（3）式子|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的最小值是 ．（4）结合数轴求|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为，此时符合条件的整数x 为 ．（5）结合数轴求4|1|||3|2|2|4|x x x x -++++-的最小值为，此时符合条件的整数x为 ．（6）结合数轴求|1||3|x x ---的最小值为 ，最大值为 ．【答案】（1）15；（2）|x +1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．【解析】【分析】（1）利用两点距离公式-5-（-20）计算即可；（2）利用两点距离公式|x -(-1)|计算即可；（3）分当x ≤-1当-1＜x ≤2，当2＜x ≤3，当x ≥3区间化去绝对值，合并同类项即可；（4）分当x ≤-2，当-2≤x ≤0， 当0≤x ≤1， 当1≤x ≤4， 当x ≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（5）分当x ≤-2，当-2≤x ≤0， 当0≤x ≤1， 当1≤x ≤4， 当x ≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（6）分区间化去绝对值当x ≤1，|1||3|2x x ---=-，当1≤x ≤3，|1||3|242x x x ---=-³- ，当x ≥3，|1||3|2x x ---=即可．【详解】解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，故答案为15；（2）|x -(-1)|=|x +1|，故答案为：|x +1|；（3）当x ≤-1，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|=- x -1 –x +2- x +3=-3x +4≥7，当-1＜x ≤2，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1–x +2- x +3=- x +6≥4，当2＜x ≤3，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1+x -2- x +3= x +2＞4，当x ＞3，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1+x -2+ x -3=3 x -4＞5，式子|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的最小值是4，故答案为4；（4）当x ≤-2，|1||||2||4|1243411x x x x x x x x x -++++-=----+-=-³，当-2≤x ≤0，|1||||2||4|124727x x x x x x x x x -++++-=--+++-=-³当0≤x ≤1，|1||||2||4|1247x x x x x x x x -++++-=-++++-=当1≤x ≤4，|1||||2||4|124527x x x x x x x x x -++++-=-++++-=+³当x ≥4，||1||||2||4|1244313x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³∴|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为7，符合条件的整数x 为0，1，故答案为：7；0,1；（5）当x ≤-2，4|1|||3|2|2|4|44368261026x x x x x x x x x -++++-=----+-=-³，当-2≤x ≤0，4|1|||3|2|2|4|44368218418x x x x x x x x x -++++-=--+++-=-³当0≤x ≤1，4|1|||3|2|2|4|44368218218x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³当1≤x ≤4，4|1|||3|2|2|4|44368210616x x x x x x x x x -++++-=-++++-=+³当x ≥4，|4|1|||3|2|2|4|44362810636x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³∴|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为16，符合条件的整数x 为1，故答案为16；1；（6）当x ≤1，()|1||3|132x x x x ---=---=-，当1≤x ≤3，()|1||3|13242x x x x x ---=---=-³- ，当x ≥3，()|1||3|132x x x x ---=---=，|1||3|x x ---的最小值为-2，最大值为2．故答案为-2；2．【点睛】本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是解题关键．9．阅读理解；我们知道，若A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点间的距离表示为AB ，则AB a b =-．所以2x -的几何意义是数轴上表示X 的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A 表示－2，点B 表示3，则AB ＝ ．（2）若35x -=，则x 的值是 ．（3）如果数轴上表示数a 的点位于－4和2之间，求42a a ++-的值；（4）点a 取何值时，42a a ++-取最小值，最小值是多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子-129a a a +-+¼+-取最小值时，相应a 的取值范围是多少？最小值是多少？【答案】（1）5；（2）2-或8；（3）6；（4）当42a -££时，最小值为6；（5）当5a =时，最小值为20【解析】【分析】（1）根据题目中的方法确定出AB 的长即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x 的值；（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简42a a ++-即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．【详解】解：（1）235AB =--=，则5AB =；（2）∵35x -=，∴35x -=±，故2x =-或8，故答案为：2-或8；（3）∵数轴上表示数a 的点位于－4和2之间，∴42426a a a a ++-=++-=；（4）∵42a a ++-，代表点a 到4-和到2之间的距离之和，当42a -££时，42a a ++-取得最小值，最小值为6；（5）当5a =时，-129a a a +-+¼+-有最小值，最小值为=123456789a a a a a a a a a-+-+-+-+-+-+-+-+-=15a +=515+=20．【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．10．我们知道，|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；（2）数轴上表示x 和－1的两点A 、B 之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x 的值为_______；（3）当x 取何值时，式子|x －1|+|x －2|+|x －3|+ |x －4|+|x －5|的值最小，并求出这个最小值．【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值为6【解析】【分析】（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得解；（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解；（3）根据数轴上两点间的距离公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．【详解】解：（1）表示2和5 的两点之间的距离是|2-5|=3，表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3，表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；（2）表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或-3；（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x 到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和，∴当x 与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3．【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数是a 、b ，则这两点间的距离可表示为|a-b|．11．我们知道，a 表示数a 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点,A B 分别表示数,a b ，那么,A B 两点之间的距离为a b -．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x 和－1的两点之间的距离为2，那么x 的值为 ；（3）直接写出24x x ++-的最小值为 ；（4）直接写出+21+4x x x +--的最小值为 ；（5）简要求出12399x x x x -+-+-++-…的最小值．【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得；（2）根据绝对值的定义可得；（3）得出24x x ++-的几何意义，从而得到最小值；（4）得出+21+4x x x +--的几何意义，从而得到最小值；（5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解．【详解】解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是()336--=，故答案为：6；（2）由题意可得：()12x --=，则x 的值为：-3或1；（3）∵24x x ++-表示数轴上表示点x 到-2和4两点的距离和，∴当x 在-2到4之间时，24x x ++-有最小值，最小值为6；（4）+21+4x x x +--表示数轴上表示点x 到-2和1和4三点的距离和，∴当x 与1重合时，+21+4x x x +--的值最小，最小值为6；（5）12399x x x x -+-+-++-…的中间一项是|x-50|，当x=50时，12399x x x x -+-+-++-…有最小值，∴12399x x x x -+-+-++-…=5015025035099-+-+-++-…=49+48+47+…+1+0+1+2+…+49=2×（1+2+ (49)=2450．【点睛】本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．类型三 利用绝对值的几何意义解方程12．阅读理解；我们知道」x 丨的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即丨x 丨=丨x -0丨，也就是说丨x |表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x -y 丨表示在数轴上数x 、y 对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x | = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x =±2．②在方程丨x -1丨=2中，x 的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x = 3或x = -1．知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解（1）方程|x |= 5的解（2）方程| x -2|= 3的解【答案】（1）5x =±；（2）5x =或1-【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；【详解】（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为5±∴方程5x =的解是5x =±（2）∵在方程23x -=中，数轴上到2的距离为3的点对应的数．∴方程23x -=的解是5x =或1-．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．13．阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程53x -=的解为______；（2）解不等式2219x ++<；（3）若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；（4）若12y x x =--+，则y 的取值范围是_______．【答案】（1）128,2x x ==（2）62x -＜＜（3）21x -£＜（4）33y -££【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；（2）将原式化解为24x +＜，首先在数轴上找出+24x =的解，即2x =或6x =-，则24x +＜的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；（4）1x -表示数x 到1的距离，2x +表示数x 到-2的距离，12y x x =--+表示数到1的距离减去数x 到-2的距离，然后分三者情况讨论y 的取值即可．【详解】解：（1）53x -=Q ，53x \-=±，解得：128,2x x ==，故答案为：128,2x x ==；（2）2219x ++<228x +＜24x +＜，首先找2=4x +的解，即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，24x +＜表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，\不等式解集为62x -＜＜；（3）123x x -++=，表示到1的点与到-2的点距离和为3，Q -2与1之间的距离为3，21x \-£＜；故答案为：21x -£＜；（4）12y x x =--+，1x -表示数x 到1的距离，2x +表示数x 到-2的距离，12y x x =--+表示数x 到1的距离减去数x 到-2的距离，当x 在点1右边时，3y =-，当x 在点-2左边时，3y =，当x 在-2到1之间时，33y -££，33y \-££；故答案为：33y -££．【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．14．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x|=5的解是_______________．（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．【答案】（1）x=5或-5；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.【解析】【详解】试题分析：（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，∴方程|x|=5的解为x=±5；（2）∵在方程|x-2|=3中，x 的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x 的对应点在3的右边或-2的左边．若x 的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；若x 的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，所以原方程的解是x=5或x=-4．点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．15．阅读材料：我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|0|x x =-，也就是说||x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离，这个结论可以推广为12||x x -表示数轴上1x 与2x 对应点之间的距离．例1：已知||2x =，求x 的值．解：容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为2-和2，即x 的值为2-和2．例2：已知|1|2x -=，求x 的值．解：在数轴上与1的距离为2的点的对应数为3和1-，即x 的值为3和1-．仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．（1）||3x =（2）|2|4x +=（3）由以上探索猜想：对于任何有理数,36x x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【答案】（1）-3和3；（2）-6和2；（3）有最小值，最小值为3【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（3）根据题意得出原式最小时x 的范围，并求出最小值即可．【详解】（1）3x =，在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3，即x 的值为-3和3；（2）24x +=，在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2，即x 的值为-6和2；（3）有最小值，最小值为3，理由是：∵36x x -+-理解为：在数轴上表示x 到3和6的距离之和，∴当x 在3与6之间的线段上（即36x ££）时：即36x x -+-的值有最小值，最小值为633-=．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．类型四 利用绝对值的几何意义解不等式16．解方程|x －1|＋|x ＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x ＝2或x ＝－3.参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x ＋3|＝4的解为________．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9；(3)若|x －3|＋|x ＋4|≥a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．【答案】(1) 1和－7；(2) x ≥4或x ≤－5(3) a ≤7【解析】【分析】(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；(2)不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；(3)|x －3|＋|x ＋4|≥a 对任意的x 都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．【详解】(1)方程|x ＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和－7.故解是1和－7；(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应的x 的值．在数轴上，３和－４的距离为７，满足方程的x 对应点在３的右边或－４的左边，若x 对应点在３的右边，由图可以看出x ≥４；同理，若x 对应点在－４的左边，可得x ≤－５，即可求得x ≥4或x ≤－5．(3)|x －3|＋|x ＋4|即表示x 的点到数轴上与3和－4的距离之和，当表示对应x 的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7．故a ≤7．【点睛】此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.17．阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2x =±．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．。

绝对值的几何意义--实际应用问题【知识点】一个数的绝对值越小，距离原点越近【练习题】1.四只毛毛虫在数轴上的位置如下，则距离原点最近的是______2.一只蚂蚁在数轴上来回爬行，记录的位置分别为：-2、-1、4、-3则距离原点最远的位置是______3.矿井下A、B、C三处的高度分别为-35.2m，-129.1m，-72.6m，最深的是______（填“A、B、C”）4.记录1、2、3号3个零件的长度，大于标准值为+，小于标准值为-，记录结果（单位：mm）分别为+0.10、-0.07、-0.02，则最接近标准值的是______号5.某班测量身高，超过平均身高记为正数，低于平均身高记为负数，甲、乙两位同学的记录情况分别为+3，-5。

最接近平均身高的是______（填“甲、乙”）6.某商店全年第一、第二、第三、第四季度盈亏情况（盈利为正，亏损为负）依次是：68万元、-140万元、-95万元、145万元，则亏损最多的是第______季度（填“一、二、三、四”）7.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数。

从轻重的角度看，最接近标准的工件是（）A.-2B.-3C.3D.78.某次数学单元测试，1班第1小组4位同学的平均成绩达到80分，组长在登记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数登记为正数，低于80分的分数登记为负数，甲、乙、丙、丁4位同学的分数记录情况为：10、-2、5、-13。

则最接近80分的是______同学。

（填“甲、乙、丙、丁”）9.某公路养护小组若干人各自乘车沿南北方向公路巡视维修，某天早晨他们从A地出发，约定A地以北为正方向，A地以南为负方向，他们几人当天相对与A地的行驶记录分别如下（单位：千米）：+18，+9，-2，-14，+5，-19。

当天距离A地最远的距离是______千米。

10.某市监管部门抽查一商店4个水果罐头的质量，超出标准质量记为正，不足质量记为负，则最接近标准质量的罐头是（）A.-3B.4C.2D.1答案1.-22.43.B4.35.甲6.二7.A8.乙9.1910.D。

绝对值的几何意义训练1、借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值2、会利用绝对值的知识解决简单的化简问题例题精讲板块一：绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例题1】m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则2- ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则 x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++= ．【解析】⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，-2，0或-4；⑸4．【例题2】已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使点m 到点o ，点1和点2的距离之和最小，显然当m=1时，原式的最小值为2【例题3】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使m 到点2，点4，点6和点8的距离和最小，显然当点m 在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8【例题4】设123...n a a a a ，，，是常数（n 是大于1的整数），且123...n a a a a <<<<，m 是任意实数，试探索求123...n m a m a m a m a -+-+-++-的最小值的一般方法【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：⑴当n 为奇数时，即当n=2k+1（k 为正整数）时，点m 应取在点a k +1处，原式的值最小，最小值为(a 2k+1-a 1)+(a 2k -a 2)+.......+(a k+2-a k )⑵当n 为偶数2k （k 是正整数）时，m 应取点a k 和点a k+1之间的任意位置，原式的值最小，最小值为(a 2k -a 1)+(a 2k-1-a 2)+.......+(a k+1-a k )【例题5】122009x x x -+-++-的最小值为 ．【解析】当x=1005时，∣x-1∣+∣x-2∣+......∣x-2009∣取到最小值：∣x-1∣+∣x-2∣+......∣x-2009∣=∣1005-1∣+∣1005-2∣+......∣1005-2009∣ =1004+1003+.....+1+0+1+.....+1003+1004=1009020【巩固1】试求123...2005x x x x -+-+-++-的值【解析】联想到绝对值的几何意义：∣x-x n ∣即表示数轴上数x 的对应点与数x n 的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现∣x-1∣+∣x-2∣，当1≤x ≦2时，它有最小值1，对于∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣,，当x=2时，最小值为2，…猜想当x=1003时，原式有最小值最小值为∣x-1∣+∣x-2∣+......∣x-2005∣=∣1003-1∣+∣1003-2∣+......∣1003-2005∣ =1002+1001+.....+1+0+1+.....+1001+1002 =1005006【巩固2】设a b c <<，求当x 取何值时x a x b x c -+-+-的最小值．【解析】∣x-a ∣+∣x-b ∣+∣x-c ∣实际表示x 到a,b,c 三点的距离和，画图可知当x=b 时，原式有最小值为c-a ．【巩固3】若1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记122334455661||||||||||S x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-，则S 的最小值是 ．【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义∣x 1-x 2∣+∣x 2-x 3∣+∣x 3-x 4∣+∣x 4-x 5∣+∣x 5-x 6∣+∣x 6-x 1∣在数轴上表示出来，从x 1开始又回到x 1，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．【例题6】正数a 使得关于x 的代数式162x x x a ++-+-的最小值是8，那么a 的值为 ．【解析】如果a ≦6，那么当x=a 时，∣x+1∣+∣x-6∣+2∣x-a ∣=∣a+1∣+∣a-6∣=(a+1)+(6-a)=7，小于8与已知条件矛盾．所以a>6，那么算式∣x+1∣+∣x-6∣+2∣x-a ∣的几何意义是点x 到-1、6、a 、a 的4个距离之和，当6≦x ≦a 时取最小值，因此令x=6可得7+2∣6-a ∣=8，解得a=13/2．【巩固4】182324x x a x x -+-+-+-的最小值为12，则a 的取值范围是 ．【解析】最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为14+2a 、5+a 、12、19+a ，故12是这四个数中最小的，即14+2a ≧12且5+a ≧12且19+a ≧12，所以a ≧7．【例题7】已知代数式374x x -+-=，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．A ． 1，x ，5B ． 2，x ，5C ． 3，x ，5D ． 3，x ，4【解析】根据∣x-3∣+∣x-7∣=4可得3≦x ≦7，所以选择C ．【巩固5】⑴是否存在有理数x ，使132x x ++-=？⑵是否存在整数x ，使433414x x x x -+-++++=？如果存在，求出所有整数x ，如果不存在，请说明理由【解析】⑴不存在⑵x=±3,x=±2,x=±1,x=0【巩固6】第17届希望杯培训试题）不等式127x x ++-<的整数解有 个．【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，∣x+1∣+∣x-2∣<7的整数解表示数轴上到-1和2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有-2、-1、0、1、2、3共六个．【例题8】一共有多少个整数x 适合不等式20009999x x -+≤.【解析】零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑： （1）当x ≧2000时，原不等式变形为：x-2000+x ≦9999，进而得：x ≦5999.5，即2000≦x ≦5999.5，共有4000个整数适合；（2）当0<x<2000时，原不等式变形为：2000-x+x ≦9999，而2000<9999恒成立， 所以又有2000个整数适合.（3）当x<0时，原不等式变形为2000-x+(-x)≦9999，x ≧-3999.5， 即-3999.5<x<0，共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式∣x-2000∣+∣x ∣≦9999.【例题9】已知∣x ∣≦1,∣y ∣≦1，设M=∣x+1∣+∣y+1∣+∣2y-x-4∣，求M 的最大值和最小值【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号因为∣x ∣≦1,所以-1≦x ≦1，所以0≦x+1≦2，同理可得0≦y+1≦2 因为∣y ∣≦1，所以-1≦x ≦1，所以-2≦2y ≦2⑴因为∣x ∣≦1,，所以-1≦x ≦1，所以-1≦-x ≦1，所以-1-4≦-x-4≦1-4 即-5≦-x-4≦-3⑵⑴与⑵同向相加得-7≦2y-x-4≦-1 化简M 的表达式：M=2x-y+6 求M 的取值范围：因为-1≦x ≦1，所以-2≦2x ≦2 因为-1≦x ≦1，所以-1≦-y ≦1 所以-3≦2x-y ≦3 所以3≦2x-y+6≦9当x=1,y=-1时，M 最大值为9 当x=-1,y=1时，M 最小值为3【例题10】彼此不等的有理数a b c ，，在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么A ，B ，C 的位置关系是_____．【解析】由绝对值的几何意义知, ∣a-b ∣表示点A 与点B 之间的距离；∣b-c ∣表示点B 与点C 之间的距离；表示点A 与点C 之间的距离；当点B 位于点A 与点C 之间（包括A ，C 两点）时,∣a-b ∣+∣b-c ∣取得最小值，为∣a-c ∣．由题设知，a ，b ，c 相等，以A ，B ，C 不重合，故点B 位于点A 与点C 之间(包括A,C 两点)．【巩固7】有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且 （1）∣b-d ∣比∣a-b ∣，∣a-c ∣、∣a-d ∣、∣b-c ∣、∣c-d ∣都大； （2）∣d-a ∣+∣a-c ∣=∣d-c ∣；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是 【解析】R 、X 、Z 、Y.【巩固8】如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【解析】可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发．根据∣a-b ∣=1，∣b+c ∣=∣b-(-c)∣=1，∣a+c ∣=∣a-(-c)∣=2，我们可以得到a 、b 、-c 三点在数轴上从左到右依次是-c 、b 、a 或a 、b 、-c ，我们会发现在这两种情况下，a-(-c)，b-(-c)同号，所以∣a+b+2c ∣=∣a-(-c)+b-(-c)∣=∣a-(-c)∣+∣b-(-c)∣=∣a+c ∣+∣b+c ∣=3【巩固9】已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【解析】法1：四个非负整数和为2，∣a+d ∣只可能为0、1或2． 讨论： ① 当a=0，b=0，c=1，d=0，满足条件，∣a+d ∣=0； ② 当a=1，b=0，c=0，d=0，满足条件，∣a+d ∣=1；③ 若∣a+d ∣=2，即a+d ≠0且∣a+b ∣=0,∣b+c ∣=0，∣c+d ∣=0，∴a+b=0， b+c=0，c+d=0，故0=0-0+0=(a+b)-(b+c)+(c+d)=a+d ，这与a+d ≠0矛盾． 所以，∣a+b ∣=0或1．【例题11】在数轴上把坐标为123...2006，，，，的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由 【解析】设青蛙依次到达的点为x 1 x 2 x 3 x 4......x 2006 x 1，整个跳过的路径长度为 S=∣x 1-x 2∣+∣x 2-x 3∣+∣x 3-x 4∣+......+∣x 2006-x 1∣≤2(1004+1005+....+2006)-2(1+2+3+...+1003)=2×1003×1003 故青蛙跳过的路径的最大长度为2×1003×1003【例题12】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置城市【解析】因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄BC 之间，7 个村庄依次排列为A B G C D E F ．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：y=∣x-4∣+∣x-10∣+∣x-12∣+∣x-15∣+∣x-17∣+∣x-19∣+∣x-20∣,因为4<10<12<15<17<19<20，所以当x=15时y 有最小值，所以活动中心应当建在c 处．【巩固10】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？F EDCBPA7A6A5A4A3A2A1【解析】每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B C D E F）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，这就和题例题6类似了！即车站设在D点最好．若在P处再建一个工厂，则车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．。

绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a ba b+的值是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．若0ab ≠，那么a ab b+的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）A ．21a b -+B ．1b -+C ．1b --D ．21a b ---4．0a <，则化简a a aa aa++-的结果为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b +B ．22a b c+-C ．c-D ．2b c--6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d+++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．8．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则化简||2||a b a c --+的结果是．9．若12x <<，求代数式2121x x x x xx---+=--．10．若0a >，||a a=；若0a <，||a a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b ca b c ++=．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．14．已知有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图所示，化简：|1|||||a c b a b c +---++．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．A ．3,1a b =-=-B ．3,1a b =-=C ．3,1a b ==D ．3,1a b ==-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．A ．5B ．1C ．2D ．04．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）A ．1-B ．1±C ．1D ．25．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．7．已知2(3)|24|0x y x +++-=，则y =．8．已知a ，b 是有理数，且满足|1||2|0a b -+-=，求a 与b 的值．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．(2)求x y -的值．10．若|21||3|0x y -++=，求x 、y 的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）A ．19B ．20C ．21D ．222．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）A ．2025B ．2024C ．2023D ．20223．若a 是有理数，则|1|2a -+的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =7．已知，数轴上A ，B ，C 三点对应的有理数分别为a ，b ，c ．其中点A 在点B 左侧，A ，B 两点间的距离为4，且a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．9．阅读下面的材料：点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥C ．12x -≤≤D ．12x ≤≤-2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？4．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．(4)当a =_______时，代数式12x a x ++-的最小值是3．5．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．6．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且19AB =．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．42．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．15．如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（）．A ．1-B ．0C ．1D ．26．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）A ．2011或2012B ．2012或2013C ．2013或2014D ．2014或20157．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a ，b ，c ，d 表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．9．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“4cm ”和“1cm ”分别对应数轴上的0和2，现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．10．如图，边长为3的正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上的点A 表示的数为4-，将正方形ABCD 在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 为数轴上的任意一点，则2PA PB PC ++的最小值为．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们之间的距离可表示为MN =（用m ，n 表示）13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2023（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？15．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点、、A B C ，其中2AB =，1BC =，设点、、A B C 所对应的数的和是m ．(1)若B 为原点．则A 点对应的数是__________；点C 对应的数是__________，m =__________．(2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =．求m ．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A．0B．100C．50D．－503．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．4．如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若⋅-为常数，则k为．k PM MN5．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．-，点N所表示的数为2如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为7(1)点E，F，G表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是_；写出【N，M】美好点H所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？6．若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M，N】的好点；-，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O 为坐标原点，若点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为t 秒()0t >．①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？8．如图，已知点A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点．点C 对应的数为3，2BC =，6AB =．(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M 、N 对应的数（用含t 的式子表示）②猜想MQ 的长度是否与t 的大小有关？如果有关请你写出用t 表示的代数式；如果无关请你求出MQ 的长度．9．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A 点所示的数为a ，B 点表示的数为b ，则点A 到点B 的距离记为AB ，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．为t秒，试探索：AC AB-、10，动点P从A出发，以每秒1个单位10．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数24-、10长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．11．定义：数轴上A 、B 两点的距离为a 个单位记作AB a =，根据定义完成下列各题．两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．12．阅读下面材料：若点A B 、在数轴上分别表示实数a b 、，则A B 、两点之间的距离表示为AB ，且AB a b =-；回答下列问题：(1)①数轴上表示x 和2的两点A 和B 之间的距离是；②在①的情况下，如果3AB =，那么x 为；(2)代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是．(3)若点、、A B C 在数轴上分别表示数a b c 、、，a 是最大的负整数，且2(5)0-++=c a b ，①直接写出a b c 、、的值．A B C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分②点、、别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．。

绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a b a b +的值是（）2．若0ab ≠，那么a ab b +的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】本题考查了绝对值的意义，由0ab ≠，可得：①0a >，0b >，②0a <，0b <，③0a >，0b <，④0a <，0b >；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．【详解】解：∵0ab ≠，，3．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）4．0a <，则化简a a a a a a ++-的结果为（）5．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b+B ．22a b c +-C ．c -D ．2b c--【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断0a b +<，0c b ->的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d +++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．的结果是．【答案】32a b c-+【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出a 、b 、c 的符号及大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解： 由图可知，0b a c <<<，||a c >，0a b ∴->，0a c +<，∴原式()22232a b a c a b a c a b c =-++=-++=-+．故答案为：32a b c -+．9．若12x <<，求代数式21x x x ---+=．10．若0a >，a=；若0a <，||a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b c a b c ++=．1111||||||a b c a b c ++=-++=，当a 、b 、c 中有三个负数时，1113||||||a b c a b c ++=---=-，故答案为：1或3-．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．【答案】(1)见详解(2)3a【分析】（1）根据所给的范围确定数在数轴上的位置即可；（2）由题意可知0b c +>，0a b -<，0a c ->，再化简即可．本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．【详解】（1）解：依题意，有理数0a >，0b >，0c <，且a c b<<∴如图所示：（2）解：0a > ，0b >，0c <，且a c b <<，0b c ∴+>，0a b -<，0a c ->，|||||2|b c a b a c ∴+--+-()(2)b c b a a c =+--+-2b c b a a c=+-++-3=a ．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---【答案】2a c d--+【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，熟练掌握以上知识是解题的关键．先观察数轴，得到0a b c d <<<<，从而得到0a c +<，0b d -<，0c b ->，然后根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：由数轴可知，0a b c d <<<<，∴0a c +<，0b d -<，0c b ->，∴2a c b d c b a c b d c b a c d++---=---+-+=--+13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．b ，．【答案】21b -【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据数轴可以判断a 、b 、c 的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：根据数轴，得10,0,0a c b a b c +<->++<，|1|(1),||,||()a a c b c b a b c a b c ∴+=-+-=-++=-++，|1|||||a cb a bc ∴+---++(1)()()a cb a bc =-+--+++1a c b a b c=---++++21b =-．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．3,1a b =-=-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．4．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）5．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．【答案】32【分析】根据有理数的非负性解答即可．本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵()22430||a b ++--=，∴20,30a b +=-=-，解得：3,2b a ==．故答案为：3，2．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．故答案为：1，2．2y =8．已知，b 是有理数，且满足，求与b 的值．【答案】1a =，2b =【分析】本题考查了绝对值非负的性质．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值．【详解】解：|1||2|0a b -+-= ，10a ∴-=，20b -=，1a ∴=，2b =，故答案为：1a =，2b =．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．x y -的值．，求、的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．【答案】3a =，2015b =根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）2．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据绝对值的非负性即可求解．【详解】解：∵a 是有理数∴1a -可为正数、负数、零由绝对值的非负性可知：|1|0a -≥∴2|12|a -+≥即：|1|2a -+的最小值是2故选：C【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可．4．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．【答案】4【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥ 2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取对x 的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．以1-和2为界点，将数轴分成三部分，对x 的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．【详解】解：如图，当1x <-时，10x +<，20x -<，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =-+--12x x =---+213x =-+>；当2x >时，10x +>，20x ->，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =++-12x x =++-213x =->；当12x -≤≤时，10x +≥，20x -≤，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =+--123x x =+-+=；综上所述，当12x -≤≤时，|1||2|x x ++-取得最小值，所以当|1||2|x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是12x -≤≤．故答案为：12x -≤≤．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？的点之间的距离，当23x -≤≤-时，23x x +++的最小值是为根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．故答案为：，，0．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．4【答案】D【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后根据两种情况确定出点C D 、的位置，再根据数轴上的两点间的距离求出C 的可能值，据此即可求解，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．【详解】解：如图，C D 、间的距离可能是0268、、、，∴C D 、之间的距离不可能是4，故选：D ．2．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A 落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C 点表示的数．【详解】设A '是点A 的对应点，由题意可知点C 是A 和A '的中点当点A 在B 的右侧，6BA '=，A '表示的数为10616+=，那么C 表示的数为：(1416)21-+÷=，当点A 在B 的左侧，6BA '=，A '表示的数为1064-=，那么C 表示的数为：(144)25-+÷=-，故选：C ．3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解．【详解】解： 已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，B ∴对应的数为：12186-=-；故①是正确的；1829÷= ，故②是正确的；当2BP =时，16AP =，1628t =÷=，故③是错误的；在点P 的运动过程中，9MN =，故④是错误的；故选：B ．4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．1【答案】C【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为2a +，熟知数轴A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据已知图形可写出墨水盖住的整数，相加即可；【详解】由图可知，被墨水盖住的整数为：3-，2-，1，2，3，相加为()321231-+-+++=；故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，准确表示出盖住的整数是解题的关键．6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．【答案】12-【分析】根据题意，则2b a =+，3c a =+，7d a =+，结合343a b =-，列式解答即可．本题考查了数轴的意义，有理数的计算，熟练掌握有理数加减运算是解题的关键．【详解】解：仔细观察图形，由数轴可知：a b c d <<<.∵每相邻两点之间的距离是1个单位长，∴2b a =+，3c a =+，7d a =+.∵343a b =-，∴()3423a a =+-，∴5a =-，∴3532c a =+=-+=-，7572d a =+=-+=，∴521012c d -=--=-.故答案为：12-．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长∵113922BEC S BE D A BE '''=⋅=⨯=V ，∴6BE =，∴369AE AB BE =+=+=，∵点E 是线段AA '的中点，∴18AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为41814-+=；②当正方形ABCD 沿数轴向左移动时，如图，S V Q 6,BE ∴=∴633AE BE AB =-=-=，∵点E 是线段AA '的中点，∴6AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为4610--=-．综上，数轴上点A '表示的数是14或10-；故答案为：14或10-．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 最小值为．【答案】6【分析】根据题意得出2AB BC ==，然后分情况讨论，作出相应图形求解即可．【详解】解：∵4AC =，点B 为AC 的中点，∴2AB BC ==，当点P 位于点A 左侧时，如图所示，()22410PA PB PC PA PA AB PA AC PA ++=++++=+；当点P 与点A 重合时，如图所示，202810PA PB PC ++=++=；当点P 位于点A 与点B 之间时，如图所示：()22226PA PB PC PB BC PB ++=++=+；当点P 与点B 重合时，如图所示，220226PA PB PC ++=++⨯=；当点P 位于点B 与点C 之间时，如图所示：22246PA PB PC AB PB PB PC ++=+++=+=；当点P 与点C 重合时，如图所示，2426PA PB PC ++=+=；当点P 位于点C 右侧时，如图所示，2264PA PB PC AC PC BC PC PC PC ++=++++=+；综上可得：2PA PB PC ++的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离及分类讨论思想，理解题意，进行分类讨论是解题关键．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．+=--=-，617112∴x的值为2-或7．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2023（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？的和是m．(1)若B为原点．则A点对应的数是__________；点C对应的数是__________，m=__________．CO=．求m．(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且6【答案】(1)2--，1，1(2)22-A B C所对应的数是解题关键．【分析】本题主要考查了数轴的知识，根据题意确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案；（1）根据题意，确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案．（2）根据题意，确定点、、【详解】（1）解：根据题意，2BC=，AB=，1若B为原点，即点B对应的数为0，则点A 对应的数为2-，点C 对应的数为1，∴2011=-++=-m ．故答案为：2-，1，1-；（2）解：根据题意，原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =，则点C 对应的数为6-，点B 对应的数为7-，点A 对应的数为9-，∴()()67922m =-+-+-=-．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A ．0B ．100C ．50D ．－50【答案】C【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位．故答案为：C ．【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．3．如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为﹣2、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过秒后，M 、N 两点间的距离为8个单位长度．【答案】14或149【分析】已知运动时间为t 秒，根据题意建立含有t 的一元一次方程，解出t 的值即可．【详解】解：已知运动时间为t 秒，根据题意M 、N 两点间的距离为8个单位长度，分析N 点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：当N 向左运动，则有25448t t -+-+=，解得t =149，当N 向右运动，则有25448t t -+--=，解得t =14．故答案为14或149．【点睛】本题主要考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t 的一元一次方程是解决本题的关键．4．如图，动点A ，B ，C 分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，若k PM MN ⋅-为常数，则k 为．【答案】2【分析】运动t 秒后，点P 在数轴上表示的数为-15+t ，点M 在数轴上表示的数是5+2t ，点N 在数轴上表示的数是9+4t ，分别表示出PM =20+t ，MN =2t +4，再代入k PM MN ⋅-，根据k PM MN ⋅-为常数，得到关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，点P 在数轴上表示的数为-3022t +=-15+t ，点M 在数轴上表示的数是1042t +=5+2t ，点N 在数轴上表示的数是1882t +=9+4t ，则PM =20+t ，MN =2t +4，(20)(24)(2)204k PM MN k t t k t k ∴⋅-=+-+=-+- k PM MN ⋅-为常数，2=0k ∴-2k ∴=故答案为：2．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上点的位置关系，根据k PM MN ⋅-为常数列方程是解题关键．5．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的美好点．例如：如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的美好点，但点D 是【B ，A 】的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2(1)点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M ，N 】美好点的是_；写出【N ，M 】美好点H 所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点？【答案】(1)G ；4-或16-(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M ，N 】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，须区分各种情况分别确定P 点的位置，进而可确定t 的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，18GM =，9GN =，2GM GN =，只有点G 符合条件，故答案是：G ．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M 和N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定4-符合条件．点M 的左侧距离点M 的距离等于点M 和点N 的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是16-．故答案为：4-或16-；（2）解：根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，第一情况：当P 为【M ，N 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图1，当2MP PN =时，3PN =，点P 对应的数为231-=-，因此 1.5t =秒；第二种情况，当P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图2，当2PM PN =时，6NP =，点P 对应的数为264-=-，因此3t =秒；第三种情况，P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，如图3，当2PN MN =时，18NP =，点P 对应的数为21816-=-，因此9t =秒；第四种情况，M 为【P ，N 】的美好点，点P 在M 左侧，如图4，当2MP MN =时，27NP =，点P 对应的数为22725-=-，因此13.5t =秒；第五种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M 左侧，如图5，当2MN MP =时，13.5NP =，点P 对应的数为213.511.5-=-，因此 6.75t =秒；第六种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M ，N 左侧，如图6，当2MN MP =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒；第七种情况，N 为【P ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，当2PN MN =时，18NP =，因此9t =秒，第八种情况，N 为【M ，P 】的美好点，点P 在M 右侧，当2MN PN =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒，综上所述，t 的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．6．若A 、B 、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的好点．例如，如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的好点，但点D 是【B ，A 】的好点．知识运用：如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为2-，点N 所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M ，N 】的好点；(2)如图3，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为20-，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？【答案】(1)2或10t=秒或20秒或15秒(2)10【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题：（1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况；（2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果；正确理解新定义是解题的关键．【详解】（1）解：设点H是【M，N】的好点，∴=，2HM HN当H在M、N之间时，HM HN MN∴+==--=，4(2)6∴+=，HN HN26∴=，2HN∴表示的数为422H-=，当H在N右边时，设H表示的数为h，h h∴--=-，(2)2(4)∴=，10h故答案为：2或10；（2）解：当P是【A，B】好点时，即2=，PA PB\-=´，t t60222t∴=；10当P是【B，A】好点时，即2=，PB PA∴=-，t t22(602)t∴=；20当B是【A，P】好点时，即2BA BP=，\=´，6022tt∴=，15当A是【B，P】好点时，即2=，AB AP∴=-，602(602)tt∴=；15t=秒或20秒或15秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．综上所述，当10、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O为坐标原点，若点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点t>．同时运动时，设运动时间为t秒()0①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）②猜想的长度是否与t的大小有关？如果有关请你写出用t表示的代数式；如果无关请你求出的长度．如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边=-．的数减去左边的数表示，即AB b a请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．试探索：AC AB-，C表示4，图见解析；【答案】(1)A表示2-，B表示5CA=--=+=（cm）；（2）4(2)426设D表示的数为a，度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．当Q 点未到达点，此时3AQ x =，BP x =，则Q 则()10243PQ x x =-+--+此时(343AQ AC QC =-=-则Q 点表示的数为2468-+-两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．。

绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5−符号是负 号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨−<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨−≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥−；（2）若a b =，则a b =或a b =−；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b −的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。